高中数学 解三角形 专项训练

解三角形

内容概览

01网络•思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）

02考情分析高考

03高频考点•以考定法（四大命题方向+四道高考预测试题，高考必考•（10/7）分）

A命题点1正弦余弦定理基本应用

>命题点2解三角形中三线问题

A命题点3解三角形中周长面积问题

>命题点4解三角形中最值范围问题

高考猜题

04仓（J新好题•分层训|练★精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）

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6》思维脑图•

内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且聘于夕楔圆的直径

公式,品=导=急=2&R为外接圆半径)

结论：①变形•a+b+cb

siih4+sinB+sinCsinJsinBsinC

正弦定理

②碰为角。力—/哈需小黑叁骁

③化边为角a=2RsinJ;b=2RsinB;c=2RsinC

asinBbsinJa

④化角为边嬴近二万;菽=7葡=3

⑤化角为边sinJ=提;sinfi=£;sinC=4

内容：对于任意三角形，任1可一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角

的余弦的两彳撕

公式：a~=b'+c:-2bccosA;b2=a1+c1-2accosB;c2=a:+b:-2abcosC

变形：C°S=噱金。SB=£^；8SC=S^

(技巧:利用余弦定理判断三角形形状

(T)c2+Z)2>tz*<=>cosy4=b>0o/<90°,所以/为锐角

②cy=a,o4=90°,所以为直角

余弦定理

③cJ^Wocos/J；；；">0q4>90。,所以/为钝角

解三角形

拓展①三角形三角关系：N+8+C=180。；C=180°-(J+5)；

三角形三边关系(两边之和大于第三边)：a+b>c,a+c>b,c+b>a

两边之差小于第三边：a-b<c,a-c<b,c-b<a

在同一个三角形中大边对大角：/>8oa>6=sinJ>sinB

②三角形内的诱导公式：sin(J+5)=sinC;cos(J+B)=-cosC;tan(J+B)=tanC

S，n()COS

.A+B..nC.CA+BnC\.CtA+BnC,2-72

sni-^—=sin(2-y)=cos-j；cos—=cos(^-y)=siny；tan-^j—=tan(y-y)=----nc~---f

cos(j-y)silly

内容：三角形的面积等于两边—角正弦乘积的一半

三角形面积III

公式:S’absinC.bcsin^UjqcsinB

极化恒等式:<"m=""2“小6=t>ab=^[(a+b)'-(a-b):]

(a-b)'=a'-2ab+b'

常规二级结论应用

中线定理:在△/BC中，。是边BC的中点，则4瓦万月

色〉考情分析•高考•

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解三角形是新高考中必考点，一般以1+1（一道小题一道解答题）或者是0+1（只出现一道

解答）形式出现，往往放在解答题前两题，相对难度比较小。

真题多维细目表

考点考向考题

①正弦余弦基本应用2023全国乙卷T4全国乙卷T172021全国甲卷T8

解三角形②解三角形中三线问题2023新高考甲卷T162023新高考I卷T17

③解三角形中周长面积问题2023新高考II卷T17全国乙卷T18

甲卷T17

2022乙卷T17新高考II卷T18

2021全国乙卷T152021新高考II卷T18

④解三角形中最值范围问题2022全国甲卷2022年新高考I卷T18

函》高频考点•以考定公

►►高考<<

命题点2正弦余弦定理基本应用

典例01（2023•全国乙卷）在一ABC中，内角A,2,C的对边分别是a,6,c,若acos3-6cosA=c,且C=q,

则45=（）

7i0Tl_37rc2n

A.—B.-C.—D.—

105105

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得-A的值，最

后利用三角形内角和定理可得-A的值.

【详解】由题意结合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,

BPsinAcosB-sinBcosA=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得5皿与8524=0,由于3£（0,兀），故sinjB>0,

据此可得COSA=0,A=5,

兀

则5=7i_A_C=7i_］一］3

10

第3页共25页

故选：c.

典例02(2023•全国乙卷)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A—=sinBsin(C—A).

⑴若4=23,求C；

(2)证明：2/=/+°2

【答案】⑴/；

(2)证明见解析.(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出.

【详解】(1)由A=25,sinCsin(A-3)=sin3sin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),而0<3<],

所以sin5£(0,1),即有sinC=sin(C—A)>0,[fjJO<C<7r,O<C-A<7i,显然CwC—A,所以，C+C-A=TI,

5K

而A=25,A+B+C=TI,所以C=^-.

8

(2)由sinCsin(A_5)=sin5sin(C-A)可得，

sinC(sinAcosB—cosAsinB)=sinB(sinCcosA—cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB-becosA=becosA-abcosC,然后根据余弦定理可知，

1(a2+c2-b2)-^b2+c2-a2)=^b2+c2-a2)-1(a2+b2-c2)，化简得：

2a2=b2+c2,故原等式成立.

命题点2三角形中三线问题

典例01(2023•全国甲卷)在ABC中，ABAC=60°,AB=2,BC=^6,的角平分线交BC于，

贝!J">=.

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根据等面积法求出AD；

方法二：利用余弦定理求出AC,再根据正弦定理求出反C,即可根据三角形的特征求出.

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【详解】

如图所示：isAB=c,AC=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+〃-2X2><6><COS60=6,

因为〃>0,解得：6=1+6,

由SABC=SABD+SACD可得,

—x2xZ?xsin60=—x2xAE)xsin30+—xA£)xZ?xsin30,

26(1+⑹

解得：AD=­h

3+6

故答案为：2.

方法二：由余弦定理可得，22+〃-2X2X6XCOS60=6,因为8>0,解得：6=1+6,

由正弦定理可得，4—=—丝=二_,解得：sinB="+忘,sinC=—,

sin60sinBsinC42

因为1+若>标>忘，所以C=45,8=180-60-45=75,

又/区4。=30°,所以/A£)B=75,即AP=AB=2.

故答案为：2.

典例02(2023•全国新课标D已知在.ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

⑴求sinA；

⑵设AB=5,求AB边上的高.

【答案】⑴士四(2)6

10

【详解】(1)A+B=3C,

TT

..TI-C=3C,即。=—,

又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),

/.2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=3cosAsinC,

/.sinA=3cosA,

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即tanA=3,所以0<A<],

33M

sinA=

Vio-io

(2)由(1)知，cosA=—y==,

A/1010

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

<275

5x-----_

c_b

由正弦定理,可得人:---——2A/TO,

sinCsinBV2

~T

—ABh=—AB.AC-sinA,

22

h=b-sinA=2^10x3y=6.

10

►►技巧<<对于解三角形中的出现的角平分线问题，方法技巧在于用等面积法进行转化,

或者是采用角平分线定理（角平分线定理属于二级结论解答题中需要进行证明，小题中可以直接采用），

对于求高有关的问题也是采用面积等于底乘以高转化成三角形中面积公式。对于中线问题，一般思路是向

量思想，小题中可以采用激化恒等式去求解。

命题点三解三角形中周长面积问题

典例01（2023•全国高考乙卷）在一ABC中，已知NBAC=120。，AB^2,AC=1.

⑴求sinNABC；

（2）若。为BC上一点，且/54。=90。，求△ADC的面积.

【答案】⑴答；⑵得.【分析】⑴首先由余弦定理求得边长BC的值为2C=g,然后由余弦定理可得

cos8=%自，最后由同角三角函数基本关系可得sin8=@；

1414

（2）由题意可得沁^=4,贝！据此即可求得“DC的面积.

【详解】（1）由余弦定理可得：

BC2=a2=b2+c2-20ccosA

=4+l-2x2xlxcosl20=7,

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讪「厂na2+c2-b27+4-15A/7

贝UBC=y/7，cosB=--------------=----------j==------，

lac2x2xj714

sinZABC="一cos2B=

q-xABxADxsin90

(2)由三角形面积公式可得言也----------------=4,

山⑺-xACxADxsin30

2

_V3

则^AAC£>-yS"BC=gX—x2xlxsinl20

2-10

典伊】02.（2022•全国高考乙卷）记ABC的内角A民C的对边分别为〃也c,已知

sinCsin（A—B）=sinBsin（C—A）.

（1）证明：2a2=/?2+c2;

25

（2）若a=5,cosA=三，求二ABC的周长.

【答案】（1）见解析（2）14

【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证;

（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出。。，从而可求得〃+c,即可得解.

【详解】（1）证明：因为5[!1。5]11（4—5）=511155111（。一4）,

所以sinCsinAcosB—sinCsinBcosA=sinBsinCcosA—sinBsinAcosC,

所以*.、+°2一”-2bc-"+c~Y=_.C-/

ab

lac2bc2ab

anCl2+C—b1(272222

1a+b-c

即----------\b+c-a

2

所以24=〃+。2；

25

(2)解：因为〃=5,cosA=^_

由(1)得/+。2=50,

由余弦定理可得="2+一2bccosA,

贝IJ50—型力c=25,

31

所以反=31=，

2

故仅+4^b2+c2+2bc=50+31^81,

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所以Z?+c=9，

所以ABC的周长为a+〃+c=14.

命题点四解三角形中最值范围问题

.AC

典伊|01(2022・全国•高考甲卷)已知.ABC中，点。在边BC上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当二上

取得最小值时，BD=.

【答案】V3-1/-1+V3

【详解】［方法一］:余弦定理设CD=2BD=2m>0,

则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=zn2+4+2m,

在，AC。中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4/n2+4-4m,

222

AC_4m+4-4m_4（m+4+2机）-12。+机）12

A-

所以AB2~m2+4+2mm2+4+2m=4----------------r

'7m+1

12

>4——-=4-2A/33

当且仅当加+1=^即m=石-1时，等号成立,

m+1

V7m+1

所以当罚取最小值时,7〃=6-1.故答案为：A/3-1.

［方法二］:建系法

令BD=t,以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.

则C(2t,0),A(1,石)，B(-t,0)

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AC2_⑵—-+3_4/-由+4__12

4>4-273

当且仅当/+1=石，即题》=/-1时等号成立。

［方法三］:余弦定理

设BD=x,CD=2x.由余弦定理得

。2=尤2+4+2x

2c2+b2=l2+6x2,

b2^4+4x2-4x

=尤2+4+2x

2c2+/=12+6尤2,

b2=4+4x2-4x

令生=

贝|J2c2+/02=12+6尤2,

AB

2

212+61n+6x6]2

t+2=7r>6-273,

t2>4-2y/3,

3

当且仅当％+l=—7,即X=^+1时等号成立.

x+1

［方法四］:判别式法

设BD=x,贝!]CD=2x

在△ABD中，AB2=BD2+AD--?.BDADCOSZADB=X2+4+2X，

在，ACD中，AC2^CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4x2+4-4x,

匚UI、IAC_4x-+4—4x、14%2+4—4x

所以一T=-------------，记，=—；------------，

ABx+4+2xx+4+2x

贝M4T卜2_(4+2/卜+(4_旬=0

由方程有解得：△=(4+2，y—4(4—f)(4—4r)20

即r-8r+4V0,解得:4-2y/3<t<4+2y/3

所以/=4一26，止匕时x=U=K-l

mm47

所以当会取最小值时，X=A/3-1,即=1.

AB

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cosAsin25

典例02（2022•全国新高考I）记，ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知

1+sinAl+cos2B

⑴若C后27r，求&

a2+b2

⑵求的最小值.

C2

【答案】（1）工；（2）4A/2-5-

6

cosAsin2B2sinBcosBsinB

【详解】（1）因为,即

1+sinA1+cos2B2cos2BcosB

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC=^,

而0<3苦，所以B哈

TTTT

(2)由(1)知，sinB=—cosC＞0,所以一＜。＜兀,0＜3＜一,

22

而sin2=-cosC=sin(c-]),

所以C=：+B,即有A=g_2B,所以

22I(24J

匚匚।a2+b2sin2A+sin2Bcos22B+1-cos2B

所以一z—二-----z---------=-------------.-----------

c2sin2Ccos2B

f2cos2B-l）2+l-cos2Bc2ll

-------------------------------=4COS2B+--——5>2V8-5=4V2-5•

cosB-----------------cosB

当且仅当cos?8=2时取等号，所以，廿的最小值为40-5.

►►技巧<<解三角形中求边长最值问题一般采用设角把边长转化成关于角的函数，最后

转化成基本不等式或者是关于二次函数去求解。但是对于锐角三角形中，求长度或者是面积范围及问题，

应采用边角转化思想，把边长问题转化成角度问题，再利用二次函数或者是辅助角公式去求解。

►高考猜题预计2024年高考会出现正弦余弦定理的基本应用及面积最值范围相关题目

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.1.(2324上.湖南.模拟预测)在,ABC中，BC=3,sinB+sinC=—sinA,且ASC的面积为［sinA,

32

则A=()

71717127r

A.一B.一C.—D.—

6433

【答案】D

【分析】先利用正弦定理角化边可得b+c=JQ,再由三角形面积公式可得历=1,最后根据余弦定理求解

即可.

【详解】设ABC中角A,民C所对的边分别为a,6,c,

因为sin8+sinC=^^-sinA,所以由正弦定理可得〃+C=史。〃=&5,

33

又SABC=)bcsinA=；sinA解得/?c=l,

所以由余弦定理可得cosA=/+02—'=伍十°)2-2历一片J。-2-9=_2,

2bc2bc22

因为A«0㈤,所以A=|,

故选：D

「人心-1、,八ni、r,「sinB+sinCcosB-cosA

2.(2324上•浙江•一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且—------=————

cosB+cosAsinC

⑴求sinA；

(2)若点。在边BC上，BD=2DC,c=2b,AD=2,求ABC的面积.

【答案】⑴*

(2)也

2

【分析】(1)根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理，代入计算，即可得到结果;

(2)根据题意，由/4D3+/ADC=71可得cosZADB=-cosZADC,结合余弦定理列出方程，即可求得及c,

再由三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)由题意得sinB-sinC+sin2C=cos23-cos2A=sin2A-sin28,

所以加+。2-。2=-6c，故cosA=]+；-a=一:

2bc2

因为sinA=.

2

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(2)设CD=X,则BD=2x,

心+必一相4+4x2-c2

在,ADB中,有cosNADB=

2ADxBD8x

A》+5-34+x2-b2

在△ADC中,有cosZADC=

~2ADxCD~4^.

又ZADB+ZADC=7i,所以cosZADB=—cosZADC,

所以有c?=6/-2〃+12.又。=20,所以廿=/+2.

在，ABC中，由余弦定理可得/=62+C2-26CCOSA.

又a=3x,c-2b,A=—,

所以有9x?=/+4/-4/x1-g)=7/.

b2=x2+2\x=中

联立，解得所以C=2ZJ=6,

9x2=7/b=3

所以SABC=-Z>csinA=-x3x6x^=^.

ABC2222

3.（2324上•绵阳.模拟预测）在斜三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知

cos（C-B）sinA=cos（C-A）sinB.

（1）证明：A=B；

（2）若，=sinB,求3-二的最小值.

cca

9

【答案】⑴证明见解析（2）-二

16

【详解】（1）由题意证明如下，

在gABC中，A+B+C=n,

cos(C-B)sinA=cos(C-A)sinB,

/.(cosCcosB+sinCsinB)sinA=(cosCbosA+sinCsinA)sinB,

/.cosCbosBsinA=cosCcosAsinB,

又ABC为斜三角形，贝UcosCwO,

cosBsinA=cosAsinB,

.,.sin(A-B)=0,

A8为，ABC的内角，

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A=B.

(2)由题意及(1)得，

在,ABC中，A=B,a=b,是等腰三角形，

上十bcEI1sinC

由正弦定理八=•一，贝U丁=-，

sinBsinCbcsmB

又』二sinB,即csinB=1,

c

=sinC=sin(A+5)=sin2B,

ab

-=sin2B-sin22B=sin2B-4cos2Bsin2B=sin2B-4(1-sin2B)sin2B,

令si/B=,f(t)=t-4(l-t)t=4t2-3t,

又因为0<sin\B<l,BPO<f<l,

・•.当仁号即Sin3=逅时，/(f)取最小值，且/⑺min=-2，

o4lo

11,9

——2的取a小值为一77,

ca16

^2>2_2

4(23・24上.泰州•期中)在锐角ABC中，a,b,。分别是角A,B,。的对边，已知「，\=

(1)求角A的大小;

(2)若力=1,求ABC面积S的取值范围.

【答案】(1)5(2)\/3"

"F万

【详解】(1)因为加

b2+c2-a2

^\^Xc(a2+b2-c2)=(2b-c)(b2+c2-a2)

整理得b2+c2—a1=be

又A«O,TT),所以A吟

(2)因为JLBC为锐角三角形，A=?

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71

0<B<-

2

所以,解得?<2<g,

兀62

0c<-2--7--1-Bn<一

32

所以38邛,

sin”

—cosB+-sinB

由正弦定理可得Z?sinC22上+L

sinBsinBsinB2tanB2

则S=—bcsinA=^-c3+有

-\--------,

248tan58

因为tanB>,所以。〈高＜6

3

所以1＜二+立＜立，即1aAsc面积S的取值范围为

88tanB827

由〉创新好题•分层训炼，（★精选8道最新名校模拟考试题+8道易错提升）

1.（2023•湖北黄冈・统考模拟预测）在，ABC中，ZA=2ZB,AC=4,BC=6,贝UABC的面积为（）

n15a

A.2不B.近C.3出iJ.-------

74

【答案】D

3进而得到cosA=；,sinB,sinA,从而求出sinC=sin（A+2）=晋

【分析】由正弦定理求出8s

利用三角形面积公式求出答案.

ACBC

【详解】由正弦定理得

sinBsinA

因为NA=2N5,AC=4,BC=6,

4663

所以，故cosB=—,

sin5sin252sinBcosB4

则cosA=cos25=2cos2B-l=—,

8

因为A,Be（0,7i）,

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所以sinB=^1-cos2B=,sinA=Jl-cos?A=,

48

故sinC=sin(A+5)=sinAcosB+cosAsinB=x—+—x,

v7848416

=-AC-BCsinC=-x4x6x^=^^

故SABC

22164

故选：D

2.（2023上•江苏徐州•高三校考阶段练习）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,且23=A+C,

6=2,贝UABC外接圆的半径为（）

A.近B.毡

cD.叵

33-12

【答案】B

【分析】首先求出Bp再利用正弦定理即可.

【详解】由题意得4+5+。=35=兀，所以

b4石

=2R=—

设ABC外接圆的半径为R,则由正弦定理得嬴万sin至3

3

所以V

故选：B.

3.（2023・山东济宁・统考二模）ABC的内角A3,C的对边分别为若边上的高为2GA=：,则

4

cosC=（）

A晒R3Vw「3百n6

A.------15.----------C.--------D.--------

1010105

【答案】B

【分析】根据已知，用c表示出a、b,然后由余弦定理可得.

【详解】如图，AB边上的高为CD,

-]TTT

因为A=—，所以AD=2c,2c=bsin—

44

所以BD=c,b=2>/Ic,

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由勾股定理可得BC=VC2+4C2=限，

5c2+8c2-c23A/10

由余弦定理可得cosZACB=

2X75CX2A/2C10

故选：B

二、填空题

4.（2023上•江苏淮安・高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为

BC边中点，若4。=2*2+02=24,贝|ABC面积S的最大值为.

【答案】40

【分析】根据向量模长公式即可HccosA=-8,结合基本不等式即可求解bc«12,进而根据三角函数的单

调性，结合面积公式即可求解.

【详解】由于。为2C边中点，所以AD=；（AB+AC）,平方

2_2-2-

4AD=AB+AC+2ABAC16=c2+Z?2+2Z?ccosA,

因此2&ccosA=—8,

由于。=2422Z?c,所以历412,当且仅当人=c=2石时等号成立，

-41

故cosA=一<一一,

be3

由于y=cosx在（0㈤单调递减，故当cosA=f时，A最小，且为钝角，

11-4

S=—bcsinA=-------sinA=—2tanA,

■ABC22cosA

由于y=tanx在［■|,兀］单调递增，故当tanA取最小值时，此时面积最大，故当cosA=-g时，此时A最小，

进而tan4最小，故面积最大，

由cosA=-：可得sinA=,tanA=-2①，故面积的最大值为472，

33

故答案为：40

第16页共25页

5.（2023•河南郑州・统考模拟预测）ABC中，AB=4,BC=5,CA=6,/ABC平分线与AC交于点。,

贝.

【答案】当【详解】由余弦定理cosC=BC2+AC2-A-=52+62-52=3,

2x5x64

2BCAB2x5x48

所以cos2C=2cos2。—1=—,所以NABC=2C,

8

因为5。为/ABC的平分线，所以ND5C=C,

所以sinNBDC=sin（兀一2C）=sin2C,

在△BCD中由正弦定理

sinNBDCsinC

故答案为:

6.（2023上•湖南•高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）在ABC中，内角A,B,C对应的边分别

是mb,c,bcosC+ccosB=3acosA.

⑴求cosA；

（2）若一ASC的面积是0,a=2,求ABC的周长.

【答案】⑴:⑵26+2

【详解】（1）由bcosC+ccosB=3acosA,可得到sinBcosC+sinCeosB=3sinAcosA,

即sin（B+C）=3sinAcosA.

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因为B+C=TT-A,所以sin(5+C)=sinAwO,故cosA=；.

(2)由cosA==，可得sinA=迪，

33

因为SABC=gbcsinA,所以g=；bcsinA,贝ij/?c=3.

28

由余弦定理得片=b2+C2-2bccosA,即4=方2+02-]6c=(b+c)9~-§6c,

所以b+c=2后，故二ASC的周长是a+b+c=2指+2.

7.（2023•河南•校联考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB±BC,ZADC=120°,AB=CD=2AD,AACD

的面积为3.

2

⑴求sin/C4B；

⑵证明：ZCAB^ZCAD.

【答案】（1）卫（2）证明见解析

【详解】(1)设CD=2AD=2a,a>0,

因为ACD的面积为由,120。，

2

所以1*2。*0*5111120。='^,解得。=1,

22

所以AB=