人教版八年级数学下册必刷题期中模拟试卷02(压轴卷第16-18章)(原卷版+解析)

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】

期中模拟试卷02（培优压轴卷，八下人教第16-18章）

班级：姓名：得分：

注意事项：

本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑

色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.下列根式是最简二次根式是（）

A.B.V20C.V30D.V121

3

2.要使式子^在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

V6-2X

A.x<3B.尤N3C.xW3D.+3

3.下列各式中，计算正确的是（）

A.V8-V2=2B.（-7*）2=2

C.1十忌=3V3D.3+V3=3V3

4.如图，将回A8CD的一边延长至点E,若NA=no°,则N1等于（

A.110°B.35C.70°D.55°

5.在△ABC中，ZA,/B,/C的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是（）

A.如果那么△ABC是直角三角形

B.如果/=廿-°2,那么△ABC是直角三角形且NC=90°

C.如果NA：ZB：ZC=1：3：2,那么AABC是直角三角形

D.如果屋：户：02=%16：25,那么△ABC是直角三角形

6.在下列命题中，是真命题的是（）

A.有两边相等的四边形是平行四边形

B.有两个角是直角的四边形是矩形

C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

D.有一个角是直角的菱形是正方形

7.如图，菱形ABC。中，对角线AC,8。相交于点。，AC=10,8。=24,E是A。的中点，连接0E,则

线段0E的长等于（）

60

A.5B.13C.6.5D.—

13

8.如图，正方形ABCD的边长为8,E1为AB上一点，若跖_L4C于凡EGLBD于G,贝U£尸+EG=（）

A.4B.8C.8V2D.4V2

9.如图，圆柱形玻璃杯，高为12c/",底面周长为18cm,在杯内离杯底4cs的点C处有一滴蜂蜜，此时一

只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4。"与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（）aw.

10.如图，正方形A8CD中，点E、F、〃分别是43、BC、CD的中点，CE、OE交于G,连接AG、HG.下

列结论：®C£±r）F；®AG=AD；③/CHG=/DAG；@HG=^AD.其中正确的有（

C.3个D.4个

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请把答案直接填写在横线上

11.计算：(麻-2)2021(V5+2)2°21的结果是.

12.如图，菱形A8C。的面积为120,对角线AC与8。相交于点。，AC=24,则

13.在RtZkABC中，是斜边AB上的中线，且8=5,贝l|AB2+BC2+AC2=

14.如图，在正方形ABC。的外侧作等边三角形CDE,则NZ)EA=.

15.如图，在△ABC中，点。在边BC上，AB=AD,点E,点尸分别是AC,的中点，EF=25.则AC

的长为.

16.如图，矩形ABC。的面积为20°扇，对角线交于点0；以A3、AO为邻边作平行四边形AOC1B,对角

线交于点。1;以A3、AO1为邻边作平行四边形A0C2&…；依此类推，则平行四边形494c53的面积

三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.计算：

(1)V18+J|+(V3-2)°+J(1-V2)2；

(2)(V2+V3)2(5-2V6).

18.某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图(1).如图(2),已知云梯最多只能

伸长到15根(即48=8=15根)，消防车高3瓶，救人时云梯伸长至最长，在完成从12相(即8E=12机)

高的B处救人后，还要从15/77(即。£=15机)高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的

距离AC为多少米？(延长AC交于点。，AO±DE,点2在。E上，。£的长即为消防车的高3根).

19.在如图所示的4义4方格中，每个小方格的边长都为1

20.阅读下列内容：因为1<3<9,所以1<遮<3,所以旧的整数部分是1,小数部分是B-1.试解决下

列问题：

(1)求VTT的整数部分和小数部分；

(2)若已知8+Vi?的小数部分是。，8-同的整数部分是b,求油-3。+4b的值.

21.在平行四边形ABC。中，NBA。的平分线交直线于点E,交直线。C于点尸.

(1)在图1中证明：CE=CF；

(2)若/A8C=90°,G是跖的中点(如图2),求出/8OG的度数;

(3)若/A8C=120°,FG//CE,FG=CE,分别连接02、DG(如图3),求NBOG的度数.

22.如图，EL4BC。中，AB=2cm,AC=5cm,S^ABCD^Scm2,E点从B点出发，以la”每秒的速度，在AB

延长线上向右运动，同时，点尸从。点出发，以同样的速度在C£)延长线上向左运动，运动时间为f秒.

(1)在运动过程中，四边形AECF的形状是

(2)t=时，四边形AECF是矩形；

(3)求当f等于多少时，四边形AEC尸是菱形.

23.如图所示，在长方形中，BC=42AB,NAOC的平分线交边于点E,AHLOE于点连接

CH并延长交边于点F,连接AE交CF于点O.

(1)求证：ZAEB=ZAEH；

(2)试探究与即的数量关系，并说明理由;

24.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

(1)如图1,四边形ABC。中，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,D4的中点.求证：中点四边

形EEGH是平行四边形；

(2)如图2,点P是四边形ABC。内一点，且满足B4=P8,PC=PD,NAPB=/CPD,点E,F,G,

以分别为边A3,BC,CD,D4的中点，猜想中点四边形EEG8的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使/&尸8=/0。=90°,其他条件不变，直接写出中点四边形EFG”的

形状.（不必证明）

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】

期中模拟试卷02（培优压轴卷，八下人教第16-18章）

班级：姓名：得分：

注意事项：

本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道.答卷前，考生

务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.下列根式是最简二次根式是（）

A.B.V20C.V30D.7121

【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.

【详解】⑷原式=母，故A不是最简二次根式；

（B）原式=2近，故8不是最简二次根式；

CD）原式=11,故。不是最简二次根式；

故选：C.

【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用运用二次根式的性质，本题属

于基础题型.

3

2.要使式子万〒在实数范围内有意义，则尤的取值范围是（）

V6-2X

A.x＜3B.尤23C.xW3D.xW3

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分母不为0列出不等式，解不等式得到答

案.

【详解】由题意得6-2无＞0,

解得尤＜3,

故选：A.

【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分母

不为。是解题的关键.

3.下列各式中，计算正确的是（）

A.V8-V2=2B.（-7^|）2=2c=3V3D.3+V3=3V3

【分析】根据二次根式的性质一一判断即可.

【详解】4错误.不是同类二次根式不能合并；

B、错误.（-7够）2=14；

C、正确;

。、错误.不是同类二次根式不能合并；

故选：C.

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法

贝IJ,灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

4.如图，将EL4BCZ）的一边BC延长至点E,若/A=HO°,则/I等于（）

【分析】根据平行四边形的对角相等求出NBCD的度数，再根据平角等于1800列式计

算即可得解.

【详解】•.•平行四边形A2CD的NA=110°,

：.ZBCD=ZA=11O°,

.*.Zl=180°-ZBCD=180°-110°=70°.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是

解题的关键.

5.在△ABC中，ZA,ZB,NC的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是（）

A.如果那么AABC是直角三角形

B.如果/=62-02,那么△ABC是直角三角形且NC=90°

C.如果/A：ZB：NC=1：3：2,那么△ABC是直角三角形

D.如果/：b2：°2=9：16：25,那么△ABC是直角三角形

【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可.

【详解】如果NA-NB=/C,那么△ABC是直角三角形，A正确；

如果/=62-02,那么是直角三角形且NB=90°,B错误;

如果/A：/B：ZC=1：3：2,

设则NB=2x,ZC=3x,

贝i]x+3x+2x=180°,

解得，x=30°,

则3x=90°,

那么△ABC是直角三角形，C正确；

如果/：射：C2=9：16：25,

则如果aW=c2,

那么△ABC是直角三角形，。正确；

故选：B.

【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a,b,。满足/+房

=。2,那么这个三角形就是直角三角形.

6.在下列命题中，是真命题的是（）

A.有两边相等的四边形是平行四边形

B.有两个角是直角的四边形是矩形

C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

D.有一个角是直角的菱形是正方形

【分析】根据两边平行且相等的四边形是平行四边形可以判断A选项不正确，根据有两

个角是直角的平行四边形是矩形可以判断B选项错误，根据两条对角线互相垂直且相等

的平行四边形是菱形可以判断C选项错误，有一个角是直角的菱形是正方形，故知。选

项正确.

【详解】A、有两边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，

8、有两个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项错误，

C、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是菱形，故本选项错误，

。、有一个角是直角的菱形是正方形，故本选项正确，

故选：D.

【点睛】本题主要考查正方形判定、矩形和菱形的判定，熟练掌握各类四边形的判定定

理是解答本题的关键，此题难度不大，属于基础题.

7.如图，菱形ABC。中，对角线AC,BD相交于点。，AC=10,BD=24,£是的中点，

连接OE,则线段OE的长等于（）

60

A.5B.13C.6.5D.—

13

【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直，利用勾股定理求出AD再利用直角三角形

斜边的中线的性质OE=%。，求出OE即可.

【详解】：四边形ABC。是菱形，

11

：.ACLBD,OA=^AC=5,OD=^BD=U,

在RtAAOD中，AD=V52+122=13,

9

：AE=DEf

1

：.OE=^AD=6.5

故选：C.

【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知

识，得出£0=%。是解题关键.

8.如图，正方形ABCD的边长为8,E为A8上一点，若EF_LAC于REGLBD于G,则

EF+EG=()

A.4B.8C.8V2D.4V2

【分析】连接EO,可得SAABO=S&AEO+S&BEO,再把40=80=4近代入可求EF+EG的

值.

【详解】连接EO

•.•四边形ABC。为正方形

C.ACLBD,A0=B0=C0=。。且AC=2£>=8位,

：.AO=CO=BO=4-/2,

■:S^ABO-S/\AEO+S^BEO

11

.".16=5XAOXEF+1XBOXEG,

：.EF+EG=442,

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的性质，本题关键是运用面积法解决问题.

9.如图，圆柱形玻璃杯，高为12c〃z,底面周长为18c〃z,在杯内离杯底4cm的点C处有一

滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿457与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂

【分析】在侧面展开图中，过C作CQ，跖于。，作A关于即的对称点A',连接A'

C交EH于P,连接AP,则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出4'Q,CQ,根

据勾股定理求出A'C即可.

【详解】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形

过C作CQLEF于。，作A关于EH的对称点A',连接A'C交EH于P,连接AP,

则

AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，

'：AE^A'E,A'

：.AP+PC=A'P+PC=A'C,

'/CQ=2x18cm=9cm,A'Q—12cm-4cm+4cm—12cm,

在RtZvl'QC中，由勾股定理得：A'C=V122+92=15cm,

故选：B.

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，同时也考查了学生的空间想象能力.将

图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.

10.如图，正方形ABC。中，点、E、F、H分别是A8、BC、CD的中点，CE、DF交于G,

连接AG、HG.下歹U结论：®CE±DF；®AG=AD；③NCHG=/DAG；®HG=\AD.其

中正确的有（）

AD

【分析】连接AH,由四边形ABC。是正方形与点£、F、X分别是A3、BC、CD的中点，

易证得△BCE0△8/与△AD8四△OCR根据全等三角形的性质，易证得C£_LZ)/与

AHLDF,根据垂直平分线的性质，即可证得AG=A〃，由直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半，即可证得HG=%Z),根据等腰三角形的性质，即可得NCHG=NZMG.则

问题得解.

【详解】：四边形A8C。是正方形，

.,.AB^BC^CD^AD,ZB=ZBCD^90°,

;点E、F、"分别是A3、BC、CD的中点，

:.BE=CF,

BE=CF

在△2CE与△C。产中［NB=乙DCF,

BC=CD

.'./\BCE^/\CDF,(SAS),

/ECB=ZCDF,

■:NBCE+/ECD=90°,

：.ZECD+ZCDF=90°,

：.ZCGD=90°,

：.CE±DF,故①正确；

在Rt^CGD中，H是CD边的中点，

：.HG=^CD=^AD,故④正确；

连接AH,

同理可得：AH±DF,

1

■:HG=HD=^CD,

：.DK=GK,

・・・AH垂直平分。G,

：.AG=AD,故②正确；

・・・ZDAG=2ZDAH,

同理：ZVIDH之△DCF,

:.NDAH=NCDF,

'：GH=DH,

：.NHDG=ZHGD,

：.NGHC=ZHDG+ZHGD=2ZCDF,

：.ZCHG=ZDAG.故③正确.

故选：D.

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及

垂直平分线的性质等知识.此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思

想的应用.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上

11.计算：（有一2）2021（V5+2）2°21的结果是1.

【分析】根据积的乘方得到[（代-2）（V5+2）]2021,然后根据平方差公式计算.

【详解】原式=[（V5-2）（V5+2）]2021

=（5-4）2021

=1.

故答案为1.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、积的乘方与嘉的

乘方和平方差公式是解决问题的关键.

12.如图，菱形ABCD的面积为120,对角线AC与BD相交于点O,AC=24,则AD=13.

D

【分析】直接利用利用菱形面积公式可得DB的长，再利用菱形的性质结合勾股定理得

出AD的长.

【详解】•••菱形A8C。的面积为120,

11

.,.-AC・8D=怖X24X20=120,

22

解得3。=10,

:菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点。，

：.AO=CO,DO=BO,ACLBD,

VAC=24,BD=10,

：.AO=n,DO=5,

：.AD=y/AO2+DO2-13.

故答案为：13.

【点睛】此题主要考查了菱形的性质和勾股定理，正确得出2。的长是解题关键.

13.在Rt^ABC中，CD是斜边A8上的中线，且CZ)=5,则，于+/+松=200.

【分析】由直角三角形斜边上的中线可求得AB=10,再利用勾股定理可得AF+BCZ+AC2

=2AB2,进而可求解.

【详解】在RtZXABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=5,

.,.A2=2CD=10,

'：AB2=BC2+AC2,

：.AB2+BC2+AC1^2AB2^2X1()2=200.

故答案为：200.

【点睛】本题主要考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求得AF+BCZ+ACZUZAH

是解题的关键.

14.如图，在正方形4BCZ)的外侧作等边三角形CDE,则15°.

【分析】根据正方形性质得出NAOC=90°,AD=DC,根据等边三角形性质得出。E=

DC,ZEZ)C=60°,推出/AOE=150°,AD=ED,根据等腰三角形性质得出

/OEA,根据三角形的内角和定理求出即可.

【详解】•••四边形ABC。是正方形，

AZADC=90°,AD=DC,

•.•△CDE是等边三角形，

:.DE=DC,ZEDC^60°,

AZADE=900+60°=150°,AD=ED,

1

ZDAE=ZDEA=1(180°-ZADE)=15°,

故答案为：15°.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用

这些性质解决问题是本题的关键.

15.如图，在△ABC中，点。在边BC上，AB=AD,点E,点E分别是AC,8。的中点,

EF=25.则AC的长为5.

【分析】连接AR根据等腰三角形三线合一的性质可得AFLBD,在RtZVl/C中，再利

用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EF=14c.

【详解】连接AE

■：AB=AD,尸是BD的中点,

.,.AF1BD,

又是AC的中点，

；.EF=%C（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

：.AC=2EF,

'：EF=2.5,

；.AC=5.

故答案为:5.

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

16.如图，矩形ABC。的面积为20c/,对角线交于点。；以AB、A。为邻边作平行四边形

AOC1B,对角线交于点。1；以A3、A01为邻边作平行四边形A01C2B;…；依此类推,

则平行四边形AO4c58的面积为之.

8

1

【分析】根据矩形的性质求出△A08的面积等于矩形A3CO的面积的;，求出△A05的

面积，再分别求出△ABOi、△AB3、△4803、△43。4的面积，即可得出答案.

【详解】•••四边形ABC。是矩形，

：.AO=CO,BO=DO,DC//AB,DC=AB,

•♦S/\ADC:=S/\ABC=2s矩形ABCD=)X20■—10,

11

:.SAAOB=S^BCO=2s△A5C=2X10=5,

・115

•・S△ABO]=2x5=2，

•'•SXABOz~2sA4BO1=4>

SAABO3=^^ABO2~g'

=

SAAB<)42sAABO3=

•',S平行四边形AOfsB=2SAAB04=2Xyg=g

，』一，5

故答案为：

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的

关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等.

三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.计算：

(1)718++(V3-2)。+J(1—V^)2；

(2)(A/2+V3)2(5-2V6).

【分析】(1)直接利用二次根式的性质、零指数幕的性质分别化简得出答案；

(2)直接利用乘法公式分别化简得出答案.

【详解】(1)原式=3立+孚+1+/一1

11V2

=~~2~;

(2)原式=(5+2付X(5-2V6)

=25-24

=1.

【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图(1).如图(2),已知

云梯最多只能伸长到15根(即A8=C£)=15zn),消防车高3机，救人时云梯伸长至最长,

在完成从12m(即BE=12m)高的8处救人后，还要从15m(即DE=15m)高的。处

救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？(延长AC交。E于点

O,AO_LOE,点8在。E上，的长即为消防车的高3S).

(1)(2)

【分析】在RtZWB。中，根据勾股定理得到A。和0C,于是得到结论.

【详解】在RtzXAB。中，

■：AB=15m,08=12-3=9(m),

'.AO=7AB2—OB?=V152—92=12(m),

在Rt^COD中，

'：ZCOD=90°,CD=\5m,00=15-3=12(m),

：.0C=一。。2=Vi52_122=9(m),

：.AC=OA-(m),

答：AC为3优.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

19.在如图所示的4X4方格中，每个小方格的边长都为1

(1)在图(1)中画出长度为旧的线段，要求线段的端点在格点上；

(2)在图(2)中画出一个三条边长分别为3,2位，曲的三角形，使它的端点都在格点

【分析】(1)根据长为4,宽为1的长方形的对角线长为旧进行作图即可；

(2)可先画3的线段，根据勾股定理可得长为遥的线段是长为2,宽为1的矩形的对角

线，2a是边长为2的正方形的对角线，据此作图即可；

【详解】(1)如图1所示，线段即为所求；

(2)如图2所示，△(?£>£即为三条边长分别为3,2鱼，花的三角形.

【点睛】本题主要考查了无理数概念、勾股定理以及三角形有关知识的综合运用.解题

时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作

图的方法作图.

20.阅读下列内容：因为1<3<9,所以1<旧<3,所以8的整数部分是1,小数部分是

V3-1.试解决下列问题：

(1)求vn的整数部分和小数部分；

(2)若已知8+旧的小数部分是。，8-旧的整数部分是6,求•-3(1+46的值.

【分析】(1)估算无理数VTT的大小即可；

(2)估算无理数g,8+V13,8-旧的大小，确定外。的值，代入计算即可.

［详解］(1)VV9<V11<V16,

.,.3<VTT<4,

•••/立的整数部分是3,小数部分为E-3；

(2)V3<V13<4,

.•.11<8+V13<12,

.••8+JlI的小数部分a=8+g-ll=V正—3,

V3<V13<4,

-4<-V13<-3,

.•.4<8-V13<5,

••.8—g的整数部分是b=4,

ab-3〃+4。

=(V13-3)X4-3X(V13-3)+4X4

=4V13-12-3V13+9+16

=V13+13,

答：°6-3a+4b的值为例+13.

【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解决问题的前提，求出。、

b的值是正确解答的关键.

21.在平行四边形ABC。中，的平分线交直线BC于点E,交直线。C于点尺

因3

（2）若NABC=90°,G是所的中点（如图2）,求出NBOG的度数；

（3）若NABC=120°，FG//CE,FG=CE,分别连接。2、OG（如图3）,求N2OG的

度数.

【分析】（1）根据AF平分NRW,可得利用四边形ABC。是平行四边

形，求证/CE户=/尸即可.

（2）根据/ABC=90°,G是跖的中点可直接求得.

（3）延长AB、PG交于H,连接证四边形4印切为菱形得△AD8,△£）即为全等

的等边三角形，再证ABHD组AGFD得NBDH=/GDF,根据NBOG=

=/GDF+/HDG可得答案.

【详解】（1）如图b

图1

：A/平分/BAD

NBAF=ZDAF,

•/四边形ABCD是平行四边形,

：.AD//BC,AB//CD,

：.ZDAF=ZCEF,ZBAF=ZF,

：.ZCEF=ZF.

：.CE=CF.

(2)如图2,连接GC、BG,

•・•四边形A3c。为平行四边形，ZABC=90°,

・•・四边形A3CD为矩形，

TAb平分NBA。，

：.ZDAF=ZBAF=45°,

9：ZDCB=90°,DF//AB,

AZZ)M=45O,NEC尸=90°

:•△EC/为等腰直角三角形，

•；G为EF中点,

:・EG=CG=FG,CG.LEF,

•・・△ABE为等腰直角三角形，AB=DC,

：・BE=DC,

9：ZCEF=ZGCF=45°,

：.ZBEG=ZDCG=135°

在△8EG与△QCG中，

EG=CG

=乙DCG,

BE=DC

:•丛BEGQ丛DCG,

：.BG=DG,

VCG±EF,

•••NOGC+N0GA=90°,

又•：/DGC=/BGA,

.\ZBGA+ZZ)GA=90o,

・・・ADGB为等腰直角三角形，

；・/BDG=450.

(3)如图3,延长A3、FG交于H,连接“D

AD

图3

".'AD//GF,AB//DF,

四边形AHFD为平行四边形

VZABC=120°,AB平分NBA。

AZ£)AF=30°,ZADC=120°,ZDFA=30a

...△D4/为等腰三角形

：,AD=DF,

:.CE=CF,

平行四边形AMD为菱形

：.^ADH,△。叼'为全等的等边三角形

：.DH=DF,ZBHD=ZGFD=60°

'：FG=CE,CE=CF,CF=BH,

：.BH=GF

在△BHD与△GFD中，

DH=DF

VZSWD=乙GFD,

BH=GF

:.ABHD/AGFD,

：.ZBDH=ZGDF

：.ZBDG=ZBDH+ZHDG=ZGDF+ZHDG=60°.

【点睛】此题考查四边形的综合问题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的

判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领

会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.

22.如图，中，AB=2cm,AC=5cm,S^ABCD=Scm2,E点从8点出发，以1。"每

秒的速度，在A8延长线上向右运动，同时，点尸从。点出发，以同样的速度在C。延

长线上向左运动，运动时间为f秒.

(1)在运动过程中，四边形AECF的形状是平行四边形；

(2)t=1时,四边形AEC才是矩形；

(3)求当f等于多少时，四边形AECF是菱形.

FD

【分析】(1)由平行四边形的性质得出AB=CD=2cm,AB//CD,由已知条件得出CF

=AE,即可得出四边形AECT是平行四边形；

(2)若四边形AECF是矩形，贝U/AFC=90°,得出AFLC。，由平行四边形的面积得

出AP=4cm,在Rt^ACT中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

(3)当AE=CE时，四边形AEb是菱形.过C作CG_LBE于G,则CG=4c机，由勾

股定理求出AG,得出GE,由勾股定理得出方程，解方程即可.

【详解】(1)四边形AECF是平行四边形；理由如下：

•/四边形ABCD是平行四边形，

：.AB^CD^2cm,AB//CD,

J.CF//AE,

,:DF=BE,

：.CF=AE,

.•.四边形AECF是平行四边形；

故答案为：平行四边形；

(2)f=l时，四边形AECP是矩形；理由如下：

若四边形AEC尸是矩形，

AZAFC=90°,

C.AFLCD,

S^ABCD—CD'AF—8C7M2,

.\AF=4cm,

在RtZXACP中，AF1+CF2^AC1,

即42+(f+2)2=52,

解得：f=l,或f=-5(舍去)，

t=1；故答案为：1；

(3)依题意得：AE平行且等于CP,

四边形AECF是平行四边形，

故AE=CE时，四边形AECP是菱形.

又■:BE=tcm,

:.AE=CE=t+2(cm),

过C作CG_LBE于G,如图所示：

则CG=4an,

"."AG=Vi4C2—CG2=V52-42=3(cm),

GE=t+2-3=t-1(cm),

在ACGE中，由勾股定理得：CG2+GE2=CE2=AE2,

即42+(r-1)2=(t+2)2,

解得：仁景

即仁善时，四边形AEB是菱形.

O

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的判定、勾股定理等

知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键.

23.如图所示，在长方形ABC。中，BC-V2AB,/ADC的平分线交边BC于点E,AHX

DE于点H,连接C”并延长交边48于点孔连接AE交CP于点。

(1)求证：/AEB=/AEH；

(2)试探究。〃与EH的数量关系，并说明理由；

(3)若A8=2近，求△AW的面积.

【分析】(1)由DE平分/ADC知/AZ)H=45°.依据A//_LZ)E得2C=A£>=企

&AH=&AB,据此知再证RtZkABE丝Rt/VIHE即可得.

(2)由/即C=/£)EC=45°,NEC£)=90°知ED=球口=^HD,据此得必=即

-HD=V2HD-HD从而得出答案；

(3)先证EC=DC=DH=AH,从而求得NA族=/EC8=22.5°,证△AFH经AEHC

知两三角形面积相等，再进一步求的面积即可.

【详解】(1)在矩形4BCD中，AB=CD,AD=BC,

ZADC=ZBCD=ZBAD=ZB=90°.

：。£平分乙4。(7,

ZADH=45°.

;AH工DE,

ZAHD^90°.

：.BC=AD^五HD=&AH=y/2AB,

C.AB^AH.

又,/ZABE=ZAHE=90°

在RtAABE和RtAAHE中，

'：AB=AH,AE=AE,

.*.RtAAB£^RtAA//E(HL)