浙教版数学九年级上知识点及典型例题

浙教版初中数学九年级上知识点及典型例题

第一章：反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，形如y=：(k为常数，kWO)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k

是比例系数.

注意：(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；

(2)解析式有三种常见的表达形式：

k

[A)y二一(kW0)(B)xy二k〔kW0)〔C〕y=kx7(kWO)

x

同步训练：

1、函数y=(m+1)x混一2是反比例函数，那么印的值为.

2、变量y与X-5成反比例，且当x=2时y=9,写出y与x之间的函数解析式.

2、反比例函数的图像和性质

反比例函数y=-(k#0)的图象是由两个分支组成的曲线。当左>0时，图象在一、三象限:当左<0

X

时，图象在二、四象限。

k

反比例函数y=—(kWO)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。

x

3、反比例函数解析式确实定

确定及谀是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=e中，只有一个待定系数，因此只需要

x

一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

4、反比例函数中反比例系数的几何意义

k

过反比例函数y=—(左W0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN,那么所得的矩形PMON的

x

面积S二PM・PN=N•W=|xy|oy=—xy=k,S=\k\o

同步训练：

i.反比例函数y=V的图象与正比例函数Y=3X的图象，交于点A(1,m),那么m=，反比例

X

函数的解析式为，这两个图象的另一个交点坐标是.

2.(即%),(x2,%)，%)是反比例函数丁=’的图象上的三个点，并且

X

那么王，X2,冗3的大小关系是〔)

[A)xv<x2<x3；(B)x3>x1<x2；

[C)xx>x2>x3；(D)xx>x3<x2.

5、比拟正比例函数和反比例函数的性质

正比例函数反比例函数

解析式

y=kx(左w0)y=-(k^O)

图像直线双曲线

k>0,一、三象限；k>0,一、三象限

位置k<0,二、四象限k<0,二、四象限

k>0,在每个象限y随x的增

k>0,y随x的增大而增大大而减小

增减性k<0,y随x的增大而减小k<0,在每个象限y随x的增

大而增大

同步训练:

1、关于x的函数y=-1)和>=-幺(AWO),它们在同一坐标系内的图象大致是1)

x

2、反比例函数y=■的图象与一次函数丁=履+根的图象相交于点(2,1).

(1)分别求这两个函数的解析式.

⑵试判断点P(-l,-5)关于x轴的对称点P是否在一次函数丁=丘+根的图象上.

第二章：二次函数

1、二次函数定义：一般地，如果y=〃/+/zx+c(a,Z?,c是常数，awO),那么y叫

做工的二次函数.

2、二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：y=a/+A%+是常数，。。0)

[2)顶点式：y=。(九一/z)2+左(〃,小人是常数，qwO)

[3)当抛物线y=。%2+/^+。与x轴有交点时，即对应二次好方程以2+"+。=。有实根玉和

2

%存在时，根据二次三项式的分解因式a—+Z?x+c=a(x-xx)(x-x2),二次函数y=ax+/?%+c可

转化为两根式y=a(九-玉)(%-/)。如果没有交点，那么不能这样表示。

3、二次函数y=a/+法+。的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴

的抛物线.

4>二次函数y=ax1+bx+c用配方法可化成：y=a(x-hf+左的形式，其中

7b74ac-b2

n—----，k—--------.

2a4〃

5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=。必；②>左；③丁;。々—。)2；④

y=a(x-hf+k；⑤y=ax2+bx+c.

6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①。的符号决定抛物线的开口方向：

当〃>0时，开口向上；

当〃<0时，开口向下；

时相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作了=/?.特别地，y轴记作直线

x=0.

7、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数。相同，那么抛物线的开口方向、开

口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8、求抛物线的顶点、对称轴的方法

4acb

11）公式法：y=ajc+bx+c=cix+^\+~~,顶点是（—_L,如二至），对称轴是

V2a）4。2a4。

直线x=——.

2a

[2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x—左的形式，得到顶点为（心女），

对称轴是直线％=/?.

13）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分

线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9、抛物线y=ax?+6x+c中，a,仇c的作用

11）a决定开口方向及开口大小，这与y=a/中的。完全一样.

〔2〕人和。共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线丁=。必+6x+c

的对称轴是直线工=-b二，故：

2a

①〃=0时，对称轴为y轴；

b

②一>0〔即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；

a

b

③一<0〔即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

a

13）c的大小决定抛物线y=ax2+/zx+c与y轴交点的位置.

当％=。时，y=c,，抛物线y=a%2+》x+c与》轴有且只有一个交点〔0,。）：①。=（）,

抛物线经过原点；②c>。，与y轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半轴.

b

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，那么一<0.

a

10、几种特殊的二次函数的图像特征如下:

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y=ax1%二01y轴)[0,0)

当a>0时

y=ax1+kx=0〔y轴)(0,k)

开口向上

x-h(A,0)

y=a(x-hf当a<0时

y—a(x-hf-\-k开口向下x-h(A,k)

b

y=ax1+bx+cx=-----b4ac-b2

2a(,)

2a4a

11、用待定系数法求二次函数的解析式

m一般式：y=a%2+6x+c.图像上三点或三对X、>的值，通

常选择一般式.

12)顶点式：y=a(x—〃)2+匕图像的顶点或对称轴，通常选择

顶点式.

13)交点式：图像与x轴的交点坐标修、%2,通常选用交点式：

y=a(x-X1)(x-芍).

12.、直线与抛物线的交点

⑴y轴与抛物线y=ax?+6x+c得交点为(0,c).

⑵与y轴平行的直线％=7/与抛物线y=ax1+6x+c有且只有一个交点(丸，a/z?+bh+c).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数〉=。必+6x+c的图像与x轴的两个交点的横坐标修、龙2，是对应一元二次方程

ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判

别式判定：

①有两个交点。A>0o抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在％轴上)oA=00抛物线与x轴相切；

③没有交点oA<0o抛物线与x轴相离.

[4）平行于无轴的直线与抛物线的交点

同13）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设

纵坐标为左，那么横坐标是a/+Zw+c=上的两个实数根.

⑸一次函数y=左％+”（左H0）的图像/与二次函数_y=ax?+6x+c（aw0）的图像G的交点，由方

y=左元+n

程组2\的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时o/与G有两个交点；

y=ax+@x+c

②方程组只有一组解时o/与G只有一个交点；③方程组无解时o/与G没有交点.

16）抛物线与X轴两交点之间的距离：假设抛物线>=以2+6X+C与X轴两交点为

A（尤i，0）,B（X2,0）,由于修、乙是方程以？+bx+c=0的两个根，故

同步训练：

1、函数y=/+6x—3的图像经过点（2,-3）

（1）求这个函数解析式。

（2）求图像与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，并画出函数大致的图像。

（3〕当x22时，求y的取值范围。

2、函数y=—ax+双a/0）的图像经过一、二、四象限，那么函数y=+法的图像必不经过第象

限。

3、抛物线y=+bx+c与直线丁=依+。在同一平面直角坐标系中的图像大致是1）

第三章：圆的根本性质

（一）圆的定义

在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做

圆.定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径.以点O为圆心的圆，记作“。O”，读作“圆O”.

（二）圆的有关概念

弦直径圆弧半圆劣弧优弧等圆同心圆//T/V\x\

11）连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图BC.经过圆心的弦是直/\径，图中的

ABo直径等于半径的2倍.V_________V

12）圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧.弧用符号表示.小/“于半圆的弧叫

做劣弧，如图中以B、C为端点的劣弧记做“”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如

图中的.

（3）半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆.例如，图中的。O1和。02是

等圆.

圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。

说明：圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长；反讨来，到圆心的距离等于半径长的点必定

在圆上.即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。

例在A地往北80m的B处有一幢房，西100m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有古建筑.因

施工需要在A处进行一次爆破，为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制

在什么范围内？

（三）三点确定一个圆？

1：经过一个点A能作多少个圆？

结论：经过一个点A能作无数个圆！

2：经过两个点A,B能作多少个圆？

结论：经过两个点A,B能作无数个圆！

讨论1：把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形？

讨论2：这条直线的位置能确定吗？怎样画这条直线？

3：经过三个点A、B、C能作多少个圆？

讨论1：怎样找到这个圆的圆心？

讨论2：这个圆的圆心到点A、B、C的距离相等吗？为什么？即OA=OB=OC

结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆

（四）平面上点与圆的位置关系

一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：

d<rP在圆内

d=rP在圆上

d>rP在圆外.

（五）圆的有关概念

定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做

圆的内接三角形.

举例、1：OO是4ABC的外接圆，4ABC是。O的内接三角形，点O是AABC的外心即外接圆的圆心。

2：三角形的外心是AABC三条边的垂直平分线的交点.

2：练一练

a：以下命题不正确的选项是（）

A.过一点有无数个圆.B.过两点有无数个圆.

C.弦是圆的一局部.D.过同一直线上三点不能画圆.

b：三角形的外心具有的性质是（）

A.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.

C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.

知识小结

1：不在同一直线上的三点确定一个圆。

----你知道是怎样的三点吗？

2：画圆或圆弧的圆心是在圆或圆弧上先取三点,连成两条线段，再做两线段的垂直平分线，那么其交点即为

所求的圆心。

——你会画了吗？

3：三角形的外接圆，圆的内接三角形、外心的概念

----你会区分吗？

（六）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

推论1

⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.

例一条排水管的截面如下图.排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,求截面圆心O到水面的距离OC.

1.。。的半径为13,一条弦的AB的弦心距为5,那么这条弦的弦长等七/一、

2.如图，AB是。0的中直径，CD为弦，CD_LAB于E,那么以下结论中不一定成立的是0

A.ZCOE=ZDOEB.CE=DEC.OE=BED.BD=BC

3.过。O内一点M的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OM长为〔）

A.3B.6cmC.cmD.9cm

4.如图，。。的直径为10,弦AB长为8,M是弦AB上的动点，那么OM的长的取值范围是（）

A.3WOMW5B.4WOMW5c.3<OM<5D.4<OM<5

5.OO的半径为10,弦AB//CD,AB=12,CD=16,求AB和CD的距离

注：要分两种情况讨论：〔1〕弦AB、CD在圆心。的两侧；〔2〕弦AB、CD在圆心。的同侧.

（七）、圆心角定理

1、圆心角定理

1、顶点在圆心的角，叫圆心角

2、圆的旋转不变性：

圆绕圆心旋转任意角a,都能够与原来的圆重合。

3、圆心到弦的距离,叫芯如随

2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相

等。

：如图，AB、CD是。0的两条弦，0E、0F为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：

如果/AOB=/COD,那么

3、圆心角定理的

逆命题1：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

逆命题2:在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等。

逆命题3:在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等，弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。

一般地，圆有下面的性质

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中

有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等。

例：如图，等边三角形ABC内接于。0,连结OA,OB,OC.

⑴/AOB、/COB、/AOC分别为多少度？

⑵延长A0,分别交BC于点P,弧BC于点D,连结BD,CD.判断三角形。B

D是哪一种特殊三角形？

⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。

⑷假设。0的半径为r,求等边ABC三角形的边长？

⑸假设等边三角形ABC的边长r,求。0的半径为多少？

当「二2有时求圆的半径？

1八）、圆周角定理

1、圆周角定义:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.

特征：①角的顶点在圆上.

②角的两边都与圆相交.

2、圆心角与所对的弧的关系

3、圆周角与所对的弧的关系

4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系

2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

例、如图；四边形ABCD的四个顶点在。0上。

求证；ZB+ZD=180°

说明圆的内接四边形的对角互补

测验

1.100°的弧所对的圆心角等于,所对的圆周角等于o

2、一弦分圆周角成两局部，其中一局部是另一局部的4倍，那么这弦所对的圆周角度数为

3、如图，在。O中，ZBAC=32°,那么/BOC=

4、如图，。。中，NACB=130。，那么NAOB=。

5、以下命题中是真命题的是（）

〔A〕顶点在圆周上的角叫做圆周角。

（B）60。的圆周角所对的弧的度数是30°

［C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。

1D）120。的弧所对的圆周角是60。

（九）弧长及扇形的面积

一、复习

1.圆的周长如何汁算？

2,圆的面积如何计算？

3.圆的圆心角是多少度？

假设圆的半径为r,那么周长l=2mr,面积S=mr2,圆的圆心角是360。.

二、弧长的计算公式

360。的圆心角对应圆周长2nR,那么1°的圆心角对应的弧长为工处=空，n。的圆心角对应的弧长

360180

应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即nx变=4空.

180180

在半径为R的圆中，n。的圆心角所对的弧长（arclength）的计算公式为：

n7iR

L=----.

180

例、制作弯形管道时，需要先按中心线计算、、展直长度〃再下料，试计算以下图中管道的展直长度，即弧

AB的长（结果精确到0.1mm）.

（十）圆锥的侧面积和全面积

1、圆锥有哪些特征？

答：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点

到底面圆的距离是圆锥的高。

2、扇形的半径其实是圆锥的什么线段？

［扇形的弧长是底面圆的周长，即I痢形的半径。就是圆锥的母线］

由于§制场前半径那么展开图扇形的弧长，圆锥母线那么展开图扇形的半径，因此展开图扇形的

面积可求，而辞扇形的面积实质就是圆锥的侧面积，因此圆锥的侧面积也就可求.当然展开图扇形的

圆心角也可求.

练习

1.如果圆柱底面半径为4cm,它的侧面积为g融东搠柱的母线长为.

2.圆锥的底面半径为2cm,高为君cm,那么这个圆锥外表积

3一个扇形，半径为30cm,圆心角为120度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个

圆锥的底面半径为_________________

4.圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是

5.如图圆锥的轴截面三角形ABC上等边三角形，它的外表积为75派CM2,求圆锥的底面半

径和母线的长A

第四章：相似三角形/\

1.比例线段的有关概念：/\

1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么这四个数成曲/•f

2.a、b、c、d四个实数成比例，可表示成a:b=c:d或?三，其

bd

中b、c叫做内项，a、d叫做外项。

3.根本性质:?=7<=>ad=bc（a、b、c、d都不为零）

bd

重要方法：

1.判断四个数a、b、c、d是否成比例，

方法1:计算a:b和c:d的值是否相等；

方法2:计算ad和be的值是否.相等，（利用ad=bc推出1号）

bd

2.=7<=>?=7”的比例式之间的变换是抓住实质ad=bco

cdbd

3.记住一些常用的结论：

ac_a+bc+daa+c

bd>bd，bb+d°

4.两条线段的长度的比叫做两条线段的比。

5.四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即［当,那么这四条线段a、b、c、

ba

d叫做成比例线段，简称比例线段。

6.黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC,使AC2=AB・BC,叫做把线段AB黄金分割，C叫做线

段AB的黄金分割点。

2.相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，

那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

3.相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等

②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都

等于相似比

④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

5、相似多边形

1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比..

2、相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

6.位似图形的概念

如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做

位似图形，这个点叫做位似中心.

各对应点所在的直线都经过同一点的相似图形是位似图形。其相似比又叫做它们的位似比.

显然，位似图形是相似图形的特殊情形。

位似图形的性质：

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

同步训练：

1.11）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A、B两城市的距离是7.5厘米，

那么A、B两城市的实际距离是千米。

（2）小芳的身高是1.6m,在某一时刻，她的影子长2m,此刻测得某建筑物的影长是18米，那

么此建筑物的高是米。

2.三角形三条边之比为a：b：c=2：3：4,三角形的周长为18cm,求各边的长。

3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

※学习小结

璃子学习评价

双百莪而7春免采钱节学案的情况为（）.

A.很好B.较好C.一般D.较差

※当堂检测（时量：5分钟总分值：10分）计分：

Z课后作业

--选择题

1.假设f=2,那么竺的值等于（）

b3b

525

A、一B、一C、一D、5

352

2.点P〔-2,3）在反比例函数y=&上，那么k的值等于1）

X

A、6B、-6C、5D、1

3.抛物线y=2（x-I）2-3的对称轴是直线（）

A、x=2B、x=lC、x=-1D、x=-3

4.下面给出了相似的一些命题：（）

⑴菱形都相似（2）等腰直角三角形都相似

〔3）正方形都相似（4）矩形都相似15）正六边形都相似

其中正确的有A.2个B.3个C.4个D.5个

5、在行程问题中，路程s〔千米）一定时，速度v〔千米/时）关于时间t（小时）的函数关系的大致图

像是〔〕

6.以下四条

C.a=A/3,b=2,c=3,d=V2D.a=l,b=V2,c=V6,d=V3

7、按如下方法，将AABC的三边缩小的原来的!，如图，任取一点O,

2

连AO、BO、CO,并取它们的中点D、E、F,得ADEF,那么以下说法正确的个数是〔）

①AABC与4DEF是位似图形

②4ABC与4DEF是相似图形

③4ABC与4DEF的周长比为1:2

@AABC与4DEF的面积比为4:1

A、1B、2C、3D、4

x=l

8、二次函数y=ax~+bx+c的图象如下图，对称轴x=l,以下结论中，正确的选项是〔）

A、ac>0B、b<0

C、b2-4ac<0D、2a+b=0

二、填空题