2024届河北省衡水市安平中学高三冲刺模拟数学试卷含解析

2024届河北省衡水市安平中学高三冲刺模拟数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知，若则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（）A． B． C． D．4．双曲线：（），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．5．已知向量，且，则m=()A．−8 B．−6C．6 D．86．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（）A． B．2 C． D．7．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（）A．2或 B．2或 C．或 D．或8．已知实数满足约束条件，则的最小值为（）A．-5 B．2 C．7 D．119．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④10．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则11．若向量，，则与共线的向量可以是（）A． B． C． D．12．若的内角满足，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则=__________．14．若实数满足约束条件，设的最大值与最小值分别为，则_____．15．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为____________.16．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求直线和曲线的普通方程；（2）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求；②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.18．（12分）已知椭圆：（）的离心率为，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于，两点，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的上顶点，求的面积；（2）若，分别为椭圆的左、右顶点，直线，，的斜率分别为，，，求的值.19．（12分）如图，湖中有一个半径为千米的圆形小岛，岸边点与小岛圆心相距千米，为方便游人到小岛观光，从点向小岛建三段栈道，，，湖面上的点在线段上，且，均与圆相切，切点分别为，，其中栈道，，和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧（圆上实线部分）上再修建栈道.记为.用表示栈道的总长度，并确定的取值范围；求当为何值时，栈道总长度最短.20．（12分）已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数只有一个零点，求正实数的值.21．（12分）已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，求的值．22．（10分）已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且．证明：直线与圆相切；求面积的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.【详解】，且，，.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.2、C【解析】

根据，得到有解，则，得，，得到，再根据，有，即，可化为，根据，则的解集包含求解，【详解】因为，所以有解，即有解，所以，得，，所以，又因为，所以，即，可化为，因为，所以的解集包含，所以或，解得，故选：C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题，3、C【解析】

利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值.【详解】因为，且，所以.故选：C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果.4、B【解析】

首先求得双曲线的一条渐近线方程，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出，进而求出渐近线的方程.【详解】设左焦点为，一条渐近线的方程为，由左焦点到渐近线的距离为2，可得，所以渐近线方程为，即为,故选：B【点睛】本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.5、D【解析】

由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．6、D【解析】

将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得的值.【详解】∵所以展开式中的系数为，∴解得.故选：D.【点睛】本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.7、A【解析】

根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．【详解】设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得：，得双曲线的一条渐近线的方程为∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：

①当焦点在x轴上时有：②当焦点在y轴上时有：∴求得双曲线的离心率2或．

故选：A．【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．8、A【解析】

根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值.【详解】由约束条件，画出可行域如图变为为斜率为-3的一簇平行线，为在轴的截距，最小的时候为过点的时候，解得所以，此时故选A项【点睛】本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.9、A【解析】

由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；,,则,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.10、C【解析】

根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.【详解】对于，当为内与垂直的直线时，不满足，错误；对于，设，则当为内与平行的直线时，，但，错误；对于，由，知：，又，，正确；对于，设，则当为内与平行的直线时，，错误.故选：.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.11、B【解析】

先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.【详解】故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.12、A【解析】

由，得到，得出，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由题意，角满足，则，又由角A是三角形的内角，所以，所以，因为，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代入表达式，结合对数式的化简即可求解.【详解】等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则，由等比数列通项公式可知，所以，解得或（舍），所以由对数式运算性质可得，故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的简单应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题.14、【解析】

画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得的比值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线过点时，取得最大值7；过点时，取得最小值2，所以.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15、【解析】

由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【详解】设圆锥的底面半径为，体积为，半球的体积为，水（小圆锥）的体积为，如图则，所以，，解得，所以，，，由，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.16、（1），；（2），.【解析】

（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得.【详解】（1）直线的普通方程为.在曲线的参数方程中，，所以曲线的普通方程为.（2）设点.点到直线的距离.当时，，所以点到直线的距离的最小值为.此时点的坐标为.【点睛】本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）分布列见解析；（2）①；②，.【解析】

（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，，，，∴的分布列为：－101（2）由（1），，同理，经过2轮投球，甲的得分取值：记，，，则，，，，由此得甲的得分的分布列为：－2－1012∴，∵，，∴，，∴，代入得：，∴，∴数列是等比数列，公比为，首项为，∴．∴．【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．18、（1）（2）【解析】

（1）根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点，由此求得，结合椭圆离心率求得，进而求得，从而求得椭圆的标准方程，求得椭圆上顶点的坐标，由此求得直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程，求得两点的纵坐标，由此求得的面积.（2）求得两点的坐标，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，由此求得的值，根据在椭圆上求得的值，由此求得的值.【详解】（1）因为抛物线的焦点坐标为，所以椭圆的右焦点的坐标为，所以，因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以，故椭圆的标准方程为.其上顶点为，所以直线：，联立，消去整理得，解得，，所以的面积.（2）由题知，，，设，.由题还可知，直线的斜率不为0，故可设：.由，消去，得，所以所以，又因为点在椭圆上，所以，所以.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点，椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆，三角形的面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.19、，；当时，栈道总长度最短.【解析】

连，，由切线长定理知：，，，，即，，则，，进而确定的取值范围；根据求导得，利用增减性算出，进而求得取值.【详解】解：连，，由切线长定理知：，，，又，，故，则劣弧的长为，因此，优弧的长为，又，故，，即，，所以，，，则；，，其中，，-0+单调递减极小值单调递增故时，所以当时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）把转化成，令，由题意得，即证明恒成立，通过导数求证即可（2）直接求导可得，，令，得或，故根据0与的大小关系来进行分类讨论即可【详解】证明：（1）令，则.分析知，函数的增区间为，减区间为.所以当时，.所以，即，所以.所以当时，.解：（2）因为，所以.讨论：①当时，，此时函数在区间上单调递减.又，故此时函数仅有一个零点为0；②当时，令，得，故函数的增区间为，减区间为，.又极大