2023-2024学年吉林省长春新区中考四模数学试题含解析

2023-2024学年吉林省长春新区中考四模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.二次函数y=-x2-4x+5的最大值是（）

A.-7B.5C.0D.9

2.在Rt2kABC中，ZACB=90°,AC=12,BC=9,D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为

半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（）

A.r<5B.r>5C.r<10D.5<r<10

3.已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周.设点P运动的时间为x,

线段AP的长为y.表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是（）

4.在平面直角坐标系内，点P（a,a+3）的位置一定不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.如图是二次函数y=ax?+bx+c的图象，其对称轴为x=L下列结论：①abc>0；②2a+b=0；（3）4a+2b+c<0；

④若（一：，yi）,（二y2）是抛物线上两点，则yi<y2,其中结论正确的是（）

A.①②B.②③C.②④D.①③④

6.一、单选题

如图，△ABC中，AB=4,AC=3,BC=2,将△ABC绕点A顺时针旋转60。得到△AED,则BE的长为（）

C.3D.2

7.如图，△OABs/\oCD,OA：OC=3：2,ZA=a,ZC=p,△OAB与△OCD的面积分别是Si和S2,△OAB

与4OCD的周长分别是G和C2,则下列等式一定成立的是（)

OB3a3s,3G3

A.----=一B.—c-=—D.—L=-

■S2

CD2B22C22

8.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得/ABC=a,ZADC=0,贝!I竹竿AB与AD的长度之比为（

)

cos/?

cosa

9.用配方法解方程X2-4X+1=0,配方后所得的方程是()

A.(x-2)2=3B.(x+2)2=3C.(x-2)2=-3D.(x+2)2=-3

10.如果将抛物线一向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是

A-3=0a+JB.——--c-口=(0+厅D-0=

11.从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（）

⑵一元二次方程的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.若二次函数y=一炉―4x+A:的最大值是9,则k=.

14.下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，通常新手的成绩不太确定，根据图中的信息，估计这两

人中的新手是.

15.在今年的春节黄金周中，全国零售和餐饮企业实现销售额约9260亿元，比去年春节黄金周增长10.2%,将9260

亿用科学记数法表示为.

16.二次根式厅7在实数范围内有意义，x的取值范围是.

17.如图，AB是圆O的直径，弦CDLAB,ZBCD=30°,CD=4则S阴影=

18.现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，天猫和淘宝的支付交易额突破67000000000元，将67000000000

元用科学记数法表示为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）先化简，再求值：（_一工）+上，其中x=-L

x-2x+lxx-1

20.（6分）有A、B两组卡片共1张，A组的三张分别写有数字2,4,6,B组的两张分别写有3,1.它们除了数字

外没有任何区别，随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表

或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则

乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？

21.（6分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E,交BA的延长线点F.问：

图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；求证：AAPEsaEPA；猜想：线段PC,PE,PF之间存在什么关系？

并说明理由.

22.（8分）为了丰富校园文化，促进学生全面发展.我市某区教育局在全区中小学开展“书法、武术、黄梅戏进校园”

活动.今年3月份，该区某校举行了“黄梅戏”演唱比赛，比赛成绩评定为A,B,C,D,E五个等级，该校部分学生

参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题.

（1）求该校参加本次“黄梅戏”演唱比赛的学生人数；

（2）求扇形统计图B等级所对应扇形的圆心角度数；

（3）已知A等级的4名学生中有1名男生，3名女生，现从中任意选取2名学生作为全校训练的示范者，请你用列表

法或画树状图的方法，求出恰好选1名男生和1名女生的概率.

23.（8分）某农场用2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割

机同时工作5小时共收割小麦8公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

24.（10分）如图，分别以线段AB两端点A,B为圆心，以大于‘AB长为半径画弧，两弧交于C,D两点，作直线

2

CD交AB于点M,DE〃AB,BE〃CD.

（D判断四边形ACBD的形状，并说明理由;

(2)求证：ME=AD.

25.（10分）某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计

图，请结合图中相关数据解答下列问题：

有L来自七年级，有L来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书

44

法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.

26.（12分）列方程解应用题：某景区一景点要限期完成，甲工程队单独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6

天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，则工程期限为多少天？

27.（12分）如图1,在菱形ABC。中，AB=6小，tan/A8C=2,点E从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿

着射线04的方向匀速运动，设运动时间为秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角a（a=NBC。），得到对应

线段C足

（1）求证：BE=DF；

（2）当/=秒时，OF的长度有最小值，最小值等于；

（3）如图2,连接50、EF、BD交EC、E尸于点尸、Q,当f为何值时，AEPQ是直角三角形?

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1,D

【解析】

直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案.

【详解】

y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9,

即二次函数y=-x2-4x+5的最大值是9,

故选D.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的最值，正确配方是解题关键.

2、D

【解析】

延长CD交。D于点E,

VZACB=90°,AC=12,BC=9,/.AB=7AC2+BC2=15»

是AB中点，/.CD=-AB=—,

22

2

是AABC的重心,.*.CG=-CD=5,DG=2.5,

3

CE=CD+DE=CD+DF=10,

•••0C与。D相交，。(:的半径为一

5<r<10,

故选D.

【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG的长是

解题的关键.

3、A

【解析】

解：分析题中所给函数图像，

0-E段，AP随X的增大而增大，长度与点尸的运动时间成正比.

E-F段,AP逐渐减小，到达最小值时又逐渐增大，排除C、D选项,

b-G段，AP逐渐减小直至为0,排除B选项.

故选A.

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解

决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

4、D

【解析】

判断出P的横纵坐标的符号,即可判断出点P所在的相应象限.

【详解】

当a为正数的时候,a+3一定为正数,所以点P可能在第一象限,一定不在第四象限,当a为负数的时候,a+3可能为正数，

也可能为负数，所以点P可能在第二象限,也可能在第三象限，

故选D.

【点睛】

本题考查了点的坐标的知识点，解题的关键是由a的取值判断出相应的象限.

5、C

【解析】

试题分析：根据题意可得：a；0,b0,c>0,则abc二0,则①错误；根据对称轴为x=l可得：-三=1,则-b=2a,即

2a+b=0,则②正确；根据函数的轴对称可得：当x=2时，y>0,即4a+2b+c>0,则③错误；对于开口向下的函数，离

对称轴越近则函数值越大，则二Z；,则④正确.

点睛：本题主要考查的就是二次函数的性质，属于中等题.如果开口向上，则a>0,如果开口向下，则a<0；如果对称

轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果题目中出现2a+b和2a-b

的时候，我们要看对称轴与1或者-1的大小关系再进行判定；如果出现a+b+c,则看x=l时y的值；如果出现a-b+c,

则看x=-l时y的值；如果出现4a+2b+c,则看x=2时y的值，以此类推；对于开口向上的函数，离对称轴越远则函数

值越大，对于开口向下的函数，离对称轴越近则函数值越大.

6、B

【解析】

根据旋转的性质可得AB=AE,ZBAE=60°,然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可

得BE=AB.

【详解】

解：；AABC绕点A顺时针旋转60。得到△AED,

/.AB=AE,ZBAE=60°,

/.△AEB是等边三角形，

/.BE=AB,

VAB=1,

/.BE=1.

故选B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义.

7、D

【解析】

A选项，在AOABs^ocD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立;

B选项，在AOABsaocD中，NA和NC是对应角，因此£=〃，所以B选项不成立；

C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；

D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.

故选D.

8、B

【解析】

在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；

【详解】

*AC

在RtAABC中，AB=-------,

sina

在RtAACD中，AD=——

sinp

.ACACsin/?

••AB：AD=------：~~~~------f

sinasinpsina

故选B.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题.

9、A

【解析】

方程变形后，配方得到结果，即可做出判断.

【详解】

方程%2-4%+1=0，

变形得：X2-4X=-1»

2

配方得：X-4X+4=-1+4,即(X-2)2=3,

故选A.

【点睛】

本题考查的知识点是了解一元二次方程-配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式.

10、D

【解析】

本题主要考查二次函数的解析式

【详解】

解：根据二次函数的解析式形式可得，设顶点坐标为(h,k),则二次函数的解析式为，一_二由原抛物线解析

式,一「可得a=L且原抛物线的顶点坐标为(0,0),向右平移1个单位后的顶点坐标为(1,0),故平移后的解析式为

y=(x一厅.

故选D.

【点睛】

本题主要考查二次函数的顶点式，根据顶点的平移可得到二次函数平移后的解析式.

11、B

【解析】

考点：概率公式.

专题：计算题.

分析：根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；

②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.解答：解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数,

共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，

故概率为2/6="1/”3.

故选B.

点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，

那么事件A的概率P(A)="m"/n.

12、B

【解析】

试题解析：在方程4x2-2x+=0中，△=(-2)2-4X4X^=0,

4

一元二次方程4x2_2x+l=0有两个相等的实数根.

4

故选B.

考点：根的判别式.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、5

【解析】y=-(x-2)2+4+k,

•.•二次函数y=-x2-4x+k的最大值是9,

.\4+k=9,解得：k=5,

故答案为：5.

14、甲.

【解析】

根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数

据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越大，数据不稳定，则为新手.

【详解】

•.•通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，

甲的方差大于乙的方差.

故答案为：甲.

【点睛】

本题考查的知识点是方差，条形统计图，解题的关键是熟练的掌握方差，条形统计图.

15、9.26X1011

【解析】试题解析:9260亿=9.26x1011

故答案为：9.26X1011

点睛：科学记数法的表示形式为axlO”的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小

数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1

时，n是负数.

16、x<l

【解析】

根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可.

【详解】

解：由题意得，1-xK),

解得，x<l,

故答案为x<l.

【点睛】

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键.

17、

【解析】

根据垂径定理求得—--.一_二一_—一-“3•然后由圆周角定理知NDOE=60。，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的

长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB-SADOE+SABEC.

【详解】

如图，假设线段C。、AB交于点E,

A

'：AB是O的直径，弦CDLAB,IO.'|

B

又；二二二二一

•・•二二二二I=二二二二二=6ff,~二匚二=3r.

：・S阴影=S扇形ODB—S&DOE+SABEC__-

-ftt-c.、a也

T口口X:口□□□=Ar*+2VJ=1T.

71SJ

故答案为:「

fu

【点睛】

考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.

18、6.7xlO10

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中iw|a卜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动

了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

【详解】

67000000000的小数点向左移动10位得到6.7,

所以67000000000用科学记数法表示为6.7x101°,

故答案为：6.7xlO10.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中l<|a|<10,n为整数，表示时关键要正

确确定a的值以及n的值.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、-2.

【解析】

根据分式的运算法化解即可求出答案.

【详解】

fcnr-c；,X+1l、c/,、%2+1

解：原式=(------)?(x-l)=------,

x-1XX

当x=T时，原式=(Djl=_2.

【点睛】

熟练运用分式的运算法则.

20、(1)P(抽到数字为2)=；；(2)不公平，理由见解析.

【解析】

试题分析：(1)根据概率的定义列式即可；(2)画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而

得解.

试题解析：(DP=J;

3

(2)由题意画出树状图如下：

开始

一共有6种情况，

42

甲获胜的情况有4种，P=-=-,

63

21

乙获胜的情况有2种，P=~=~,

63

所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平.

考点：游戏公平性；列表法与树状图法.

21、(1)ACPD.理由参见解析；(2)证明参见解析；(3)PC2=PE«PF.理由参见解析.

【解析】

(1)根据菱形的性质，利用SAS来判定两三角形全等；(2)根据第一问的全等三角形结论及已知，利用两组角相等

则两三角形相似来判定即可；(3)根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论.

【详解】

解：(1)4APDgZXCPD.

理由：•..四边形ABCD是菱形，

，AD=CD,ZADP=ZCDP.

又；PD=PD,.,.△APD^ACPD(SAS).

(2)VAAPD^ACPD,

NDAP=NDCP,

；CD〃AB,

:.NDCF=NDAP=NCFB,

XVZFPA=ZFPA,

••.△APE-AFPA(两组角相等则两三角形相似).

(3)猜想:PC2=PE«PF.

理由：,/△APE^AFPA,

APPE,

—=——即anPA2=PE«PF.

FPPA

,.'△APD^ACPD,

/.PA=PC.

/.PC2=PE«PF.

【点睛】

本题考查1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定；3.菱形的性质，综合性较强.

22、(1)50；(2)115.2°；(3)1

.

【解析】

（1）先求出参加本次比赛的学生人数；（2）由（1）求出的学生人数，即可求出B等级所对应扇形的圆心角度

数；（3）首先根据题意列表或画出树状图，然后由求得所有等可能的结果，再利用概率公式即可求得答

案.

解：（1）参加本次比赛的学生有：-二…（人）

（2）B等级的学生共有："-二；：=-（人）.

二所占的百分比为：工-"二立2

.•.B等级所对应扇形的圆心角度数为：州产

（3）列表如下：

男女1女2女3

男---（女，男）（女,男）（女，男）

女1（男，女）---（女，女）（女，女）

女2（男，女）（女，女）---（女，女）

女3（男,女）（女，女）（女，女）---

•.•共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种.

AP（选中1名男生和1名女生）=.=■.

“点睛”本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A

或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.通过扇形统计图求出扇形的圆心角度数，应用数形

结合的思想是解决此类题目的关键.

23、1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4hm2和0.2hm2.

【解析】

此题可设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题中的等量关系列出二元一次方程组

解答即可

【详解】

设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷

22x+5y=3.6

根据题意可得｛

5（3x+2y）=8

答：每台大小收割机每小时分别收割0.4公顷和0.2公顷.

【点睛】

此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键在于弄清题意，找到合适的等量关系

24、（1）四边形ACBD是菱形；理由见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意得出4。=3。=5£>=人£>,即可得出结论；

（2）先证明四边形MOM是平行四边形，再由菱形的性质得出N5ND=90。，证明四边形AC3D是矩形，得出对

角线相等=即可得出结论.

【详解】

（1）解：四边形ACBD是菱形；理由如下：

根据题意得：AC=BC=BD=AD,

...四边形ACBD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）；

（2）证明：VDE/7AB,BE〃CD,

二四边形BEDM是平行四边形，

•.•四边形ACBD是菱形，

.\AB±CD,

:./BMD=90°,

.••四边形ACBD是矩形，

.*.ME=BD,

VAD=BD,

/.ME=AD.

【点睛】

本题考查了菱形的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定与性质，并能进

行推理结论是解决问题的关键.

25、（1）答案见解析；（2）1.

【解析】

【分析】（1）根据参与奖有10人，占比25%可求得获奖的总人数，用总人数减去二等奖、三等奖、鼓励奖、参与奖

的人数可求得一等奖的人数，据此补全条形图即可；

（2）根据题意分别求出七年级、八年级、九年级获得一等奖的人数，然后通过列表或画树状图法进行求解即可得.

【详解】（1）104-25%=40（人），

获一等奖人数：40-8-6-12-10=4（人），

补全条形图如图所示：

/.九年级获一等奖人数：4-1-1=2（人），

七年级获一等奖的同学用M表示，八年级获一等奖的同学用N表示,

九年级获一等奖的同学用Pl、P2表示，树状图如下：

开始

MNPi尸2

z1\z1\z1\/1\

N尸iP2M尸iPzMNP2MNP\

共有12种等可能结果，其中获得一等奖的既有七年级又有九年级人数的结果有4种，

41

则所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率P=—=-.

123

【点评】此题考查了统计与概率综合，理解扇形统计图与条形统计图的意义及列表法或树状图法是解题关键.

26、15天

【解析】

试题分析：首先设规定的工期是x天，则甲工程队单独做需(x-1)天，乙工程队单独做需(x