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文档简介
2024年高考模拟数试题(二)试卷+答案
(题型同九省联考,共19个题)
注意事项:
].答卷前,考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
1.从小到大排列的数据123,x,4,5,6,7,8,y9,10的第三四分位数为()
A.3B.C.8D.
22
22
2.若椭圆C:土+二=l(m>0)上一点到C的两个焦点的距离之和为2根,则"7=()
m9
A.1B.3C.6D.1或3
3.设等差数列{%}的前几项和为S1,,若%+为=-10,S6=-42,则风。=()
A.12B.10C.16D.20
4.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影,其中甲和乙两名同学要么都去,要么都不去,丙同学不去,
其他人根据个人情况可选择去,也可选择不去,则不同的去法有()
A.32种B.128种C.64种D.256种
5.在某次数学探究活动中,小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接,然后他又将三角板ABC折
起,使得二面角A-8C-D为直二面角,得图2所示四面体ABCZ).小明对四面体ABCD中的直线、平面
的位置关系作出了如下的判断:①CD_L平面ABC;②AB1平面AC。;③平面46。_L平面AC。;④平
面平面3c。,其中判断正确的个数是()
6.已知点尸在圆(彳-1)2+/=1上,点A的坐标为卜1,6),0为原点,则超.Q的取值范围是()
1
A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]
7.若/(x)=2sinx(退cosx-sinx),且〃尤])〃%)=-3,则,-马|的最小值为()
c兀
A.兀C.2兀D.-
4
fv2
8如图‘已知皿是双曲线吟珠=1的左、右焦点,P,。为双曲线C
上两点,满足4P〃02,且圾0=圾4=3阳尸|,则双曲线C的离心率为
)
A・半B.男「V15D,巫
232
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部
选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设复数2=」”(a,beR且bwO),则下列结论正确的是()
a+bi
A.z可能是实数B.目=同恒成立
D.若z+』eR,则|z|=l
C.若z?eR,贝普=0
Z
4+7?
10.在口43。中,若tan下一=sinC,则下列结论正确的是()
tanA
A.-------=1B.0<sinA+sinB<A/2
tanB
C.sin2A+cos2B=1D.cos2A+cos2B=sin2C
11.已知函数“X)的定义域为R,满足/(x+y)+〃X7)=2〃x)〃y),且=则(
A./(0)=1B./(X)为奇函数
2
x+:
C./(1)+/(2)+-+/(2024)=0D.f=1
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.^{x|0<ox2+/?x+c<2(67>0)}={x|-l<x<3),则3a+b+2c的取值范围是.
13.已知直三棱柱ABC-A.B^AB1BC,AC=lAB^C=2,则三棱柱ABC-A^C,的体积的最大值
为;此时棱柱的高为.
14.已知正实数a,"c,d满足/-而+1=0,c1+d2=\,则当(。-。了+仍-4取得最小值时,ab=.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数/(x)=21nx+gax2-(2a+l)x.
⑴若曲线y=在处切线与x轴平行,求。;
⑵若"X)在X=2处取得极大值,求a的取值范围.
16.(15分)盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球,现从盒子中一次摸一个球.不放回.
(1)若盒子中有8个球,其中有3个红球,从中任意摸两次.记摸出的红球个数为X.求随机变量X的分
布列和数学期望E(X).
(2)若A盒中有4个红球和4个白球,8盒中在2个红球和2个白球.现甲、乙、丙三人依次从A号盒中摸
出一个球并放入8号盒,然后丁从8号盒中任取一球.已知丁取到红球,求甲、乙、丙三人中至少有一人
取出白球的概率.
7T
17.(15分)在梯形A8CD中,ABDCD,ZBAD=-,AB=2AD=2CD=4,尸为AB的中点,线段AC
与。P交于。点(如图1).将口AC。沿AC折起到△ACD位置,使得平面。'AC_£平面BAC(如图2).
⑴求二面角A-BD'-C的余弦值;
(2)线段上是否存在点Q,使得C。与平面8CD'所成角的正弦值为半?若存在,求出枭的值;若不
存在,请说明理由.
18.(17分)已知抛物线V=4x,顶点为。,过焦点的直线交抛物线于A,8两点.
MiWU
3
⑴如图1所示,已知|AB|=8],求线段AB中点到>轴的距离;
⑵设点P是线段上的动点,顶点。关于点尸的对称点为C,求四边形Q4CB面积的最小值;
⑶如图2所示,设。为抛物线上的一点,过。作直线。M,QN交抛物线于M,N两点,过。作直线
DP,。。交抛物线于尸,。两点,且。MLDN,DP1DQ,设线段MN与线段PQ的交点为T,求直线
OT斜率的取值范围.
19.(17分)已知无穷数列{%}满足a“=max{a“+i,a“+2}-min{a“+],%+2}(〃=l,2,3,-一),其中max{x,y}表示
x,>中最大的数,min{尤,y}表示无,y中最小的数.
(1)当4=1,g=2时,写出&的所有可能值;
(2)若数列{%}中的项存在最大值,证明:。为数列{4,}中的项;
(3)若%>0(〃=1,2,3,…),是否存在正实数M,使得对任意的正整数小都有如果存在,写出一个
满足条件的M;如果不存在,说明理由.
2024年高模拟数试题(二)试卷+答案
(题型同九省联考,共19个题)
注意事项:
].答卷前,考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共4()分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
1.从小到大排列的数据1,2,3,%4,5,6,7,8,%9,10的第三四分位数为()
A.3B.C.8D.
22
答案D
解析;12><75%=9,,该组数据的第三四分位数为亨.故选D.
22
2.若椭圆C:二+匕=1(加>0)上一点到C的两个焦点的距离之和为2%,则%=()
m9
A.1B.3C.6D.1或3
答案B
解析若根>9,则由2面=2仅得根=1(舍去);若0<m<9,则由=6得〃2=3.故选B.
3.设等差数列{4“}的前〃项和为S“,若%+%=T0,$6=-42,则品=()
A.12B.10C.16D.20
答案B
解析设等差数列{%}的公差为d,贝iJ%+“5=(4+2d)+(4+44)=2q+6d=-10,①
6x5
—6%H——d—6%+15d--42,(2)
联立①②可得4=-17,d=4,
10x9
因此,S]o=lOq+—d=10q+45d=10*(—17)+45'4=10.故选8.
4.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影,其中甲和乙两名同学要么都去,要么都不去,丙同学不去,
其他人根据个人情况可选择去,也可选择不去,则不同的去法有()
A.32种B.128种C.64种D.256种
答案C
解析若甲、乙都去,剩下的5人每个人都可以选择去或不去,有25种去法;
若甲、乙都不去,剩下的5人每个人都可以选择去或不去,有25种去法.
故一共有25+25=64种去法.故选C.
5.在某次数学探究活动中,小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接,然后他又将三角板ABC折
5
起,使得二面角A-BC-。为直二面角,得图2所示四面体ABCD.小明对四面体ABCD中的直线、平面
的位置关系作出了如下的判断:①CO1平面A3C;②AB2平面AC。;③平面ABO_L平面AC。;④平
面AB。,平面BCD.其中判断正确的个数是()
答案C
解析对于①中,因为二面角A-8C-。为直二面角,可得平面A3C1平面3C。,
又因为平面ABCc平面BCD=3C,DC1BC,且DCu平面
A
BCD,所以。Cl平面ABC,所以①正确;yV.
对于②中,由。C_L平面ABC,且ABu平面ABC,可得V\.
AB1CD,又因为A8/AC,RAC^CD=C,AC,CDu平面〃乙二-------1,二
ACD,所以A3」平面AC。,所以②正确;77%
对于③中,由平面ACD,且A2u平面AB。,所以平面
AB£>_L平面ACD,所以③正确;
对于④,中,因为DC1平面ABC,且。Cu平面BCD,可得平面ABC/平面BCD,
若平面ABD_L平面BCD,且平面A3。c平面ABC=AB,可得AB1平面BCD,
又因为BCu平面8CO,所以A313C,
因为AB与BC不垂直,所以矛盾,所以平面ABZ)和平面BCD不垂直,所以D错误.故选C.
6.已知点P在圆("1)2+V=1上,点A的坐标为㈠⑹,。为原点,则而的取值范围是()
A.[-3,3]B,[3,5]C.[1,9]D,[3,7]
答案D
解析设p(无,y),因点A的坐标为卜1,6),所以布=(1,一6),而=(尤+l,y-百「
则•而=%+1_百(〉_6)=尤_君丫+4,
设f=x-4y+4,即y=[x+t(4T),
6
依题意,求f的范围即求直线y=gx+#(4T)与圆5-1)2+y=1有公共点时在、轴上截距的范围,即
圆心(1,0)到y=1彳+[(4-。的距离d41,解得3W”7,
所以南.Q的取值范围为[3,7],故选D.
7.若/(x)=2sinx(6cosx-sinx),且〃%)/(%2)=-3,则|占-马|的最小值为()
c兀
A.兀C.2兀D.-
4
答案B
解析/(x)=2sinx(Gcosx-sinx
=V3sin2x-2sin2x=Gsin2x+cos2x-l
=2sin2x+^-1,/⑺的周期为7=71,且
[2元+不],则/£[一1,1],
令才=sin
贝ij/(x)=g(f)=2-l,由gQ)的值域为[一3』,故/(x)1mx=1,/。L=-3
-3<y(x)<i/、/、
则一故一
/(玉)=1/(々)=1
由=-3知,/(尤2)=-3'或
/(占)=一3.
即%),/(马)为函数的最大与最小值,或最小与最大值,
".故选B.
当可,%对应/。)图象上相邻两最值点时,忖-引的值最小,故人一々L
22
8如图’已知叱是双曲线吟一的左、右焦点,P,Q为双
上两点,满足可尸〃工。,且怩0=|鸟尸|=3⑶尸则双曲线C的离
()
A.叵B.旦C.叵D.叵
5232
7
答案D
解析延长。外与双曲线交于点P,
因为耳尸〃鸟尸',根据对称性可知|耳尸「\F2P'\,
设内尸1=|耳尸卜f,则医尸卜内@=3f,
可得内尸卜忸P|=2r=2a,即f=a,所以仍@=由=4",则
QFX=QF2+2a=5a,\FxP'\=\F2P\=3a,即|PQ『+阳p「=口耳『,可知/月尸,0=/月产4=90。,
在口尸E工中,由勾股定理得优=代周2,即/+(34=402,解得e=’』.故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部
选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设复数z=」不(a,beR且b/0),则下列结论正确的是()
a+bi
A.z可能是实数B.国=|可恒成立C.若z?eR,则。=0D.若z+'eR,则目=1
Z
答案BCD
解析对于A:若2=4=。^="^-。^是实数,
a+bia+ba+ba+b
则6=0,与已知矛盾,故A错误;
对于B:由A项矢口z=+2历〃2,
a+ba+b
2
故B正确;
21
2a?b?2ab.a-b2ab.
芸Z=----------7-------------7-------------yl=----------K-------------ylGR
对于C:右(〃2+/)2Q/jQ/)2Q/j,2+/)2,
2ab
则正对一°,因为8wO,所以。=0,故C正确;
对于:aa]b-^
Dz+—=-^—+a+bi=++ieR,
za+bia2+b2)(a2+b2
b
则b-百*。,因为"。,所以-,
22
a-b
所以目=I=1,故D正确.故选BCD.
a2+b2I+a2+b2
8
10.在DABC中,若tanf-=sinC,则下列结论正确的是()
tan
A.------=1B.0<sinA+sinB<V2C.sin2A+cos2B=1D.cos2A+cos2B=sin2C
tanB
答案BD
C
cos—「「
A+B2c•CC
解析:由tan---=sinCntan-----W-2sin—cos—
.C22
sin—
2
CitC
因为0<,<5,所以cos]w0,
r「
所以l=2sin2—=1—2sir?—=0=>cosC=0nC=90。,
22
所以taiR=tan(g—四空=tan2A不一定为1,A错;
12)tanAtanB
因为sinA+sinB=sinA+cosA=V2sin(A+45°),0°<A<90°=45°<A+45°<135°,
6
A^-<sin(A+45o)<l=>l<V2sin(A+450)<V2,
从而有0<sinA+sin3W拒,所以B正确,
又cosg=cos[]-A]=sinA,所以sin2A+cos23=2sin2A也不一定等于1,C错;
Wcos2A+COS2B=SCOS2A+sin2A=1=sin2C,D正确;故选BD
11.已知函数/(x)的定义域为R,满足〃x+y)+〃x-y)=2〃x)〃y),且〃1)=-1,则()
A.*0)=1B./(x)为奇函数
C./(1)+/(2)+-+/(2024)=0D.[〃尤汗+[/[+;]=1
答案AD
解析对A:令x=l,y=0,则2〃1)=2〃1)〃0),
因为〃1)=T,所以"0)=1,故A正确;
对B:令x=0得:/(y)+/(-y)=2/(0)/(y),结合〃。)=1可得-y),
所以〃尤)为偶函数,故B错误;
对C:令y=l可得:/(x+l)+/(x-l)=2/(x)/(l),因为=
9
所以f(x+l)+/(xT)=-21(x)n/(x+l)+/(x)=-[/(x)+/(x-l)],
进一步可得:/(x+2)+/(x+l)=-[/(x+l)+/(x)]=/(x)+/(x-l),
又"0)=1,/(1)=-1,所以〃0)+〃l)="2)+〃3)=?・="2023)+“2024)=0,
所以"1)+“2)+”3)+?•+/(2024)=-/(0)=-l,故C错误;
对D:令x=y可得:/(2x)+/(0)=2[/(x)]2[f(x)]2=;
用x+;代替x,V得:〃2x+l)+〃0)=2m=小+;〃2x+l)+l
2
结合c的结果,可得:卜⑺]叶DJ(2X)+"2X+>2”。)+〃1)+2=1,故D正确.故选
AD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若{x[0<ax?+6x+c<2(a〉0)}={尤|-1<%<3},则3a+b+2c的取值范围是
答案|,41
解析由题意不等式0Vax2+bx+cV2(a>。)的解集为{xplVxW3},
所以二次函数外力=加+bx+c的对称轴为直线x=l,
/(-1)=2a—b+c=2
b=-la
且需满足/(3)=2,即<9〃+3b+c=2,解得
c——3〃+2
J⑴一a+b-\-c>0
以a+6+c=a—2a—3a+2上0=>aV],以ciE^0,—,
所以34+b+2c=3a-2a-6a+4=4-5ae故答案为^-,4^.
13.已知直三棱柱ABC-4B1C1,AB±JBC,AC=2AB,A,C=2,则三棱柱ABC-A与G的体积的最大值
为;此时棱柱的高为.
10
解析如图所示,不妨设|A8|=x,由题意则
AC=2x,BC=若龙,A4j=J4-4Y(xe(0,l)),
则V=,4-4尤2x;xx氐=V3^(l-x2)%4,
4/(r)=(l-r)xr2(/=x2e(o,l))^/,(r)=2r-3r,
则时,r(r)<0,:>/>0时,y,(/)>0,
即/⑺在上单调递增,在]|,1]上单调递减,则〃,=6x性=]
此时/'=/=2=J4-4*=44]==冬3.故答案为1;22m.
3月丫3333
14.已知正实数。,4G”满足/-而+1=0,c2+d2=\,则当(a-c>+S-dp取得最小值时,ab=
答案等+]
解析可将("4+3-d)2转化为(。力)与(c,d)两点间距离的平方,
由“2—。8+1=0,得b=,
a
而。2+个=1表示以(0,0)为圆心,1为半径的圆,(c,d)为圆上一点,
则(a,b)与圆心(0,0)的距离为:&+/=
当且仅当2/=|,即"士4时等号成立,
此时(。力)与圆心(0,0)的距离最小,即(“力)与(G〃)两点间距离的平方最小,
即(a-c>+3-d)2取得最小值.当。=心口时,^=a2+l=—+1,故答案为e+l.
V222
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数"X)=21nx+gar2-(2a+l)x.
⑴若曲线y=〃x)在处切线与x轴平行,求a;
(2)若/(x)在x=2处取得极大值,求。的取值范围.
解析(1)因为“X)=211«+:加-(2a+l)x(x>0),
11
,/、2、ax2-(2«+l)x+2(ax-l](x-2]八八
所以f=*+以_(z2〃+1)=---------------』——-------——\......................2分
因为曲线y=在(1J⑴)处切线与x轴平行,
所以/(1)=(”一](1-2)=0,解得q=i,....................4分
又/⑴=;-3=£/0,所以"1.....................5分
(2)的定义域为(0,+4,尸(力=(。-叫-2),
X
①当”=。时,令/(x)>0,得0<x<2,令r(x)<。,得x>2,
/(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+8)上单调递减.
.•./(X)在x=2处取得极大值,满足题意;.........7分
②当“<0时,令/(x)>0,得0<工<2,令/(耳<0,得x>2,
/(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+8)上单调递减.
.•./(X)在x=2处取得极大值,满足题意;.........9分
③当a>0时,
(i)当0=;时,)=2J'(x"0
所以/(无)在(。,+8)上单调递增,了(尤)无极值,不满足题意;
(ii)当。■时,-<2,
2a
令r(x)<0,得LX<2,令广⑴>0,得0<x」或x>2.
aa
二.”尤)在(0,£|上单调递增,在t,2]上单调递减,在(2,+⑹上单调递增.
,/(尤)在x=2处取得极小值,不满足题意;
(iii)当0<4<工时,->2,
2a
令r(x)<0,得2<X<L令:(X)>0,得0<x<2或X」.
aa
.•./(尤)在(0,2)上单调递增,在12,步上单调递减,在[,+,]上单调递增.
,/(尤)在x=2处取得极大值,满足题意;综上所述,〃的取值范围为卜..........13分
12
16.(15分)盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球,现从盒子中一次摸一个球.不放回.
⑴若盒子中有8个球,其中有3个红球,从中任意摸两次.记摸出的红球个数为X.求随机变量X的分
布列和数学期望E(X).
⑵若A盒中有4个红球和4个白球,8盒中在2个红球和2个白球.现甲、乙、丙三人依次从A号盒中摸
出一个球并放入3号盒,然后丁从8号盒中任取一球.已知丁取到红球,求甲、乙、丙三人中至少有一人
取出白球的概率.
「if45C1^1A215
解析⑴X可取0,1,2.且:P(X=0)=-^-=-,p(x=l)=海广=诋,
3分
所以X的分布列为:
X012
5153
P
142828
1533
则E(X)=lx-+2><r-=m6分
28284
(2)设事件£>="丁取到红球",事件E="甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.
则丁取到红球的概率为鬻詈X;;
当甲、乙、丙三人取得1个白球,8分
C27c6/
3C©C;xJ
当甲、乙、丙三人取得2个白球,则丁取到红球的概率为10分
c;c;c:7
则丁取到红球的概率为黑5X[;
当甲、乙、丙三人取得3个白球,12分
C8c7c6/
则丁取到红球的概率为需mX:
当甲、乙、丙三人取得3个红球,14分
c8c7c6/
3C;C;C\4।3C;C;C13।C;C;C\2
z-iirz-ii/-iiz~<i(
,、P(DE}yjy/7y/7y/44
则所求概率为尸(EI。)-『⑷-3C;C©X5]3C;C;C;x4।3C;C;C;乂3।3C;C;C;;]-49'15分
z-iiz~iii-iz-iiz-iir
yc7y'yjy/yjy/7y/
TT
17.(15分)在梯形ABC。中,ABUCD,ZBAD=~,AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点,线段AC
与。尸交于。点(如图1).将口48沿AC折起到位置,使得平面。’AC,平面BAC(如图2).
13
if
D
(1)求二面角A-3。-C的余弦值;
⑵线段尸。上是否存在点。,使得C。与平面所成角的正弦值为如?若存在,求出黑的值;若不
8PD'
存在,请说明理由.
TT
解析(1)因为在梯形ABC。中,AB//CD,AB=2AD=2CD=4,ZBAD=~,P为AB的中点,所
以,CD//PB,CD=PB,
所以△ADP是正三角形,四边形。P2C为菱形,
可得AC/BC,ACYDP,
而平面。AC_L平面应1C,平面。ACc平面B4C=AC,
。。<=平面。'4(?,DO1AC,
.,.D'O_L平面8AC,所以。A,0P,两两互相垂直,.........3分
如图,以点0为坐标原点,OA,0P,分别为无,),z轴建立空间直角坐标系,
则A(6,0,0),C(-V3,0,0),网一后2,0),D'(0,0,1),P(0,1,0),
.■,AZ>=(-73,0,1),丽=卜2百,2,0),Bb=(V3,-2,1),Cb=(73,0,1),
设平面ABD’的一个法向量为机=(%,%,zj,贝U
m-AD'=0-z=0
—,即<!,令再=1,则%=Z]=指,
m-AB=0+2%=0
,....................5分
设平面CB£»’的一个法向量为"=(%,%/2),则
n-BD'=0V3X-2V+z=0/-
一,即999,令9=1,则%=0,Z2=-A/3,
n-CD'=0V3X2+z2=0
n=(1,0,—Vsj,...................7分
14
L-\m-nlxl+V3xO+V3x(-V3)疗
..cos(m,n/=Liu=-------/—i-----------=——,
'/Jl+3+3xJl+37
所以二面角A-8D'-C的余弦值为-五...........9分
7
(2)线段PQ'上存在点Q,使得CQ与平面所成角的正弦值为逅...........10分
8
设而=2而(04441),因为在=(有,1,0),4=(0,-1,1),所以
CQ=CP+PQ=CP+APb....................12分
设CQ与平面3c力所成角为/则sindfcos何斗区工GOT=孚,..........13分
।'/侬帆2V222-2A+48
即3万一74+2=0,V0<A<1,解得%=;,....................14分
所以线段尸D'上存在点Q,且券=g,
使得CQ与平面8C"所成角的正弦值为逅..........15分
8
18.(17分)已知抛物线V=4x,顶点为。,过焦点的直线交抛物线于A,8两点.
⑴如图1所示,已知|AB|=8],求线段AB中点到>轴的距离;
⑵设点P是线段AB上的动点,顶点。关于点尸的对称点为C,求四边形0AC8面积的最小值;
⑶如图2所示,设。为抛物线上的一点,过。作直线。M,QN交抛物线于M,N两点、,过。作直线
DP,。。交抛物线于尸,。两点,且DMLDN,DP1DQ,设线段与线段PQ的交点为T,求直线
OT斜率的取值范围.
解析(1)因为过焦点的直线交抛物线于A,B两点,且|A3|=8,
设A(2I),3(巧,%),
由抛物线的性质可得%+/+2=|AB|=8,
所以为+%=6,
15
所以线段AB中点的横坐标,即为线段AB中点到》轴的距离为七三=3...................3分
(2)由点C与原点。关于点P对称,可知P是线段0C的中点,
所以点。与点C到直线/的距离相等,所以四边形043c的面积等于2s市,
设直线/的方程为尤=阳+1,联立尸:'?+'消去无可得/一4~4=0,....................5分
[y=4x
设A(X3,%),8(%,%),由韦达定理可得%+以=4m,y3y4=7,
所以2S“OB=2X。斗I%—为I=4%%=4^m2+l,
当〃z=0时,四边形OABC的面积取最小值为4...................7分
(3)设。点坐标为(/,2力,M点坐标为(X”,y”),N点坐标为(八,即),
由题意可知直线DM的斜率上存在,且不为0,
则直线DM的方程为V—2〃=碓—/),与抛物线>2=4%联立,消去x得产一金>学一4/=0,
kk
44
由韦达定理可得2〃+加=不,解得%1=不一2〃,..........9分
kk
直线QN的方程为y-2a=-;(x-a?)与抛物线丁=以联立,消去尤得丁十出—8版—4/=0,
K
由韦达定理可得2。+y%=-4女,解得%=-4左一2。,..........10分
显然直线MN斜率不为零,
X―尤为4(尤一%)4(无一%)
当直线MN斜率存在时,直线MN的方程为
XX
VN一%N~MVN—%(%+加乂%—>M)
4尤+以力
整理得:y=
16
,4
将%=—-2a,力=~~4k—2a代入,MN得:
k
4x+卜2a(-44-2a)丘_4k-2a+2aE+a/、k(x-a2-4)
士―2〃—4%—2〃l-ak-kl-ak-k
k
所以直线。过定点(4+Y,—2力,即T点坐标为(4
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