2024年全国普通高中九省联考模拟数学试题（二）含答案

2024年高考模拟数试题（二）试卷+答案

（题型同九省联考，共19个题）

注意事项：

].答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.从小到大排列的数据123,x,4,5,6,7,8,y9,10的第三四分位数为（）

A.3B.C.8D.

22

22

2.若椭圆C:土+二=l（m>0）上一点到C的两个焦点的距离之和为2根，则"7=（）

m9

A.1B.3C.6D.1或3

3.设等差数列｛%｝的前几项和为S1,，若%+为=-10,S6=-42,则风。=（）

A.12B.10C.16D.20

4.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，

其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）

A.32种B.128种C.64种D.256种

5.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC折

起，使得二面角A-8C-D为直二面角，得图2所示四面体ABCZ）.小明对四面体ABCD中的直线、平面

的位置关系作出了如下的判断：①CD_L平面ABC；②AB1平面AC。；③平面46。_L平面AC。；④平

面平面3c。,其中判断正确的个数是（）

6.已知点尸在圆（彳-1）2+/=1上，点A的坐标为卜1,6）,0为原点，则超.Q的取值范围是（）

1

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

7.若/(x)=2sinx(退cosx-sinx),且〃尤])〃％)=-3,则,-马|的最小值为()

c兀

A.兀C.2兀D.-

4

fv2

8如图‘已知皿是双曲线吟珠=1的左、右焦点，P，。为双曲线C

上两点，满足4P〃02,且圾0=圾4=3阳尸|,则双曲线C的离心率为

)

A・半B.男「V15D,巫

232

二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设复数2=」”（a,beR且bwO）,则下列结论正确的是（）

a+bi

A.z可能是实数B.目=同恒成立

D.若z+』eR,则|z|=l

C.若z?eR,贝普=0

Z

4+7?

10.在口43。中，若tan下一=sinC,则下列结论正确的是（）

tanA

A.-------=1B.0<sinA+sinB<A/2

tanB

C.sin2A+cos2B=1D.cos2A+cos2B=sin2C

11.已知函数“X）的定义域为R,满足/（x+y）+〃X7）=2〃x）〃y）,且=则（

A./(0)=1B./（X）为奇函数

2

x+：

C./(1)+/(2)+-+/(2024)=0D.f=1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.^{x|0<ox2+/?x+c<2（67>0）}={x|-l<x<3）,则3a+b+2c的取值范围是.

13.已知直三棱柱ABC-A.B^AB1BC,AC=lAB^C=2,则三棱柱ABC-A^C,的体积的最大值

为;此时棱柱的高为.

14.已知正实数a,"c,d满足/-而+1=0,c1+d2=\,则当（。-。了+仍-4取得最小值时，ab=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数/（x）=21nx+gax2-（2a+l）x.

⑴若曲线y=在处切线与x轴平行，求。；

⑵若"X）在X=2处取得极大值，求a的取值范围.

16.（15分）盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球.不放回.

（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次.记摸出的红球个数为X.求随机变量X的分

布列和数学期望E（X）.

（2）若A盒中有4个红球和4个白球，8盒中在2个红球和2个白球.现甲、乙、丙三人依次从A号盒中摸

出一个球并放入8号盒，然后丁从8号盒中任取一球.已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人

取出白球的概率.

7T

17.（15分）在梯形A8CD中，ABDCD,ZBAD=-,AB=2AD=2CD=4,尸为AB的中点，线段AC

与。P交于。点（如图1）.将口AC。沿AC折起到△ACD位置，使得平面。'AC_£平面BAC（如图2）.

⑴求二面角A-BD'-C的余弦值；

（2）线段上是否存在点Q,使得C。与平面8CD'所成角的正弦值为半？若存在，求出枭的值；若不

存在，请说明理由.

18.（17分）已知抛物线V=4x,顶点为。，过焦点的直线交抛物线于A,8两点.

MiWU

3

⑴如图1所示，已知|AB|=8],求线段AB中点到>轴的距离；

⑵设点P是线段上的动点，顶点。关于点尸的对称点为C,求四边形Q4CB面积的最小值；

⑶如图2所示，设。为抛物线上的一点，过。作直线。M,QN交抛物线于M,N两点，过。作直线

DP,。。交抛物线于尸，。两点，且。MLDN,DP1DQ,设线段MN与线段PQ的交点为T,求直线

OT斜率的取值范围.

19.(17分)已知无穷数列｛%｝满足a“=max｛a“+i，a“+2｝-min｛a“+],%+2｝(〃=l,2,3,-一),其中max｛x,y｝表示

x,>中最大的数，min｛尤,y｝表示无，y中最小的数.

(1)当4=1,g=2时，写出&的所有可能值;

(2)若数列｛%｝中的项存在最大值，证明：。为数列｛4,｝中的项;

(3)若%>0(〃=1,2,3,…)，是否存在正实数M,使得对任意的正整数小都有如果存在，写出一个

满足条件的M；如果不存在，说明理由.

2024年高模拟数试题(二)试卷+答案

(题型同九省联考，共19个题)

注意事项：

].答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4（）分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.从小到大排列的数据1,2,3,%4,5,6,7,8,%9,10的第三四分位数为（）

A.3B.C.8D.

22

答案D

解析；12><75%=9,，该组数据的第三四分位数为亨.故选D.

22

2.若椭圆C:二+匕=1（加>0）上一点到C的两个焦点的距离之和为2%，则%=（）

m9

A.1B.3C.6D.1或3

答案B

解析若根>9,则由2面=2仅得根=1（舍去）；若0<m<9,则由=6得〃2=3.故选B.

3.设等差数列｛4“｝的前〃项和为S“，若%+%=T0，$6=-42,则品=（）

A.12B.10C.16D.20

答案B

解析设等差数列｛%｝的公差为d,贝iJ%+“5=（4+2d）+（4+44）=2q+6d=-10,①

6x5

—6%H——d—6%+15d--42,（2）

联立①②可得4=-17,d=4,

10x9

因此，S]o=lOq+—d=10q+45d=10*（—17）+45'4=10.故选8.

4.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，

其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）

A.32种B.128种C.64种D.256种

答案C

解析若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法；

若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法.

故一共有25+25=64种去法.故选C.

5.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC折

5

起，使得二面角A-BC-。为直二面角，得图2所示四面体ABCD.小明对四面体ABCD中的直线、平面

的位置关系作出了如下的判断：①CO1平面A3C；②AB2平面AC。；③平面ABO_L平面AC。；④平

面AB。，平面BCD.其中判断正确的个数是（）

答案C

解析对于①中，因为二面角A-8C-。为直二面角，可得平面A3C1平面3C。,

又因为平面ABCc平面BCD=3C,DC1BC,且DCu平面

A

BCD,所以。Cl平面ABC,所以①正确；yV.

对于②中，由。C_L平面ABC,且ABu平面ABC,可得V\.

AB1CD,又因为A8/AC,RAC^CD=C,AC,CDu平面〃乙二-------1，二

ACD,所以A3」平面AC。，所以②正确；77%

对于③中，由平面ACD,且A2u平面AB。，所以平面

AB£>_L平面ACD,所以③正确；

对于④，中，因为DC1平面ABC,且。Cu平面BCD,可得平面ABC/平面BCD,

若平面ABD_L平面BCD,且平面A3。c平面ABC=AB,可得AB1平面BCD,

又因为BCu平面8CO,所以A313C,

因为AB与BC不垂直，所以矛盾，所以平面ABZ）和平面BCD不垂直，所以D错误.故选C.

6.已知点P在圆（"1）2+V=1上，点A的坐标为㈠⑹，。为原点，则而的取值范围是（）

A.[-3,3]B,[3,5]C.[1,9]D,[3,7]

答案D

解析设p（无,y）,因点A的坐标为卜1,6）,所以布=（1,一6）,而=（尤+l,y-百「

则•而=%+1_百（〉_6）=尤_君丫+4,

设f=x-4y+4,即y=[x+t（4T）,

6

依题意，求f的范围即求直线y=gx+#（4T）与圆5-1）2+y=1有公共点时在、轴上截距的范围，即

圆心（1,0）到y=1彳+［（4-。的距离d41，解得3W”7,

所以南.Q的取值范围为［3,7］,故选D.

7.若/(x)=2sinx(6cosx-sinx),且〃%)/(%2)=-3,则|占-马|的最小值为()

c兀

A.兀C.2兀D.-

4

答案B

解析/(x)=2sinx(Gcosx-sinx

=V3sin2x-2sin2x=Gsin2x+cos2x-l

=2sin2x+^-1,/⑺的周期为7=71，且

［2元+不］,则/£［一1,1］,

令才=sin

贝ij/(x)=g(f)=2-l,由gQ)的值域为［一3』，故/(x)1mx=1,/。L=-3

-3<y（x）<i/、/、

则一故一

/（玉）=1/（々）=1

由=-3知,/（尤2）=-3'或

/（占）=一3.

即%）,/（马）为函数的最大与最小值，或最小与最大值,

".故选B.

当可,%对应/。）图象上相邻两最值点时,忖-引的值最小,故人一々L

22

8如图’已知叱是双曲线吟一的左、右焦点，P，Q为双

上两点，满足可尸〃工。，且怩0=|鸟尸|=3⑶尸则双曲线C的离

()

A.叵B.旦C.叵D.叵

5232

7

答案D

解析延长。外与双曲线交于点P,

因为耳尸〃鸟尸'，根据对称性可知|耳尸「\F2P'\,

设内尸1=|耳尸卜f,则医尸卜内@=3f,

可得内尸卜忸P|=2r=2a,即f=a,所以仍@=由=4"，则

QFX=QF2+2a=5a,\FxP'\=\F2P\=3a,即|PQ『+阳p「=口耳『，可知/月尸，0=/月产4=90。，

在口尸E工中，由勾股定理得优=代周2,即/+（34=402,解得e=’』.故选D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设复数z=」不（a,beR且b/0）,则下列结论正确的是（）

a+bi

A.z可能是实数B.国=|可恒成立C.若z?eR,则。=0D.若z+'eR,则目=1

Z

答案BCD

解析对于A：若2=4=。^="^-。^是实数，

a+bia+ba+ba+b

则6=0,与已知矛盾，故A错误；

对于B：由A项矢口z=+2历〃2，

a+ba+b

2

故B正确;

21

2a?b?2ab.a-b2ab.

芸Z=----------7-------------7-------------yl=----------K-------------ylGR

对于C：右(〃2+/)2Q/jQ/)2Q/j,2+/)2，

2ab

则正对一°,因为8wO,所以。=0,故C正确;

对于：aa]b-^

Dz+—=-^—+a+bi=++ieR,

za+bia2+b2)(a2+b2

b

则b-百*。，因为"。，所以-，

22

a-b

所以目=I=1,故D正确.故选BCD.

a2+b2I+a2+b2

8

10.在DABC中，若tanf-=sinC,则下列结论正确的是（）

tan

A.------=1B.0<sinA+sinB<V2C.sin2A+cos2B=1D.cos2A+cos2B=sin2C

tanB

答案BD

C

cos—「「

A+B2c•CC

解析：由tan---=sinCntan-----W-2sin—cos—

.C22

sin—

2

CitC

因为0<,<5,所以cos]w0,

r「

所以l=2sin2—=1—2sir?—=0=>cosC=0nC=90。，

22

所以taiR=tan(g—四空=tan2A不一定为1,A错;

12)tanAtanB

因为sinA+sinB=sinA+cosA=V2sin(A+45°),0°<A<90°=45°<A+45°<135°,

6

A^-<sin(A+45o)<l=>l<V2sin(A+450)<V2,

从而有0<sinA+sin3W拒，所以B正确，

又cosg=cos[]-A]=sinA,所以sin2A+cos23=2sin2A也不一定等于1,C错;

Wcos2A+COS2B=SCOS2A+sin2A=1=sin2C,D正确；故选BD

11.已知函数/(x)的定义域为R,满足〃x+y)+〃x-y)=2〃x)〃y),且〃1)=-1,则()

A.*0)=1B./(x)为奇函数

C./(1)+/(2)+-+/(2024)=0D.[〃尤汗+[/[+；]=1

答案AD

解析对A：令x=l,y=0,则2〃1)=2〃1)〃0),

因为〃1)=T，所以"0)=1,故A正确；

对B：令x=0得：/(y)+/(-y)=2/(0)/(y),结合〃。)=1可得-y),

所以〃尤)为偶函数，故B错误；

对C：令y=l可得：/(x+l)+/(x-l)=2/(x)/(l),因为=

9

所以f(x+l)+/(xT)=-21(x)n/(x+l)+/(x)=-[/(x)+/(x-l)],

进一步可得：/(x+2)+/(x+l)=-[/(x+l)+/(x)]=/(x)+/(x-l),

又"0)=1,/(1)=-1,所以〃0)+〃l)="2)+〃3)=?・="2023)+“2024)=0,

所以"1)+“2)+”3)+?•+/(2024)=-/(0)=-l,故C错误;

对D：令x=y可得：/(2x)+/(0)=2[/(x)]2[f(x)]2=；

用x+；代替x,V得：〃2x+l)+〃0)=2m=小+；〃2x+l)+l

2

结合c的结果，可得：卜⑺］叶DJ（2X）+"2X+>2”。）+〃1）+2=1,故D正确.故选

AD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若｛x［0<ax?+6x+c<2（a〉0）｝=｛尤|-1<%<3｝,则3a+b+2c的取值范围是

答案|，41

解析由题意不等式0Vax2+bx+cV2（a>。）的解集为｛xplVxW3｝,

所以二次函数外力=加+bx+c的对称轴为直线x=l,

/（-1）=2a—b+c=2

b=-la

且需满足/（3）=2,即<9〃+3b+c=2,解得

c——3〃+2

J⑴一a+b-\-c>0

以a+6+c=a—2a—3a+2上0=>aV］，以ciE^0,—,

所以34+b+2c=3a-2a-6a+4=4-5ae故答案为^-,4^.

13.已知直三棱柱ABC-4B1C1,AB±JBC,AC=2AB,A,C=2,则三棱柱ABC-A与G的体积的最大值

为;此时棱柱的高为.

10

解析如图所示，不妨设|A8|=x,由题意则

AC=2x,BC=若龙,A4j=J4-4Y(xe(0,l)),

则V=,4-4尤2x；xx氐=V3^(l-x2)%4,

4/(r)=(l-r)xr2(/=x2e(o,l))^/,(r)=2r-3r,

则时，r（r）<0,：>/>0时，y,（/）>0,

即/⑺在上单调递增，在]|，1]上单调递减，则〃，=6x性=]

此时/'=/=2=J4-4*=44]==冬3.故答案为1；22m.

3月丫3333

14.已知正实数。，4G”满足/-而+1=0,c2+d2=\,则当（a-c>+S-dp取得最小值时，ab=

答案等+]

解析可将（"4+3-d）2转化为（。力）与（c,d）两点间距离的平方,

由“2—。8+1=0,得b=，

a

而。2+个=1表示以（0,0）为圆心，1为半径的圆，（c,d）为圆上一点,

则（a,b）与圆心（0,0）的距离为：&+/=

当且仅当2/=|,即"士4时等号成立,

此时（。力）与圆心（0,0）的距离最小，即（“力）与（G〃）两点间距离的平方最小，

即（a-c>+3-d）2取得最小值.当。=心口时，^=a2+l=—+1,故答案为e+l.

V222

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数"X）=21nx+gar2-（2a+l）x.

⑴若曲线y=〃x）在处切线与x轴平行，求a；

（2）若/（x）在x=2处取得极大值，求。的取值范围.

解析（1）因为“X）=211«+：加-（2a+l）x（x>0）,

11

，/、2、ax2-(2«+l)x+2(ax-l](x-2]八八

所以f=*+以_(z2〃+1)=---------------』——-------——\......................2分

因为曲线y=在(1J⑴)处切线与x轴平行，

所以/(1)=(”一](1-2)=0,解得q=i,....................4分

又/⑴=；-3=£/0,所以"1.....................5分

（2）的定义域为（0,+4，尸（力=（。-叫-2）,

X

①当”=。时，令/（x）>0,得0<x<2,令r（x）<。，得x>2,

/（x）在（0,2）上单调递增，在（2,+8）上单调递减.

.•./（X）在x=2处取得极大值，满足题意；.........7分

②当“<0时，令/（x）>0,得0<工<2,令/（耳<0,得x>2,

/（x）在（0,2）上单调递增，在（2,+8）上单调递减.

.•./（X）在x=2处取得极大值，满足题意；.........9分

③当a>0时，

（i）当0=；时，）=2J'（x"0

所以/（无）在（。，+8）上单调递增，了（尤）无极值，不满足题意；

（ii）当。■时，-<2,

2a

令r（x）<0,得LX<2,令广⑴>0,得0<x」或x>2.

aa

二.”尤）在（0,£|上单调递增，在t,2］上单调递减，在（2,+⑹上单调递增.

，/（尤）在x=2处取得极小值，不满足题意；

（iii）当0<4<工时，->2,

2a

令r（x）<0,得2<X<L令:（X）>0,得0<x<2或X」.

aa

.•./（尤）在（0,2）上单调递增，在12,步上单调递减，在［,+，］上单调递增.

，/（尤）在x=2处取得极大值，满足题意；综上所述，〃的取值范围为卜..........13分

12

16.（15分）盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球.不放回.

⑴若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次.记摸出的红球个数为X.求随机变量X的分

布列和数学期望E（X）.

⑵若A盒中有4个红球和4个白球，8盒中在2个红球和2个白球.现甲、乙、丙三人依次从A号盒中摸

出一个球并放入3号盒，然后丁从8号盒中任取一球.已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人

取出白球的概率.

「if45C1^1A215

解析⑴X可取0,1,2.且：P(X=0)=-^-=-,p(x=l)=海广=诋,

3分

所以X的分布列为:

X012

5153

P

142828

1533

则E(X)=lx-+2><r-=m6分

28284

（2）设事件£>="丁取到红球"，事件E="甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.

则丁取到红球的概率为鬻詈X；；

当甲、乙、丙三人取得1个白球,8分

C27c6/

3C©C；xJ

当甲、乙、丙三人取得2个白球,则丁取到红球的概率为10分

c；c；c：7

则丁取到红球的概率为黑5X［；

当甲、乙、丙三人取得3个白球,12分

C8c7c6/

则丁取到红球的概率为需mX：

当甲、乙、丙三人取得3个红球,14分

c8c7c6/

3C；C；C\4।3C；C；C13।C；C；C\2

z-iirz-ii/-iiz~<i(

,、P(DE}yjy/7y/7y/44

则所求概率为尸(EI。)-『⑷-3C；C©X5]3C；C；C；x4।3C；C；C；乂3।3C；C；C；；]-49'15分

z-iiz~iii-iz-iiz-iir

yc7y'yjy/yjy/7y/

TT

17.（15分）在梯形ABC。中，ABUCD,ZBAD=~,AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点，线段AC

与。尸交于。点（如图1）.将口48沿AC折起到位置，使得平面。’AC,平面BAC（如图2）.

13

if

D

（1）求二面角A-3。-C的余弦值；

⑵线段尸。上是否存在点。，使得C。与平面所成角的正弦值为如？若存在，求出黑的值；若不

8PD'

存在，请说明理由.

TT

解析（1）因为在梯形ABC。中，AB//CD,AB=2AD=2CD=4,ZBAD=~,P为AB的中点，所

以，CD//PB,CD=PB,

所以△ADP是正三角形，四边形。P2C为菱形,

可得AC/BC,ACYDP,

而平面。AC_L平面应1C,平面。ACc平面B4C=AC,

。。＜=平面。'4(?,DO1AC,

.,.D'O_L平面8AC,所以。A,0P,两两互相垂直，.........3分

如图，以点0为坐标原点，OA,0P,分别为无，），z轴建立空间直角坐标系,

则A(6,0,0),C(-V3,0,0),网一后2,0),D'(0,0,1),P(0,1,0),

.■,AZ＞=(-73,0,1),丽=卜2百,2,0),Bb=(V3,-2,1),Cb=(73,0,1),

设平面ABD’的一个法向量为机=(%,％,zj,贝U

m-AD'=0-z=0

—，即＜!,令再=1,则％=Z]=指,

m-AB=0+2%=0

,....................5分

设平面CB£»’的一个法向量为"=(%,%/2),则

n-BD'=0V3X-2V+z=0/-

一，即999，令9=1，则%=0，Z2=-A/3,

n-CD'=0V3X2+z2=0

n=(1,0,—Vsj,...................7分

14

L-\m-nlxl+V3xO+V3x（-V3）疗

..cos（m,n/=Liu=-------/—i-----------=——，

'/Jl+3+3xJl+37

所以二面角A-8D'-C的余弦值为-五...........9分

7

（2）线段PQ'上存在点Q,使得CQ与平面所成角的正弦值为逅...........10分

8

设而=2而（04441）,因为在=（有,1,0）,4=（0,-1,1）,所以

CQ=CP+PQ=CP+APb....................12分

设CQ与平面3c力所成角为/则sindfcos何斗区工GOT=孚,..........13分

।'/侬帆2V222-2A+48

即3万一74+2=0,V0<A<1,解得％=；,....................14分

所以线段尸D'上存在点Q,且券=g，

使得CQ与平面8C"所成角的正弦值为逅..........15分

8

18.（17分）已知抛物线V=4x,顶点为。，过焦点的直线交抛物线于A,8两点.

⑴如图1所示，已知|AB|=8],求线段AB中点到>轴的距离；

⑵设点P是线段AB上的动点，顶点。关于点尸的对称点为C,求四边形0AC8面积的最小值；

⑶如图2所示，设。为抛物线上的一点，过。作直线。M,QN交抛物线于M,N两点、,过。作直线

DP,。。交抛物线于尸，。两点，且DMLDN,DP1DQ,设线段与线段PQ的交点为T,求直线

OT斜率的取值范围.

解析（1）因为过焦点的直线交抛物线于A,B两点，且|A3|=8,

设A（2I），3（巧，%），

由抛物线的性质可得%+/+2=|AB|=8,

所以为+%=6,

15

所以线段AB中点的横坐标，即为线段AB中点到》轴的距离为七三=3...................3分

（2）由点C与原点。关于点P对称，可知P是线段0C的中点，

所以点。与点C到直线/的距离相等，所以四边形043c的面积等于2s市，

设直线/的方程为尤=阳+1,联立尸：'?+'消去无可得/一4~4=0,....................5分

[y=4x

设A（X3，%），8（%，%），由韦达定理可得%+以=4m，y3y4=7，

所以2S“OB=2X。斗I%—为I=4%%=4^m2+l,

当〃z=0时，四边形OABC的面积取最小值为4...................7分

（3）设。点坐标为（/,2力，M点坐标为（X”,y”），N点坐标为（八,即），

由题意可知直线DM的斜率上存在，且不为0,

则直线DM的方程为V—2〃=碓—/）,与抛物线＞2=4%联立，消去x得产一金＞学一4/=0,

kk

44

由韦达定理可得2〃+加=不,解得%1=不一2〃，..........9分

kk

直线QN的方程为y-2a=-；（x-a?）与抛物线丁=以联立，消去尤得丁十出—8版—4/=0,

K

由韦达定理可得2。+y%=-4女，解得％=-4左一2。，..........10分

显然直线MN斜率不为零,

X―尤为4（尤一%）4（无一%）

当直线MN斜率存在时，直线MN的方程为

XX

VN一%N~MVN—%（%+加乂%—＞M）

4尤+以力

整理得：y=

16

,4

将％=—-2a,力=~~4k—2a代入，MN得:

k

4x+卜2a(-44-2a)丘_4k-2a+2aE+a/、k(x-a2-4)

士―2〃—4%—2〃l-ak-kl-ak-k

k

所以直线。过定点(4+Y,—2力，即T点坐标为(4