上海市七校联考2024年高考临考冲刺数学试卷含解析

上海市七校联考2024年高考临考冲刺数学试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在直角梯形ABCD中,4B〃OC,ADLDC,AD=DC=2AB,E为AD的中点，若C4=2CE+〃。5（儿〃eR）,

则力+〃的值为（）

2.下列说法正确的是（）

A.“若。>1,则/>1”的否命题是“若则a2Vl

B.“若内/〈勿后,则。的逆命题为真命题

C.3x0e(0,+co),使3%>4%成立

]JT

D.“若sina/—,则aw—”是真命题

26

3.已知边长为4的菱形ABC。，ZZMB=60°,M为CD的中点，N为平面ABC。内一点，若AN=NM,则

AM-AN=()

A.16B.14C.12D.8

4.已知定义在R上的偶函数/Xx),当xNO时，/(x)="—三产，设a=/(ln0)/=/(JI),c=f(ln*),

则()

A.b>a>cB.b>a—cC.a=c>bD.c>a>b

5.已知集合"={x|—2<x<6},N={x\-3<x<log235},则MN=()

A.{%|-2<x<log235)B.[x\-3<x<log235}

C.{x|-3<x<6}D.{x|log235Vx〈6}

6.如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC与BD交于点。，且AE=2石0,则()

A.-AD--ABB.-AD+-AB

3333

C.-AD--ABD.-AD+-AB

3333

7.一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出

去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为

()

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

71

8.已知非零向量a力满足。为=0，|a|=3,且。与a+b的夹角为一，贝！J|b|=()

4

A.6B,3也C.2夜D.3

9.已知复数冬=(l+2i)(1+ai)(aGR),若zGR,则实数a=()

11

A.—B.C.2D.-2

22

10.正方形ABC。的边长为2,E是正方形内部(不包括正方形的边)一点，且A£AC=2,贝“AE+AC『的最

小值为()

2325

A.—B.12C.—D.13

22

11.已知a,匕满足同=2百，忖=3,“出=_6,则a在人上的投影为()

A.-2B.-1C.-3D.2

12.函数的图象大致为()

y/1+x2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设/(刈=匕％,若关于x的方程/(x)=/—2尤+及有实数解，则实数攵的取值范围___.

x

14.如图，在、ABC中，已知AB=3,AC=2,Z£L4C=120°,。为边BC的中点.若CELAO,垂足为E,

则EB-EC的值为一.

15.圆C:(x+1)2+(y—2)2=4关于直线y=2x-l的对称圆的方程为.

16.已知函数/(x)=2a(ln》—x)+x2(a>0)有两个极值点再、x2(xj<x2),则/(%)+/(%2)的取值范围为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知。，6均为正数，且必=1.证明：

(1)V«2+^2>-(-+-)；

2ab

(2)妇以+…会.

ab

221

18.(12分)已知椭圆E：=+与=1的离心率为一，左、右顶点分别为A、B,过左焦点的直线/交椭圆E于C、

a2b22

D两点(异于A、B两点),当直线/垂直于x轴时，四边形A3CD的面积为L

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线AC、6。的交点为Q；试问。的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

22。人

19.(12分)已知月,月分别是椭圆C:=+2=1(。>人>0)的左、右焦点，直线丁=丁与C交于两点,

ab3

NA月3=90，且.

(1)求。的方程；

(2)已知点P是C上的任意一点，不经过原点。的直线/与C交于M,N两点，直线PM,PN,MN,OP的斜率都存

在，且k^MN+kOp=09求kpM,kpN的值.

20.(12分)已知函数/(x)=ln---ax2+x(a＞0).

2x

(1)讨论函数/(x)的极值点的个数；

/(x)+/(x2)3

(2)若/U)有两个极值点%,%，证明工＞］一M2.

人］I人？I-

21.(12分)已知抛物线〃：必=2刀(。＞0)的焦点厂到点N(-1,-2)的距离为所.

(1)求抛物线"的方程；

(2)过点N作抛物线"的两条切线，切点分别为A,B,点4、3分别在第一和第二象限内，求AABN的面积.

22.(10分)在ABC中，A、B、。的对应边分别为。、b、c,已知。=2,c=2出,cosC=—

(1)求A;

(2)设M为6C中点，求的长.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

建立平面直角坐标系，用坐标表示C4,CE,D3,利用C4=XCE+〃D5(%〃eR),列出方程组求解即可.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，则0(0,0).

不妨设A5=L则C0=AO=2,所以C(2,0),A(0,2),B(l,2),E(O,1),

:.CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2)

CA=ACE+RDB

A(-2,2)=〃-2,2),

o6

A=—

—2%u——258

产解得则2+〃=g.

k+2〃=22

故选：B

【点睛】

本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.

2、D

【解析】

选项A,否命题为“若aW1,则储＜i"，故A不正确.

选项B,逆命题为“若a＜6,贝!]am?(方川，，，为假命题，故B不正确.

选项C由题意知对X/xe(O,+»),都有3、＜4、，故C不正确.

JT11JT

选项D,命题的逆否命题“若a=—，贝!Isina=—”为真命题，故“若sin。W—,则aw—”是真命题，所以D正确.

6226

选D.

3、B

【解析】

取AM中点。，可确定AM.ON=0；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得A”2,利用

AM-AN=AM-^AO+QN)可求得结果.

【详解】

取AM中点。，连接QV,

AN=NM,:.ON-LAM,BPAMON=0-

ZDAB=60，:.ZADM=nG，

.-.AM2=(DA/-DA)2=DA/2+DA2-2|DA/||DA|cosZADM=4+16+8=28,

则AM•AN=AM-^AO+ON^=AM-AO+AMON=1-AM2=14.

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面

向量数量积的运算性质进行求解.

4、B

【解析】

x2+2x

根据偶函数性质，可判断。关系；由了20时，/(x);函-；,求得导函数，并构造函数g(x)=e*-x-1,

由g'(x)进而判断函数/(x)在x之0时的单调性，即可比较大小.

【详解】

为定义在R上的偶函数,

所以c=/In

k

所以a=c；

r2+2%

当工之0时，/(x)二e「；

则r(x)="—x—1,

令g(x)=ex-x-1

贝!|g'(x)=e*—1,当x»0时，g'(x)=e'—120,

贝！Ig(x)=e'—x—1在x?0时单调递增,

因为g(O)=e°—0—1=0,所以g(x)="—x—120,

即r(x)=e——120,

2

则/(x)=e、—土r+^2■%在x»0时单调递增，

而O<ln0<&，所以

/(lnV2)</(V2),

综上可知，/^n^=/(lnV2)</(V2)

即。=c<Z?,

故选:B.

【点睛】

本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.

5、A

【解析】

根据对数性质可知5<log235V6,再根据集合的交集运算即可求解.

【详解】

v5<log235<6,

集合M-^x\-2<x<6],

二由交集运算可得McN={x[—2<x<log235}.

故选：A.

【点睛】

本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.

6、C

【解析】

画出图形，以A3,入。为基底将向量ED进行分解后可得结果.

【详解】

画出图形，如下图.

D

O

E

AB

选取人民幺。为基底，则AE=|AO=；AC=；(A3+AD),

IQ1

ED=AD-AE=AD——(AB+AD}=-AD——AB.

3V733

故选C.

【点睛】

应用平面向量基本定理应注意的问题

(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会

给解题带来方便.

(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.

7、D

【解析】

由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.

【详解】

4x+7y<50,

设购买甲、乙两种商品的件数应分别x,V利润为z元，由题意z=x+L8y,

.x,y&N,

画出可行域如图所示，

故选：D.

【点睛】

本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断X,y是否是整数，是否是非负数，并准确的画出

可行域，本题是一道基础题.

8、D

【解析】

利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可.

【详解】

一71

解：非零向量a，b满足a.b=O，可知两个向量垂直，Ia|=3,且。与a+b的夹角为一，

4

说明以向量a，b为邻边，a+b为对角线的平行四边形是正方形，所以则|切=3.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题.

9、D

【解析】

化简z=(l+2i)(1+ai)=(1—2a)+(a+2)i,再根据求解.

【详解】

因为z=(l+2i)(1+ai)=(l-2a)+(a+2)z,

又因为zWR,

所以a+2=0,

解得a=-2.

故选：D

【点睛】

本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

10、C

【解析】

分别以直线为％轴，直线AO为V轴建立平面直角坐标系，设E(x,y),根据A£AC=2,可求尤+y=l,而

UUUULUU

(AE+AC)2=(x+2)2+(y+2)2，化简求解.

【详解】

解：建立以A为原点，以直线A3为x轴，直线AO为V轴的平面直角坐标系.设E(x,y),xe(0,2),ye(0,2),则

AE=(x,y),AC=(2,2),由4£4右=2，即2x+2y=2,得x+y=l.所以

UUUULMU

(AE+AC)2=(x+2,+(y+2)2=x2+y2+4(x+y)+8

10251UUULILUU25

=2%2-2尤+13=2(X--)2+y,所以当x=7时，(AE+A。？的最小值为彳.

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.

11,A

【解析】

根据向量投影的定义，即可求解.

【详解】

a在匕上的投影为同COS9=4=T=—2.

故选:A

【点睛】

本题考查向量的投影，属于基础题.

12、A

【解析】

用偶函数的图象关于y轴对称排除C,用/(71)<0排除3，用/。)〉4排除。.故只能选A.

【详解】

因为/(-x)=6alM_(-4=6^-1—=/(x),

71+(-X)2J1+V

所以函数/(X)为偶函数，图象关于y轴对称，故可以排除c；

，故排除瓦

/1,

6----.r>6—.，方6一上—知,…

V7T4124442

故选:A

【点睛】

本题考查了根据函数的性质，辨析函数的图像，排除法,属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(―℃,2]

【解析】

先求出了‘(》)=-竺，从而得函数在区间(o,i)上为增函数；在区间a,y)为减函数.即可得了(X)的最大值为

/(1)=1,令g(x)=f-2》+%,得函数g(x)取得最小值g⑴="l,由/(%)=必—2x+上有实数解，进

而得实数上的取值范围.

【详解】

板？、1nx

解：f'{x}=--,

,当xw(0,1)时，f\x)>0；当xe(l,+8)时，f'x)<0；

函数/(X)在区间(0,1)上为增函数；在区间(L+8)为减函数.

所以/'(X)的最大值为/(1)=1,

令g(x)=无？-2无+左,

所以当x=l时，函数g(x)取得最小值g6=左T,

又因为方程/。)=必一2%+上有实数解，那么"LJ,即鼠2,

所以实数上的取值范围是：(-吗2].

故答案为：(-吗2]

【点睛】

本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，属于中档题.

一27

14、---

7

【解析】

EB•EC=(EA+AB).EC=AB•EC=(AD+DB).EC=CD•EC=-EC”,

由余弦定理，得BC=V9+4-2X3X2XCOS120=晒，

4+19—9工AD_币C_3V3

得cosC=

4M2回A。-S-丁

所以"=¥，所以EB-EC=一2.

V77

点睛：本题考查平面向量的综合应用.本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到

EBEC=-EC"，所以本题转化为求CE长度，利用余弦定理和面积公式求解即可•

15、(x—3)2+/=4

【解析】

求出圆心关于直线的对称点，即可得解.

【详解】

C:(x+1)2+(丁一2)2=4的圆心为(T,2),关于y=2x-l对称点设为(x,y),

y+2x-1

-----=2x------1

22

则有：c、，解得

y-2_1

.x+l~~2

所以对称后的圆心为(3,0),故所求圆的方程为(x-3)2+/=4.

故答案为：(x—3)2+)?=4

【点睛】

此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标.

16、(-oo,161n2-24)

【解析】

确定函数y=/(x)的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求/(玉)+/(9)的取值

范围.

【详解】

2cix+2c,

函数/(x)=2a(lnx—力+%2的定义域为(0,+。)，/>(x)=24/f--lL2x=~,

(X)X

依题意，方程2必—2ax+2a=0有两个不等的正根匹、x2(其中占<%),

则八=4储一i6a>0na>4,由韦达定理得玉+0=。>0,x[x2=a>09

所以

/(%1)+/(%2)=2t71n(x1x2)+^xf+尤;)-2。(石+x2)

=2aIn(X]尤2)+[(Xi+%)~—2再％2]-2a(玉+々)=2。Ina+a2-2a-la1=2aIna-a?-2a,

令/z(a)=2alna-a2_2a(a>4),则〃'(a)=21na-2a,h"(a)=--2=^-~,

aa

当a>4时，h"⑷<0,则函数y="(a)在(4,+8)上单调递减，贝|//(a)</z(4)=41n2—8<0,

所以，函数y=〃(a)在(4,+⑹上单调递减，所以，/z(a)</z(4)=161n2-24.

因此，/(石)+/(%)的取值范围是(―』61n2—24).

故答案为：(^),16In2-24).

【点睛】

本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将/(%)+/(%)的取值范围转化为以。为自变量的函数

的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析(2)见解析

【解析】

f-+-^,两边开方并化简，证得不等式成立.

(1)由/+〃之2仍进行变换，得到2(/+〃)2

yba)

⑵将3+3

化为（q3+万）+2（片+/）+,+6）,然后利用基本不等式，证得不等式成立.

ab

【详解】

(1)a2+b2>2ab，两边力口上a?+/得2(4+/)“a+与2=(巴孑)，即2(/+/)[：+口，当且仅当

。=办=1时取等号，

（2）

3+心上+竺+UML4+2（2+q）+H（a3+⑹+

abaaabbbabababy7

2（/+/?2）+（〃+/?）2+4^+2y[ab-8.

当且仅当a=Z?=l时取等号.

【点睛】

本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

22

18、(1)—+^=1

43

(2)是为定值，。的横坐标为定值Y

【解析】

(1)根据“直线/垂直于x轴时，四边形ABC。的面积为1”列方程，由此求得力，结合椭圆离心率以及02=82+02,

求得a，c,由此求得椭圆方程.

(2)设出直线/的方程x=1,联立直线/的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线AC,的方

程，并求得两直线交点。的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得。的横坐标为定值T.

【详解】

(1)依题意可知!x2a•应=6,解得〃=3,即b=JL而e=4，即a=2c,结合/+°2解得。=2,c=l,

2a2

22

因此椭圆方程为L+2L=I

43

(2)由题意得，左焦点――1,0),设直线/的方程为：x=my-l,£>(%，%)•

由消去x并整理得(3疗+4)/—6切—9=0,...%+%=/=，

3x+4y=12,73m+43m+4

直线AC的方程为：y=57(x+2),直线6。的方程为：y=』7(x—2).

再+2x2-2

4帆y必+2必一6y/、

联系方程，解得x=W+y-―J又因为—2冲1%=3(%+%)・

所以x=—6(%+%)+2%—6%=—?必4%=_4.所以。的横坐标为定值一.

【点睛】

本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运

算求解能力，属于中档题.

22A

19、（1）L+匕=1（2）-

545

【解析】

（垂2、（垂2）

（1）不妨设A-1~a,-b,B^-a,-b,计算得到4a2=5尸，根据面积得到。也=2追，计算得到答案.

3333

22

（2）设0（如%），加（石，％），NG,%），联立方程利用韦达定理得到再+%=公产，石%2="工一年，代

24

入化简计算得到答案.

【详解】

（加2、

（1）由题意不妨设A—丁

I33J

'45a2b'

则

F2A=

54b2

2222

VZAF2B=90fF2AF2B=c-^a+-^-=09：.4a=5b.

▽c_12y/5a2b_20..R

又5白的48=3义----T=豆，••00=2,5，

22

:“出，b=2,故C的方程为二+乙=1.

54

（2）设尸（如%），=（%，%），N（w，%），则%=},•,%+*=。，

Ao

:,kMN=-迎,设直线脑V的方程为丁=—&%+加（加

%%

+5y；）%2-lOmXo为x+5x；（加一"二0.

•••尸在（7上，・・・44+5¥=20,・・・上式可化为4%2-2祖%0%%+%（后一4）=0.

22

22

,尤1+%="个",=^-^--Xg,A=4Xg（mJo-4m+16）＞0,

24

m4

（-yo）_2/TUQ

••X+y,=—（X[+x2）+2m

25

(x-%)(%-%)=%(x+%)+y：=r^L-yl一也产+y；

2

m%Q-lnv(^yQ

5

2

mXg-lmx^yQ

4

.k.k—xf%-%—4

••%PM%PN~~c•

玉-x0x2-x05

【点睛】

本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

20、(1)见解析(2)见解析

【解析】

⑴求得函数“X)的定义域和导函数/'(X),对。分成a=O,a2：,0<a<：三种情况进行分类讨论，判断出/(%)

88

的极值点个数.

1f(x)+f(x)a1

(2)由(1)知ae(O,—),结合韦达定理求得再,马的关系式，由此化简"1,一9的表达式为2aln<+—+2a,

8Xj+x222

a13/(%.)+/(%,)3,0

通过构造函数法，结合导数证得2aln3+—+2a>^-ln2,由此证得‘।也2成立.

2244

【详解】

(1)函数/(x)=In二--ax2+x=-ln2x-ax2+x的定义域为xe(0,+oo)

2x

ZBz\1c1—2dX2+X—1小、

得f(x)=----2o%+1=-----------,XE.(0,+oo),

XX

(i)当a=0时；/(x)=——->

x

因为无£(0,1)时，/(X)<0,犬£(1,+8)时，/'(x)>。，

所以X=1是函数/(X)的一个极小值点;

(w)若a>0时,

若A=l—8aW0,即。2工时，/(x)<0,

8

/(x)在(0,+8)是减函数，/(X)无极值点.

若A=l—8。>0,即0<a<g时，

f(x)=2<zx"—x+l=0有两根X],々，X]+x,=—>0,=—〉0，

-~2a2a

：.%1>0,x2>0不妨设0<X]<工2

当xe(0,X])和工6(%2，+°°)时，f'(x)<0,

当》€(王,马)时，f'(x)>0,

，士,々是函数f(x)的两个极值点,

综上所述。=0时，/(X)仅有一个极值点；

时，f(x)无极值点；0＜。＜!时，/Xx)有两个极值点.

88

(2)由(1)知，当且仅当ae(0+)时，/(x)有极小值点看和极大值点%，且玉，%是方程2改2—x+1=0的两

根，

11e

Xy+%2=---,=---9贝！J

2a2a

/&)+/(%)1।12、“、

所以------------=(Z1In------ciXy2+Xy+In-------+%)•(2。)

'''xr+x22xx2X2

=[-(In+ln2x2)-a(x^+%；)+(%+x2)]-2^

=[-111(4玉%2)—々(%；+%；)+(%+x2)]­2a

「211I.

二[一In——a(z--——)+——]-2a

a4aa2a

=(In----+1+—)-2a=2a\n—+—+2a

24a2a22

设g(a)=2。1口0+,+2[,则g(a)=21n4+4,又a£(0,)，即

2228216

所以g'(a)=21n@+4<21n^-+4=—41n4+4<0

216

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