高考数学 特色题型汇编：计数原理原理与概率统计解答题-超几何分布（原卷及答案）（新高考地区专用）

计数原理原理与概率统计解答题——超几何分布

1.“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调

查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：

周末体育锻炼时间

[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

r(min)

频率0.10.20.30.150.150.1

(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数亍；(同一组中的数据用该组区间的中

点值作代表)

(2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在[40,60)内的学生中抽取

15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在[50,60)内的人数

为X,求X的分布列以及数学期望E(X).

2.书籍是精神世界的人口，阅读让精神世界闪光，阅读已成为中学生的一种生活习惯，

每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地中学生的阅读情况，通过随机抽

样调查了〃名中学生，对这些人每周的平均阅读时间(单位：小时)进行统计，并将样

本数据分成[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),

[16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知这〃名中学生中每周平均间读

时间不低于16小时的人数是2人.

⑴求〃和a的值；

(2)为进一步了解这〃名中生数字媒体读时间和纸质图书阅读时间的分配情况,从周平均

时间在[8,10),[10,12),[12,14)三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6

人,现从这6人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在[10,12)内的中学生人数为X,

求X的分布列和数学期望.

3.北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市

和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同

为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥

组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束

后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果,从中随机抽取80名志愿者的考核成绩,

根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.

女志愿者考核成绩频率分布表

分组频数频率

[75,80)20.050

[80,85)130.325

[85,90)180.450

[90,95)am

[95,100]b0.075

男志愿者考核成绩频率分布直方图

0.080

0.060

25

15

10

若参加这次考核的志愿者考核成绩在［90,100］内，则考核等级为优秀.

（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数;

（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到

女志愿者的人数为X,求X的分布列及期望.

4.冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四

年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了弘扬奥林匹克

精神，增强学生的冬奥会知识，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.

为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在全市中小学学校中随机抽取

了10所学校，10所学校的参与人数如下：

(1)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与旱地冰壶

人数在30人以下的概率.

(2)某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进

行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，

该校中同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考

核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化?请说明理

由.

5.某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个.

在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验.若其中没有次品，则直接

购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件.

(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；

(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测的次数为X,

求X的分布列及期望.

6.2021年11月25日，南非报告发现新冠病毒突变毒株8.1.1.529,26日，世界卫生组

织将其命名为“奥密克戎'’.传染病专家威兰德根据现有数据计算称，相比原始新冠毒株,

“奥密克戎”的传染性高出5倍，而“德尔塔”仅高出70%.在最近的中非合作论坛上，中

国正式宣布将再次向非洲援助冠状病毒疫苗10亿针.同时:卫生部拟从5名防疫专家

中抽选人员分批次参与援助南非活动.援助活动共分3批次进行，每次援助需要同时派

送2名专家，且每次派送专家均从这5人中随机抽选.已知这5名防疫专家中，2人有

援非经验，3人没有援非经验.

⑴求5名防疫专家中的“甲”，在这3批次援非活动中恰有两次被抽选到的概率；

(2)求第一次抽取到没有援非经验专家的人数X的分布列与期望.

7.某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努

力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每

位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面

值之和就是该员工所获得的奖励额.

(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较

员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；

(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第

一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80

元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相

对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由.

8.2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告(2022)》

显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方

式.为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对

45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余

3

下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占统计后得到如下2x2列联表:

销售额不少于30万元销售额不足30万元合计

线上销售时间不少于8小时1720

线上销售时间不足8小时

合计45

(1)请完成上面的2x2列联表，并依据a=0.01的独立性检验，能否认为赞助企业每天的

销售额与每天线上销售时间有关;

(2)①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万

元和销售额不足3()万元的企业数;

②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8

小时的企业数是X,求X的分布列及期望值.

附:

a0.10.050.010.0050.001

Xn2.7063.8416.6357.87910.828

n{^ad-bc\

参考公式：x2=，其中“=a+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

9.一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口、鼻及下颌，用于普通医疗环境中佩戴、

阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩，按照我国医药行业标准，口罩对细菌

的过滤效率达到95%及以上为合格，98%及以上为优等品，某部门为了检测一批口置对

细菌的过滤效率.随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率(百分比)按照［95,96),

［96,97),［97,98),［98,99),［99,100］分成5组,制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中m的值并估计这一批口罩中优等品的概率；

(2)为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从［98,99)和［99,100］两

组中抽取7个口罩，再从这7个口罩中随机抽取3个口罩做进一步检测，记取自［98,

99)的口罩个数为X,求X的分布列与期望.

10.为了解某车间生产的产品质量，质检员从该车间一天生产的100件产品中，随机不

放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测.假设这100件产品中有40件次品，

60件正品，用X表示样本中次品的件数.

(1)求X的分布列(用式子表示)和均值；

(2)用样本的次品率估计总体的次品率，求误差不超过0.1的概率.

参考数据：设P(X=%)=0*=O,1,2,,20,则

p5=0.06530,/?6=0.12422,/?7=0.17972,4=0.20078,

/?9=0.17483,“I。=0.11924,p”=0.06376,/?12=0.02667.

11.北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京

市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京，张家口

同为主办城市，也是中国继北京奥运会，南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬

奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结

束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核

得到的统计图表如下所示.

女志愿者考核成绩频率分布表

分组频数频率

[75,80)20.050

[80,85)130.325

[85,90)180.450

[90,95)am

[95,100]b0.075

若参加这次考核的志愿者考核成绩在［90,100］内，则考核等级为优秀

(1)分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数;

(2)若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志

愿者的人数为X,求X的分布列及期望.

12.设“22,〃eN*,甲、乙、丙三个口袋中分别装有〃-1、〃、”+1个小球，现从

甲、乙、丙三个口袋中分别取球，一共取出〃个球.记从甲口袋中取出的小球个数为X.

(1)当”=5时，求X的分布列；

(2)证明：Cg“+CC“++c：c“=c;"；

(3)根据第(2)问中的恒等式，证明：E(X)=、」.

13.十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个

五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原

创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离

子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等

离子注入机，工艺段覆盖至28nm,为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片

制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做

出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格

的芯片，第一批占60%,次品率为6%；第二批占40%,次品率为5%.为确保质量，

现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查.

(1)从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；

(2)若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取

3片芯片，求这3片芯片含第二批片数X的分布列和数学期望.

14.已知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为20,15,10.现采用分层抽样的

方法从中抽取9人，进行睡眠时间的调查.

（1）应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？

（2）若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，现从这9人中随机抽取3人做进一

步的访谈调研，若随机变量X表示抽取的3人中睡眠充足的成员人数，求X的分布列与

数学期望.

15.2021年9月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责任

公司联合发布《致全省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何

有序节约用电.某市电力公司为了让居民节约用电，采用“阶梯电价''的方法计算电价，每

户居民每月用电量不超过标准用电量x（千瓦时）时，按平价计费，每月用电量超过标

准电量x（千瓦时）时，超过部分按议价计费.随机抽取了100户居民月均用电量情况,

已知每户居民月均用电量均不超过450度，将数据按照[0,50）,[50,100）,…[400,450]

分成9组，制成了频率分布直方图（如图所示）.

（千瓦时）

⑴求直方图中的值；

（2）如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量

标准x（千瓦时）的值;

(3)在用电量不小于350(千瓦时)的居民样本中随机抽取4户，若其中不小于400(千

瓦时)的有X户居民，求X的分布列.

16.某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔,

甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代

表学校参加大赛.每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个

问题.已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回

答这道题目的概率均为?，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响

的.

(1)求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率.

(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X,Y,求随机变

量X,y的期望E(x),E(y)和方差£>(x),D(Y),并由此分析由哪个班级代表学校

参加大赛更好.

17.2021年某省开始的“3+1+2”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选

考科目，制定了计算转换分T(即记入高考总分的分数)的“等级转换赋分规则”(详见附1

和附2),具体的转换步骤为：①原始分y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.某

校的一次年级模拟考试中，政治、化学两选考科目的原始分分布如下表：

等级ABCDE

比例约15%约35%约35%约13%约2%

政治学科各等级对应的原始分区间[81,98][72,80][66,71][63,65][60,62]

化学学科各等级对应的原始分区间[90,100][80,89][69,79][66,68][63,65]

现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下:

政治化学

个位数十位数个位数

987665406479

986542107012345799

862813469

49358

（1）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为86分，乙同学选考化学学科，其原始分

为93分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别计算甲乙同学的转换分，并从公平性

的角度谈谈你对新高考这种”等级转换赋分法”的看法.

（2）若从该校化学学科等级为A、B的学生中，随机抽取3人，设这3人转换分不低于

90分的有4人，求J的分布列和数学期望.

附I：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.

等级ABCDE

原始分从高到低排序的等级人数占

约15%约35%约35%约13%约2%

比

转换分了的赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

Y-YT-T

附2:计算转换分T的等比例转换赋分公式：£~/=黄=（其中：匕X，分别表示原始

分y对应等级的原始分区间下限和上限；几（分别表示原始分对应等级的转换分赋分区

间下限和上限.T的计算结果按四舍五入取整）

18.自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员

不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防

疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为

实验对象，进行了一些实验.

（1）实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们

暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新

冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染

的白兔只数记作X,求X的分布列和数学期望.

（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每

次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新

冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达

到96%,如若可以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能

满足以上要求.

19.某中学选取20名优秀学生参加数学知识竞赛，将他们的成绩（单位：分）分成范

围为［40,50）、［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］,共6组，得到频率分布

直方图如图所示.

（1）若将成绩大于或等于80分视为高分，试求参加竞赛学生成绩的高分率；

（2）若从参加竞赛的学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在范围［40,70）记0分，在

范围［7（）,1（用］记1分，用表X示被抽取得2名学生的总记分，求X的分布列和数学期望.

20.某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生（其中男.女生各

占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次

数分为5组：［0,5）,［5,10）,［10,15）,［15,20）,［20,25］,得到如图所示的频率分布直

方图.

女生组男生组

(I)写出女生组频率分布直方图中。的值；

(II)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X表

示随机抽取的2人中男生的人数，求X的分布列和数学期望.

参考答案:

1.(1)58.5；

9

⑵分布列答案见解析，数学期望：

【分析】（1）根据平均数的定义，7等于频率乘以每一组数据的中点值之和；

⑵根据题意，X的可能取值是0,1,2,3,再根据古典概型计算方法分别计算概率即可.

（1）

估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数

T=35x0.1+45x0.2+55x0.3-1-65x0.15+75x0.15+85x0.1=58.5.

（2）

依题意，周末体育锻炼时间在［40,50）内的学生抽6人，在［50,60）内的学生抽9人，

贝|JP（X=O）=昙=4，P"=l）=警=K，「5二与二等二及，

P（X=3）=g■福，

Gs65

故X的分布列为:

X0123

42721612

P

919?45565

八4127c216_129

贝E(X)=0x—+lx——+2x---+3x——=-.

'J9191455655

2.(1)100,0.10

(2)分布列见解析，期望为1

【分析】（1）根据总数等于频数除频率，即可求得总数〃，根据频率和为1,可求得。值.

（2）根据［8,10）,［10,12）,［12,14）三组内的中学生人数比为3:2:1,可求得6人中周平均阅读

时间在［10,12)内的中学生人数为2人，可得X的可能取值，分别求得各个取值对应的概率,

列出分布列，代入公式，即可得期望.

(1)

2

由题意得〃三；=100

2x0.01

a=11-2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+0.05+0.04+0.01)K2=0.10.

(2)

依题意,周平均阅读时间在［810),［10,12),［12,14)三组内的中学生人数比为3:2:1,

则6人中周平均阅读时间在［10,12)内的中学生人数为2人

X的所有可能取值为0,1,2

322

P(X=O)=NC=1L,尸(X=l)=c^'Ci=3±,P(X=2)=c^'C=1-

c：5C：5C：5

所以X的分布列为

X012

3]_

P

555

131

数学期望为EX=0xg+lxg+2xg=l

3.(1)考核等级为优秀的男志愿者人数为5,考核等级为优秀的女志愿者人数为7；(2)分

7

布列见解析，期望为7.

【分析】(1)根据频率分布表求出女志愿者的人数，由概率和等于1求出加，进而根据概率

与志愿者总人数可求出优秀人数.

(2)根据超几何分布求出分布列，再由分布列以及期望计算公式即可求解.

【详解】解：(1)由女志愿者考核成绩的频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为

2-0.05=40.

因为0.050+0.325+0.450+m+0.075=1,所以机=0.1(X),

所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为40x(0.100+0.075)=7.

因为被抽取的志愿者人数是80,所以被抽取的男志愿者人数是80-40=40.

由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为

(0.010+0.015)x5=0.125,

则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为40x0.125=5.

(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3.

且=J1=_LCjC\70_7

尸(X=0)=尸(X=l)=

322022~C^~~220~22

Clc2105C_35_7

P(X=2)=-^-=——,P(X=3)=

品220C^-220-44

X的分布列为

X0123

17217

P

22224444

i72177

故E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=

v7222244444

4.(1)I；(2)答案不唯一，答案见解析.

【分析】(1)参与旱地冰壶人数在30人以下的学校共6所，计算从6所中选取2所和从10

所中选取2所的事件数，由随机事件的概率公式计算概率；

(2)计算甲同学指导前考核"优''的概率，推断甲同学考核时“优”发生可能性的大小，得出

结论，理由充分即可.

【详解】(1)记“选出的两所学校参与旱地冰壶人数在30人以下”为事件A,

参与旱地冰壶人数在30人以下的学校共6所，随机选择2所学校共C；=15种，

所以*4)=胃=/

jo3

因此选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率为g.

(2)答案不唯一.

答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.

理由如下：

指导前，甲同学总考核为“优”的概率为C；0.12.0.9+C；•0.F=o028….

指导前，甲同学总考核为“优''的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”

的概率发生了变化.

答案示例2：无法确定.理由如下：

指导前，甲同学总考核为“优''的概率为C<0.12.0.9+C；.0.r=0.028....

虽然概率非常小，但是也可能发生，

所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.

7

5-⑴布；

⑵分布列答案见解析，数学期望：嚷109.

45

【分析】(1)依题意，利用古典概型的公式计算求解；

(2)利用概率的乘法计算每一个随机变量取值的概率，再求数学期望.

(1)

设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A.

则p(A)=q」；

'，品1()

(2)

X可能取值为1,2,3,

则尸(X=l)=2=，；p(x=2)=—x-=—,P(X=3)=*xN=".

''105'7109451710945

故X的分布列是

皿1c8。28109

故E(X)=lx-+2x—+3x—=---

,)5454545

,36

6.(1)—；

125

(2)分布列见解析；期望为1.2.

【分析】(1)由题可得甲在每轮抽取中，被抽取到的概率，然后利用独立重复实验概率公式

即得；

(2)由题知X的可能取0,1,2.然后根据分布列的步骤及期望公式即得.

(1)

2

由题可知5名防疫专家中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为二，

则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为P=C；x(|jx6卜费；

(2)

由题可知X的可能取值有0,1,2.

P(X=。嚏vP(X=】)=善端尸(X=2)笔磊

所以分布列为:

X012

P0.10.60.3

所以X的期望£X=OxO.l+lxO.6+2xO.3=1.2.

7.(1)员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等

(2)应选择第二种方案；理由见解析

【分析】(1)根据超几何分布求出员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率即可；

(2)根据题意可知有两种方案(20,20,100,100)、(40,40,80,80),分别求出对应的分布列，进

而求出对应的数学期望和方差，从而得出结论.

(1)

用X表示员工所获得的奖励额.

因为尸(X=80)=P(X=120)=

C：2,~^r-2

所以P(X=80)=尸(X=120),

故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等.

(2)

第一种方案为(20,20,100,100),

设员工所获得的奖励额为X,,则X,的分布列为

X140120200

22\_

P

636

121

所以X1的数学期望为E(Xj=40x=+120x；+200xz=120,

636

,0197016400

X1的方差为£>(Xj=(40_]2O)x—+(120T20)x_+(2(X)_]20)=

第二种方案为(40,40,80,80),

设员工所获得的奖励额为X?,则X?的分布列为

X?80120160

121

P

636

i21

所以X?的数学期望为E(X2)=80XW+120X；+160X2=120,

636

X,的方差为O(X,)=(80-120)2*1+(120-120)2x2+(160-120『xL=^22,

6363

又因为500E(Xj=500E(X2)=60000(元)，

所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，

故应选择第二种方案.

8.(1)2x2列联表见解析，能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；

(2)①应从销售额不少于30万元的企业抽取3家；从销售额不足30万元的企业抽取2家；

②解答见解析.

【分析】(1)由题意分析数据，完成2x2列联表，计算对着参数判断下结论；

(2)①利用分层抽样即可求解；②判断出X的可能取值为0,1,2.,分别求概率，写出分

布列，求出数学期望.

(I)

由题意分析可得：签约企业共45家，线上销售时间不少于8小时的企业有20家，那么线上

33

销售时间少于8小时的企业有25家，每天的销售额不足30万元的企业占g,共有25x'=18.

完成2x2列联表如下：

销售额不少于30万元销售额不足30万元合计

线上销售时间不少于8小时17320

线上销售时间不足8小时101525

合计271845

〃叱反)2_45x(17x15-3x10)2

Z~(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~27x18x20x25一.,

a=0.01对应的参数为6.635.而9.375>6.635,所以可判断赞助企业每天的销售额与每天线

上销售时间有关；

(2)

①由题意可知销售额不少于30万元有27家，销售额不足30万元有18家.

按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，抽样比为三=!，

459

所以应从销售额不少于30万元的企业抽取27*5=3(家)；

从销售额不足30万元的企业抽取18xt=2(家)；

②由题意进行数据分析可知：每天的销售额不足30万元，每天线上销售时间不少于8小时

的企业有3家，线上销售时间少于8小时的企业有15家.

由①可知，从销售额不足30万元的企业抽取2家.所以X的可能取值为0,1,2.

则尸40)=斑=巴著；唳=|)=警=舒喑；

(7C2o18x17515——

182x1

尸(、=2)磊=岛74

2x1

所以X的分布列如下：

X012

35151

P

515151

15.1]_

所以醺X)=0x+lx—+2x—

7T51513

所以X的期望值为;.

9.(1)0.25,0.35

(2)分布列见解析，y

【分析】(1)根据频率之和等于1可得，力然后直接计算优等品的概率即可;

(2)先由分层抽样取得各层样板个数，然后由超几何分布计算可得.

(1)

由图可知w=1-(0.15+0.20+0.30+0.10)=0.25

估计这一批口罩中优等品的概率为0.25+0.1=0.35

(2)

因为加=0.25,所以从［98,99)中抽取了宗工7义7=5个，从［99,100］中抽取,。广7=2

V/.4JIV/•XX♦乙JIyJ•1

个.

则X的可能取值为1,2,3,

2

且P(X=1)=*C'C=[1,P(X=2)=皆C'C'=,4P(X=3)=C=2

C；7

故X的分布列为

「kr20-女

(40^8()

10.(DX的分布列为P(X=Q=7^20~，后=0,1,2,,20,X的均值为E(X)=8；

Cl()0

(2)0.79879

【分析】(1)由题意随机变量X服从超几何分布，从而即可求解;

(2)样本中次品率6。=看是一个随机变量，由题意，P(|4,-0.4|^.l)=P(6X?10),根

据参考数据即可求解.

(1)

解：由于质检员是随机不放回的抽取20件产品，各次试验之间的结果不相互独立，

所以由题意随机变量X服从超几何分布，

所以X的分布列为P(X=k)=笔］,无=0,1,2,,20,X的均值为

Cioo

40

E(X)=np=20x=8；

100

(2)

解：样本中次品率八。=为是一个随机变量，

所以

P(|4)-0.4|Ml)=尸(6X?10)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)

=0.12422+0.17972+0.20078+0.17483+0.11924=0.79879.

所以误差不超过().1的概率为0.79879.

11.(1)5,7

7

⑵分布列见解析，-

4

【分析】(1)由图表数据求解

(2)由超几何分布公式求解

(I)

由女志愿者考核成绩频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为2+0.05=40.

因为0.050+0.325+0.450+m+0.075=1,所以加=0.100,

所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为40x(0.100+0.075)=7.

因为被抽取的志愿者人数是80,所以被抽取的男志愿者人数是80-40=40.

由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为

(0.010+0.015)x5=0.125,

则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为40x0.125=5.

(2)

由题意可知X的可能取值为0,1,2,3.

3

尸(x=0)=与=里=*，P(X=I)=707

\7/220-226-22

P(X=2)=华*，尸-3)二6357

7C：2一画一

'C,222044

X的分布列为

X0123

17217

P

2222石44

I72177

故E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=一

'1222244444

12.(1)分布列答案见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)分析可知随机变量X的可能取值为0、1、2、3、4,计算出随机变量X在

不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列；

(2)设从乙口袋抽取的小球的个数为随机变量y,利用超几何分布可得出随机变量丫的分

布列，根据概率之和为1,结合组合数的性质可证得结论成立；

n—2

(3)利用组合数公式可得出AC3=(〃-l)C/,计算出ZCLC屋，=c：3,利用期望公式

，〃=0

可证得结论成立.

(1)

解：当〃=5时，甲、乙、丙三个口袋中小球的个数分别为4、5、6,

随机变量X的可能取值为0、1、2、3、4,

P(X=0)=H，P(X=1)=粤喘P(X=2)=野嗡

-513C|5"1

「3r2040ii

P(X=3)=^1=—,p(x=4)=^^=—,

')CM143''。143

所以，随机变量X的分布列如下表所示:

X01234

24030201

P

9?9?143143

⑵

证明：设从乙口袋抽取的小球的个数为随机变量乙

由超儿何分布可知，随机变量y的分布列为P（y=%）=一4J（04%4〃/eN）,

由组合数的性质可知，当04人4/7且ZeN时，C=C丁，

根据分布列的性质可知名"2n_a〃2"_I

-^一-^-

所以，c：c；"+c：c；"++c：c,=£c：c;,=c)

r=0

⑶

证明：由题意可知，随机变量X的可能取值为：0、1、2、L、n-\

随机变量X的分布列为P（X=A）=与孕上（0

.(72—1)!——/

当"22时，"T=*!.(“_j)!=("i)!.(“_"])!=("l)-2,

〃一刀一

11di=半(〃-1)C|二空(〃-i)c;c渭T

则E(X)=ZhP(X=Z)=Z

Z-1/?

k=0k=0&=1。3〃w=0

设一批产品中有3〃-1(n22,〃€用)件产品，其中有〃一2件次品，2〃+1件正品,

从中抽取〃-1件产品，其中次品的件数记为乙则4的可能取值有0、1、2、L、〃—2,

H-1

n-2

乙2y“+17,所以，工丁=

根据分布列的性质可得y尸=⑼=“1=0Zc%c51

-1m=0

6=0

n—2(〃-1)CLC篮t(〃-1).(3〃-1)!

因此，E(X)=Z

m=0G：(n-l)!-(2n)!(3〃)！3

13.(1)0.944

(2)分布列见解析，!

【分析】(1)设事件3="任取一个芯片是合格品“，事件A="产品取自第一批“，事件&=

“产品取自第二批"，则。=AL&且A、&互斥，由全概率公式可得答案;

(2)求出X的可取值和概率可得分布列.

(1)

设事件5=”任取一个芯片是合格品“，事件A=”产品取自第一批”，

事件&="产品取自第二批“，则。=A&且A、&互斥；

由全概率公式可知:P(B)=P(A)尸(网A)+P(4)P(B|4)，

所以尸(8)=0.6*(1—0.06)+0.4(1—0.05)=0.944.

(2)

由条件可知：第一批芯片数：9,第二批芯片数：6；

X的可取值为0,1,2,3；

wx=o)="=里』.

()味45565，

n/v__C；C：_216

唳一n|)-可F

尸"2)=华=里卫；

'7CW45591

C：204

P(X=3)

C^-455-91

所以X的分布列为:

X0123

12216274

p

654559?91

6

所以E(X)=0x—丝+2X2+3XJ

6545591915

14.(1)分别抽取4人，3人，2人

(2)分布列见解析，£(X)=|

【分析】(1)甲、乙、丙三个研究项目的成员人数之比为4:3:2,利用分层抽样的方法，即

可求得从甲、乙、丙三个研究项目的员工人数；

(2)由题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,求得相应的概率，得出其分布列，利用

期望的公式，即可求解.

(1)

由己知，甲、乙、丙三个研究项目的成员人数之比为20:15:10=4:3:2,

.♦•应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取的人数为4x,3x,2x,

4x+3x+2x=9,解得x=l,

・・・应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取4人，3人，2人；

(2)

随机变量X的所有可能取值为01,2,3,

41ClC2305

P(X=l)=^-=—

则”x=o)=,=正21C；84

,随机变量X的分布列为

X0123

15105

P

21142?42

随机变量X的数学期望E(X)=Ox[+lx亮+2x3+3x'=|.

15.(l)/n=0.(X)3()

(2)尤=290