八年级数学下册 勾股定理全章复习与巩固

勾股定理全章复习与巩固

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课程标准

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

继知识精讲

知识点01勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2+b2=c2）

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是:

（1）已知直角三角形的两边，求第三边;

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为6的线段.

知识点02勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把

其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长bC,满足/+62=02,那么这个三角形是直角三角形.

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为C；

（2）验证0?与/+〃是否具有相等关系，若/+〃=，，则4ABC是以NC为直角的直角三角形，反

之，则不是直角三角形.

3.勾股数

满足不定方程/+/=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以X、VZ

为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（a、bc）是勾股数，当t为正整数时，以m、btc/为三角形的三边长，此三角形必为直角三角

形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差L

3.假设三个数分别为a、bc,S.a<b<c,那么存在/=b+c成立.（例如④中存在7?=24+

25、92=40+41

知识点03勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

口能力拓展

考法01勾股定理及逆定理的应用

【典例1】如图所示，直角梯形ABCD中，AD/7BC,ZB=90°,AD=375,AB=10A/5,BC=8A/5,E是

AB上一点，且AE=4j^,求点E到CD的距离EF.

【分析】连接DE、CE将EF转化为4DCE一边CD上的高，根据题目所给的条件，容易求出4CDE的面积，

所以利用面积法只需求出CD的长度，即可求出EF的长度，过点D作DHLBC于H,在RtZXDCH中利用勾股

定理即可求出DC.

【答案与解析】

解：过点D作DH_LBC于H,连接DE、CE,则AD=BH,AB=DH,

/.CH=BC-BH=8A/5-375=575DH=AB=10A/5,

在RtZiCDH中，CD?=DH-+CH2=(10V5)2+(575)2=625,

CD=25,

SXCOE=S梯形/BCD-SADE-SBC£

=g(AD+BC)•AB—gAD•AE—；BC•BE

=1X(3V5+8V5)X10V5-1X3A/5X4V5-1X8A/5X6V5=125

又：S&CDE=LDC.EF，

/\t.!Jr.2

，-x25»£,F=125,EF=10.

2

【点睛】（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法求三角形一边上的高是一

种常用的简易方法.（2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换.

【即学即练】如图所示，在AABC中，D是BC边上的点，已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求DC的

长.

【答案】

解：在ZiABD中,由12?+5?="2可知：

AD"+BD1=AB2,又由勾股定理的逆定理知NADB=90°.

在RtAADC中，DC=^AC2-AD2=A/152-122=9.

考法02勾股定理与其他知识结合应用

【典例2】如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC=400米，BD=200

米，CD=800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是

多少？

□

cD

C

'B

A,

【分析】作点A关于直线CD的对称点G,连接GB,交CD于点E,利用“两点之间线段最短”可知应在E

处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决.

【答案与解析】

解：作点A关于直线CD的对称点G,连接GB交CD于点E,由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮

水，所走路程最短.说明如下：

在直线CD上任意取一异于点E的点I,连接AI、AE、BE、BI、GKGE.

,/点G、A关于直线CD对称，AI=GLAE=GE.

由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI+BI>GB=AE+BE,于是得证.

最短路程为GB的长，自点B作CD的垂线，自点G作BD的垂线交于点H,在直角三角形GHB中，

GH=CD=800,BH=BD+DH=BD+GC=BD+AC=200+400=600,

22

...由勾股定理得G5?=GX2+5〃2=800+600=1000000.

GB=1000,即最短路程为1000米.

【点睛】这是一道有关极值的典型题目.解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方

面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的

I点.本题体现了勾股定理在实际生活中的应用.

【即学即练】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E,AE=3,EB=1,在AC上有一点P,使EP+BP

最短.求EP+BP的最小值.

【答案】

解：根据正方形的对称性可知：BP=DP,连接DE,交AC于P,ED=EP+DP=EP+BP,

即最短距离EP+BP也就是ED.

AE=3,EB=1,AB=AE+EB=4,

/.AD=4,根据勾股定理得：ED2=AE-+AD2=32+42=25.

ED>0,ED=5,最短距离EP+BP=5.

【典例3】如图所示，等腰直角AABC中，ZACB-900,E、F为AB上两点（E左F右），且NECF=45°,

求证：线段AE,BF,EF之间的数量关系.

【分析】：由于/ACB=90°,ZECF=45°,所以NACE+NBCF=45°,若将NACE和NBCF合在一起则

为一特殊角45°,于是想到将4ACE旋转到4BCF的右外侧合并，或将4BCF绕C点旋转到4ACE的左外侧

合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理即可证明.

【答案与解析】

解：⑴4E?+BF?=EF?,理由如下:

将4BCF绕点C旋转得△ACT,使4BCF的BC与AC边重合,

即△AC『^ABCF,

在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,

NCAF'=ZB=45°,；.ZEAF/=90°.

•?ZECF=45°,ZACE+ZBCF=45°.

/ACF'=NBCF,NECF'=45

在AECF和△ECF'中:

CE=CE

<NECF'=ZECF=45°

CF=CF'

△ECF^AECF7(SAS),EF=EF'.

在Rt^AEF'中，AE2+F'A2=F'E2,

：.AE2+BF2=EF2.

【点睛】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°

角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知

识解决问题.

【典例4】在AABC中，BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边.当a2+b2=c2时，ZkABC是直角三角形；当

a2+b2/c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，可以判断AABC的形状(按角分类).

(1)请你通过画图探究并判断：当AABC三边长分别为6,8,9时，AABC为三角形；当△ABC三

边长分别为6,8,11时，ZXABC为三角形.

(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2+b2>c2时，AABC为锐角三角形；当a2+b2<c2时，

△ABC为钝角三角形.”请你根据小明的猜想完成下面的问题：

当a=2,b=4时，最长边c在什么范围内取值时，AABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形?

【分析】

(1)利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；

(2)根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分

情况讨论即可得解.

【答案与解析】

解:(1),两直角边分别为6、8时，斜边=J^藐展10,

.二△ABC三边分别为6、8、9时，AABC为锐角三角形；

当4ABC三边分别为6、8、11时，AABC为钝角三角形；

故答案为：锐角；钝角；

(2)：c为最长边，2+4=6,

；.4Wc<6,

a2+b2=22+42=20,

①a2+b2>c2,即C2<20,0<cV2泥，

...当4Wc<2旄时，这个三角形是锐角三角形；

②a?+b2=c2,即/=20,c=2旄，

.•.当c=2\而时，这个三角形是直角三角形；

③a2+b2〈c2,即C2>20,c>2j^,

.•.当2旄<c<6时，这个三角形是钝角三角形.

【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三

角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键.

考法03本章中的数学思想方法

1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问

题转化为直角三角形问题来解决.

【典例5］如图所示，AABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上

的点，且DELDF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.

【答案与解析】

解：连接AD.因为NBAC=90°,AB=AC.

又因为AD为4ABC的中线，

所以AD=DC=DB.ADXBC.

且/BAD=/C=45°.

因为NEDA+/ADF=90°.

又因为/CDF+/ADF=90°.

所以/EDA=NCDF.

所以4AED且ACFD(ASA).

所以AE=FC=5.

同理：AF=BE=12.

在Rt^AEF中，由勾股定理得：

三1=AErtJS"=।.2'='3",所以EF=13.

【总结升华】此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以知道：当已知的

线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.

【即学即练】已知凸四边形ABCD中，NABC=30°,NADC=60°,AD=DC,

222

求证:BD=AB+BC

B

【答案】

解：将4ABD绕点D顺时针旋转60°.

由于DC=AD,故点A转至点C.点B转至点E,连结BE.

BD=DE,ZBDE=60°

4BDE为等边三角形，BE=BD

易证4DAB丝/kDCE,ZA=Z2,CE=AB

:四边形ADCB中/ADC=60°,ZABC=30°

ZA+Z1=36O°-60°-30°=270°

Z1+Z2=Z1+ZA=27O°

Z3=360°—(Zl+Z2)=90°

2.方程的思想方法

【典例6】如图所示，已知AABC中，ZC=90°,NA=60°,a+b=3+s5,求口，“。的值.

B

【答案与解析】

解：在Rt^ABC中，ZA=60°,ZB=90°-ZA=30°,

则r-B由勾股定理，得I,-g-yjib

因为-r+---3+,所以-3+,

,亚后D_A

W+I—-3,「324.

【点睛】在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半.

【即学即练】直角三角形周长为12c机，斜边长为5c机，求直角三角形的面积.

【答案】

解：设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得：

lx+.y+5=12(1)

|x+y=j

由(1)得：x+y=l,

/.(x+y)2=49,即％?+2盯+y2=49(3)

(3)—(2),得：孙=12

11

二直角三角形的面积是一町=-X12=6(cm0)

22

【即学即练】如图所示，在AABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周长为36cm,点P从点A开始沿边向B点

以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒

时，4BPQ的面积为多少？

【答案】

解：设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm,

•周长为36cm,

AB+BC+AC=36cm,

3x+4x+5x=36,

得x=3,

.".AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm,

,.,AB2+BC2=AC2,

/.△ABC是直角三角形，

过3秒时，BP=9-3X1=6(cm),BQ=2X3=6(cm),

2

•■­SAPBQ=-BP*BQ=1X(9-3)X6=18(cm).

22

故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2.

羔分层提分

题组A基础过关练

1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（).

A.1.5,2,2B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,15

【答案】A

【解析】

【分析】

根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判

定则可.

【详解】

解：A,1.52+2^22,不能构成直角三角形，故符合题意；

B、72+242=252,能构成直角三角形，故不符合题意；

C、62+82=102,能构成直角三角形，故不符合题意；

D、92+122=152,能构成直角三角形，故不符合题意.

故选：A.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大

边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

2.在aABC中，NA,NB,4c的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是（）

A.如果NA—NB=NC,那么aABC是直角三角形

B.如果a2=b2—c2,那么AABC是直角三角形，且N如90°

C.如果NA:NB：ZC=1：3：2,那么AABC是直角三角形

D.如果a2：b2：c2=9：16:25,那么4ABC是直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可.

【详解】

解：A、vzA-ZB=ZC,

■•.Z.A=Z.B+z.C,

•.•ZA+ZB+ZC=180°,

.-.ZA=90",

.•.△ABC是直角三角形，此选项正确；

B、如果a2=b2-c2,

■,■a2+c2=b2,

.•.△ABC是直角三角形且NB=90。，此选项不正确；

C、如果NA：CB：ZC=1：3：2,

设NA=x,则NB=3x,Z_C=2x,则x+3x+2x=180°,

解得:x=30°,则3x=90。,

.•.△ABC是直角三角形，此选项正确；

D、如果a?：b2：c2=9：16：25,则a2+b?=c2,

••.△ABC是直角三角形，此选项正确；

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形内角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三

角形就是直角三角形.

3.如图，在3x3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，若BD是

△NBC的边NC上的高，则8。的长为（)

—416B,融c.2D.三屈

A.13

【答案】D

【解析】

【分析】

根据勾股定理计算AC的长，利用割补法可得AABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：由勾股定理得：AC=M”=屈,

111Z

VSAABC—3x3-2xlx2-2xlx3-2x2x3=2,

1Z

2AC*BD=2,

.•.g・BD=7,

・•.BD=V后

故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键.

如图，在四边形中，贝

4.ND=ZACB=90。,CD=12,AD=16t8c=15,ijZ5=().

A.20B.25C.35D.30

【答案】B

【解析】

【分析】

根据勾股定理求得/c的长度，再根据勾股定理即可求解.

【详解】

解：ZD=ZACB=90°

由勾股定理可得：AC=^AD2+CD2=20

AB=ylAC2+BC2=25

故选B

【点睛】

此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

5.已知R/A48c中，ZC=90°,若a+6=14cm,c=10cm,则RS48c的面积是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据NC=90。确定直角边为。、"对式子。+6=14两边平方，再根据勾股定理得到仍的值，即可求解.

【详解】

解：根据NC=90。确定直角边为服b,.a2+62=c2=100

a+b=14

22

,（Q+»=142,gpa+2ab+b=196

...2ab=96

12

S^ABC=~ab=2^Cm

故选A

【点睛】

此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定/的值.

6.如图，已知A/BC中，=45°,F是高/。和BE的交点，«=亚,BD=2,则线段。尸的长度

为（）

A.2&B.2C.拒D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

先证明4BDF三△ADC,得至UBF=AC=^,再根据勾股定理即可求解.

【详解】

解：•:AD和BE是aABC的高线，

.­•ZADB=ZADC=ZBEC=90",

••.ZDBF+ZC=90°,ZCAD+ZC=90°,

.,.Z.DBF=Z.CAD,

..Z5C=45。，

.-.ZBAD=45°,

•••BD=AD,

.-.△BDF=AADC,

...BF=AC=B

〜,^BF2-BD2=J(V5)2-22=1

在RtaBDF中，DF=V、>

故选：D

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明4BDF三4ADC是解题关键.

7.如图，圆柱的底面周长是24,高是5,一只在/点的蚂蚁想吃到3点的食物，沿着侧面需要爬行的最

短路径是(

B

A.9B.13C.14D.25

【答案】B

【解析】

【分析】

画出该圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB,然后根据

勾股定理求出AB即可求出结论.

【详解】

解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，

B

/

根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB

AB恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，即长为24+2=12

宽为5

22

AAB=A/5+12=13

即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13.

故选:B.

【点睛】

此题考查的是勾股定理与最短路径问题，掌握勾股定理和两点之间线段最短是解题关键.

8.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为"匀称三角形若RM4BC是

"匀称三角形"，且NC=90°,AOBC,贝pC:3c为（）

A.6:1:2B.2:73：V72:1:石

cD.无法确定

【答案】B

【解析】

【分析】

作Rt^ABC的三条中线AD、BE、CF,由"匀称三角形”的定义可判断满足条件的中线是BE,它是AC边上的

中线，设AC=2a,则CE=a,BE=2a,在RtZkBCE中NBCE=90。，根据勾股定理可求出BC、AB,贝I]AC：BC：

AB的值可求出.

【详解】

解：如图①，作RtaABC的三条中线AD、BE、CF,

•••ZACB=90°,

CF=-AB^tAB

2,

又在RtZs/8C中，AD>AC>BC,

AD丰BC,

,满足条件的中线是BE,它是AC边上的中线,

设AC=2a,则C£=/E==2a,

在RtABCE中NBCE=90°,

,BC=yjBE2-CE2=届，

AB=4BC2+AC2=J(2a『+(怎『=可,

在RtAABC中,

2a:6a:41a=2:^3:V7.

•'.AC：BC：AB=

故选：B.

【点睛】

考查了新定义、勾股定理的应用，算术平方根的含义，解题的关键是理解"匀称三角形"的定义，灵活运用

所学知识解决问题.

9.如图，将矩形N8CD沿对角线5D折叠，使点C落在尸处，BF交AD于点、E.若乙BDC=62°,贝|

ND斯的度数为（

A.31°B.28°C.62°D.56°

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用互余计算出43。£=28。，再根据平行线的性质得NC8D=NBDE=28。，接着根据折叠的性质得4厂5。

=<BD=28。,然后利用三角形外角性质计算乙DE尸的度数，于是得到结论.

【详解】

解：,•・四边形/BCD为矩形，

.■.ADWBC,^ADC=90°,

.•.NBDE=9Q』NBDC900-62°28°,

-ADWBC,

:,乙CBD=LBDE=28°,

•.•矩形ABCD沿对角线BD折叠，

:,乙FBD=CCBD=28°,

：.3EF=乙FBD+乙BDE=28°+28°=56°.

故选：D.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，平行线和折叠的性质，综合运用以上性质是解题的关键.

10.如图，在RMABC中，AB=AC,NBAC=90。，点D,E为BC上两点./DAE=45。，F为^ABC外一

点，且用,BC,FA1AE,则下列结论：

S=—AD-EF

222

①CE=BF；②BD2+CE2=DE2；③「DE4；@CE+BE=2AE,其中正确的是（）

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③

【答案】A

【解析】

【分析】

①利用全等三角形的判定得AAFB三AAEC,再利用全等三角形的性质得结论；②利用全等三角形的判定

和全等三角形的性质得FD=DE,再利用勾股定理得结论；③利用等腰三角形的性质得

AD1EF,EF=2EG,再利用三角形的面积计算结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得

结论.

【详解】

解：如图:

对于①，因为/BAC=90。，FA1AE/DAE=45。,

所以NCAE=90°-/DAE-/BAD=45°-/BAD,

/FAB=90°-/DAE-/BAD=45。-/BAD,

因此/CAE=/FAB.

又因为/BAC=90。，AB=AC,

所以/ABC=/ACB=45°.

又因为FBLBC,所以/FBA=/ACB=45。.

因此AAFB三△AEC(ASA),所以CE=BF.

故①正确.

对于②，由①知AAFBmAAEC，所以AF=AE.

又因为/DAE=45。，FA1AE,

所以/FAD=/DAE=45。，连接FD,

AAEDSAS

HlthV^D^（）,

所以FD=DE.

在Rt^FBD中，因为CE=BF,

所以BD2+CE2=BD2+BF2=FD2=DE2

故②正确.

对于③，设EF与AD交于G.

因为/FAD=/DAE=45。，AF=AE,

所以AD_LEF,EF=2EG.

,,,=〈xADxEG=；xADxEF

因此24

故③正确.

对于④，因为CE=BF,

又在RtAFBE中，CE2+BE2=BF2+BE2=FE2

又•.•△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，

所以EFJ2M

因此，CE2+BE2=2AE2

故④正确.

故选A.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积.

题组B能力提升练

11.如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇48生长在它的中央，高出水面的部分

为1尺.如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部3恰好碰到岸边的夕，则这根

芦苇的长度是尺.

【答案】13

【解析】

【分析】

设出AB=AB，=x尺，表示出水深AC,根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长.

【详解】

解：设芦苇长AB=AB，=x尺，则水深AC=(x-l)尺,

因为底面是边长为10尺的正方形，所以B，C=5尺

在RtZkAB'C中，52+(x-l)2=x2,

解之得x=13,

即芦苇长13尺.

故答案为：13.

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键.

12.如图，等腰根8c中，AB=AC,BC-10,3。_1_么(7于£),且8Z>=8.贝ijS^BC=

A

D

BC

100

【答案】丁

【解析】

【分析】

在RQBCD中，由勾股定理求出CD,再设AD=X,则AB=AC=AD+CD=6+x,最后在RtZkABD中由勾股定理求

出x即可求解.

【详解】

解：在RtZkBCD中，由勾股定理可知8=JBCJBEP=\W_82=6,

设AD=x,贝UAB=AC=AD+CD=x+6,

在RtZXABD中，由勾股定理可知AB2=AD2+BD2,代入数据：

7

(x+6)2=x2+82,解得x=3,

/C=x+6="

3,

a_1125o100

SMBD=—x8=——

Z2J3,

100

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了勾股定理解直角三角形，本题的关键是设AD=x,进而将AB用X的代数式表示，在RtaABD中

使用勾股定理求出x求解.

13.如图，在四边形N8CD中，陋=26，AB=241,BC=\Q,CD=8,/BAD=90。,那么四边形

ABCD的面积是

【答案】2旧+24

【解析】

【分析】

连结BD,可求出BD=6,再根据勾股定理逆定理，得出aBDC是直角三角形，两个三角形面积相加即可.

【详解】

解：连结BD,

...ABAD=90°,

...BD=ylAD2+AB2,

...AD=242,AB=2A/7,

••.BD=6,

VBD2=36,CD2=64,BC2=1OO,

BD2+CD2=BC2,

.-.ZBDC=90°,

-X2V2X2V7=2V14

SAABD=2,

-x6x8=24

SABDC=2

四边形/BCD的面积是=SAABD+SABDC=2&4+24

2

故答案为：V14+24.

【点睛】

本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中

考常考题型.

14.如图所示，在数轴上点/所表示的数为a,则。的值为

，、

，♦%、

A-101

【答案】一6T

【解析】

【分析】

先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项.

【详解】

解：如图:

22

由图可知：BC=AC=Vl+2=V5；

•・•数轴上点A所表示的数为a,

...a=Y-l,

故答案为：一行T

【点睛】

本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键.

15.如图一只蚂蚁从长为5cm,宽为3cm,高为4cm的长方体纸箱的/点沿纸箱爬到8点，那么它爬行的

最短距离是cm.

【答案】"

【解析】

【分析】

把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最

短距离.在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用

勾股定理可求得.

【详解】

解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.

（1）展开前面右面由勾股定理得/）=（5+3）一+42=80；

（2）展开前面上面由勾股定理得"炉=（4+3『+52=74；

（3）展开左面上面由勾股定理得=（5+4）一+3,=90；

所以最短路径的长为AB=F

故答案为：^4.

【点睛】

本题考查了平面展开一最短路径问题及勾股定理的拓展应用."化曲面为平面"是解决"怎样爬行最近”这类

问题的关键.

题组C培优拔尖练

16.已知直角三角形的两条直角边的长分别为26+1和26-1,求斜边c的长.

【答案】斜边c的长为而

【解析】

【分析】

根据勾股定理的定义"直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”解答即可.

【详解】

根据勾股定理可知：斜边c的长=J（2>/3+l）2+（2V3-l）2=V26.

故斜边c的长为圆.

【点睛】

本题考查勾股定理及二次根式的混合运算.掌握勾股定理的定义是解答本题的关键.

17.在四边形/BCD中，44=N8=90。，E为N8边上的点.

(1)连接CE,DE,CEYDE.

①如图1,若AE=BC,求证：AD=BE.

②如图2,若AE=BE,求证：CE平分NBCD；

BF=DF=

（2）如图3,尸是N8CD的平分线以上的点，连接8尸，DF,若8C=4,CD=6,2,

求C~的长.

FC=-46

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2.

【解析】

【分析】

（1）①根据条件得出△的CE3,即可求证；

②延长交的延长线于点G,得出△口窗EG8再证明△鼠左即可；

（2）解法1：过点尸分别作尸FN1CB,得到△网叔FCN,由BN-BF?-FN\

DM2=DF2-FM2,得到Z）M=8N,设DM=BN=x,求得CN=5,在Rt△F5N和Rt△■?只中，由勾

股定理即可求得C尸的长.

FF'=FD=^-

解法2：在。上截取CP=5C,得出2,过尸作WC£>,根据

FC2-CG2=FG2=F'F=F'G2,即可求得3的长.

【详解】

⑴①证明：••・N/=4=4>£C=90°,

ZADE+ZAED=90°,ZDEA+ZBEC=180°-90°=90°,

ZADE=ZBEC,

在/\DEA和小ECB中

NADE=NBEC,NA=/B,AE=BC,

CEB,

AD=BE.

②证明：延长DE交CB的延长线于点G,

ZAED=NBEG,

•••NN=ZEBG=90°,AE=BE,

EGB,

EG=ED>

•••/DEC=90。

，/GEC=180°-/DEC=90°

ZGEC=/DEC,

•;CE=CE,

DCE,

NGCE=ZDCE,

CE平分/BCD.

(2)解法L如图，过点尸分别作FM,CD,FN1CB,分别交8及四的延长线于点〃，N.

•・•CE平分/BCD,

/BCF=ZFCD,

又・：FM1CD,FN上CB,

ZCNF=ZFMC=90°,

在△尸CN和△FCN中

•••ABCF=ZFCD,ZCNF=ZFMC,CF=CF,

AfiWFCN,

FM=FN,CM=CN,

在Rt/\FDM和Rt/\FBN中

•:MF=FN,FB=DF,BN2=BF1-FN2,DM2=DF2-FM2

DM=BN

设DM=BN=x,

•・・CD=6,CB=4,

:.CN=4+xfCM=6—x,

•：CN=CM,

••4+%=6-x,

x=l,

:.CN=CB+BN=4+\=5,

在Rt△用N和RtAFCTV中

■：FN1=FB2-BN2,FC2=FN2+CN2,2,

FC=y/FN2+CN2=^+(4+1)2=|A/6

解法2：如图，在8上截取C〃'=5C,

•.・8C=4,CD=6,

:.DF'=CD-CF'=6-4=2t

在△尸CB和△尸C尸'中

•••ZBCF=ZFCD,CF=CF,CB=CF'

△四龙FCF',

FF'=FB,

■：FB=FD,

FF'=FD=—

2,

过尸作尸GLCD,垂足为G,

：.GF'=GD=LDF'=1

2,

:.CG=GF'+CF'=l+4=5,

在Rt△尸CG和Rt△FF'G中

FC2-CG2=FG2=F'F2-F'G2

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌

握全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线以及利用方程解决问题.

18.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏

力，如图，有一台风中心沿东西方向42由A行驶向3,已知点C为一海港，且点C与直线42上的两点A

,3的距离分别为/C=300h？，BC=400km,又AB=500km,以台风中心为圆心周围250hw以内为受影

响区域.

（1）求4c3的度数.

（2）海港C受台风影响吗？为什么？

（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点尸

时，海港0刚好不受影响，即CE=W=250折，则台风影响该海港持续的时间有多长？

【答案】（1）90°；（2）海港C受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为7小时.

【解析】

【分析】

（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；

（2）利用勾股定理的逆定理得出aABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港

C是否受台风影响；

（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间.

【详解】

（1）AC=300km,BC=400km,AB=500km,

：.AC2+BC2=AB2

...AA8C是直角三角形，

.­•ZACB=90o；

（2）海港0受台风影响,

过点C作，

,­,A48C是直角三角形，

:.ACxBC=CDxAB,

.-.300x400=500xCr）,

:.CD=240（碗）,

•••以台风中心为圆心周围250碗以内为受影响区域，

二海港C受台风影响.

（3）当EC=250而，尸C=250碗时，正好影响C港口,

ED=yjEC2-CD2=