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文档简介

2012年新课标全国卷文科数学详解适用地区:河南、河北、黑龙江、吉林、宁夏、山西、内蒙古、新疆、云南第I卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题有且只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A.B. C. D.【解析】因为,,所以,故选择B。【点评】本题主要考察一元二次不等式的解法,两个集合间的关系,属简单题。2.复数的共轭复数是()A. B. C. D.【解析】因为,所以,故选择D。【点评】本题主要考察复数的运算及共轭复数的概念。3.在一组样本数据(,),(,),…,(,)(,,,…,不全相等)的散点图中,若所有样本点(,)(=1,2,…,)都在直线上,则这组样本数据的样本相关系数为()A.-1 B.0 C. D.1【解析】因为中,,所以样本相关系数, 又所有样本点(,)(=1,2,…,)都在直线上, 所以样本相关系数,故选择D。【点评】本题主要考察回归直线,相关系数的知识。4.设、是椭圆E:()的左、右焦点,P为直线上一点,是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A.B. C. D.【解析】如图所示,是等腰三角形,,,,,,又,所以,解得,因此,故选择C。否是否是是结束输出A,B开始输入,,,…,,,否是否5.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(,)在△ABC内部,则的取值范围是()A.(,2) B.(0,2) C.(,2)D.(0,)【解析】正△ABC内部如图所示,A(1,1),B(1,3),C(,2)。将目标函数化为,显然在B(1,3)处,;在C(,2)处,。因为区域不包括端点,所以,故选择A。【点评】本题主要考察线性规划的知识。6.若执行右边和程序框图,输入正整数()和实数,,…,,输出A,B,则()A.为,,…,的和 B.为,,…,的算术平均数C.和分别是,,…,中最大的数和最小的数 D.和分别是,,…,中最小的数和最大的数【解析】由程序框图可知,A表示,,…,中最大的数,B表示,,…,中最小的数,故选择C。【点评】本题主要考察程序框图的应用。7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.6 B.9 C.12 D.15【解析】由三视图可知,该几何体为三棱锥A-BCD, 底面△BCD为底边为6,高为3的等腰三角形, 侧面ABD⊥底面BCD,AO⊥底面BCD,因此此几何体的体积为,故选择B。【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。8.平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为,则此球的体积为()A. B. C. D.【解析】如图所示,由已知,,在中,球的半径,所以此球的体积,故选择B。【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算。9.已知,,直线和是函数图像的两条相邻的对称轴,则()A. B. C. D.【解析】由直线和是函数图像的两条相邻的对称轴,得的最小正周期,从而。由此,由已知处取得最值,所以,结合选项,知,故选择A。【点评】本题主要考察三角函数的图象和性质。10.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在轴上,C与抛物线的准线交于A,B两点,,则C的实轴长为()A. B. C.4 D.8【解析】设等轴双曲线C的方程为,即(),抛物线的准线方程为,联立方程,解得,因为,所以,从而,所以,,,因此C的实轴长为,故选择C。【点评】本题主要考察双曲线和抛物线的几何性质。11.当时,,则的取值范围是()A.(0,) B.(,1) C.(1,) D.(,2)【解析】显然要使不等式成立,必有。 在同一坐标系中画出与的图象。 若时,, 当且仅当, ,即。 解得,故选择B。12.数列{}满足,则{}的前60项和为()A.3690 B.3660 C.1845 D.1830【解析】因为,所以,,,,,,……,,,。由,可得;由,可得;……由,可得;从而。又,,,…,,,所以。从而。因此 。故选择D。【点评】本小题主要考察递推数列的知识。第Ⅱ卷(共90分)本试卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线在点(1,1)处的切线方程为_________。【答案】。【解析】由已知,根据导数的几何意义知切线斜率,因此切线方程为,即。【点评】本小题主要考察导数的几何意义,曲线上一点处的切线方程的求法。14.等比数列的前项和为,若,则公比___________。【答案】。【解析】由已知得,, 因为,所以而,所以,解得。【点评】本小题主要等比数列通项公式、求和公式的应用。15.已知向量,夹角为45°,且,,则_________。【答案】。【解析】由已知。 因为,所以,即, 解得。【点评】本小题主要考察平面向量的数量积的知识。16.设函数的最大值为,最小值为,则____________。【答案】2。【解析】。令,则。因为为奇函数,所以。所以。【点评】本小题主要考察数列的知识。三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。。17.(本小题满分12分)已知,,分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,。(1)求A;(2)若,△ABC的面积为,求,。【解析】(1)根据正弦定理,得,,因为,所以,化简得,因为,所以,即,而,,从而,解得。(2)若,△ABC的面积为,又由(1)得,则,化简得,从而解得,。【点评】本小题主要考察正弦定理、余弦定理及三角变换的知识。18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量(单位:枝,)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量14151617181920频数10201616151310①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率。【解析】(1)当日需求量时,利润;当日需求量时,利润。所以当天的利润关于当天需求量的函数解析式为()。(2)①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,则这100天的日利润(单位:元)的平均数为 (元)。②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝。 故当天的利润不少于75元的概率为 。【点评】本小题主要考察统计初步、随机事件概率的求法。19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点。(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。【解析】(1)在中,,得:,同理:,得:。由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,,所以平面。又平面,所以而,所以平面。又平面,故平面BDC1⊥平面BDC。(2)由已知AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,设,,则。 由(1),平面,所以为四棱锥的高,所以。因此平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为。【点评】本小题主要考察空间面面垂直,及多面体体积的计算。20.(本小题满分12分)设抛物线C:()的焦点为F,准线为,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交于B,D两点。(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为,求的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线上,直线与平行,且与C只有一个公共点,求坐标原点到,距离的比值。【解析】(1)若∠BFD=90°,则△BFD为等腰直角三角形,且|BD|=,圆F的半径,又根据抛物线的定义可得点A到准线的距离。因为△ABD的面积为,所以,即,所以,由,解得。从而抛物线C的方程为,圆F的圆心F(0,1),半径,因此圆F的方程为。(2)若A,B,F三点在同一直线上,则AB为圆F的直径,∠ADB=90°,根据抛物线的定义,得,所以,从而直线的斜率为或。当直线的斜率为时,直线的方程为,原点O到直线的距离。依题意设直线的方程为,联立,得,因为直线与C只有一个公共点,所以,从而。所以直线的方程为,原点O到直线的距离。因此坐标原点到,距离的比值为。当直线的斜率为时,由图形的对称性可知,坐标原点到,距离的比值也为3。【点评】本小题主要考察解析几何知识。21.(本小题满分12分)设函数。(1)求的单调区间;(2)若,为整数,且当时,,求的最大值。【解析】(1)函数的定义域为(-∞,+∞),且。当时,,在(-∞,+∞)上是增函数;当时,令,得。令,得,所以在上是增函数,令,得,所以在上是减函数,(2)若,则,。 所以, 故当时,等价于 ,即当时,()。①令,则。由(1)知,函数在单调递增,而,,所以在存在唯一的零点。故在存在唯一的零点。设此零点为,则。当时,;当时,。所以在的最小值为。又由,可得,所以,由于①式等价于,故整数的最大值为2。【点评】本小题主要考察利用导数求单调区间,导数的综合应用。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,,分别为边,的中点,直线交的外接圆于,两点。若∥,证明:(1);(2)∽。【解析】(1)因为,分别为边,的中点, 所以∥。 又已知∥,所以四边形BCFD是平行四边形, 所以CF=BD=AD。 而∥,连结AF,所以ADCF是平行四边形,故CD=AF。因为∥,所以BC=AF,故CD=BC。 (2)因为∥,故GB=CF。由(1)可知BD=CF,所以GB=BD。所以。因为∥,所以,从而,①由(1),所以,从而,②由①,②得∽。 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是。正方形ABCD的顶点都在上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,)。(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设为上任意一点,求的取值范围。【解析】(1)曲线的参数方程化为直角坐标方程为,曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为,因为点A的极坐标为(2,),所以点B的极坐标为(2,),点C的极坐标为(2,),点D的极坐标为(2,),因此点A的直角坐标为(1,),点B的直角坐标为(,1),点C的直角坐标为(-1,-),点D的直角坐标为(,-1)。(2)设P(,),则

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