2023-2024学年广西蒙山县中考数学全真模拟试卷含解析

2023-2024学年广西蒙山县重点名校中考数学全真模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知二次函数7="+加:+<:（"0）的图象如图所示，则下列结论:①a加<0；②2a+》=0;③方2—4acV0；@9a+3b+c

2.已知。Oi与。Ch的半径分别是3cm和5cm,两圆的圆心距为4cm,则两圆的位置关系是（）

A.相交B.内切C.外离D.内含

3.如图所示，在长为8cm,宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那

么剩下矩形的面积是（）

A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm2

4.如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，已知

甲的路线为：A—>C—>B；

乙的路线为：A-DTE—F—B,其中E为AB的中点；

丙的路线为：A-I-J1K-B,其中J在AB上，且AJ>JB.

若符号［一］表示［直线前进］,则根据图1、图2、图3的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（）

图1

A.甲=乙=丙B.

5.如图，等边三角形ABC的边长为3,N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从

点A出发，沿A-B-C的方向运动，到达点C时停止.设点M运动的路程为x,MN2=y,则y关于x的函数图象大

致为

A.B.C.D.

6.在实数君,一,0二,底,-1.414,有理数有()

72

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M、

N为圆心，大于‘MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2a,b+1),则a与b的数量关

2

A.a=bB.2a+b=-1C.2a-b=lD.2a+b=l

8.下列现象，能说明“线动成面”的是（）

A.天空划过一道流星

B.汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹

C.抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线

D.旋转一扇门，门在空中运动的痕迹

一x-6W1—--x

9.对于不等式组3-3',下列说法正确的是（）

3（x—1）<5x—1

A.此不等式组的正整数解为1,2,3

7

B.此不等式组的解集为

C.此不等式组有5个整数解

D.此不等式组无解

10.已知抛物线丁=“f+（2-a）x-2（。〉0）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点3的右侧），与V轴交于点C.

给出下列结论：①当。>0的条件下，无论。取何值，点A是一个定点；②当。>0的条件下，无论。取何值，抛物线

的对称轴一定位于y轴的左侧；③y的最小值不大于-2；®^AB=AC,则。=1±2后.其中正确的结论有（）个.

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.在-3,—1,0,1这四个数中，最小的数是（）

A.-3B.-1C.0D.1

12.如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,E为AB上一点，分别以ED,EC为折痕将两个角（NA,ZB）

向内折起，点A,B恰好落在CD边的点F处.若AD=3,BC=5,则EF的值是（）

A.V15B.2715C.V17D.2^/17

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

O

13.如图所示，直线y=x+b交x轴A点，交y轴于B点，交双曲线y=—（x>0）于P点，连OP,则OP?-OA2=_.

x

14.以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标

系，BE±AC,垂足为E.若双曲线y=—（x>0）经过点D,则OB・BE的值为

“7看9，已11，…则第20个数是

16.如图，在△ABC中，BC=7,AC=30，tanC=L点P为AB边上一动点（点P不与点B重合），以点P为圆

心，PB为半径画圆，如果点C在圆外，那么PB的取值范围

1c

17.某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩.孔明笔试成绩90

分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是分.

18.如图，AABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件，使得△ADC丝4BEC（不添加其他字母及辅助

线），你添加的条件是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y=-x2+2mx+3m2（m>0）与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）,

与y轴交于点C,顶点为D,对称轴为直线L过点C作直线1的垂线，垂足为点E,联结DC、BC.

(1)当点C(0,3)时,

①求这条抛物线的表达式和顶点坐标;

②求证：ZDCE=ZBCE；

(2)当CB平分NDCO时，求m的值.

20.(6分)某市正在举行文化艺术节活动，一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种艺术节纪念品.若购进甲种纪念品

4件，乙种纪念品3件，需要550元，若购进甲种纪念品5件，乙种纪念品6件，需要800元.

(1)求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？

(2)若该商店决定购进这两种纪念品共80件，其中甲种纪念品的数量不少于60件.考虑到资金周转，用于购买这

80件纪念品的资金不能超过7100元，那么该商店共有几种进货方案7

(3)若销售每件甲种纪含晶可获利润20元，每件乙种纪念品可获利润30元.在(2)中的各种进货方案中，若全部

销售完，哪一种方案获利最大？最大利利润多少，元？

21.(6分)如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角NMPN,使直角顶点P与点O重

合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转NMPN,旋转角为。(0°<0<90°),PM、PN分别交

AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G.

(1)求四边形OEBF的面积；

(2)求证:OG«BD=EF2；

(3)在旋转过程中，当△BEF与ACOF的面积之和最大时，求AE的长.

Afr-----------------------------

22.(8分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=1.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在U处，BC，交AD

于点G；E、F分别是C，D和BD上的点，线段EF交AD于点H,把AFDE沿EF折叠，使点D落在D，处，点D"恰

好与点A重合.

(1)求证：AABG之△C'DG；

(2)求tan/ABG的值；

(3)求EF的长.

23.(8分)王老师对试卷讲评课中九年级学生参与的深度与广度进行评价调查，每位学生最终评价结果为主动质疑、

独立思考、专注听讲、讲解题目四项中的一项.评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频

数分布直方图和扇形统计图(均不完整)，请根据图中所给信息解答下列问题：

(1)在这次评价中，一共抽查了_名学生；

(2)在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在扇形的圆心角度数为一度；

(3)请将频数分布直方图补充完整；

(4)如果全市九年级学生有8000名，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的九年级学生约有多少人？

24.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线丁=履+3(左/0)与x轴交于点A,与双曲线y='(根W0)的

X

m

一个交点为B(—1,4).求直线与双曲线的表达式；过点B作BCLx轴于点C,若点P在双曲线丁=一上，且APAC

a

25.(10分)在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,点P是△ABC内一点，且NPAC+NPCA=—，连接PB,试探究PA、

2

PB、PC满足的等量关系.

(1)当a=60。时，将△ABP绕点A逆时针旋转60。得到△ACP，，连接PP，，如图1所示.由△ABP^^ACP，可以证

得^APP，是等边三角形，再由NPAC+NPCA=30。可得NAPC的大小为度，进而得到小CPP，是直角三角形，

这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为；

(2)如图2,当a=120。时，参考(1)中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；

(3)PA、PB、PC满足的等量关系为

26.(12分)向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示的路灯(在铅垂面内的示意图)，灯柱

BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120。.路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米,

从D、E两处测得路灯A的仰角分别为a和45。，且tana=l.求灯杆AB的长度.

27.(12分)如图，在菱形ABCD中，ZBAD=a,点E在对角线BD上.将线段CE绕点C顺时针旋转e,得到CF,

连接DF.

(1)求证：BE=DF；

(2)连接AC,若EB=EC,求证：AC±CF.

B

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴

交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】

b

解：抛物线开口向下，得：a<0；抛物线的对称轴为x=--=1,则b=-2a,2a+b=0,b=-2a,故b>0；抛物线交y轴

2a

于正半轴，得：c>0.

abc<0,①正确；

2a+b=0,②正确；

由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac>0,故③错误；

由对称性可知，抛物线与x轴的正半轴的交点横坐标是x=3,所以当x=3时，y=9a+3b+c=0,故④错误；

观察图象得当x=-2时，y<0,

即4a-2b+c<0

Vb=-2a,

4a+4a+c<0

即8a+c<0,故⑤正确.

正确的结论有①②⑤，

故选:C

【点睛】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换,

根的判别式的熟练运用.

2、A

【解析】

试题分析：■:OOi和。Ch的半径分别为5cm和3cm,圆心距OiO2=4cm,5-3<4<5+3,

二根据圆心距与半径之间的数量关系可知。O1与。02相交.

故选A.

考点：圆与圆的位置关系.

3、B

【解析】

根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得.

【详解】

A___EC

RFD

解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE,

贝!I矩形ABDCs矩形FDCE,

ABBD

则一=—

DFDC

68

设DF=xcm,得到：一二—

x6

解得：x=4.5,

则剩下的矩形面积是：4.5x6=17cm1.

【点睛】

本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键.

4、A

【解析】

分析：由角的度数可以知道2、3中的两个三角形的对应边都是平行的，所以图2,图3中的三角形都和图1中的三角

形相似,而且图2三角形全等，图3三角形相似.

详解：根据以上分析：所以图2可得AD=EF9DE=BE.

11Im,

9：AE=BE=-AB,：.AD=EF=-AC,DE=BE=-BC,・••甲二乙.

222

E—同一人一ARXo/rbriJKJBBKAIAJIJ

图3与图1中，二个二角形相似，所以—=—=—,—=—=

AIAJIJACABBC

VAJ+BJ=AB,：.AI+JK=AC,IJ+BK=BC,

/.甲二丙,工甲=乙二丙.

故选A.

点睛：本题考查了的知识点是平行四边形的性质，解答本题的关键是利用相似三角形的平移，求得线段的关系.

5、B

【解析】

分析：分析y随x的变化而变化的趋势，应用排它法求解，而不一定要通过求解析式来解决：

•.•等边三角形ABC的边长为3,N为AC的三等分点，

•*.AN=lo二当点M位于点A处时,x=0,y=lo

①当动点M从A点出发到AM=」的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；

2

②当动点M到达C点时，x=6,y=3-1=2,即此时y的值与点M在点A处时的值不相等，故排除A、C。

故选B。

6、D

【解析】

试题分析：根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案：

一,？「-是有理数，故选D.

7

考点：有理数.

7、B

【解析】

试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，

则P点横纵坐标的和为0,即2a+b+l=0,

，2a+b=-l.故选B.

8、B

【解析】

本题是一道关于点、线、面、体的题目，回忆点、线、面、体的知识；

【详解】

解：•••A、天空划过一道流星说明“点动成线”，

...故本选项错误.

VB,汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹说明“线动成面”，

,故本选项正确.

•••c、抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，

...故本选项错误.

；D、旋转一扇门，门在空中运动的痕迹说明“面动成体”，

,故本选项错误.

故选B.

【点睛】

本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键.点动成线、线动成面、面动成体.

9、A

【解析】

—%-6<1--%(D77

解：彳33解①得烂一，解②得x>-l,所以不等式组的解集为烂不，所以不等式组的整数解

3(x-l)<5x-l®22

为1,2,1.故选A.

点睛：本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解(整数解).解决此类问题的关键在于正确

解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而

求得不等式组的整数解.

10、C

【解析】

①利用抛物线两点式方程进行判断；

②根据根的判别式来确定a的取值范围，然后根据对称轴方程进行计算；

③利用顶点坐标公式进行解答；

④利用两点间的距离公式进行解答.

【详解】

①y=axl+(1-a)x-l=(x-1)(ax+1).则该抛物线恒过点A(1,0).故①正确；

®Vy=ax1+(1-a)x-1(a>0)的图象与x轴有1个交点，

/.△=(1-a)1+8a=(a+1)*>0,

Aa#l.

该抛物线的对称轴为：X=^=1--,无法判定的正负.

2a2a

故②不一定正确；

③根据抛物线与y轴交于(0,-1)可知，y的最小值不大于-1,故③正确；

2

(4)VA(1,0),B0),C(0,-1),

a

...当AB=AC时，J(l+-)2=jF+(_2)2,

解得：a=TI,故④正确.

2

综上所述，正确的结论有3个.

故选C.

【点睛】

考查了二次函数与X轴的交点及其性质.(1).抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x=-2b,对称轴与抛物线唯一的

2a

交点为抛物线的顶点P;特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)；(1).抛物线有一个顶点P,坐标

b

为P(-b/la,(4ac-bl)/4a),当--=0,(即b=0)时，P在y轴上；当A=bL4ac=0时，P在x轴上；(3).二次项系

2a

数a决定抛物线的开口方向和大小；当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；|a|越大，则抛物线的

开口越小.(4).一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右；(5).常数项c决定抛物线与y轴交点；抛物线与y轴交于(0,c)；(6).

抛物线与x轴交点个数

A=bl-4ac>0时，抛物线与x轴有1个交点；A=bL4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

A=bl-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.X的取值是虚数(x=-b±4bl-4ac乘上虚数i,整个式子除以la)；当a>0

时，函数在x=-b/la处取得最小值f(-b/la)=(4ac-bl)/4a；在｛x[x<-b/la｝上是减函数，在｛x[x>-b/la｝上是增函数；抛物

线的开口向上；函数的值域是｛y|yN4ac-bl/4a｝相反不变；当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，

解析式变形为y=axl+c(a/0).

11、A

【解析】

【分析】根据正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，即可得答案.

【详解】由正数大于零，零大于负数，得

-3<-1<0<1,

最小的数是-3,

故选A.

【点睛】本题考查了有理数比较大小，利用好“正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小”是解题关键.

12>A

【解析】

试题分析：先根据折叠的性质得EA=EF,BE=EF,DF=AD=3,CF=CB=5,贝!JAB=2EF,DC=8,再作DH_LBC于H,

由于AD〃BC,ZB=90°,则可判断四边形ABHD为矩形，所以DH=AB=2EF,HC=BC-BH=BC-AD=2,然后在

R3DHC中，利用勾股定理计算出DH=2/元，所以EF=/元.

解：•••分别以ED,EC为折痕将两个角（NA,ZB）向内折起，点A,B恰好落在CD边的点F处，

/.EA=EF,BE=EF,DF=AD=3,CF=CB=5,

.\AB=2EF,DC=DF+CF=8,

作DH±BC于H,

；AD〃BC,ZB=90°,

四边形ABHD为矩形，

/.DH=AB=2EF,HC=BC-BH=BC-AD=5-3=2,

2

在R3DHC中，DH=^DC2-HC=2V15»

.,.EF=-^DH=V15.

故选A.

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化,

对应边和对应角相等.也考查了勾股定理.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1

【解析】

Q

解：•・•直线产r+5与双曲线y=—（x>0）交于点P,设P点的坐标（X,j）,

X

Ax-y=-b,xy=8,

而直线y=x+/＞与x轴交于A点，

:.OA=b.

又•.•OP2=x2+y2,OA2=b2f

：.OP2-OA2=x2+y2-b2=(x-y)2+2xy-b2=l.

故答案为1.

14、1

【解析】

由双曲线y=上(x>0)经过点D知SAODF=4=：,由矩形性质知孔AOB=2SAODF=W，据此可得OA・BE=1,根据OA=OB

可得答案.

【详解】

如图，

•.,双曲线y片(x>0)经过点D,

：・SAODF=；k=-,

■•

贝。SAAOB=2SAODF=7»即幻A・BE=(,

AOA-BE=1,

•・•四边形ABCD是矩形，

.*.OA=OB,

/.OB«BE=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质.

41

15、

400

【解析】

观察已知数列得到一般性规律，写出第20个数即可.

【详解】

2"+141

解：观察数列得：第"个数为，则第20个数是

n2400

41

故答案为大；.

400

【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类,弄清题中的规律是解答本题的关键.

35

16、0<PB<—

8

【解析】

分析：根据题意作出合适的辅助线,然后根据题意即可求得PB的取值范围.

详解：作5c于点O,作PE_LBC于点E.V^AABC中，BC=7,AC=342,tanC=l,：.AD=CD^3,:.BD=4,

：.AB=5,由题意可得，当PB=PC时，点C恰好在以点尸为圆心，尸3为半径圆上.•.•AOLBC,PE±BC,：.PE//AD,

7

:.ABPE^^BDA,：.—=段，即万3P,得:BP=3^5~.故答案为0VP5<3=5.

BDBA—=—88

45

点睛：本题考查了点与圆的位置关系、解直角三角形,解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用

数形结合的思想解答.

17、88

【解析】

试题分析：根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可:

••,笔试按60%、面试按40%计算,

工总成绩是：90X60%+85X40%=88（分）.

18、AC=BC.

【解析】

分析：添加AC=BC,根据三角形高的定义可得NADC=NBEC=90。，再证明NEBC=NDAC,然后再添加AC=BC可

利用AAS判定△ADC^ABEC.

详解：添力口AC=BC,

1•△ABC的两条高AD,BE,

.,.ZADC=ZBEC=90°,

.,.ZDAC+ZC=90°,ZEBC+ZC=90°,

/.ZEBC=ZDAC,

在小ADC和4BEC中

/.△ADC^ABEC(AAS),

故答案为：AC=BC.

点睛：此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时,

角必须是两边的夹角.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)y=-X2+2X+3；D(1,4)；(2)证明见解析；(3)m=?；

【解析】

(1)①把C点坐标代入y=-x2+2mx+3m2可求出m的值，从而得到抛物线解析式，

然后把一般式配成顶点式得到D点坐标；

②如图1,先解方程-x2+2x+3=0得B(3,0),则可判断AOCB为等腰直角三角形得到/

OBC=45°,再证明△CDE为等腰直角三角形得到NDCE=45。，从而得至(JNDCE=NBCE；

(2)抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2,把一般式配成顶点式得

到抛物线的对称轴为直线x=m,顶点D的坐标为(m,4m2),通过解方程-x2+2mx+3m2=0

得B(3m,0),同时确定C(0,3m2),再利用相似比表示出GF=2m2,则DG=2m2,接着证

明NDCG=NDGC得到DC=DG,所以11?+(4m2-3m2)2=4m4,然后解方程可求出m.

【详解】

(1)①把C(0,3)代入y=-x2+2mx+3m2得3m2=3,解得mi=Lm2=-1(舍去)，

二抛物线解析式为y=-X2+2X+3；

,•*y=—%2+2.x+3=—(%—1)+4,

二顶点D为(1,4)；

②证明：如图1,当y=0时，-X2+2X+3=0,解得XI=-1,X2=3,贝！)B(3,0),

VOC=OB,

AAOCB为等腰直角三角形，

.\ZOBC=45O,

•；CE_L直线x=l,

.\ZBCE=45O,

VDE=1,CE=1,

AACDE为等腰直角三角形，

AZDCE=45°,

.\ZDCE=ZBCE；

(2)解：抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2,

y=-x2+2mx+3m2=—(x—m)2+4m2,

・••抛物线的对称轴为直线x=m,顶点D的坐标为(m,4m2),

22

当y=0时，-x+2mx+3m=0,解得xi=-m,x2=3m,贝!|B(3m,0),

当x=0时，y=-x2+2mx+3m2=3m2,贝!|C(0,3m2),

VGF/7OC,

”=变即包—,解得GF=2m2,

OCBO'3m23m

/.DG=4m2-2m2=2m2,

VCB平分NDCO,

/.ZDCB=ZOCB,

VZOCB=ZDGC,

/.ZDCG=ZDGC,

即m2+(4m2-3m2)2=4m4,

而m>0,

.6

・・m=-

3

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利

用待定系数法求函数解析式；灵活应用等腰直角三角形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距

离公式.

20、(1)购进甲种纪念品每件需100元，购进乙种纪念品每件需50元.(2)有三种进货方案.方案一：甲种纪念品

60件，乙种纪念品20件；方案二：甲种纪念品61件，乙种纪念品19件；方案三：甲种纪念品1件，乙种纪念品18

件.(3)若全部销售完，方案一获利最大，最大利润是1800元.

【解析】

分析：(1)设购进甲种纪念品每件价格为x元，乙种纪念币每件价格为y元，根据题意得出关于x和y的二元一次方

程组，解方程组即可得出结论；

(2)设购进甲种纪念品a件，根据题意列出关于x的一元一次不等式，解不等式得出a的取值范围，即可得出结论;

(3)找出总利润关于购买甲种纪念品。件的函数关系式，由函数的增减性确定总利润取最值时a的值，从而得出结论.

详解：(1)设购进甲种纪念品每件需x元，购进乙种纪念品每件需y元.

士的缶FI4x+3y=550

由题意得：,，

[5x+6y=800

解得：

ly=50

答：购进甲种纪念品每件需100元，购进乙种纪念品每件需50元.

(2)设购进甲种纪念品a(a>60)件，则购进乙种纪念品(80-a)件.由题意得：

100a+50(80-a)<7100

解得aS

又a>60

所以a可取60、61、1.

即有三种进货方案.

方案一：甲种纪念品60件，乙种纪念品20件；

方案二：甲种纪念品61件，乙种纪念品19件；

方案三：甲种纪念品1件，乙种纪念品18件.

(3)设禾!I润为W,贝!|W=20a+30(80-a)=-10a+2400

所以W是a的一次函数，-10V0,W随a的增大而减小.

所以当a最小时，W最大.此时W=-10x60+2400=1800

答：若全部销售完，方案一获利最大，最大利润是1800元.

点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找到相应的数量关系是解决问

题的关键，注意第二问应求整数解，要求学生能够运用所学知识解决实际问题.

21、(1)-；(2)详见解析；(3)AE=-.

44

【解析】

(1)由四边形ABCD是正方形，直角NMPN,易证得ABOEg△COF(ASA),则可证得S四边形OEBF=SABOC=­S正方

4

形ABCD；

(2)易证得△OEGs^OBE,然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG・OB=OE2,再利用OB与BD的关系，

OE与EF的关系，即可证得结论；

(3)首先设AE=x,则BE=CF=l-x,BF=x,继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问

题，求得AE的长.

【详解】

(1)I•四边形ABCD是正方形，

.\OB=OC,ZOBE=ZOCF=45°,ZBOC=90°,

.•.ZBOF+ZCOF=90°,

VZEOF=90°,

.\ZBOF+ZCOE=90°,

，ZBOE=ZCOF,

在小BOE^DACOF中，

ZBOE=ZCOF

<OB=OC

NOBE=ZOCF,

.,.△BOE^ACOF(ASA),

：•S四边形OEBF=SABOE+SABOE=SABOE+SACOF=SABOC=­S正方形ABCD=—xlxl=一；

444

(2)证明：VZEOG=ZBOE,ZOEG=ZOBE=45°,

AAOEG^AOBE,

AOE：OB=OG：OE,

.*.OG*OB=OE2,

1J2

•：OB=—BD,OE=­EF,

22

.\OG*BD=EF2；

(3)如图，过点O作OH_LBC,

VBC=1,

：.OH=-BC=-,

22

设AE=x,贝！|BE=CF=1-x,BF=x,

CF*OH=gx(l—x)+g(1—x)xg=

：・SABEF+SACOF=—BE*BFH—

22

,:a=--<0,

2

；・当％=一时，SABEF+SACOF最大;

4

即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=\.

【点睛】

本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与

性质、勾股定理以及二次函数的最值问题.注意掌握转化思想的应用是解此题的关键.

22、(1)证明见解析(2)7/24(3)25/6

【解析】(1)证明：•••△BDU由ABDC翻折而成，

.,.ZC=ZBAG=90°,C'D=AB=CD,ZAGB=ZDGC\AZABG=ZADE0

在△ABGg^UDG中，VZBAG=ZC,AB=CrD,ZABG=ZADC,

.♦.△ABG之△CDG(ASA)o

(2)解：:•由(1)可知△ABG丝△CrDG,.\GD=GB,，AG+GB=AD。

设AG=x,贝!|GB=l-x,

7

在RtAABG中，VAB2+AG2=BG2,即62+x2=(1-x)2,解得x=—。

4

7

tan/ABG=-----=—=—。

AB624

(3)解：,.,△AEF是△DEF翻折而成，，EF垂直平分AD。.\HD=-AD=4o

2

7777

VtanZABG=tanZADE=—。.,.EH=HDx——=4x——=-。

2424246

；EF垂直平分AD,AB1AD,；.HF是△ABD的中位线。/.HF=-AB=-x6=3o

22

725

，EF=EH+HF=-+3=—。

66

(1)根据翻折变换的性质可知NC=NBAG=90。，CD=AB=CD,ZAGB=ZDGCS故可得出结论。

(2)由(1)可知GD=GB,故AG+GB=AD,设AG=x,则GB=Lx,在RtAABG中利用勾股定理即可求出AG的长,

从而得出tanZABG的值。

(3)由小AEF是小DEF翻折而成可知EF垂直平分AD,故HD=]AD=4,再根据tanZABG的值即可得出EH的长,

2

同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结果。

23、(1)560；(2)54；(3)详见解析；(4)独立思考的学生约有840人.

【解析】

(1)由“专注听讲”的学生人数除以占的百分比求出调查学生总数即可；

(2)由“主动质疑”占的百分比乘以360。即可得到结果；

(3)求出“讲解题目”的学生数，补全统计图即可；

(4)求出“独立思考”学生占的百分比，乘以2800即可得到结果.

【详解】

(1)根据题意得:2244-40%=560(名)，

则在这次评价中，一个调查了560名学生；

故答案为：560；

84

(2)根据题意得：——x360°=54°,

560

则在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为54度；

故答案为：54；

(3)“讲解题目”的人数为560-(84+168+224)=84,补全统计图如下:

(4)根据题意得：2800xx---

560

则“独立思考”的学生约有840人

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

4

24、(1)直线的表达式为y=-x+3,双曲线的表达方式为y=-—；(2)点P的坐标为《(-2,2)或已(2,-2)

x

【解析】

分析：(1)将点B(-1,4)代入直线和双曲线解析式求出k和m的值即可;

(2)根据直线解析式求得点A坐标，由求得点P的纵坐标，继而可得答案.

详解：(1)直线y=fct+3(%wo)与双曲线丁=—(rn^O)都经过点B(-1,4),

X

厂.—k+3=4,根=—1x4,

/.k=—1,m=—4,

4

・••直线的表达式为y=-X+3,双曲线的表达方式为y=—―.

(2)由题意，得点C的坐标为C(-1,0),直线丁=一九+3与X轴交于点A(3,0),

:.AC=4,

SAACP=»人。|词=4,

yP=±2,

4

点P在双曲线丁=——上，

x

点P的坐标为4(一2,2)或£(2,—2).

点睛：本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的

关键.

25、(1)150,PA2+PC2-PB2(1)证明见解析(3)4PA2sin2-+PC2=PB2

2

【解析】

(1)根据旋转变换的性质得到△如尸'为等边三角形，得到NPPC=90。，根据勾股定理解答即可；

(1)如图1,作将AABP绕点A逆时针旋转110。得到△AC产，连接PP,作AOLPP于O,根据余弦的定义得到PP

=43PA,根据勾股定理解答即可；

(3)与(1)类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可.

试题解析：

【详解】

解：⑴•.,△ABP^AACPS

：.AP=AP',

由旋转变换的性质可知，ZPAP'=6Q°,P'C=PB,

...△R4P，为等边三角形，

/.ZAPP'=60°,

VZPAC+ZPCA=-x60°=30°,

2

:.ZAPC=150°,

；.NPPC=90。，

：.PP'l+PCl^P'Cx,

J.PA^PC^PB1,

故答案为150,PA^+PC^PB1；

(1)如图，作NR4P'=120。，使AP=AP,连接PP，CP'.过点A作A。，于。点.

VZBAC^ZPAP'^1200,

即ZBAP+ZPAC^ZPAC+ZCAP',

ZBAP^ZCAP1.

'：AB^AC,AP=AP',

；—BAP-CAP.

---------------------------------------------

BC

ion_/pApr

...PC=PB,NAPD=ZAP'D=—~=30°.

2

VAD±PP',

：.ZADP=9Q°.

Ji

在RtZ\APD中，PD=APcosZAPD=—AP.

2

pp'=2PD=y[3AP.

VZB4C+ZPC4=60°,

AZAPC=180