《镶嵌》教学案例

《镶嵌》教学案例

富锦市向阳川镇中学

万承文

《镶嵌》教学案例

一、引言与背景

人教版七年级教材第七章第四节是在学习了多边形内角和之后的一节

操作课，《教学课程标准》认为应让学生通过感知、观察、实验、操作等教

学活动，充分感受教学与生活的密切联系和感知思维的发展性，因此，本

节课中，如何引导学生正确探究并发现图形镶嵌的一般规律成了难点。本

节课通过把正多边形角的度数与周角360°之间的关系用一次方程的形式

表现出来，进而根据判别一次方程是否有整解来识别一种或几种正多边形

能否镶嵌，用方程建模的形式，解决了用正多边形进行镶嵌的数量关系。

如何调动学生的学习积极性？在备课时考虑到分小组讨论与动手操作

的教学形式，有助于增强学生的自信心，便于他们掌握。

二、教学过程

首先展示一组蜂房、地砖图案、马赛克拼图，感觉教学的拼装、设计

美，并指出这些图形是由一些基本的几何图形组成。总结得出镶嵌的原理:

当几个拼在一起的角的度数和为360。，且对接在一起的边长相等时，相应

开关的地砖可以镶嵌在一起。明确镶嵌过程中关键是角度能否组成360。。

展示用同一模型的正方形、正六边形镶嵌成的平面图形。

问题一：能否用四边形来镶嵌平面图形？有没有其它任意多边形可以

镶嵌成平面图形，为什么？在回答为什么不能用其它六边形来铺地板时，

学生中出现了下面的讲法：

学生L其它六边形就不可以，因为六边形的内角各等于360°。

学生2：不对吧，正边形的内角各也不是360。，但它却能够用来铺地

板。

第一个学生在座位上不敢说话了。同学们也窃窃私语，不知道这个矛

盾出在哪里，大家你看看我，我看看你。我知道他们在等着老师告诉他们

结果，但我却说：对于这两个同学的不同意见，大家能否帮助他们出出主

意？各小组经过一阵热烈的讨论后，终于认可了一个小组代表的发言：只

要六边形某三个角和是360°就可能用三块多边形，在一个点上拼出360°

角，剩余三个角用同样的方法处理。但显然不是任意的多边形都可以用来

铺地板。

问题二：能用正五边形铺地板吗？其它正多边形呢？为什么？

有意思的是学生这样回答我：“不可以用正五边形，因为它的内角和与

360°没有任何关系“什么意思？”“你看，四边形内角和等于360。，六

边形的内角和等于720°,是360°角的2倍。这么说只要内角和等于360

度的倍数的多边形就可以用来铺地板了？大家想一想，对吗？为什么？”

暗示学生用手上的多边形模型实验，实验后才发现即使正多边形的内角和

是360。的倍数，也不一定能用这种多边形单独的来铺地板，如正八边形。

在备课时，我以为学生对镶嵌这一课的内容会掌握的很理想，现在才发现

不是这样，在总结了镶嵌的关键是在连续点上铺出周角360°以后，特别强

调应是周角，与内角和是不是360。的倍数无关。学生这才发现在回答问题

时，也犯了类似的错误。接下来他们很快发现：当一个正多边形一个内角

度数的整数倍等于360。时，就可以用这种正多边形单独镶嵌成一个平面图

形。

接着我进一步要求：能否用代数的形式把这一思想表达出来？比如方

程、公式、代数式等等。“可以用360：n来表示，n表示整数，只要结果也

是整数就可以。”“不对，n应当表示示多边形每一内角的度数”“n用x更

好，因为n常用来表示多边形的边数。”经边相互补充以后认为用方程的形

式固定较好：ax=360,a表示所需某一正多边形的个数，x代表该多边形的

每一内角的度数。

展示用两种正多边形镶嵌成的图案：四个正三角形与一个正六边形，

一个正方形与两个正八边形。

问题三：请你用一个两种不同正多边形材料镶嵌成的平面图案（启发

学生用手上的材料拼装）。学生分组进行后，发现有多种组合：两个正三角

形与两个正六边形；正三角形与两个正方形，等等。并总结出：在每个结

合点处，两种正多边形的各角和等于360°,即若两种正多边形的每一个内

角度数x、y满足ax+by=360（其中a、b为整数）则可用来拼装地板。三种

或三种以上的正多边形拼法亦如此。有了规律，学生兴致勃勃地设计了用

三种正多边形拼装的平面模型，并欣赏优美平面镶嵌图案与曲面镶嵌（旋

转的足球），在学生的兴奋和惊讶中，结束了我们这有意义的一课。

三、教学分析

设问常常是一堂教学课成功的关键，如何围绕教学重点、难点，合理

设计问题，让学生在一问一答中，积极参与知识的产生，发展、迁移的全

过程，在轻松和谐的氛围中，加快知识的内化，提高能力，是每位教师所

追求的课堂效果。然而，《数学课堂标准》所需要的数学课堂教学设计理念

远远不止这些，“数学学习内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、

验证、推理与交流等教学活动，它应当是现实的、有意义的、富有挑战性

的。”问的艺术在于导向性、合理性和挑战性。学生已有的生活经验和知识

经验是出发点，教学素材内在结构是落脚点，引起情智冲突是切入点，学

生积极参与是兴奋点，发现创新是闪光点回答的效果不在于正确性，在于

是否引起学生的有效注意，在于学生是否支手操作，有没有展开联想，有

没有主动探究，会不会合作交流，会不会表达评价等。

四、教学反思

1、转变教师角色，多进行教学的尝试与实践，在本节课中老师的教学

行为由原来的垄断式变为现在的平等参与，真正体现了教师是教学活动的

组织者、引导者与合作者。让学生有一个接受挑战的环境，展示他们的数

学思维，由他们自己来完成本节课的教学任务。

2、改变教学方式，让学生的思维深下去，探究性的教学方法与传统的

教法有很大的区别，新教法更注重思维的发展、过程的研究和创造性思维

的培养，在教学过程中要给学生足够的时间和空间，多让学生动手实验，

动脑思考；要通过设置问题，让学生主动参与探究，体验成功与失败的艰

辛，锻炼他们的意志。

3、要加强数学知识之间的内在联系性，及时进行知识的内化。本课时

是在学习了正多边的每个角的计算、一次议程的整数解以后，学生对能拼

成周角的图形可以拼一个平面图形有一个明确的认识，因此本节课中多边

形镶嵌的本质就是看一种或几种正多边形的若干角的度数和是否能够组成

周角，并用议程的形式加以建模，展示学生数学思维过程，帮助学生建立

几何与代数的内在联系，便于学生对所学知识的内化。

4、对学生要及时的评价，多鼓励，培养学生的自信心，不少学生在这

次活动中充分肯定了自我，其中不少是平时的后进生，在应试教育的环境

下，不能充分体现这些学生的灵活的、跳跃的思维，即对美的理想和创造

的天份。教师的及时鼓励有助于他们重新建立自信，学习由被动转变为主

动。

5、数学源于生活，是生活的数学。在传统的教学模式下，学生走入课

堂，就走进了早已预设好的、可能是外在于他们的“书本”世界，发他的

“书本”世界没有很好的与他的“经验世界”沟通的，他就无法理解“书

本”世界的最精要部分；关于客观世界的本质的、规律性的知识以及