第一章 集合与常用逻辑用语（B能力卷）（解析版）VIP

集合与常用逻辑用语（B能力卷）单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意.故选：B2．命题“，0”的否定为（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】因为命题“，0”是全称量词命题，所以其否定为，，故选：C3．已知集合，，若，则实数a的值是（）A．1 B．2 C． D．1或2【答案】D【详解】因为，所以或，当时，，此时，满足要求；当时，或，若，此时，集合不满足元素互异性；若，此时，满足要求，综上可知，的取值为或，故选：D.4．对任意实数，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②“方程有且只有一个负实根”的充要条件是“”；③“”是“”的充要条件；④“”是“”的必要非充分条件，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】对于①中，当时，可得，即充分性成立；反之，若时，当时，与不一定相等，即必要性不成立，所以的充分不必要条件，所以①不正确；对于②中，当时，方程，解得，此时有一个负实根，所以②不正确；对于③中，由，根据幂函数的性质，可得，即充分性成立；反之：由，可得成立，即必要性成立，所以是的充要条件，所以③正确；对于④中，当时，不一定成立，即充分性不成立；反之：当时，可得一定成立，即必要性成立，所以是的必要非充分条件，所以④正确.故选：B.5．若集合至多含有一个元素，则的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】B【详解】因为集合至多含有一个元素，所以时，，此时满足题意；当时，要满足题意，需方程无实根或两相等实根，即，所以.综上知，的取值范围是.故选：B.6．命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】命题，使得成立.若是假命题则命题的否定为：，使得成立，为真命题.所以在上恒成立，由，当且仅当时取得等号.所以故选：A7．已知，，若且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．或【答案】B【详解】集合A中，由得，当时，，（舍）；当时，，，所以集合；集合B中，若，，则，符合要求；若，根据二次函数对称轴为，若，则，，综上可得：故选：B8．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：不等式成立的充分条件是，设不等式的解集为A，则，当时，，不满足要求；当时，，若，则，解得.故选：A.多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）9．下列各组集合不表示同一集合的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】ABD【详解】选项A：集合中的元素为，集合中的元素为，故不表示同一个集合；选项B：集合中的元素是直线上的点，集合是所有实数构成的集合，故不表示同一个集合；选项C：集合和集合都是和这两个数构成的集合，故是同一个集合；选项D：集合中的元素是和，集合中的元素是点，故不表示同一个集合.故选：ABD.10．下列表述正确的是（）A． B．C． D．【答案】AB【详解】对A，即，解得或，故A正确；对B，因为恒成立，故B正确；对C，即，解得或，故C错误；对D，即，故D错误故选：AB11．在下列结论中，正确的有（）A．是的必要不充分条件B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件C．若，则“”是“，不全为0”的充要条件D．一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件【答案】AC【详解】对于A中，由，可得，可得，所以充分性不成立，反之：由，可得，可得，所以必要性成立，所以是的必要不充分条件，所以A正确；对于B中，在中，由，可得为直角三角形，反之：由为直角三角形，不一定得到，所以是为直角三角形的充分不必要条件，所以B不正确；对于C中，若，由，可得不全为，反之：当不全为，可得，所以是不全为0”的充要条件，所以C正确；对于D中，若一个四边形是正方形，可得它一定是菱形，所以充分性成立，反之：菱形不一定是正方形，所以必要性不成立，所以一个四边形是正方形是它是菱形的充分不必要条件，所以D不正确.故答案为：AC12．设非空集合满足：当时，有.给出如下四个命题，其中正确命题的有（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．【答案】ABC【详解】对于A选项，若，则，根据当时，有，可得，得，可得，故，A对；对于B选项，若，则，则，解得，B对；对于C选项，若，则，即，C对；对于D选项，若，时，此时符合题意，D错.故选：ABC．三、填空题（每小题5分，共计20分）13．已知集合，若，则实数的取值范围是________.【答案】【详解】由于，所以，所以的取值范围是.故答案为：14．向50名学生调查对A、B两事件的态度（只有“赞成”、“不赞成”两种态度），有如下统计结果：赞成A的人数是全体的五分之三，赞成B的比赞成A的多4人；另外，对A、B都不赞成的学生数是对A、B都赞成的学生数的九分之二，则对A、B两事件都赞成的学生有______人.【答案】【详解】设对A、B两事件都赞成的学生有人，则，解得故答案为：15．若“，”是真命题，则实数的最小值为__________.【答案】【详解】解：因为“，”是真命题，即，所以，则实数的最小值为；故答案为：16．设为实数，关于的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是_____________【答案】【详解】由题意，，则或解得或.四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）17．已知集合，.求：（1）（2）（3）【详解】解不等式，即，解得，所以集合.集合.（1）由，可得.（2）由得或，又因为，所以.（3）由，可得，所以或.18．已知集合，，，且.（1）求实数的值；（2）若，求实数的值.【详解】（1）∵，∴，∴或，解之得或或，经检验或不合题意，舍去，故.（2）由（1）可得，∵，当时，适合题意，故，当时，，得或，∴实数的值为或或19．已知集合（1）若，求实数的取值范围；（2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合；（3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围.【详解】（1）若A是空集，则方程无解，此时且，即，所以的取值范围为；（2）若A中至多有一个元素，则方程有且只有一个实根或者无解，若方程有且只有一个实根，则当时，方程为一元一次方程，满足条件，当时，此时，解得：，若方程无解，由（1）可知，综上可知：若A中至多有一个元素，则实数的取值为；当时，；当时，；当时，；（3）若A中至少有两个元素，则有两个不等的实数根，此时且，解得且，所以a的取值范围是.20．已知集合，，若，求实数的取值范围.【详解】解：，得：或.因为，所以，所以集合中只能有元素-1，4，所以或，所以或.21．已知命题，命题.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.【详解】解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.实数的取值范围是.(2)由(1)知命题为真命题时，.命题为真命题时，，解得为真命题时，.，解得，即实数的取值范围为.22．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明A中还有另外两个元素；（2）集合A能否只含有两个元素?请说明理由；（3）若A中元素个数不超过8，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的所有元素.【详解】解：（1）证明：由题意可知若，则.，.，，若，则A中还有另外两个元素，.（2）集合A不是双元素集合.理由如下：若，则，则，因为，所以，，，故