高考数学二轮复习作业手册 第2B讲 平面向量、算法初步、推理与证明 理

专题限时集训(二)B[第2讲平面向量、算法初步、推理与证明](时间：30分钟)1．若执行如图X2－7所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，x＝2，则输出的S等于()A.eq\f(2,3)B．1C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)图X2－7图X2－82．某程序框图如图X2－8所示，若输出S＝57，则判断框内为()A．k>4?B．k>5?C．k>6?D．k>7?3．已知不共线的向量a，b，|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝1，则|b－a|＝()A.eq\r(3)B．2eq\r(2)C.eq\r(7)D.eq\r(23)4．若向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(eq\r(3)，－1)，则|2a－b|的最大值为________．5．若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2<0，则△ABC必定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形6．△ABC外接圆的圆心为O，半径为1，若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，则向量eq\o(BA,\s\up6(→))在向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影为()A.eq\f(3,2)B.eq\f(\r(3),2)C．3D．－eq\f(\r(3),2)7．已知a为执行如图X2－9所示的程序框图输出的结果，则二项式aeq\r(x)－eq\f(1,\r(x))6的展开式中含x2项的系数是()图X2－9A．192B．32C．96D．8．已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，eq\o(QA,\s\up6(→))＝2eq\o(BQ,\s\up6(→))，则△APQ的面积为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C．1D．29．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，则点集{P|eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．4eq\r(2)D．4eq\r(3)10．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,t))＝6eq\r(\f(a,t))(a，t均为正实数)，则类比以上等式，可推测a，t的值，a＋t＝________．11．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，设h为斜边上的高，则eq\f(1,h2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2).由此类比：三棱锥S－ABC中的三条侧棱SA，SB，SC两两垂直，且长度分别为a，b，c，设棱锥底面ABC上的高为h，则________________________________________________________________________．12．如图X2－10所示，表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列．记第i行第j列的数为aij(i，j∈N)，则a99＝________；表中数82共出现________次．234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……图X2－10专题限时集训(二)B1．A[解析]输出的结果是eq\f(（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2,3)＝eq\f(2,3).2．A[解析]逐次运行的结果是k＝2，S＝4；k＝3，S＝11；k＝4，S＝26；k＝5，S＝57.当k＝5时输出结果，故选A.3．A[解析]由a·(b－a)＝1，得a·b－a2＝1，则a·b＝5.所以|b－a|＝eq\r(b2＋a2－2ab)＝eq\r(9＋4－10)＝eq\r(3).4．4[解析]因为向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(eq\r(3)，－1)，所以|a|＝1，|b|＝2，a·b＝eq\r(3)cosθ－sinθ.又因为|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝8－4(eq\r(3)cosθ－sinθ)＝8－8coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，所以|2a－b|2的最大值为16，因此|2a－b|的最大值为4.5．B[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2<0，即eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))<0，故角A为钝角，所以△ABC为钝角三角形．6．A[解析]由eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))知，点O在BC上且为BC的中点，如图所示，由于|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，故△AOC为正三角形，则∠ABC＝30°.故eq\o(BA,\s\up6(→))在向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向的投影为|eq\o(BA,\s\up6(→))|cos30°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2).7．D[解析]由程序框图可知，第一次循环，a＝eq\f(1,1－a)＝－1，i＝i＋1＝2，不满足条件i<2011，再次循环；第二次循环，a＝eq\f(1,1－a)＝eq\f(1,2)，i＝i＋1＝3，不满足条件i<2011，再次循环；第三次循环，a＝eq\f(1,1－a)＝2，i＝i＋1＝4，不满足条件i<2011，再次循环；第四次循环，a＝eq\f(1,1－a)＝－1，i＝i＋1＝5，不满足条件i<2011，再次循环；…….由此可知a的值为－1，eq\f(1,2)，2，三个数循环，所以输出的a的值为2.又因为二项式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(aeq\r(x))6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(r)＝(－1)rCeq\o\al(r,6)a6－rx3－r，令3－r＝2，解得r＝1，所以二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\r(x)－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(6)的展开式中含x2项的系数是(－1)Ceq\o\al(1,6)25＝－192.8．B[解析]P，Q的位置如图所示，根据三角形面积公式则eq\f(S△APQ,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2)|AP||AQ|sinA,\f(1,2)|AB||AC|sinA)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，所以△APQ的面积为eq\f(2,3).9．D[解析]由|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，可得点A，B在圆x2＋y2＝4上且∠AOB＝60°.在平面直角坐标系中，设A(2，0)，B(1，eq\r(3))，P(x，y)，则(x，y)＝λ(2，0)＋μ(1，eq\r(3))，所以x＝2λ＋μ，y＝eq\r(3)μ，解得μ＝eq\f(y,\r(3))，λ＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2\r(3))y.由于|λ|＋|μ|≤1，则eq\f(1,2)x－eq\f(1,2\r(3))y＋eq\f(1,\r(3))y≤1，即|eq\r(3)x－y|＋|2y|≤2eq\r(3)，所以①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y≥0，,y≥0，,\r(3)x＋y≤2\r(3)))或②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y≥0，,y<0，,\r(3)x－3y≤2\r(3)))或③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y<0，,y≥0，,－\r(3)x＋3y≤2\r(3)))或④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y<0，,y<0，,－\r(3)x－y≤2\r(3).))上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图所示阴影部分，所以所求区域的面积是4eq\r(3).10．41[解析]观察等式：eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(8,3))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…照此规律，第5个等式中，a＝6，t＝a2－1＝35，∴a＋t＝41.11.eq\f(1,h2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)[解析]方法一：过S作△ABC所在平面的垂线，垂足为O，联结CO并延长交AB于D，联结SD.∵SO⊥平面ABC，∴SO⊥AB.∵SC⊥SA，SC⊥SB，∴SC⊥平面ABC.∴SC⊥AB，SC⊥SD，∴AB⊥平面SCD.则AB⊥SD.∴在Rt△ABS中，有eq\f(1,SD2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)，在Rt△CDS中，有eq\f(1,h2)＝eq\f(1,SD2)＋eq\f(1,c2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2).方法二：根据等体积关系eq\f(1,6)abc＝eq\f(1,3)S△ABCh，则eq\f(1,h2)＝eq\f(4（S△ABC）2,a2b2c2).∵4(S△ABC)2＝|AB|2|AC|2sin2A＝|AB|2|AC|2(1－cos2A)＝|AB|2|AC|2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(（|AB|2＋|AC|2－|BC|2）2,4|AB|2|AC|2)))＝|AB|2|AC|2－eq\f(（|AB|2＋|AC|2－|BC|2）2,4)＝(a2＋b2)(a2＋c2)－eq\f(（a2＋b2＋a2＋c2－b2－c2）2,4)＝b2c2＋a2c2＋a