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文档简介
第四讲直线、平面平行的判定与性质A组基础巩固一、选择题1.(2021·河南郑州、商丘名师联盟联考)过平面α外的直线l,作一组平面与α相交,若所得交线为a,b,c,…,则这些交线的位置关系为(A)A.平行或交于同一点 B.相交于同一点C.相交但交于不同的点 D.平行[解析]若l∥α,则l∥a,l∥b,l∥c,…,∴a∥b∥c….若l∩α=P,则a,b,c,…交于点P.2.(2021·辽宁沈阳东北育才学校模拟)在空间中,下列命题中为真命题的是(D)A.垂直于同一直线的两条直线平行B.平行于同一平面的两条直线平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.平行于同一平面的两个平面平行3.(2021·黑龙江大庆让胡路区联考)已知m,n是直线,α是平面,且m∥α,则下列结论中正确的是(B)A.∀n⊂α,都有m∥nB.∃n⊂α,使m⊥nC.∀n∥m,都有n∥αD.∃n⊥α,使m∥n[解析]由m,n是直线,α是平面,且m∥α,得:对于A,∀n⊂α,则m,n平行或异面,故A不正确;对于B,∃n⊂α,使m⊥n,故B正确;对于C,∀n∥m,则n∥α或n⊂α,故C不正确;对于D,若n⊥α,因为m∥α,所以m⊥n,故D不正确,故选B.4.(2021·湖北武汉模拟)设α、β、γ为平面,a、b为直线,给出下列条件:①a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;②α∥γ,β∥γ;③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a∥b其中能推出α∥β的条件是(C)A.①② B.②③C.②④ D.③④[解析]①有如下反例:故,不能推出α∥β;②面面平行的判定:平行于同一个平面的两个平面平行,能推出α∥β;③有如下反例:故,不能推出α∥β;④面面平行的推论:如果两个平面的垂线平行,那么这两个平面平行,能推出α∥β.故选:C.5.(2021·山东泰安期末)有两条不同的直线m,n与两个不同的平面α,β,下列命题正确的是(A)A.m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥nB.m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥nC.m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥nD.m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n[解析]对于A,由m⊥α,n∥β,且α∥β得m⊥n,故正确;对于B,由m⊥α,n⊥β,α⊥β得m⊥n,故错误;对于C,由m∥α,n⊥β,且α⊥β得m∥n或m,n相交或异面,故错误;对于D,由m∥α,n∥β,且α∥β得m,n的关系可以是相交或平行或异面,故错误.故选A.6.若P为异面直线a,b外一点,则过P且与a,b均平行的平面(B)A.不存在 B.零个或一个C.可以有两个 D.有无数多个[解析]记a与P所确定的平面为α,当b∥α时,与a,b均平行的平面不存在,当b不平行α时,与a,b均平行的平面有一个,故选B.7.(2021·湖南省长沙市长郡中学月考)如图所示的四个正方体中,A,B分别为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号为(D)A.①② B.②③C.③④ D.①②③[解析]由题意结合正方体的性质:如图①,平面ABC∥平面MNP,则AB∥平面MNP,①正确;如图②,平面ABC∥平面MNP,则AB∥平面MNP,②正确;如图③,平面ABC∥平面MNP,则AB∥平面MNP,③正确;如图④,平面AB∩平面MNP=A,则④错误;故选D.8.(2021·衡水中学调研卷)如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上—点,当PA∥平面EBF时,eq\f(PF,FC)=(D)A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)[解析]连接AC交BE于点G,连接FG,因为PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面EBF=FG,所以PA∥FG,所以eq\f(PF,FC)=eq\f(AG,GC).因为AD∥BC,AD=BC,E为AD的中点,所以eq\f(AG,GC)=eq\f(AE,BC)=eq\f(1,2),所以eq\f(PF,FC)=eq\f(1,2).9.(2021·西南名校联盟月考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为棱BC的中点,用平行于体对角线BD1且过点A,M的平面去截正方体ABCD-A1B1C1D1,得到的截面的形状是(A.五边形 B.平行四边形C.梯形 D.以上都不对[解析]如图,设截面为α,设BD∩AM=O,P为DD1的靠近于D1的三等分点,N为CC1的靠近于C的三等分点,由BD1∥α可得平面BDD1与α的交线平行于BD1,所以α∩平面DBD1=OP,又平面α与两平行平面AA1D1D,BB1C1C的交线应互相平行,∴α∩平面BB1C1C=MN,由MN∥AP且MN10.(2021·山东乐陵一中模拟改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线或平面与平面ACD1①直线A1B②直线A1C1③平面A1DC1④平面A1BC其中正确的有()个.(C)A.1 B.2C.3 D.4[解析]如图,A1B∥D1C,又A1B⊄平面ACD1∴A1B∥平面ACD1,①正确;DC1与CD1相交,∴平面ACD1与平面A1DC1相交,③错误;∵A1C1∥AC,A1C1⊄平成ACD∴A1C1∥平面ACD1,∴②又A1B∩A1C1=A∴平面ACD1∥平面A1BC1,④正确;故选C.11.(2021·安徽安庆模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、Q分别是棱D1C1,A1D1、BC的中点,点P在BD1上且BP=eq\f(2,3)BD1,则下列说法中正确的个数是(B)①MN∥平面APC②C1Q∥平面APC③A、P、M三点共线④平面MNQ∥平面APCA.1 B.2C.3 D.4[解析]对于①,连接MN,AC,则MN∥AC,连接AM、CN,易得AM、CN交于点P,即MN⊂平面APC,所以MN∥平面APC是错误的;对于②,由A知M、N在平面APC内,由题易知AN∥C1Q,所以C1Q∥平面APC是正确的;对于③,由A知,A,P,M三点共线是正确的;对于④,由A知MN⊂平面APC,又MN⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面APC是错误的.故选B.二、填空题12.(2021·桂林二模)已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,给出下列四个命题:①a∥b,b∥c⇒a∥c;②a∥α,b∥α⇒a∥b;③a∥α,β∥α⇒a∥β;④a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.其中正确的命题是__①④__.(写出所有正确命题的序号)[解析]根据线线平行的传递性,可知①正确;若a∥α,b∥α,则a,b可能平行、相交、异面,故②不正确;若a∥α,β∥α,则a∥β或a⊂β,故③不正确;由线面平行的判定定理可知④正确.故正确的命题是①④.13.已知平面α∥β,点A,C∈α,B,D∈β,直线AB与直线CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,则CS的长为__16或272__.[解析]本题主要考查两平面平行的性质定理.①当点S在两平行平面之间时,如图1所示,∵直线AB与直线CD交于点S,直线AB与直线CD可确定一个平面γ,且α∩γ=AC,β∩γ=BD.∵α∥β,∴AC∥BD,∴eq\f(AS,AB)=eq\f(CS,CD),即eq\f(AS,AS+BS)=eq\f(CS,CD),得eq\f(CS,34)=eq\f(8,17),解得CS=16.②当点S在两平行平面的同侧时,如图2所示,由①知AC∥BD,则有eq\f(AS,BS)=eq\f(CS,DS),即eq\f(8,9)=eq\f(CS,CS+34),解得CS=272.,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件__点M在线段FH上(或点M与点H重合)__时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况[解析]连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,∴平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MN⊂平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1.三、解答题15.(2021·浙江模拟)如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.(1)求证:BE∥平面DMF;(2)求证:平面BDE∥平面MNG.[解析](1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M为AB中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE∥平面MNG.B组能力提升1.设α、β、γ是三个互不重合的平面,m、n为两条不同的直线.给出下列命题:①若n∥m,m⊂α,则n∥α;②若α∥β,n⊄β,n∥α,则n∥β;③若β⊥α,γ⊥α,则β∥γ;④若n∥m,n⊥α,m⊥β,则α∥β.其中真命题是(C)A.①和② B.①和③C.②和④ D.③和④[解析]若n∥m,m⊂α,则n∥α或n⊂α,即命题①不正确,排除A、B;若α∥β,n⊄β,n∥α,则n∥β,则命题②正确,排除D,故应选C.2.(2021·甘肃兰州诊断)已知直线m,n和平面α,则m∥n的一个必要条件是(D)A.m∥α,n∥α B.m⊥α,n⊥αC.m∥α,n⊂α D.m,n与平面α成等角[解析]A中,m,n可以都和平面垂直,必要性不成立;B中,m,n可以都和平面平行,必要性不成立;C中,n不一定在平面内,必要性不成立;D中,m,n平行,则m,n与α成的角一定相等,但反之如果两直线m,n与α成的角相等则不一定平行,所以是必要不充分条件,故选D.3.(2021·宜昌调研)如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,则下列结论不正确的是(D)A.PC∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.OM⊥PAD.直线PD与MN所成角的大小为90°[解析]如图,连接AC,易得PC∥OM,所以PC∥平面OMN,结论A正确.同理PD∥ON,所以平面PCD∥平面OMN,结论B正确.由于四棱锥的棱长均相等,所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2,所以PC⊥PA,又PC∥OM,所以OM⊥PA,结论C正确.由于M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB,又四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD,又三角形PDC为等边三角形,所以∠PDC=60°,所以直线PD与MN所成的角即∠PDC为60°,故D错误.4.(2021·江西景德镇一中月考改编)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1D1,A1B1的中点,过直线BD的平面α∥平面AMN,则平面α截该正方体所得截面的面积为(BA.eq\r(2) B.eq\f(9,8)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(6),2)[解析]如图1,取B1C1的中点E,C1D1的中点F,连接EF,BE,DF,B1D1,则EF∥B1D1,B1D1∥BD,所以EF∥BD,故EF,BD在同一平面内,连接ME,因为M,E分别为A1D1,B1C1的中点,所以ME∥AB,且ME=AB,所以四边形ABEM是平行四边形,所以AM∥BE,又因为BE⊂平面BDFE,AM⊄平面所以AM∥平面BDFE,同理AN∥平面BDFE,因为AM∩AN=A,所以平面AMN∥平面BDFE,所以平面BDFE为平面α,BD=eq\r(2),EF=eq\f(1,2)B1D1=eq\f(\r(2),2),DF=BE=eq\f(\r(5),2),等腰梯形BDFE如图2,过E,F作BD的垂线,则四边形EFGH为矩形,∴FG=eq\r(DF2-DG2)=eq\r(\f(5,4)-\f(1,8))=eq\f(3\r(2),4),故所得截面的面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)+\r(2)))×eq\f(3\r(2),4)=eq\f(9,8),故选B.5.(1)如图,三棱柱A1B1C1-ABC中,点M是A1B1的中点.求证:B1C∥平面AC(2)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,BF=DE,M为棱AE的中点.求证:平面BDM∥平面EFC.[证明](1)在直三棱柱A1B1C1-ABC侧面ACC
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