甘肃省部分学校2024届高三年级下册2月开学考试数学试题（含答案解析）

甘肃省部分学校2024届高三下学期2月开学考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={工|0<1+1<2},8="|1<0或次〉2},则()

A.{x|-l<x<0}B.{x|2<x<3}

C.{x\x<l^x>2}D.{x|x<0或2<x<3)

2.sinl65°cos525°二()

1

A1R6r

A.—D.--C.--D.--

4444

3.已知单位向量Z花满足卜+4=21-囚，则£花夹角的余弦值为（)

3344

A.一一B.—C.—D.-

5555

4.已知复数z满足(z-3i)(2-i)=5；则M=()

A.242B.2#C.8D.20

5.若直线/：丁=2x+4与抛物线C:丁=2px（p>0）只有1个公共点，则C的焦点下到I的

距离为（）

A.45B.2A/5C.36D.475

6.已知［尤+」尸］的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系

数最大的项是（）

7

35:352

A.——x27尤5C.——%D.lx

88

A

7.函数/(x)=24COS।的单调递减区间是（）

712历i712左兀兀2kn5兀2左兀

A.——+______L___(keZ)B.--1---,---1---(kwZ)

_43'123_123123

712E712左兀兀2左兀712人兀

C.-----+______|_(kwZ)D.一+，一+(后eZ)

123'12~T~12343

8.已知/（x）是定义域为R的偶函数，且在（一q0）上单调递减,

a=/(Ini.04)=/(1.04),c=/(e004),则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.已矢口数歹!］｛4｝满足％=3,2〃"+i=3。〃一2,贝I］（）

A.｛%-2｝是等差数列

B.｛2〃｝的前〃项和为（—1+2〃

C.｛%｝是单调递增数列

D.数列＜。〃+1＞的最小项为4

10.已知函数〃X）=-］］（xeR,其中［可表示不大于X的最大整数），则（）

A.〃尤）是奇函数B.是周期函数

C./（X）在［0,2）上单调递增D.“X）的值域为｛0』

11.己知正四面体/BCD的棱长为4,点尸是棱NC上的动点（不包括端点），过点P作

平面月平行于/D、8C,与棱4B、BD、CD交于Q,S,T,则（）

A.该正四面体可以放在半径为近的球内

B.该正四面体的外接球与以A点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为

8G

-----71

3

C.四边形尸0ST为矩形

D.四棱锥C-PQST体积的最大值为竺83

81

三、填空题

12.2023年度，网络评选出河南最值得去的5大景点：洛阳龙门石窟，郑州嵩山少林

寺，开封清明上河园，洛阳老君山，洛阳白云山，小张和小李打算从以上景点中各自随

机选择一个去游玩，则他们都去洛阳游玩，且不去同一景点的概率为.

13.已知片，匕分别是双曲线。：£-m=1（。＞0/＞0）的左、右焦点，过点与且垂直x轴的

直线与C交于48两点，且tan//耳工=当，若圆（x-2＞+y2=4与c的一条渐近线

交于两点，则|MV|=.

14.若圆锥S。的母线长为3,则圆锥S。体积的最大值为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.已知在“8C中，角4民。所对的边分别为。，瓦c,c(cos3-cosC)=Q-6)cosC.

(1)若Nw2C,证明：是等腰三角形；

(2)若6=2c=4,求。的值.

16.2022年日本17岁男性的平均身高为170.8cm,同样的数据1994年是170.9cm,近

30年日本的平均身高不仅没有增长，反而降低了0.1cm.反观中国近30年，男性平均身

高增长了约9cm.某课题组从中国随机抽取了400名成年男性，记录他们的身高，将数

据分成八组：[155,160),[160,165),…，[190,195]；同时从日本随机抽取了200名成年男

性，记录他们的身高，将数据分成五组：[160,165),[165,170),…,[180,185],整理得到如

(1)由频率分布直方图估计样本中日本成年男性身高的75%分位数；

(2)为了了解身高与蛋白质摄入量之间是否有关联,课题组调查样本中的600人得到如下

列联表：

蛋白质摄入量

身高合计

丰富不丰富

低于175cm108

不低于175cm100

合计600

结合频率分布直方图补充上面的列联表，并依据小概率值a=0.001的独立性检验，推

断成年男性身高与蛋白质摄入量之间是否有关联？

试卷第3页，共4页

n(ad-be)2

附：/,n=a+b+c+d

(q+6)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.如图，正方体/BCD-的棱长为2,瓦尸分别为棱4民CG的中点.

⑴请在正方体的表面完整作出过点£,己2的截面，并写出作图过程；(不用证明)

⑵求点用到平面屏n的距离.

22

18.已知椭圆C:=+2？=l(a>6>0)的离心率为e,点/(l,e)在C上，C的长轴长为4e.

ab

(1)求C的方程；

(2)已知原点为O,点尸在C上，。尸的中点为。，过点。的直线与C交于点M,N,且

线段九W恰好被点。平分，判断而2.砺2_丽.而尸是否为定值？若为定值，求出

该定值；若不为定值，说明理由.

19.已知函数/(x)="(x：l)+11K(qeR).

⑴若“X)在(o,+e)上单调递增，求“的取值范围；

⑵若/'(X)有2个极值点王,马(国>/>0),求证：a(x；+x；)>2%\

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】求出集合A中元素范围，然后直接求交集即可

【详解】因为/={工|0<1+1<2}={引一1<%<1},5={%|1<0或x>2},

所以/cB={x[—l<x<0}.

故选：A.

2.C

【分析】先利用诱导公式大变小角，再利用倍角公式计算.

【详解】sinl65°cos525°=sin(180°-15°)cos(540°-15°)=sinl5°(-cosl5°)=-；sin30°=-.

故选：C.

3.B

【分析】|£++2日-川两边平方可得答案.

【详解】|£+可=2日-,两边平方得1+27石+1=4(1-2)4+1)解得。-必-=3£，

又因为£花单位向量,a-b=\a\-\b\cos<a,b>=cos<a,b>=—,

3

所以3%夹角的余弦值为十

故选：B.

4.B

【分析】利用复数的运算法则可得z,再利用模的计算公式可得结果.

【详解】由(―)(2-)=5,得2=六+篁=昌濡+3・2+i+3i=2+4i,所以

|z|=^2。+42=2V5.

故选：B.

5.D

【分析】联立/与C的方程并消去x,由题意可知A=0,则可求出。的值，从而可求出焦点

F的坐标，然后利用点到直线的距离公式可求得结果.

y=2x+4

【详解】由^y2-py+4p=0.

y2=2px

因为/与C只有1个公共点,

答案第1页，共15页

所以A=(-p)2-16p=0,结合p>0,解得p=16,

2x8-0+4

所以尸(8,0),所以尸至！|/的距离”=

故选：D.

6.C

【分析】利用二项展开式的通项求出展开式前三项的系数，列出方程求出〃的值，由二项式

系数的性质求出答案.

3

n——r

【详解】展开式中的第『+1项为C>2，

所以前三项的系数依次为,

依题意，有c：+Jc：=C，即1+k也二Q"，

442

整理得/-9〃+8=0,解得”=1(舍去)或〃=8.

由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大,

故选：C.

7.D

【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质，列式解得答案.

【详解】/(x)=2

由题意V=cos13x-：J单调递减，且cos[3x-：J20,

贝I|2fcr43x-女V殳+2航，后eZ,^―+—<x<-+—,左eZ,

4212343

所以/(x)的单调递减区间是—+-^—,~+(左eZ).

故选：D.

8.A

【分析】构造函数〃(x)=e-(x+l),求导确定其单调性，根据单调性确定e°?L04的大小,

通过对数函数的性质确定lnL04,1.04的大小，最后根据/(x)的单调性得答案.

答案第2页，共15页

【详解】因为/(x)是定义域为R的偶函数，且在(-8,0)上单调递减,

所以“X)在(0,+“)上单调递增；

lnl.04<Ine=1<1.04,KPlnl.04<1.04；

令=ex-(x+1),

当x>0时，h'^x)=er-1>0,则力(x)单调递增，

所以M0.04)=e°g-(0.04+l)=e°g-i.04>/zp)=0,

即「。4>1.04,

所以e°°4>1,04>lnl.04.

而/(x)在(0,+/)上单调递增，

故有/(lnl.04)<〃1.04)</(e°e4),即"6<以

故选：A.

9.BC

【分析】利用等比数列的定义求出％可得4〃，再由等比数列求和公式计算可判断AB；根

据｛%｝的通项公式可判断C；根据｛0“｝的单调性可判断D.

【详解】由2a—,得2(〃用-2)=3(%-2),因为q-2=1*0,

.47.-23

所以。2-2w0,%-2w0,…，q-2w0,从而~,

所以｛4-2｝是首项为1,公比为3的等比数列，所以2=lx1|j"',

n-\

3

+2,所以。2“=+2,

3

所以出+%~*---a=一,6,所以错误，正确;

2n,9-2r1+2/AB

4

n-l

3

I+2,易知｛%｝是单调递增数列，C正确;

答案第3页，共15页

当"22时'a“+i+1|j+2>4,

23225

当〃=1时，a,+-=-+-+2=—>4,D错误.

3236

故选：BC.

10.BD

【分析】通过计算VxeRJ（x+3）=〃x）可判断B；求出尤式0,2）和〃[2,3）时的可判

断D；通过举反例来判断AC.

【详解】由题意，卜]表示不大于x的最大整数，则"+1]=[司+1,

所以

x+3+1x+3x+1x,x+1

VxeRJ(x+3)=-----+1------+1+1--+1

333333

=F一（＞"封，则函数“X）是以3为周期的函数,

当xe[0,2）时，〃x）=+[一]]=0-0=0,

当xe[2,3）时，/（%）=-0=1,

0,xe[0,2)

则〃x)=

1”[2,3)

又是以3为周期的函数，则的值域为｛0」｝,B和D均正确;

/（-1）=/（2）=1,/（1）=0,所以/■（一1）2一〃1）,故“X）不是奇函数，A错误；

当xe[0,2）时,/（x）=0,故[（X）在[0,2）上无单调性,C错误.

故选：BD.

11.AC

【分析】选项A,将正四面体放置到正方体中，通过求正方体的外接球半径得出正四面体外

接球半径为痛，即可判断出选项A的正误；选项B,根据条件，求出两球相交圆的半径即

可判断选项B的正误；选项C,取3C的中点连接根据条件可得8C工平面

ADM,从而得到再利用月平行于4D、BC,可得出四边形PQS7为平行四边形,

即可判断出选项C的正误，选项D,取/。中点N,连接九CV,交平面尸0ST于点/,设

答案第4页，共15页

/尸=2/C（0<2<l）,根据条件得出％.37=竿（分一2分+〃，构造函数

/（2）=23-222+2,利用导数与函数的单调性间关系，求出/（4的最值，即可解决问题.

【详解】对于选项A,如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体

的外接球，

因为正四面体的棱长为4,所以正方体的边长为2a，

易知正方体的外接球直径为体对角线的长，又DE=2*）,所以正四面体的外接球半径

7?=—=V6<V7,

2

所以该正四面体可以放入半径为近的球内，故选项A正确，

对于B,由选项A可知四面体外接球的半径火=卡,

4石2+力。2—£。2匕+（灰）2-（旗）2XI,所以

如图，在中,cos/£/O=

2AEAO2x2x5/66

sm/即对

易知两个球面的交线为圆，设/。与圆面的交点为。2，

在RtAECU中，EO,=EAsin/E/O,=2x—=—,

63

所以两个球面的交线的周长为27tx画=酒兀，故选项B错误,

33

对于选项C,取8C的中点连接

答案第5页，共15页

易知DM_L8C,/M_L8C,又DMc4M=M,面/DM,

所以8c工平面/DW,又NOu面/DW,所以BC_L4D,

又4D//平面广，平面6n平面48。=。5,40<=平面么3。，所以4D//QS,

同理/D//PT,所以。S〃尸T,

同理可得尸。//8C〃ST,所以四边形PQST为平行四边形，

又/0ST是与3C所成的角，所以/0ST=9O。，故四边形尸0ST为矩形，所以选项C

正确，

对于D,设/尸=2/C(0<2<l),由选项C知PQ〃3C,所以或=空，

BCAC

又BC=4,得到。尸=4"同理可得0s=4(1-彳)，

取/。中点N,连接MN,交平面PQS7于点/.

易知K4=M),所以AGV工4D,又由选项C知，MN1BC,

又BCHST,ADIIQS,QS[}ST=S,QS,S7u面PQST,

所以平面尸。57,因为平面PQS7与3c都平行，

所以可得N=N=1一几，又易知MN=2C，所以〃/=2&(1一X),

即C到平面PQST的距离为20(1T),

所以％“os,=：43(4_42)-2亚=

令/(%)=万一2%+丸，则/14)=3万一42+1=(3彳-1)(力一1),

由/'⑷>0,得到0<彳<；,由/⑷<0,得到;<2<1,

所以/(2)max=/1[=*，所以(％“0Sr)max=T^，故选项D错误,

故选：AC.

【点睛】关键点点晴：本题的关键在选项D,取/。中点N,连接血W,交平面尸0S7于点

I,通过证明平面尸QST,从而得出C到平面尸。ST的距离为NZ,设

答案第6页，共15页

AP=2AC（O<2<1）,再利用几何关系即可得出Z,叩=%普（万-2万+彳），通过构造函

数/卜）=分-2%+2,将问题转化成求函数的最值，即可解决问题.

6

12.—/0.24

25

【分析】由古典概型概率计算公式即可求解.

【详解】小张和小李从5个景点中各自选择1个，共有5x5=25种可能，

5个景点中有3个在洛阳，则他们都选择去洛阳游玩，且不去同一景点的情况有3x2=6种,

故所求概率P=三.

25

故答案为：假.

13.

55

解得£=退，所以2=2,

aa

所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x,

由双曲线的对称性，不妨取y=2x,

又（x-2）2+/=4的圆心为（2,0）,半径为r=2,

所以圆心（2,0）到直线的距离为“=忑,

所以弦长\MN\=2,以一屋一考

答案第7页，共15页

4&

故答案为:

F

14.2A/3TI

【分析】设底面半径为「，根据圆锥的体积公式将体积用表示体积修，再利用导数求出最大

值即可.

【详解】设底面半径为「，则圆锥的高/z=SO=V^7，

体积/=-^iu~2h=w2y/9—r2=(尸.

令f=re(O,9),/(f)=(9-/y2,则/甲)=一3/+因=一3/”6),

当fe(O,6)时,/⑺单调递增，当/(6,9)时,/⑺单调递减；

所以当/=6,即厂=C，”=j9-6=6时,取最大值，/取最大值，

止匕时嗫ax=；兀〃〃=1x6x/=2A/3TI.

故答案为：2也K.

15.(1)证明见解析

⑵a=2A/3

【分析】(1)利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，再利用三角恒等变换公式化简变形

可证得结论；

(2)由(1)可得/=2C,贝！|sin4=sin2c=2sinCcosC,再利用正余弦定理化简可求得结

果.

【详解】(1)证明：由c(cosB-cosC)=(c-6)cosC,及正弦定理，得

cosC(sin8-sinC)+sinC(cosS-cosC)=0,

即sin5cosc+cos5sinC=2sinCcosC,

即sin(5+C)=sin2C.

因为4+。+5=兀，所以sin(兀一/)=sin2C,

EPsiib4=sin2C.

因为力£（0,兀）,2。40,2兀）,

答案第8页，共15页

所以4=2。或4+2C=兀.

因为Zw2C,所以Z+2C=兀，

又/+。+3=兀，所以5=C.

故力5C是等腰三角形.

(2)尚军：因为6=4,。=2,即6wc,则BwC.

由(1)可得/=2C.

因为sin4=sin2c,

所以siih4=2sinCcosC.

由正弦定理，得Q=2CCOSC.

222

国石厂Y+〃一/a+fy-e

因为cosC=--------------,所以Q=2cx---------------.

2ab2ab

因为Z?=2c=4,

所以4=4,4+16.4,整理得/=i2,

8Q

因为0>0,所以a=2Q.

16.(l)176.25cm

(2)列联表见解析，有关联

【分析】(1)由频率和为1解得x,利用75%分位数位定义可得答案；

(2)由频率分布直方图计算出样本中身高低于175cm的中国成年男性人数、日本成年男性

人数可完成表格，零假设名：成年男性身高与蛋白质摄入量之间无关联，则由2x2列联表

数据可得力"依据a=0.001的独立性检验，可得答案.

【详解】(1)由频率分布直方图可知5X(0.01+0.07+X+0.04+0.02)=1,解得X=0.06.

H^J(0.01+0.07+0.06)x5=0.7(0.75,(0.01+0.07+0.06+0.04)x5=0.9)0.75,

所以75%分位数位于［175,180),设为加，

则有0.7+(〃L175)x0.04=0.75,解得m=176.25(cm),

故日本成年男性身高的75%分位数为176.25cm；

(2)由频率分布直方图知，样本中身高低于175cm的中国成年男性人数是

(0.008+0.016+0.04+0.04)x5x400=208(人)，

答案第9页，共15页

样本中身高低于175cm的日本成年男性人数是(0.01+0.07+0.06)x5x200=140(人),

故样本中身高低于175cm的共有348人，可得下表：

蛋白质摄入量

身高合计

丰富不丰富

低于175cm108240348

不低于175cm152100252

合计260340600

零假设4：成年男性身高与蛋白质摄入量之间无关联，则由2*2列联表数据可得:

600x(108x100-240x152)2

Z2«51.040>x=10.828

348x252x340x2600001

依据a=0.001的独立性检验，我们推断々不成立,

即认为成年男性身高与蛋白质摄入量之间有关联.

17.(1)截面，作图过程见解析

nJ0V29

29

【分析】(1)根据截面定义及平面的性质作图即可；

(2)以。为原点，棱以所在直线分别为x,%z轴建立空间直角坐标系，求出平面

厂的法向量，由点到平面的距离的向量公式求得答案.

【详解】(1)连接。/并延长交DC延长线于点/,连接比并延长交于点77,交DA延

长线于点J,连接交得于点G,则截面2GEHF即为所求.

答案第10页，共15页

（2）如图，以。为原点，棱。4£＞。,。4所在直线分别为苍％2轴建立空间直角坐标系小：尸.

因为正方体力BCD-44GA的棱长为2,

所以口（0,0,2）,£（2,1,0）,尸（0,2,1）,与（2,2,2）.

率=（2,1,-2）,印=（0,2,-1）,丽=©2,0）.

设平面尸的法向量为而=（x,%z）,

m-D,E=0,（2x+y-2z=0,

则_即。[_n

m-DXF=0,12y—z-0,

取＞=2,得平面QEb的法向量为玩二（3,2,4）.

设点Bx到平面EFDX的距离为d,则d=）7同=|2X；+2X2+0X4|=10729

阿A/32+22+4229

故点Bx到平面EFD,的距离为U返.

29

丫2

18.（l）y+/=l

3

（2）是定值a

【分析】（1）由已知得e=],则可得4/=4/_/,再将点A的坐标代入椭圆方

程化简，再结合前面的式可求出。2,从，从而可求出椭圆方程；

（2）方法一：设尸（尤0,%）,M（XQJ,N（X2，%）,则可得代入椭圆方程化简，

1%-必+'2

再结合在。上，可得X2；一入也%%=5，然后化简而"2.砺2_（加.砺）2即

可；方法二：当轴且在V轴右侧时，或当轴且九W在V轴左侧时，可求

答案第11页，共15页

出M,N的坐标，从而可求出而2.3而2_（血.两尸，当MV与x轴不垂直时，设直线

的方程为＞=h+"?,将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，再结合题意表

示出点尸的坐标，代入椭圆方程化简，再计算瓦产.丽2-西.丽尸即可.

【详解】⑴因为。的长轴长为公，所以2』e,eg

把/口,：1代入c的方程得4+£=i,即!+1二=1,

222

I2ja4b2a4-a

解得〃2=2,所以4/）2=4〃2—Q4=4,解得b2=1,

所以c的方程为［+V=1.

（2）法一：设尸值,州）,“（尤1，必）山（尤2，%），

由题意可知，点。既是OP的中点，又是MN的中点，

/_$+x2

g”T-2mjx0=xi+x2

所以彳，即，，

乂）.j+力〔为="+%

、2一2

因为点尸在C上，所以包［宣+（必+%）2=1，

2

fY

整理得乎+才+/+货+个2+2m%=1,

22

因为在c上，所以三+行=1年+只=1，

所以再巧+2%%=-1，

将X|Xz+2%必=T两边平方，得+4y；货=l-4xlx2yly2,

又(x；+2y；)(考+2团=4,展开，得x话+4y汶+2x汶+2君尤=4,

所以1-4网》2必％+2x：y；+2x；y：=4,

3

所以-2xlx2y1y2=

222

XOM-ON-(OM-ON)=(xf+)(xf+yf)-(xYx2+y1y2)

3

=X汶+-2x1x2y1y2=-.

答案第12页，共15页

__2_____3

所以次而T而•砺）2为定值5.

法二（通性通法）：当轴且MN在y轴右侧时,

0

显然尸（亚V2

222

7\7

____.2____-2____►_____.55（23、23

贝U（WON-（QMQN）2=-X——-=-

-------►2------►2-------►------►3

同理，当AGV_Lx轴且跖V■在y轴左侧时，OMON-（OMON）2=

当MN与x轴不垂直时，设直线的方程为1=而+，".

y=kx+m

由得（242+l）2+4kmx+2m2-2=0,

x2+2y2=2'x

则A=16/加一4（2/+1）（2苏-2）＞0,化简，得2/+1＞加2.

设M（XQJ,N（X2/2），贝13+刊=:户俨2=.

24+12k+1

设。优,%）,则X。=2*］，％=区0+==2笈：+1'

-4km2m得〔瑞博言〕

所以P代入％2+2产=2,=2,

2左2+1'2左2+1

化简，得4加2=2后2+1,适合2r+1＞疗.

1

OM"-ON-（OM.ON）?=（x；+弁）（x；+£）-（X]%+必%『=x；y\+x；y；-

2

-4km

=m2-4x

2k2+1

8m2（2k2+1-m2^8m2^4m2-m2^3

=（2.+i）2=[wyr

综上，西:•苏-（两•砺）2为定值万.

答案第13页，共15页

【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中

的定值问题，解题的关键是设出直线方程，将其代入椭圆方程化简，再利用根与系数关系，

结合中点坐标公式，化简西.万记-(两'.赤斗，考查计算能力，属于难题.

19.(i)n1

(2)证明见解析

【分析】(1)将/(x)在(0,+e)上单调递增转化为了'(x"0恒成立问