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文档简介
甘肃省部分学校2024届高三下学期2月开学考试数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.已知集合/={工|0<1+1<2},8="|1<0或次〉2},则()
A.{x|-l<x<0}B.{x|2<x<3}
C.{x\x<l^x>2}D.{x|x<0或2<x<3)
2.sinl65°cos525°二()
1
A1R6r
A.—D.--C.--D.--
4444
3.已知单位向量Z花满足卜+4=21-囚,则£花夹角的余弦值为()
3344
A.一一B.—C.—D.-
5555
4.已知复数z满足(z-3i)(2-i)=5;则M=()
A.242B.2#C.8D.20
5.若直线/:丁=2x+4与抛物线C:丁=2px(p>0)只有1个公共点,则C的焦点下到I的
距离为()
A.45B.2A/5C.36D.475
6.已知[尤+」尸]的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则展开式中二项式系
数最大的项是()
7
35:352
A.——x27尤5C.——%D.lx
88
A
7.函数/(x)=24COS।的单调递减区间是()
712历i712左兀兀2kn5兀2左兀
A.——+______L___(keZ)B.--1---,---1---(kwZ)
_43'123_123123
712E712左兀兀2左兀712人兀
C.-----+______|_(kwZ)D.一+,一+(后eZ)
123'12~T~12343
8.已知/(x)是定义域为R的偶函数,且在(一q0)上单调递减,
a=/(Ini.04)=/(1.04),c=/(e004),则()
A.a<b<cB.a<c<b
C.c<b<aD.c<a<b
试卷第1页,共4页
二、多选题
9.已矢口数歹!]{4}满足%=3,2〃"+i=3。〃一2,贝I]()
A.{%-2}是等差数列
B.{2〃}的前〃项和为(—1+2〃
C.{%}是单调递增数列
D.数列<。〃+1>的最小项为4
10.已知函数〃X)=-]](xeR,其中[可表示不大于X的最大整数),则()
A.〃尤)是奇函数B.是周期函数
C./(X)在[0,2)上单调递增D.“X)的值域为{0』
11.己知正四面体/BCD的棱长为4,点尸是棱NC上的动点(不包括端点),过点P作
平面月平行于/D、8C,与棱4B、BD、CD交于Q,S,T,则()
A.该正四面体可以放在半径为近的球内
B.该正四面体的外接球与以A点为球心,2为半径的球面所形成的交线的长度为
8G
-----71
3
C.四边形尸0ST为矩形
D.四棱锥C-PQST体积的最大值为竺83
81
三、填空题
12.2023年度,网络评选出河南最值得去的5大景点:洛阳龙门石窟,郑州嵩山少林
寺,开封清明上河园,洛阳老君山,洛阳白云山,小张和小李打算从以上景点中各自随
机选择一个去游玩,则他们都去洛阳游玩,且不去同一景点的概率为.
13.已知片,匕分别是双曲线。:£-m=1(。>0/>0)的左、右焦点,过点与且垂直x轴的
直线与C交于48两点,且tan//耳工=当,若圆(x-2>+y2=4与c的一条渐近线
交于两点,则|MV|=.
14.若圆锥S。的母线长为3,则圆锥S。体积的最大值为.
试卷第2页,共4页
四、解答题
15.已知在“8C中,角4民。所对的边分别为。,瓦c,c(cos3-cosC)=Q-6)cosC.
(1)若Nw2C,证明:是等腰三角形;
(2)若6=2c=4,求。的值.
16.2022年日本17岁男性的平均身高为170.8cm,同样的数据1994年是170.9cm,近
30年日本的平均身高不仅没有增长,反而降低了0.1cm.反观中国近30年,男性平均身
高增长了约9cm.某课题组从中国随机抽取了400名成年男性,记录他们的身高,将数
据分成八组:[155,160),[160,165),…,[190,195];同时从日本随机抽取了200名成年男
性,记录他们的身高,将数据分成五组:[160,165),[165,170),…,[180,185],整理得到如
(1)由频率分布直方图估计样本中日本成年男性身高的75%分位数;
(2)为了了解身高与蛋白质摄入量之间是否有关联,课题组调查样本中的600人得到如下
列联表:
蛋白质摄入量
身高合计
丰富不丰富
低于175cm108
不低于175cm100
合计600
结合频率分布直方图补充上面的列联表,并依据小概率值a=0.001的独立性检验,推
断成年男性身高与蛋白质摄入量之间是否有关联?
试卷第3页,共4页
n(ad-be)2
附:/,n=a+b+c+d
(q+6)(c+d)(a+c)(b+d)
a0.10.050.010.0050.001
Xa2.7063.8416.6357.87910.828
17.如图,正方体/BCD-的棱长为2,瓦尸分别为棱4民CG的中点.
⑴请在正方体的表面完整作出过点£,己2的截面,并写出作图过程;(不用证明)
⑵求点用到平面屏n的距离.
22
18.已知椭圆C:=+2?=l(a>6>0)的离心率为e,点/(l,e)在C上,C的长轴长为4e.
ab
(1)求C的方程;
(2)已知原点为O,点尸在C上,。尸的中点为。,过点。的直线与C交于点M,N,且
线段九W恰好被点。平分,判断而2.砺2_丽.而尸是否为定值?若为定值,求出
该定值;若不为定值,说明理由.
19.已知函数/(x)="(x:l)+11K(qeR).
⑴若“X)在(o,+e)上单调递增,求“的取值范围;
⑵若/'(X)有2个极值点王,马(国>/>0),求证:a(x;+x;)>2%\
试卷第4页,共4页
参考答案:
1.A
【分析】求出集合A中元素范围,然后直接求交集即可
【详解】因为/={工|0<1+1<2}={引一1<%<1},5={%|1<0或x>2},
所以/cB={x[—l<x<0}.
故选:A.
2.C
【分析】先利用诱导公式大变小角,再利用倍角公式计算.
【详解】sinl65°cos525°=sin(180°-15°)cos(540°-15°)=sinl5°(-cosl5°)=-;sin30°=-.
故选:C.
3.B
【分析】|£++2日-川两边平方可得答案.
【详解】|£+可=2日-,两边平方得1+27石+1=4(1-2)4+1)解得。-必-=3£,
又因为£花单位向量,a-b=\a\-\b\cos<a,b>=cos<a,b>=—,
3
所以3%夹角的余弦值为十
故选:B.
4.B
【分析】利用复数的运算法则可得z,再利用模的计算公式可得结果.
【详解】由(―)(2-)=5,得2=六+篁=昌濡+3・2+i+3i=2+4i,所以
|z|=^2。+42=2V5.
故选:B.
5.D
【分析】联立/与C的方程并消去x,由题意可知A=0,则可求出。的值,从而可求出焦点
F的坐标,然后利用点到直线的距离公式可求得结果.
y=2x+4
【详解】由^y2-py+4p=0.
y2=2px
因为/与C只有1个公共点,
答案第1页,共15页
所以A=(-p)2-16p=0,结合p>0,解得p=16,
2x8-0+4
所以尸(8,0),所以尸至!|/的距离”=
故选:D.
6.C
【分析】利用二项展开式的通项求出展开式前三项的系数,列出方程求出〃的值,由二项式
系数的性质求出答案.
3
n——r
【详解】展开式中的第『+1项为C>2,
所以前三项的系数依次为,
依题意,有c:+Jc:=C,即1+k也二Q",
442
整理得/-9〃+8=0,解得”=1(舍去)或〃=8.
由二项式系数的性质可知,展开式中第5项的二项式系数最大,
故选:C.
7.D
【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质,列式解得答案.
【详解】/(x)=2
由题意V=cos13x-:J单调递减,且cos[3x-:J20,
贝I|2fcr43x-女V殳+2航,后eZ,^―+—<x<-+—,左eZ,
4212343
所以/(x)的单调递减区间是—+-^—,~+(左eZ).
故选:D.
8.A
【分析】构造函数〃(x)=e-(x+l),求导确定其单调性,根据单调性确定e°?L04的大小,
通过对数函数的性质确定lnL04,1.04的大小,最后根据/(x)的单调性得答案.
答案第2页,共15页
【详解】因为/(x)是定义域为R的偶函数,且在(-8,0)上单调递减,
所以“X)在(0,+“)上单调递增;
lnl.04<Ine=1<1.04,KPlnl.04<1.04;
令=ex-(x+1),
当x>0时,h'^x)=er-1>0,则力(x)单调递增,
所以M0.04)=e°g-(0.04+l)=e°g-i.04>/zp)=0,
即「。4>1.04,
所以e°°4>1,04>lnl.04.
而/(x)在(0,+/)上单调递增,
故有/(lnl.04)<〃1.04)</(e°e4),即"6<以
故选:A.
9.BC
【分析】利用等比数列的定义求出%可得4〃,再由等比数列求和公式计算可判断AB;根
据{%}的通项公式可判断C;根据{0“}的单调性可判断D.
【详解】由2a—,得2(〃用-2)=3(%-2),因为q-2=1*0,
.47.-23
所以。2-2w0,%-2w0,…,q-2w0,从而~,
所以{4-2}是首项为1,公比为3的等比数列,所以2=lx1|j"',
n-\
3
+2,所以。2“=+2,
3
所以出+%~*---a=一,6,所以错误,正确;
2n,9-2r1+2/AB
4
n-l
3
I+2,易知{%}是单调递增数列,C正确;
答案第3页,共15页
当"22时'a“+i+1|j+2>4,
23225
当〃=1时,a,+-=-+-+2=—>4,D错误.
3236
故选:BC.
10.BD
【分析】通过计算VxeRJ(x+3)=〃x)可判断B;求出尤式0,2)和〃[2,3)时的可判
断D;通过举反例来判断AC.
【详解】由题意,卜]表示不大于x的最大整数,则"+1]=[司+1,
所以
x+3+1x+3x+1x,x+1
VxeRJ(x+3)=-----+1------+1+1--+1
333333
=F一(>"封,则函数“X)是以3为周期的函数,
当xe[0,2)时,〃x)=+[一]]=0-0=0,
当xe[2,3)时,/(%)=-0=1,
0,xe[0,2)
则〃x)=
1”[2,3)
又是以3为周期的函数,则的值域为{0」},B和D均正确;
/(-1)=/(2)=1,/(1)=0,所以/■(一1)2一〃1),故“X)不是奇函数,A错误;
当xe[0,2)时,/(x)=0,故[(X)在[0,2)上无单调性,C错误.
故选:BD.
11.AC
【分析】选项A,将正四面体放置到正方体中,通过求正方体的外接球半径得出正四面体外
接球半径为痛,即可判断出选项A的正误;选项B,根据条件,求出两球相交圆的半径即
可判断选项B的正误;选项C,取3C的中点连接根据条件可得8C工平面
ADM,从而得到再利用月平行于4D、BC,可得出四边形PQS7为平行四边形,
即可判断出选项C的正误,选项D,取/。中点N,连接九CV,交平面尸0ST于点/,设
答案第4页,共15页
/尸=2/C(0<2<l),根据条件得出%.37=竿(分一2分+〃,构造函数
/(2)=23-222+2,利用导数与函数的单调性间关系,求出/(4的最值,即可解决问题.
【详解】对于选项A,如图,将正四面体放置到正方体中,易知正四面体外接球即正方体
的外接球,
因为正四面体的棱长为4,所以正方体的边长为2a,
易知正方体的外接球直径为体对角线的长,又DE=2*),所以正四面体的外接球半径
7?=—=V6<V7,
2
所以该正四面体可以放入半径为近的球内,故选项A正确,
对于B,由选项A可知四面体外接球的半径火=卡,
4石2+力。2—£。2匕+(灰)2-(旗)2XI,所以
如图,在中,cos/£/O=
2AEAO2x2x5/66
sm/即对
易知两个球面的交线为圆,设/。与圆面的交点为。2,
在RtAECU中,EO,=EAsin/E/O,=2x—=—,
63
所以两个球面的交线的周长为27tx画=酒兀,故选项B错误,
33
对于选项C,取8C的中点连接
答案第5页,共15页
易知DM_L8C,/M_L8C,又DMc4M=M,面/DM,
所以8c工平面/DW,又NOu面/DW,所以BC_L4D,
又4D//平面广,平面6n平面48。=。5,40<=平面么3。,所以4D//QS,
同理/D//PT,所以。S〃尸T,
同理可得尸。//8C〃ST,所以四边形PQST为平行四边形,
又/0ST是与3C所成的角,所以/0ST=9O。,故四边形尸0ST为矩形,所以选项C
正确,
对于D,设/尸=2/C(0<2<l),由选项C知PQ〃3C,所以或=空,
BCAC
又BC=4,得到。尸=4"同理可得0s=4(1-彳),
取/。中点N,连接MN,交平面PQS7于点/.
易知K4=M),所以AGV工4D,又由选项C知,MN1BC,
又BCHST,ADIIQS,QS[}ST=S,QS,S7u面PQST,
所以平面尸。57,因为平面PQS7与3c都平行,
所以可得N=N=1一几,又易知MN=2C,所以〃/=2&(1一X),
即C到平面PQST的距离为20(1T),
所以%“os,=:43(4_42)-2亚=
令/(%)=万一2%+丸,则/14)=3万一42+1=(3彳-1)(力一1),
由/'⑷>0,得到0<彳<;,由/⑷<0,得到;<2<1,
所以/(2)max=/1[=*,所以(%“0Sr)max=T^,故选项D错误,
故选:AC.
【点睛】关键点点晴:本题的关键在选项D,取/。中点N,连接血W,交平面尸0S7于点
I,通过证明平面尸QST,从而得出C到平面尸。ST的距离为NZ,设
答案第6页,共15页
AP=2AC(O<2<1),再利用几何关系即可得出Z,叩=%普(万-2万+彳),通过构造函
数/卜)=分-2%+2,将问题转化成求函数的最值,即可解决问题.
6
12.—/0.24
25
【分析】由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】小张和小李从5个景点中各自选择1个,共有5x5=25种可能,
5个景点中有3个在洛阳,则他们都选择去洛阳游玩,且不去同一景点的情况有3x2=6种,
故所求概率P=三.
25
故答案为:假.
13.
55
解得£=退,所以2=2,
aa
所以双曲线的渐近线方程为:y=±2x,
由双曲线的对称性,不妨取y=2x,
又(x-2)2+/=4的圆心为(2,0),半径为r=2,
所以圆心(2,0)到直线的距离为“=忑,
所以弦长\MN\=2,以一屋一考
答案第7页,共15页
4&
故答案为:
F
14.2A/3TI
【分析】设底面半径为「,根据圆锥的体积公式将体积用表示体积修,再利用导数求出最大
值即可.
【详解】设底面半径为「,则圆锥的高/z=SO=V^7,
体积/=-^iu~2h=w2y/9—r2=(尸.
令f=re(O,9),/(f)=(9-/y2,则/甲)=一3/+因=一3/”6),
当fe(O,6)时,/⑺单调递增,当/(6,9)时,/⑺单调递减;
所以当/=6,即厂=C,”=j9-6=6时,取最大值,/取最大值,
止匕时嗫ax=;兀〃〃=1x6x/=2A/3TI.
故答案为:2也K.
15.(1)证明见解析
⑵a=2A/3
【分析】(1)利用正弦定理将已知等式统一成角的形式,再利用三角恒等变换公式化简变形
可证得结论;
(2)由(1)可得/=2C,贝!|sin4=sin2c=2sinCcosC,再利用正余弦定理化简可求得结
果.
【详解】(1)证明:由c(cosB-cosC)=(c-6)cosC,及正弦定理,得
cosC(sin8-sinC)+sinC(cosS-cosC)=0,
即sin5cosc+cos5sinC=2sinCcosC,
即sin(5+C)=sin2C.
因为4+。+5=兀,所以sin(兀一/)=sin2C,
EPsiib4=sin2C.
因为力£(0,兀),2。40,2兀),
答案第8页,共15页
所以4=2。或4+2C=兀.
因为Zw2C,所以Z+2C=兀,
又/+。+3=兀,所以5=C.
故力5C是等腰三角形.
(2)尚军:因为6=4,。=2,即6wc,则BwC.
由(1)可得/=2C.
因为sin4=sin2c,
所以siih4=2sinCcosC.
由正弦定理,得Q=2CCOSC.
222
国石厂Y+〃一/a+fy-e
因为cosC=--------------,所以Q=2cx---------------.
2ab2ab
因为Z?=2c=4,
所以4=4,4+16.4,整理得/=i2,
8Q
因为0>0,所以a=2Q.
16.(l)176.25cm
(2)列联表见解析,有关联
【分析】(1)由频率和为1解得x,利用75%分位数位定义可得答案;
(2)由频率分布直方图计算出样本中身高低于175cm的中国成年男性人数、日本成年男性
人数可完成表格,零假设名:成年男性身高与蛋白质摄入量之间无关联,则由2x2列联表
数据可得力"依据a=0.001的独立性检验,可得答案.
【详解】(1)由频率分布直方图可知5X(0.01+0.07+X+0.04+0.02)=1,解得X=0.06.
H^J(0.01+0.07+0.06)x5=0.7(0.75,(0.01+0.07+0.06+0.04)x5=0.9)0.75,
所以75%分位数位于[175,180),设为加,
则有0.7+(〃L175)x0.04=0.75,解得m=176.25(cm),
故日本成年男性身高的75%分位数为176.25cm;
(2)由频率分布直方图知,样本中身高低于175cm的中国成年男性人数是
(0.008+0.016+0.04+0.04)x5x400=208(人),
答案第9页,共15页
样本中身高低于175cm的日本成年男性人数是(0.01+0.07+0.06)x5x200=140(人),
故样本中身高低于175cm的共有348人,可得下表:
蛋白质摄入量
身高合计
丰富不丰富
低于175cm108240348
不低于175cm152100252
合计260340600
零假设4:成年男性身高与蛋白质摄入量之间无关联,则由2*2列联表数据可得:
600x(108x100-240x152)2
Z2«51.040>x=10.828
348x252x340x2600001
依据a=0.001的独立性检验,我们推断々不成立,
即认为成年男性身高与蛋白质摄入量之间有关联.
17.(1)截面,作图过程见解析
nJ0V29
29
【分析】(1)根据截面定义及平面的性质作图即可;
(2)以。为原点,棱以所在直线分别为x,%z轴建立空间直角坐标系,求出平面
厂的法向量,由点到平面的距离的向量公式求得答案.
【详解】(1)连接。/并延长交DC延长线于点/,连接比并延长交于点77,交DA延
长线于点J,连接交得于点G,则截面2GEHF即为所求.
答案第10页,共15页
(2)如图,以。为原点,棱。4£>。,。4所在直线分别为苍%2轴建立空间直角坐标系小:尸.
因为正方体力BCD-44GA的棱长为2,
所以口(0,0,2),£(2,1,0),尸(0,2,1),与(2,2,2).
率=(2,1,-2),印=(0,2,-1),丽=©2,0).
设平面尸的法向量为而=(x,%z),
m-D,E=0,(2x+y-2z=0,
则_即。[_n
m-DXF=0,12y—z-0,
取>=2,得平面QEb的法向量为玩二(3,2,4).
设点Bx到平面EFDX的距离为d,则d=)7同=|2X;+2X2+0X4|=10729
阿A/32+22+4229
故点Bx到平面EFD,的距离为U返.
29
丫2
18.(l)y+/=l
3
(2)是定值a
【分析】(1)由已知得e=],则可得4/=4/_/,再将点A的坐标代入椭圆方
程化简,再结合前面的式可求出。2,从,从而可求出椭圆方程;
(2)方法一:设尸(尤0,%),M(XQJ,N(X2,%),则可得代入椭圆方程化简,
1%-必+'2
再结合在。上,可得X2;一入也%%=5,然后化简而"2.砺2_(加.砺)2即
可;方法二:当轴且在V轴右侧时,或当轴且九W在V轴左侧时,可求
答案第11页,共15页
出M,N的坐标,从而可求出而2.3而2_(血.两尸,当MV与x轴不垂直时,设直线
的方程为>=h+"?,将直线方程代入椭圆方程化简,再利用根与系数的关系,再结合题意表
示出点尸的坐标,代入椭圆方程化简,再计算瓦产.丽2-西.丽尸即可.
【详解】⑴因为。的长轴长为公,所以2』e,eg
把/口,:1代入c的方程得4+£=i,即!+1二=1,
222
I2ja4b2a4-a
解得〃2=2,所以4/)2=4〃2—Q4=4,解得b2=1,
所以c的方程为[+V=1.
(2)法一:设尸值,州),“(尤1,必)山(尤2,%),
由题意可知,点。既是OP的中点,又是MN的中点,
/_$+x2
g”T-2mjx0=xi+x2
所以彳,即,,
乂).j+力〔为="+%
、2一2
因为点尸在C上,所以包[宣+(必+%)2=1,
2
fY
整理得乎+才+/+货+个2+2m%=1,
22
因为在c上,所以三+行=1年+只=1,
所以再巧+2%%=-1,
将X|Xz+2%必=T两边平方,得+4y;货=l-4xlx2yly2,
又(x;+2y;)(考+2团=4,展开,得x话+4y汶+2x汶+2君尤=4,
所以1-4网》2必%+2x:y;+2x;y:=4,
3
所以-2xlx2y1y2=
222
XOM-ON-(OM-ON)=(xf+)(xf+yf)-(xYx2+y1y2)
3
=X汶+-2x1x2y1y2=-.
答案第12页,共15页
__2_____3
所以次而T而•砺)2为定值5.
法二(通性通法):当轴且MN在y轴右侧时,
0
显然尸(亚V2
222
7\7
____.2____-2____►_____.55(23、23
贝U(WON-(QMQN)2=-X——-=-
-------►2------►2-------►------►3
同理,当AGV_Lx轴且跖V■在y轴左侧时,OMON-(OMON)2=
当MN与x轴不垂直时,设直线的方程为1=而+,".
y=kx+m
由得(242+l)2+4kmx+2m2-2=0,
x2+2y2=2'x
则A=16/加一4(2/+1)(2苏-2)>0,化简,得2/+1>加2.
设M(XQJ,N(X2/2),贝13+刊=:户俨2=.
24+12k+1
设。优,%),则X。=2*],%=区0+==2笈:+1'
-4km2m得〔瑞博言〕
所以P代入%2+2产=2,=2,
2左2+1'2左2+1
化简,得4加2=2后2+1,适合2r+1>疗.
1
OM"-ON-(OM.ON)?=(x;+弁)(x;+£)-(X]%+必%『=x;y\+x;y;-
2
-4km
=m2-4x
2k2+1
8m2(2k2+1-m2^8m2^4m2-m2^3
=(2.+i)2=[wyr
综上,西:•苏-(两•砺)2为定值万.
答案第13页,共15页
【点睛】关键点点睛:此题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆中
的定值问题,解题的关键是设出直线方程,将其代入椭圆方程化简,再利用根与系数关系,
结合中点坐标公式,化简西.万记-(两'.赤斗,考查计算能力,属于难题.
19.(i)n1
(2)证明见解析
【分析】(1)将/(x)在(0,+e)上单调递增转化为了'(x"0恒成立问
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