第4章 相似三角形 能力提升卷（B卷）（解析卷）

2023-2024学年九年级上册第四单元相似三角形B卷•能力提升卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．（2023•东明县一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝【答案】C【解答】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．2．（2023春•肇源县期末）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵，∴；故选：A．3．（2023•泉州一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD和CD上，AF⊥BE，垂足为G，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：设AB＝m，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA＝m，∠BAE＝∠D＝90°，∵＝2，∴AE＝DA＝m，∵AF⊥BE于点G，∴∠AGE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF＝90°﹣∠AEB，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴DF＝AE＝m，∴AF＝＝＝m，∵∠AGE＝∠D＝90°，∠GAE＝∠DAF，∴△GAE∽△DAF，∴＝＝＝，∴AG＝AD＝m，∴GF＝AF﹣AG＝m﹣m＝m，∴＝＝，故选：C．4．（2023•临清市一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，且AE：EB＝1：2，AC与DE相交于点F，S△AEF＝3，则S△ACD为（）A．9 B．12 C．27 D．36【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵AE：EB＝1：2，∴AE：AB＝1：3，∴AE：CD＝1：3．∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴，∴S△CDF＝9S△AEF＝27．∵△AEF∽△CDF，∴，∴S△AEF：S△ADF＝EF：DF＝1：3，∴S△ADF＝3S△AEF＝9，∴S△ACD＝S△CDF+S△ADF＝27+9＝36，故选：D．5．（2022秋•高邑县期末）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，A．因为，对应边，，所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；B．因为，对应边，又∠A＝∠A，所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项符合题意；C．因为，对应边，即：，所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；D．因为，对应边，，所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；故选：B．6．（2023春•龙口市期末）如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．CA平分∠BCD B． C．AC2＝BC•CD D．∠DAC＝∠ABC【答案】C【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；②＝；故选：C．7．（2023•东莞市一模）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，∴BP＝＝＝．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝．设DE＝x，则有：＝，解得x＝，故选：D．8．（2022秋•泉州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE：ED＝1：2，BE与AC相交点F，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE：ED＝1：2，∴AE：AD＝1：3，∴，∴AF：CF＝1：3，∵OA＝OC，∴，故选：B．9．（2022•琼山区校级二模）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝2：1，且BF＝2．则DF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【解答】解：∵AE：BE＝2：1，∴设AE＝2a，BE＝a，则AB＝3a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3a，AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴＝，∵BE＝a，CD＝3a，BF＝2，∴＝，解得：DF＝6，故选：D．10．（2022•蓬江区校级一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④＝，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△ABE≌△DCE（SAS）∴∠DEC＝∠AEB，∠BAE＝∠CDE，DE＝AE，故①正确，∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS）∴∠BAE＝∠BCF，∴∠BCF＝∠CDE，且∠CDE+∠CED＝90°，∴∠BCF+∠CED＝90°，∴∠CHE＝90°，∴CF⊥DE，故②正确，∵∠CDE＝∠BCF，DC＝BC，∠DCE＝∠CBF＝90°，∴△DCE≌△CBF（ASA），∴CE＝BF，∵CE＝BC＝AB，∴BF＝AB，∴AF＝FB，故③正确，③解法二：∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∵E是BC的中点，∴＝＝，∵AB∥CD，∴＝＝，∵AB＝CD，∴BF＝AB．∵DC＝6，CE＝3，∴DE＝＝＝3，∵S△DCE＝×CD×CE＝×DE×CH，∴CH＝，∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，∴△ECH∽△FCB，∴＝，∴CF＝＝3，∴HF＝CF﹣CH＝，∴＝，故④正确，故选：D．填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。11．（2023•萧山区模拟）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，则AD的长为2．【答案】2．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，BD＝1，CD＝4，∴AD2＝CD•BD＝4，∴AD＝2，故答案为：2．12．（2023•巨野县二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（3，2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．∴＝＝，而BE＝EF＝6，∴＝＝，∴BC＝2，OB＝3，∴C（3，2）．故答案为（3，2）13．（2023•顺庆区校级二模）如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若AD＝3AF，则＝．【答案】．【解答】解：如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G，∵AD＝3AF，∴，∵DG∥BE，∴，，∴EG＝2AE，∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，∴EG＝CG，∴CG＝EG＝2AE，∴AC＝AE+EG+CG＝5AE，∴，故答案为：．14．（2023•海淀区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连结DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则AF的长为．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠FAE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝2．∵AC＝＝5，∴AF＝AC＝．故答案为：．15．（2022春•垦利区期末）如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm．点P从点A出发沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则0.8或2秒钟后△PBQ与△ABC相似？【答案】见试题解答内容【解答】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，∵AB＝8cm，BC＝16cm，∴BP＝（8﹣2x）cm，①BP与BC边是对应边，则＝，即＝，解得x＝0.8，②BP与AB边是对应边，则＝，即＝，解得x＝2．综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．故答案为：0.8或2．16．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，AP+BP的最小值为．【答案】．【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为．三、解答题（本题共5题，共52分）。17．（10分）（2022秋•邗江区校级期末）如图，△ABC中∠A＝55°，∠B＝45°，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠ADE＝80°．（1）求证：△AED∽△ABC．（2）如果AD＝4，BD＝6，AE＝5，求CE的长．【答案】（1）证明过程见解答部分；（2）3．【解答】（1）证明：∵∠A＝55°，∠B＝45°，∴∠C＝80°，∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，∴△AED∽△ABC；（2）解：由（1）得△AED∽△ABC，∴，∵AD＝4，BD＝6，∴AB＝10，∵AD＝4，AB＝10，AE＝5∴AC＝8．∴CE＝AC﹣AE＝8﹣5＝3．18．（10分）（2023•江都区模拟）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求CG的长．【答案】（1）见证明过程；（2）6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90o，∵∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF；（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD＝4，AD∥BG，∵CF＝3FD，∴DF＝1，设DE＝x，∵△ABE∽△DEF，∴，即，解得：x＝2，∴DE＝2，∵AD∥BG，∴∠DEF＝∠G，∵∠DFE＝∠CFG∴△CGF∽△DEF，∴，∵CF＝3FD，∴∴CG＝6．19．（10分）（2023•灞桥区校级二模）如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合：小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF＝1.5m，量得CE＝2m，EC1＝6m，C1E1＝3m，求电线杆AB的高度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DC⊥AED1C1⊥AEBA⊥AE∴DC∥D1C1∥BA，∴△F1D1N∽△F1BG．∴．∵DC∥BA，∴△FDM∽△FBG．∴．∵D1N＝DM，∴，即．∴GM＝16m．∵，∴．∴BG＝13.5m．∴AB＝BG+GA＝15（m）．答：电线杆AB的高度为15m．20．（10分）（2022秋•广州校级期末）如图，在一个Rt△EFG的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上，EF＝30cm，FG＝40cm，设AB＝xcm．（1）试用含x的代数式表示AD；（2）设矩形ABCD的面积为s，当x为何值时，s的值最大，最大值是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）过点F作FN⊥EG于N，交AD于点M，如图所示：∵△EFG是直角三角形，∴EG＝＝＝50（cm），∵EF•FG＝FN•EG，∴FN＝＝＝24（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△AFD∽△GFE，AB＝MN＝xcm，则FM＝（24﹣x）cm，∴＝，即：＝，解得：AD＝50﹣x；（2）由（1）得：AD＝50﹣x，s＝AB•AD＝x•（50﹣x）＝﹣（x﹣12）2+300，∴x＝12时，s的值最大，s最大＝300cm2．21．（12分）（2022秋•益阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；（2）求证：；（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD