2023-2024学年山东省菏泽一中、单县一中高三第四次模拟考试数学试卷含解析

2023-2024学年山东省菏泽一中、单县一中高三第四次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的一个单调递增区间是（）A． B． C． D．2．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A．甲走桃花峪登山线路 B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路 D．甲走天烛峰登山线路3．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）4．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是()A． B．C． D．5．在中，点D是线段BC上任意一点，，，则（）A． B．-2 C． D．26．的内角的对边分别为，已知，则角的大小为（）A． B． C． D．7．点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．9．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．10．若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（）A．85 B．84 C．57 D．5611．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A． B． C． D．12．已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知在△ABC中，（2sin32°，2cos32°），（cos77°，﹣cos13°），则⋅_____，△ABC的面积为_____．14．如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为___________.15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a216．定义在R上的函数满足：①对任意的，都有；②当时，，则函数的解析式可以是______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程；（2）设和交点的交点为，求的面积．18．（12分）过点作倾斜角为的直线与曲线（为参数）相交于M、N两点．（1）写出曲线C的一般方程；（2）求的最小值．19．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.当与连线的斜率为时，直线的倾斜角为（1）求椭圆的标准方程；（2）若是以为直径的圆上的任意一点，求证：20．（12分）已知数列满足，且，，成等比数列．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，，求数列的前n项和．21．（12分）己知，函数.（1）若，解不等式；（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数．（1）当时，试求曲线在点处的切线；（2）试讨论函数的单调区间．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调区间，由此确定正确选项.【详解】因为，由单调递增，则（），解得（），当时，D选项正确.C选项是递减区间，A，B选项中有部分增区间部分减区间.故选：D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.2、D【解析】

甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路故选：D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.3、C【解析】

根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵，∴，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.4、B【解析】

执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第10次循环：，此时满足判定条件，输出结果，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5、A【解析】

设，用表示出，求出的值即可得出答案.【详解】设由，，.故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.6、A【解析】

先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B.【详解】由正弦定理可得，即，即有，因为，则，而，所以.故选：A【点睛】此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.7、C【解析】

设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.【详解】设,则,所以,依题意可得,设,则,当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,所以,且,有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.8、C【解析】

根据，两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.【详解】因为平面向量，满足，且，所以，所以，所以，所以，所以与的夹角为.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.9、B【解析】

由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】函数，可得，时，，单调递增，∵，故不等式的解集等价于不等式的解集．．∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.10、A【解析】

先求，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：的展开式中二项式系数和为256故，要求展开式中的有理项，则则二项式展开式中有理项系数之和为：故选：A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.11、A【解析】

由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．【详解】解：依题意，设．则．，．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12、A【解析】

若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得.【详解】解：，∴，设，∴，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴，当时，，当，，函数恒过点，分别画出与的图象，如图所示，，若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，∴且，即，且∴，故实数m的最大值为，故选：A【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解；②结合①求出，根据面积公式即可得解.【详解】①2（sin32°•cos77°﹣cos32°•sin77°），②，，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用，涉及平面向量数量积的坐标表示，三角恒等变换，根据三角形面积公式求解三角形面积，综合性强.14、1【解析】

建系，设，表示出点坐标，则，根据的范围得出答案．【详解】解：以为原点建立平面坐标系如图所示：则，，，，设，则，，，，，，，显然当取得最大值4时，取得最小值1．故答案为：1．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题．15、-2【解析】试题分析：∵a2考点：等比数列性质及求和公式16、（或，答案不唯一）【解析】

由可得是奇函数，再由时，可得到满足条件的奇函数非常多，属于开放性试题.【详解】在中，令，得；令，则，故是奇函数，由时，，知或等，答案不唯一.故答案为：（或，答案不唯一）.【点睛】本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可.（2）将和的极坐标方程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得的面积.【详解】（1）曲线的参数方程为（α为参数），消去参数的的直角坐标方程为．所以的极坐标方程为（2）解方程组，得到．所以，则或（）．当（）时，，当（）时，．所以和的交点极坐标为：,.所以．故的面积为．【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.18、（1）；（2）．【解析】

（1）将曲线的参数方程消参得到普通方程；（2）写出直线MN的参数方程，将参数方程代入曲线方程，并将其化为一个关于的一元二次方程，根据，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出的最小值.【详解】（1）由曲线C的参数方程（是参数），可得，即曲线C的一般方程为．（2）直线MN的参数方程为（t为参数），将直线MN的参数方程代入曲线，得，整理得，设M，N对应的对数分别为，，则，当时，取得最小值为．【点睛】该题考查的是有关参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，直线的参数方程的应用，属于简单题目.19、（1）；（2）详见解析.【解析】

（1）由短轴长可知，设，，由设而不求法作差即可求得，将相应值代入即求得，椭圆方程可求；（2）考虑特殊位置，即直线与轴垂直时候，成立，当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到与的关系，将表示出来，结合基本不等式求最值，证明最后的结果【详解】解：（1）由已知，得由，两式相减，得根据已知条件有，当时，∴，即∴椭圆的标准方程为（2）当直线斜率不存在时，，不等式成立.当直线斜率存在时，设由得∴，∴由化简，得∴令，则当且仅当时取等号∴∵∴当且仅当时取等号综上，【点睛】本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转化