2024届高考数学挑战模拟卷 【全国卷（理科）】(含答案)

2024届高考数学挑战模拟卷【全国卷（理科）】

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知集合知=卜6叫1082%<2}]=卜6叫,—1|<3},则MN=（）

A.{X|-2<%<4}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

2.复数z=l-2i（其中i为虚数单位），则|z+3i|=（）

A.V2B.2C.V10D.5

3.如图是甲,乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法错误的是（）

A.甲的数学成绩最后3次逐渐升高

B.甲的数学成绩在130分以上的次数多于乙的数学成绩在130分以上的次数

C.甲有5次考试成绩比乙高

D.甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差

4.记S,为等差数列{4}的前〃项和，若%=4,则Sg=（）

A.28B.30C.32D.36

5.已知抛物线。：丁2=20K。>0）的焦点为歹，过点/的直线/与抛物线C在第一、四

象限分别交于点A,B,与圆[--J+/=怖（1-相切,则用的值等于（）

\AB\

2-2一3

A.-B.-C.-1D.-

3534

6.从2,3,4三个数中任选2个，分别作为圆柱的高和底面半径，则此圆柱的体积大

于20兀的概率为（）

r什3sin2a_6sinacosa(兀)、

7.若-----------------=2,则tana+—=()

sina-2cos2a-2<4)

A.--B.-C.—!或-1D」或1

3333

8.《九章算术•商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一

为鳖席，不易之率也我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱

柱，直三棱柱称为“堑堵”；再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一

个三棱锥，这个四棱锥称为“阳马”，这个三棱锥称为“鳖席”.某“阳马”的三视图

如图所示，则它最长侧棱的值是()

2

俯视图

A.lB.2C.V5D.V6

g(x),l<x<k

9.定义：若=,则称是函数g(x)的左倍伸缩仿周期函数.设

g(x)=sin(7Lx),且〃力是g(x)的2倍伸缩仿周期函数.若对于任意的工«1,回，都有

/(x)>-8,则实数机的最大值为()

口56「64「88

A.12JJ.X---.---------\-J.

333

10.在正四棱台ABC。-A4CQ中，AB=4,A耳=2，朋=石，则该正四棱台的

外接球的体积为()

A.也B,也C,迎丞D.57,

622

11.若。=!3In22In3刖

e6481

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD,c<b<a

12.在公差不为零的等差数列｛4｝中，q=l,且％,生，5成等比数列，设数列

｛2"-4+1｝的前〃项和为7；,则7；=()

A.3X29+2

B.11X27+8

C.13X28+2

D.13X27+4

二、填空题

13.函数/(x)=£lnx+2x+l的图象在点(1,/⑴)处的切线方程是.

14.已知向量a=(—2,1),5=(—2,6),c=(g—3),bile,则|a—c|=.

22

15.过双曲线C:1y-方=1(。〉0］〉0)右焦点R作直线/,且直线/与双曲线C的一条

渐近线垂直,垂足为A,直线/与另一条渐近线交于点3.且点A石位于X轴的异侧,。为坐

标原点，若△Q钻的内切圆的半径为幺，则双曲线C的离心率为.

3

16.已知函数/(x)=e*+x-ox-lnox有正零点小,则正实数。的取值范围为

三、解答题

17.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2百，be=5,

5cosA(bcosC+ccosB)=3a.

(1)求△ABC的面积；

(2)证明：△ABC是钝角三角形.

18.如图，在直四棱柱A8CD-4gCQ中，底面ABCD是直角梯形，ABLBC,

AD//BC,且43=3。=网=2AD=2.

G

（1）求证：A与，平面ABC；

（2）求平面A与平面ABB14所成锐二面角的余弦值.

19.某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成

绩x（单位：分）和物理成绩y（单位：分），绘制成如下散点图：

根据散点图可以看出y与x之间具有线性相关关系，但图中有两个异常点A,A经调查

得知，A考生由于感冒导致物理考试发挥失常，5考生因故未能参加物理考试.为了使

分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据进行处理，得到一些统计量

的值：

42424242_2

X%=4641,Z%=3108,Z%%=350350,=13814.5,

i=lz=lz=li=l'

=5250,

i=\

其中%分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，7=1,2,,42/与X的相关

系数厂穴0.81.

（1）若不剔除A,3两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关

系数为“，试判断4与厂的大小关系，并说明理由；

（2）求y关于x的线性回归方程（精确到0.01）,如果3考生参加了这次物理考试

(已知3考生的数学成绩为125分)，估计3考生的物理成绩是多少(精确到个

位)；

(3)从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩X~N(〃02).以剔除异常数据

后的物理成绩作为样本，用样本平均数7作为4的估计值，用样本方差S?作为〃的

估计值.试求该地区5000名考生中，物理成绩在区间(62.8,85.2)内的人数Z的数学期望.

(精确到个位)

—\/—\

八八-矶%「

附：①线性回归方程9=%+6中，b=-.-----------,a=y-bx.

E(x,.-x)2

i=\

②若X~N(〃Q2),贝UP(〃—cr<X<〃+cr)a0.683,—2cr<X<〃+2cr)a0.954.

③VI^1L2.

20.在平面直角坐标系x0y中，椭圆C：二+q=15〉6〉0)的离心率为近，直线％=1

a2b22

被C截得的线段长为g.

⑴求C的方程；

⑵已知直线y=Ax+m与圆0：/+丫2=62相切，且与c相交于MN两点尸为。的右焦点,

求的周长L的取值范围.

21.已知函数/(x)=e*-mx,xe(0,+oo).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若函数g(x)=/O)-xlnx-l有两个零点X1,马.

(i)求机的取值范围；

(ii)求证：XjX2<1.

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为卜=1+cos=(。为参数).以坐标原

[y=sini

点。为极点,X轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系曲线。2的极坐标方

程为p—26sin3.

(1)求曲线G的极坐标方程和曲线G的直角坐标方程；

(2)若直线/：，=&,<£<,与曲线G交于QA两点,与曲线G交于。石两点，当

QW+QW取得最大值时，求直线/的直角坐标方程.

23.已知函数〃x)=|2x+l|+|3x-3卜

(1)解不等式/(x)>5；

(2)设函数g(x)=-3f+12x+m,若函数与g(x)的图象无公共点,求参数机的取

值范围.

参考答案

1.答案：B

解析：由M={xwN|log2x<2}={1,2,3,4},N={卜eR业一1]<3}=何一2<x<4},则

MN={1,2,3},故选B.

2.答案：A

解析：z+3i=l+i>则|z+3i|=|l+i|=Jl?+F=应.

故选：A.

3.答案：C

解析：对于A,由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高，故A说法正确；

对于B,甲的数学成绩在130分以上的次数为6次，乙的数学成绩在130分以上的次数为

5次，故B说法正确；

对于C,甲有7次考试成绩比乙高，故C的说法错误；

对于D,由折线图可知，甲乙两人的数学成绩的最高成绩相同，甲的最低成绩为120分，

乙的最低成绩为H0分,因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差,D说法正确，

故选:C

4.答案：D

解析：因为S“为等差数列{4}的前附项和,%=4,

所以$9=9（。；为）=9=%=9x4=36-

故选:D.

5.答案：D

解析：直线/的斜率存在，设为左，直线/过点F（六,。],得直线/的方程为

y-Q=k^x-^,即履—y《=0.由直线/与圆,—[+/=）—〃了相切，得

|1-p|，解得左=±百，不妨取左=百，设4（%,%）,8（%2，%），易知

VF7T4

_同a

X]＞%，联立＜V=73P'消去y整理得12——20px+3/=0,则石=士p,

y2=2px,一

31

则\AF⑷\^P_+'2P_3

—,故选D.

|AB|5,4

qP+P

6.答案：B

解析：从2,3,4三个数中任选2个，作为圆柱的高和底面半径(九厂)，有(2,3),

(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3),共6种情况，圆柱的体积＞=兀/人＞20兀,即

办＞20,满足条件的有(2,4),(3,4),(4,3),3种情况,所以此圆柱的体积大于20兀

的概率尸=3=工.故选B.

62

7.答案：A

3sin2«-6sinacos«3sin2«-6sinacos«3tan2a-6tan«

解析：因为

sin2a-2cos2a-2sin2a-4cos2atan2a-4

-2/、

tan«-6tan6z+8=0,，匚匚…（兀）tana+14+15

所以《，解&73得ZHtana=4,所以tana+—=----------=——=——.

Jan-OH4,14j1-tana1-43

8.答案：D

解析：设"阳马"为四棱锥A-BCDE,如图所不.由三视图得AB=LBC=1,

CD=BE=2,平面3CDE,四边形3CDE是矩形.因为5C,3Eu平面3CDE,所

以ABLBC,AB±BE,则AC=jF+仲=0,AE=/E+展=#）,

AD=712+12+22=V6.故最长的侧棱长为V6.故选D.

sin（7tx）,l<x<2

解析:

当尤«2,4）时，|e［l,2），故〃x）=2/

故当xw[2已2-1)时,左eN，〃x)=2/sin

|Je[71,271)，故/⑺w[-2*,0],

当左<3时，/(x)»-8恒成立；

当左时，%G)

=4[16,32；/(x)=16sinf^>-8,即sin常>——

2

故三〈女，即X〈型，即实数机的最大值为史.

16633

故选：B.

10.答案：C

解析：令。「。分别是正四棱台的上、下底面的中心，连接

AG，OA,上底面外接圆半径下底面外接圆半径r=40=2虚，则棱

台的高为行工=1.设外接球的半径为凡显然球心”在。G所在的直线上.当棱台两

底面在球心异侧时，即球心般在线段OO］上，如图①，设=0<x<l,则

OXM=l-x,由妨=照=氏，得J（2拒y+x?='（叵）2+0-灯,解得x=-g<。，

舍去，则棱台两底面在球心同侧，球心M在线段QO的延长线上，如图②.设

OM=x,x>Q,则a“=l+x,由"C=M4j=R,得

7（2V2）2+X2=7（V2）2+（1+X）2,解得x=g,所以R=J（20）2+||］=与，所以该

正四棱台的外接球的体积为岂&=岂义［今］=”孕.故选c

33

11.答案：D

上在1Ine73In2In82In3In9匕匚…人/、In%H

解析：因为a=r=r，b=------=F，c=----=—,所以令g(x)==,1则71

e2e264828192%2

a=g(e),Z?=g(8),c=g(9).g'(x)=-----芦二，当xe(G,+oo)时，g，(x)<0,所以函

x

数g(x)在(泥,+oo)上单调递减.又加'<e<8<9,所以g(e)>g(8)>g(9),即c<Z?<a.

故选D.

12.答案：C

解析：设等差数列｛4｝的公差为d(dwO),由%,q成等比数列，得

=ax-al3,即(l+2d)?=l+12d,解得d=2或d=0(舍去)，所以a“=2〃-1,从而

20.4+]=(2”+1>2",故，=3x2+5x22+7x23++(2«+1)-2",

23,,+1

2Tn=3X2+5X2++(2/7-1)-2"+(2«+1)-2,两式相减，得

r\2Q/1+1

23+1n+1,,+1

-Tn=3X21+2X2+2X2++2X2"-(2H+1)-2"=6+2X^^——[In+1)-2=-(In-1)-2-2

,所以7；=(2〃—1>2向+2,所以4=13x28+2

13.答案：3x-y=O

解析：〃1)=3,/'(力=2*《+》+2,所以/”)=3,故所求切线方程为丁-3=3(X-1),即

3x-y=0.

14.答案:5

解析：bile,.•.(—2)x(—3)—6机=0,解得机=1,.」a_c|=J(_2-Ip+(1+3)2=5.

⑸答案：字

解析：如图所示:

设A在第一象限，

_be

由题意可知|AF\=d=i=b,

其中d为点—GO）到渐近线y=^x的距离,|0刊=C,

所以|OA|=7lOF|2-|AF|2=Vc2-b1=a,

设△Q钻的内切圆的圆心为M,

则般在NA06的平分线Ox上，

过M分别作MNLQ4于N,〃T_LAB于T,

又因为E4LQ4于A,

所以四边形为正方形，

2〃

所以|M4|=|2W|=§,

2h

所以|ON|=|OA|—|N4|=a—--

3

2b

又因为M田院3/

2b~

ci---a

3

所以生=。一生,a=%,

33

所以/=储+Z?2=5Z?2,

所以C=J,

所以e，=®=叵

a2b2

故答案为：县.

2

16.答案：a>e

解析：由已知可得,〃>0，/(力定义域为(。,+00).

因为/(x)=ex+x-or-lnov=0等价于eA+x—ax+\nax—^nca+In•

令g(尤)=e*+%,则g<x)=e，+1>0在R上恒成立，

所以,g(x)=+x在R上单调递增.

由e*+%=el11""+Inor可知,g(x)=g(Inax),

根据g(x)的单调性可知,犬=111G:,所以有ax=Qx-

因为x>0,所以a=E.

x

令/?(耳=《，%〉0，贝|1〃('=^.4]/=^(：—1).

XXX

由〃(x)=0可得，x=L

由〃(x)>0可得,x〉l,所以/z(x)=f在(L+8)上单调递增；

X

由"(x)<0可得，0<x<l,所以/z(x)=•^-在(0,1)上单调递减.

X

所以,丸('=史在X=1处取得唯一极小值，也是最小值入⑴=e,

所以,/z(x)Ne,所以a2e.

故答案为：6/>e-

17.答案：(1)2

(2)证明见解析

解析：(1)在△ABC中，5cosA(Z?cosC+ccosB)=3a,

/.由正弦定理可得5cosA(sinjBcosC+sinCcos5)=3sinA,

即5cosAsin(B+C)=5cosAsinA=3sinA.

AG(0,7i)?sinA>0,cosA=—,

4

=—,

H5

114

「.△ABC的面积为—bcsinA=—x5x—=2.

225

（2）证明：由（1）知

222

,b+c-a（6+c）2—26c—4（6+c）2—10—（2⑹23

cosA-----------------------------------------------------------------------——，

2bc2bc105

:.b+c-6.

又仇?=5,

Z?=l,—[b-5,

或〈

c=5,1c=l.

当a=2卮b=l,c=5时，cosC」+"一厂=—旦<4,

lab5

・•.C为钝角，此时△ABC是钝角三角形；

当a=2卮b=5,c=l时，同理可得3为钝角，此时△ABC是钝角三角形.

综上，△ABC是钝角三角形.

18.答案：（1）证明见解析

⑵—

3

解析：（1）证明：在直四棱柱ABCD-中，8片，底面ABCD,6Cu底面

ABCD,

BB[J_BC.

又ABLBC,BB[「AB=B,3用,A3u平面ABgA,.•.BC,平面A531A.

ABXu平面ABB^,BC±ABt,

易知四边形A34A是正方形，.•.43,4片.

又43BC=B,平面/BC,.•.公用，平面4BC.

（2）BA,BC,8月两两垂直，.•.以3为坐标原点，分别以氏4,BC,8月所在直

线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系3-孙z,

则5(0,0,0),C(0,2,0),A(2,0,2),0(2,1,0),

fiC=(0,2,0),CD=(2,-1,0),”=(0,1,-2).

设平面AC£)的法向量为m=(羽y,z),

CD-m=2x-y=0,.

则令％=1,得/n=(1,2,1).

A^Dm=y-2z=0,

易知平面ABB{A{的一个法向量为BC=(0,2,0),

m.BC4A/6

/.cos(m.BC)

\m\\BC\~46X2~3

故平面ACD与平面ABBX\所成锐二面角的余弦值为手.

19.答案：(1)r0<r,理由见解析

(2)81分

(3)3415

解析：(1)r0<r.

理由如下：由题图可知，y与x呈正相关，

①异常点A,3会降低变量之间的线性相关程度.

②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差,所以相关系数更小,

③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好,所以相关系数更大,

④42个数据点更贴近其回归直线，

⑤44个数据点与其回归直线更离散.

（以上理由任选其一作答即可）

（2）设y关于x的线性回归方程为9=%+6.

142_142

由题中数据可得x=—£%=110.5,丁=一£%=74,

42台42台

所以立■-%)(%-=-42xy=350350-42x110.5x74=6916.

i=l'i=l

a=y-bx=74-0.50xll0.5=18.75,

所以夕=0.50x+18.75.

将x=125代入，得夕=0.50x125+18.75=62.5+18.75^81,

所以估计3考生的物理成绩为81分.

⑶晨74,§2$加一W=&X5250=125,

所以X~N(74/25),又因为75方标11.2,

所以P(62.8<X<85.2)=P(74-11.2<X<74+11.2)«0.683,

所以Z~3(5000,0.683).

所以E(Z)=5000x0.683=3415,

故该地区5000名考生中，物理成绩在区间(62.8,85.2)内的人数Z的数学期望为3415.

2

20.答案：（1）土+丁=1

4-

(2)[4,8]

解析：（1）由题意可知，点1,在椭圆上,

行牙A/3

e--------二——

a2

则有＜（石Y，解得片=4/2=1.

2

所以C的方程为工+y2=l.

4-

（2）由题意知上wo,网百,0卜设河（七,%）3（孙％），

由丁=丘+机与圆0：/+,2=1相切，得=1,即m2=l+k2-

y=kx+m,

2消去y并整理得（1+4左之）尤2+8物a+4（后—1）=

由VX21=0.

——+V=1

14•

该方程的判别式A=16（4^+l-病)=1614左2+1—0+左2)]=48左2>0,

8km4"T)_必2

由韦达定理得不+羽=_,石工2=

1+4左21+4左21+4左2

j0止4砂(1+%2)

8km

1+4左2—、1+4]-1+4左2

0■石

而同=《X「6f+5—0)2z-----

=2

同理,|NF|=2-

所以L=\MN\+\MF\+|际=+4-

8km

1+4左2

=4+

1+4左2

显然如1w0,下面对初1的符号进行讨论:

①当上八>0时,।86kmi।86]犷(1+下).(*)

1+4左21+442

令1+4左2=/，则/〉1且左2=£zl.

4

代入(*)化简得L=4+2Qx]—31—g].

因为t〉l,所以0/<1解得4<LW8,当且仅当，=3时取等号.

t

②当初<0时,£=4-

综上,周长工的取值范围为［4,81

21.答案：(1)当机W1时,/(x)在(0,+oo)上单调递增；

当机>1时,/(x)在(O,lnm)内单调递减，在(Inm,+oo)单调递增.

(2)(i)(e-l,+oo)(ii)见解析

解析：(1)函数/'(x)=e*-根，

当mW1时，则f\x)>0,/(x)在(0,+8)上单调递增；

当"z>1时，令f'(x)=0,得x=Inm.

当xe(0,Inm)时，八x)<0,f(x)单调递减，

当xe(In%+8)时,r(x)>0,f(x)单调递增;

综上所述，当机<1时,/(x)在(0,+s)上单调递增；

当机>1时,/(x)在(0,lnm)内单调递减，在(Inm,+oo)单调递增.

(2)(i)由题意可得：g(x)=e，-nw-xlnx-l,

xi

令g(x)=0,整理可得-e--m-In%——=0,

xx

也”、e*,1八所,八(%-l)ex11(%-l)(el-l)

设/z(%)=-----m-lnx——，%>0,则/z(x)=---------------+—=--------\-------,

xxxxxx

且%>0,可知e'-1>0,

令〃(x)>0,解得x>l;令"(x)<0,解得0<x<l;

则丸(x)在(0,1)内单调递减，在(1,+8)内单调递增，

由题意可知：h(x)有两个零点，则无⑴=e-m-l<0,解得

若加>e—1>0,令1=-/"e(0,l),则e’一1>0,

r-1

贝！]h⑴=-e----lnt-m>-]nt-m=-]ne~m-m=0,

t

可知丸(x)在亿1)内有且仅有一个零点；

且当X趋近于+oo,〃(x)趋近于+CO,可知(l,y)内有且仅有一个零点；

即加〉e-1,符合题意，综上所述：m的取值范围为(e-l,+oo).

(ii)由⑴可知：G(x)=/z(x)-h,x>1,

<j_>

(x―1)e%—xx+x—1

则G'(x)=〃(x)+士=-----一；-------1,

XyXJX

令n(x)=ex-xex+x-l,x>l,

1]1

贝ljn\x)=ex-ex+—ex+1,

x

1I1I1I1

因为x>l,贝U〃'(％)=e、-e*+—e*+1>e-e+—ex+1=—e"+1>0,