福建省龙岩市2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

福建省龙岩市新罗区龙岩高级中学2023-2024学年八年级下

学期月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列式子是最简二次根式的是（）

A.V2B.V4

2.下列运算正确的是（）

A.79=±3B.7（-5）2=-5

3.下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）

A.6,7,8.B.5,6,7.C.4,5,6.D.7,24,25.

4.图，在口ABCD中，M是BC延长线上的一点，若NA=125。,则/MCD的度数是

C.55°D.75°

5.下列各命题的逆命题成立的是（）

A.全等三角形的对应角相等B.如果两个数相等，那么它们的绝对值

相等

C.两直线平行，同位角相等D.如果两个角都是45。，那么这两个角相

等

6.已知一2＜根＜3,化简J（加-3）2+削+2］的结果是（）

A.5B.1C.2m—1D.2m—5

7.如图，M、N是线段45上的两点，AM=MN=4,NB=2.以点A为圆心，/N长

为半径画弧；再以点B为圆心，2M长为半径画弧，两弧交于点C,连结NC、BC,则

△ABC一定是（）

试卷第1页，共6页

AMB

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

8.如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=a,HG=b,则斜边的长

是（）

C.a+bD.a-b

9.三角形的边长之比为：①15225；②4：7.5：8.5；③1：62；④3.5：4.5：5.5.其中可以

构成直角三角形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，在四边形/BCD中，AD〃BC,DD=90°,AD=4,BC=3.分别以点A、

。为圆心，大于口。长为半径作弧，两弧交于点E,作射线成交3于点尸’交/C于

A.V8B.4C.3D.Vio

二、填空题

试卷第2页，共6页

yjx—4+y/4—X

11.若y=一2,则(x+y)T

2

12.“等腰三角形两底角相等”的逆定理为

13.如图，在“BC中，BC=6,48=8,/C边上的中线助=5,则△BCD的面积

为.

14.如图，有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B

处，问梯子最短需.米？(已知油罐的底面半径是1m,高48是8m,万取3).

B

A

15.如图，在2x2的方格中，小正方形的边长是1,点A、B、C都在格点上，求BC边

上的图为:

16.如图，在平面直角坐标系中，点/(0,3)、点2(4,1),点P是x轴正半轴上一动点,

给出4个结论:

①线段AB的长为2囱;

②在A4PB,若4P=而，则八4尸8的面积是5；

③当SAABP=hAAB0时，点P的坐标为(2,0)；

④设点P的坐标为(x,0),则用？+J(4-xf+l的最小值为4亚.

其中正确的结论有.

试卷第3页，共6页

三、解答题

17.计算：

(1)V18-4^1+V24-V3；

(2)V5—V2j+2.

r-24

18.先化简，再求值：(x-其中x=V^-2.

XX

19.如图，平行四边形/BCD的对角线/C,AD交于点。，过点。作直线E厅，分别交

AB,CD于点、E,F.求证：OE=OF.

20.如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1,小正方形的顶点称为格点，在正方

形网格中分别画出下列图形:

⑴长为丽的线段PQ,其中P、Q都在格点上；

(2)面积为13的正方形ABCD,其中A、B、C、D都在格点上.

21.如图，在中，CD_L4B于点D,AC=20,BC=15,DB=9.

⑴求/£)的长；

⑵判断“3C的形状，并说明理由.

22.已知X=2-G，y=2+43,求下列各式的值:

试卷第4页，共6页

(l)x2-/.

yx

⑵—

xy

23.在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中43=NC,

由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一

个取水点。(点A,D,B在同一直线上)，并修建一条路C。，测得CB=650m,

CD=600m,BD=250m.

(1)问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明.

(2)求新路CD比原来的路AC少多少米？

24.先观察下列各组数，然后回答问题：

第一组：1,百，2；第二组：血，2,瓜;

第三组：百，亚,加第四组：2,瓜,加;

(1)根据各组数反映的规律，用含"的代数式表示第”组的三个数；

(2)如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请

说明理由；

(3)如图，CB=3,AB=m,AC=n,若3,加，〃为上列按已知方式排列顺序的某

一组数，且/ZM8=90。，AD=AC,求8。的长.

25.在中，ZC=90°,AC=BC,当点。在射线上时(不与点8、C重合),

连接N。，将/。绕点。顺时针旋转90。得到。E,连接5E.

试卷第5页，共6页

⑴如图1,点。在8c上.

®^BD=\CD=\,则/8=；DE=；

②求证：AB=BE+6BD；

(2)如图2,当点。在8c边的延长线上时，用等式表示线段/B、BD、5E之间的数量

关系.(直接写出结论).

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.A

【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.

【详解】解:A、也是最简二次根式，A正确，故符合题意；

B、"=2不是最简二次根式，B错误，故不符合题意；

C、g=2®不是最简二次根式，C错误，故不符合题意；

D、、口=且不是最简二次根式，D错误，故不符合题意；

V22

故选：A.

【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义.

2.C

【分析】根据实数的算术平方根和平方运算法则计算，注意一个数的平方必是非负数.

【详解】A.V9=3,该选项错误；

=该选项错误；

C.卜疗『=7,该选项正确；

D«_如『=3,该选项错误；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了实数的算术平方根和平方运算，一个实数的算术平方根为非负数，

一个实数的平方为一个非负数.

3.D

【分析】将各选项中长度最长的线段长求出平方，剩下的两线段长求出平方和，若两个结果

相等,利用勾股定理的逆定理得到这三条线段能组成直角三角形;反之不能组成直角三角形,

即可得出答案.

【详解】A.V62+72=85；82=64,

,-.62+7^82,

则此选项线段长不能组成直角三角形；

B、V52+62=61；72=49,

/.52+6Z^72,

答案第1页，共16页

则此选项线段长不能组成直角三角形；

C：42+52=41；62=36,

；.42+5号62,

则此选项线段长不能组成直角三角形；

D、：71242=625；252=625,

.•.72+242=252,

则此选项线段长能组成直角三角形；

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键.

4.C

【分析】根据平行四边形对角相等，求出NBCD,再根据邻补角的定义求出即可.

【详解】解：：四边形A8CD是平行四边形，.•.//=/2CD=125。，.../MCO=180。-

ZDC5=180°-125°=55°.

故选C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、邻补角定义等知识，解题的关键是熟练掌握平行四

边形性质，属于基础题，中考常考题型.

5.C

【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假.

【详解】解：A、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误，不符合题意；

B、逆命题是：绝对值相等的两个数相等，错误，不符合题意；

C、逆命题是：同位角相等，两条直线平行，正确，符合题意；

D、逆命题是：相等的两个角都是45。，错误，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了逆命题，解题的关键是写出各个命题的逆命题，条件和结论换位置，再

进一步判断真假.

6.A

【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可.

【详解】解：：-2＜加＜3,

答案第2页，共16页

m-3<0>〃?+2>0,

+|m+2|=3-m+m+2=5.

故选A

【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握算术平方根和绝对值的性质是解题的关键.

7.B

【分析】先根据题意确定AC、BC、AB的长，然后运用勾股定理逆定理判定即可.

【详解】解：由题意得：AC=AN=2AM=8,BC=MB=MN+NB=4+2=6,AB=AM+MN+NB=10

AC2=64,BC2=36,AB2=100,

.*.AC2+BC2=AB2

•••一定是直角三角形.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，根据题意确定AC、BC、AB的长是解答

本题的关键.

8.B

【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，用含a,6的式子表示各个线段是解题

a—h

的关键.设CD=x,则。£一x,求得4H=CD=a-x-b=x,求得CZ)=-------,

2

得到5c==a=学，根据勾股定理即可得至I］结论.

22

【详解】解：设=则。£=a-x,

■:HG=b,

：.AH=CD=AG-HG=DE-HG=a-x-b=x,

.a-b

：.BD2=BC2+CD2=+[^~]a1+b2

2

BD=

故选：B.

9.C

答案第3页，共16页

【分析】根据勾股定理逆定理，计算判断，本题考查了勾股定理逆定理的应用，熟练掌握定

理是解题的关键.

【详解】①1.52+22=2.5,能构成直角三角形，故正确；

②42+7S=8.52,能构成直角三角形，故正确；

③俨+（今2=22,能构成直角三角形，故正确；

④3.52+45215.52,不能构成直角三角形，故错误.

故选C.

10.A

【分析】

本题考查求线段长，涉及尺规作图、中点定义、等腰三角形的判定与性质、平行线性质、全

等三角形的判定与性质及勾股定理等知识，由题意，结合等腰三角形的判定与性质即可得到

展是线段NC的垂直平分线，则FC=E4,再证得A/O7^ACO3（AAS）,从而得到

FC=FA=3,FD^AD-AF=\,在RtZ\CD尸中利用勾股定理即可得到答案，熟练掌握基

本尺规作图、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理是解决问的关

键.

【详解】解：.•・分别以点A、C为圆心，大于1/C长为半径作弧，两弧交于点E,

2

EA=EC,

•・•点。是/C的中点，

OA=OC,

，由等腰三角形三线合一性可得，BE是线段/C的垂直平分线，则尸C=

连接FC,如图所示：

••­AD〃BC,

ZAFO=ZCBO,

答案第4页，共16页

在△ZO厂和△COB中,

ZFO=/CBO

<ZAOF=/COB

AO=CO

尸丝△COB(AAS),

AF=BC=3,贝!J尸C=H=3,FD=AD-AF=4-3=1,

在RtZXC。产中，CD=NcF?-DF?=打-}2=R

故选：A.

11.-/0.5

2

【分析】

本题主要考查二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件求出％=4/=-2,再

代入计算即可.

x—420

【详解】解：根据题意得,

4-x>0

解得，％=4

>=-2,

.".（4-2）-1=2-1=1.

故答案为：y.

12.有两个角相等的三角形是等腰三角形

【分析】

本题主要考查了互逆定理.熟练掌握互逆定理的定义是解决问题的关键.互逆定理定义：一

般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互

逆定理.构造一个命题的逆命题须要把这个命题的条件和结论互换.

利用定理和逆定理的定义分析解答，原定理的条件是：一个三角形是等腰三角形，结论是：

这个三角形是等腰三角形，把条件和结论互换就得到它的逆定理.

【详解】

“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是，“有两个角相等的三角形是等腰三角形”.

故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.

答案第5页，共16页

13.12

【分析】

本题主要考查勾股定理逆定理，三角形全等的判定和性质，延长AD到点£,使DE=BO=5,

连接EC,证明乌△COE,得CE=4B=8,再根据勾股定理逆定理证明ABCE是直角

三角形，得S/BC=SBCE=24,最后根据中线的意义可得出S,B8=gs^c=12.

【详解】解：延长BO到点E,使DE=BD=5,连接EC,如图，

♦.•。点为4c的中点，

・•.AD=CD,

又ZADC=/CDE,

.・.△/她也△CEQ(SAS),

；.CE=AB=8,

又5£2=（8£）+即）2=（5+5）2=100,802=62=3自小2=82=6%

BC2+CE2=BE?,

・•・△8CE是直角三角形，

^^BCE=-X6X8=24,

,•,3vABC_=3sBCE一=乙74,

•••S“=3c=；x24=12.

故答案为：12.

14.10

【分析】

本题考查了平面展开-最短路径问题，将圆柱展开，得到矩形，求出矩形对角线即为所建的

梯子最短距离.

答案第6页，共16页

【详解】解：如图,

:油罐的底面半径是1m,

二油罐的底面周长为2%=2x3=6（m）；

又高48是8m,即展开图中，5C=8m,

/.AB=4AC2+BC2=V62+82=lO（rn）,

故所建梯子最短为10m,

故答案为：10.

15.-V2

2

【分析】

此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，易求。8C的面积，再根据勾股定理可求出8C的

长，进而根据面积公式即可求得边上的高的长.

【详解】解：由题意可得用/g=2*2-3'2、1、2-；*1*1=1.5,

又8C=#+『=逝，

1.5x23r

•*.^ABC中BC边上的局长=正，=3也，

故答案为：jc.

2

16.①②④

【分析】①直接利用根据两点间距离的坐标公式计算AB的长度即可；②先证明△^尸3为直

角三角形，然后根据三角形面积的公式直接计算面积即可；③先求出△ABO和AABP的面

积，然后过点B作BOLx轴于点D,继而求出梯形AOBD的面积，设点P的坐标，最后根

据求出点P的坐标即可；④作A点关于x轴的对称点M，设出点P的坐标,

继而表示出AP、MP和BP的长度，可以得到尸〃+5尸\5”，当且仅当B,P,M三点共

线时，代数式历了+7（4-X）2+1取得最小值；

【详解】①根据两点间距离的坐标公式可知，AB=7（0-4）2+（3-1）2=275,故①正确；

答案第7页，共16页

②在RtZ\N。尸中，AP=同,OA=3,OP=A/10-32=1-

，P(1,0),

/.BP=7(4-l)2+(l-0)2=VW，

在A4P8中，AP2+BP2=AB2，

A4P3为直角三角形，

•■•^p=|xVioxVio=5,故②正确.

LBO=go/x4=；x3x4=6,

••S/^ABP=5S^ABO—3,

过;点B作轴于点D,即80=1,00=4,

•••5梯/。皿=；(/0+2°).0°

=-x(3+l)x4

=8,

设P点坐标为(m,0),

・Q_1_3m

・・5“op-5xQ3x加—,

o1।、4-m

%DP=”*(4_加)二二一，

••^/\AOP+^/\APB+邑BDP~8，

独+3+5=8,

22

•・2+YYl=5,

解得冽=3,

...当S2BP=gs△皿。时，点P的坐标为（3，0）,故③错误.

作A点关于x轴的对称点M,

连接BM交x轴于点P,

答案第8页，共16页

：P点坐标为（x,0）,

•*-AP=MP=打+无2=的+尤2，

BP=7（4-X）2+12=7（4-X）2+1，

/.V9+x2+7（4-X）2+1=AP+BP

=PM+BP>BM,

当且仅当B,P,M三点共线时，

代数式A/^7+J(4-疗+1取得最小值,

最小值即为线段BM的长度，

VM(0,-3),B(4,1)

/.BM="+(1+3)2=4V2,

-j9+x2+7(4-x)2+1的最小值为4A历.

故④正确.

•••正确的有①②④.

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了图形与坐标的特点，直角三角形的判定，三角形的面积公式，两点之间

距离公式，求最值的问题，是一个考点比较全面的综合题，难度适中，熟练掌握知识点的应

用是解题的关键；

17.（1）3亚;

⑵10-4公'

答案第9页，共16页

【分析】

本题主要考查二次根式的混合运算：

(1)先化简各二次根式，计算二次根式的除法，再计算回头即可；

(2)先根据平方差公式和完全平方公式计算，去括号后再计算加减即可.

［详解］(1)解:厢一嗜+收+6

=3后-2拒+J24+3

=3及-26+2也

=3拒；

(2)解：3~)+(招2)

=5-2+3-4石+4

=10-4®.

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得.

【详解】解：原式==X—+2(二丫2--4)

XXX

x—2(x+2)(x—2)

xx

x—2%

x(x+2)(x-2)

1

x+2'

当x=V5-2时，

原式=-/」----=4==—.

V2-2+2V22

【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的除法，根据分式的运算法则把所给代数式

正确化简是解答本题的关键.

19.见解析

【分析】

本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出N3〃CAOA=OC,利用全等三

角形的判定和性质解答即可；

【详解】证明：•.•四边形是平行四边形，

答案第10页，共16页

AB//CD,OA=OC,

ZFCO=ZOAE,

又NCOF=ZAOE,

：.AFCOmAE4O(ASA),

：.OE=OF

20.(1)见解析;(2)见解析.

【分析】(1)由勾股定理可知当直角边为1和3时，则斜边为后，由此可得线段PQ；

(2)由勾股定理可知当直角边为2和3时，则斜边为屈，把斜边作为正方形的边长即可

得到面积为13的正方形ABCD.

【详解】(1)(2)如图所示:

【点睛】本题考查了勾股定理的运用，本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可

解决问题.

21.(1)16

(2)AA8C是直角三角形，见解析.

【分析】

(1)应用勾股定理，求出C。，再运用勾股定理即可求出ND;

(2)判断出ZC2+BC2=/B2,即可判断为直角三角形.

【详解】(1)解；

/.NCDB=NCDA=90°,

在RtABCD中，由勾股定理得：

CD=yjBC2-BD2=A/152-92=12

在RtZXBCD中，由勾股定理得

AD=yjAC2-CD2=7202-122=16

答案第11页，共16页

(2)AABC是直角三角形

理由：由(1)知：40=16,

/.AB=AD+DB=16+9=25,

在^ABC中，

^C2+5C2=202+152=625,

AB2=252=625，

/.AC2+BC2=AB2,

：.“3C是直角三角形.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理的应用，要熟练掌握.

22.(1)-873

⑵14

【分析】

本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，乘法公式的应用：

(1)求出x+y=4,x-y=-2^3,再根据平方差公式变形后代入求出即可；

(2)原式通分后，再根据完全平方公式变形，代入求出即可.

【详解】⑴解：：x=2-6，y=2+y/3,

x+y=4,x-y=-2百，

x2—y2=(x+y)(x-y)=4x(-2A/3j=；

(2)解：'/x=2—V3，y=2+-\/3,

♦♦x+y=4,x-y=-2,y/3，xy=1,

.y_^_x_y2+x2_(x+y)2-2xy_42-2xl

xyxyxy1

23.(1)C。是从村庄C到河边最近的路，理由见解析

(2)新路CD比原来的路NC少245米

【分析】

答案第12页，共16页

本题考查了勾股定理及其逆定理的应用.

(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；

(2)设/C=xm,则4D=(x-250)m.在RtZUCD中根据勾股定理求出4c的长即可解

答.

【详解】(1)解：VCB=650m,CD=600m,BD=250m,

Q6002+2502=650\

CD-+BD2=CB2,

△CDB为直角三角形，

CDVAB,

CD是从村庄C到河边最近的路；

(2)解：设/C=xm,则ZD=(x-250)m.

CDVAB,

ZADC=90°,

CD2+AD2=AC2,即6002+(x-250)2=x2,

解得:尤=845.

AC=845mf

,/CD=600m,

:.AC-CD=845-600=245m,

即新路CO比原来的路ZC少245米.

24.(1)G,yjn+2,J2n+2;(2)直角三角形，见解析；(3)BD=^

【分析】(1)根据已知数据即可得到结果；

(2)根据勾股定理判断即可；

(3)根据题意可得出声,而,而，在根据勾股定理计算即可；

【详解】(1):第一组：1,百，2；

第二组：日2,V6；

第三组：百，旧,瓜;

第四组：2,屈,V10;

答案第13页，共16页

.•.第〃组：G,y/n+2,出+2.

(2)直角三角形；

证明：Q〃为正整数，

+2)=2"+2=(J2n+2J.

:.以G，J〃+2，12rl+2为三边的三角形是直角三角形.

(3