2024年新高考数学模拟试题1（含详细解析）

2024年新高考数学模拟试题1

一、单选题

1.已知向量方=（1,加），5=（3,-2）,且Q+贝IJ加=

A.-8B.-6

C.6D.8

2.已知。，尸是两个不同的平面，m,〃是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A.若m_L〃，m-La,则a_L/?B.若mHn,mlla,〃///?,则a/〃？

C.若加_L〃，mlla,a>。，则〃_L/?D.若加〃〃，m-La,a工0,则〃//尸

3.已知S〃为等差数列｛%｝的前〃项和，&+2Q9+Q20=24,贝iJS2o=（）

A.60B.120C.180D.240

4.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,%,则这6个点数的中位数为4的概率为（）

11

A.-B.一cD

63-T-t

5.已知函数/'（x）=cos[0x+g）+l（0>O）的最小正周期为几，则“X）在区间0,5上的最大值为（）

3

A.yB.1C.-D.2

2

6.在△45C中，角4,B,C的对边分别为q,b,c,若a=3,b=5,C=2QCOS4,则COS4=()

「\/3n指

A

-iB.孝33

22xV

7.已知片，鸟是椭圆C|：=r+4v=l（a>6>0）的两个焦点，双曲线G：二=1的一条渐近线/与。交于A,B

abm3m

两点.若闺剧=|/同，则G的离心率为（）

A叵R6

A*----

22

c.V2-1D.V3-1

8.已知函数“X）的定义域为R,y=/（x）+eX是偶函数，y=〃x）-3e”是奇函数，则的最小值为（）

A.eB.2V2C.2A/3D.2e

二、多选题

9.某服装公司对T-5月份的服装销量进行了统计，结果如下:

月份编号X12345

销量y（万件）5096142185227

若了与x线性相关，其线性回归方程为$=标+7.1,则下列说法正确的是（）

A.线性回归方程必过（3,140）B.务=44.3

C.相关系数r<0D.6月份的服装销量一定为272.9万件

10.设Z-乙为复数，下列命题中正确的是（）

A.Zj+Z2=+Z2

B.若ZZ?=0,则Z]与Z2中至少有一个是0

C.若z；+zj=o,贝I]Z1=Z2=O

D.iz.z.Hzj.lzj

11.已知圆C：x2+y2—2kx—2y—2k=0,则下列命题是真命题的是（）

A.若圆C关于直线V=丘对称，贝!]后=±1

B.存在直线与所有的圆都相切

C.当汇=1时，尸（尤））为圆C上任意一点，则>+瓜的最大值为5+应

D.当左=1时，直线/：2x+y+2=0,M为直线/上的动点，过点”作圆C的切线M4,九必，切点为A,B,则

叫最小值为4

试卷第1页，共4页

三、填空题

12.已知集合/={x|-2<x<4},集合3={x[x+a-l20},若={x[x>-2},则实数。的取值范围

为.

13.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为g的平面截圆锥，

将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为.

14.已知数列{%}的首项为=1,且满足(%+「。“-1)(。用-2%)=0对任意〃€m都成立，则能使(=2023成立的

正整数机的最小值为.

四、解答题

15.已知函数f(x)=alnx-6x2+1,a,6eR.若/(x)在x=l处与直线y=0相切.

(1)求a,6的值；

(2)求〃x)在1,e2(其中e=2.718…为自然对数的底数)上的最大值和最小值.

16.如图，在圆锥SO中，43是圆。的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧N5的两个三等分点,

£是S3的中点.

(1)证明：DE//平面S/C；

(2)求平面"C与平面SBD所成锐二面角的余弦值.

试卷第2页，共4页

17.某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2,3,4的人数分别为1,3,2,现从这6

人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会.

(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；

(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X,求X的分布列和期望.

18.设抛物线C:/=28⑦>0)的焦点为尸，点尸(a,4)在抛物线c上，xPOF(其中。为坐标原点)的面积为4.

⑴求。；

4

⑵若直线/与抛物线C交于异于点P的/,3两点，且直线为，尸3的斜率之和为证明：直线/过定点，并求

出此定点坐标.

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19.对于给定的正整数”,记集合夫"=同茂=(%,/,勺一,工,),%/€7?,/=1,2,3,「〃},其中元素2称为一个〃维向量.特

别地，0=(0,0,…,0)称为零向量,设左eR,a=(al,a2,---,an),0=血向,…也)wR,定义加法和数乘：

夕+£=(%,ka=(kavka1,---,kanY对一组向量2,a[,...,as(seN+,s>2),若存在

一组不全为零的实数左，k2,酊使得无益+心石+…+总可=6,则称这组向量线性相关.否则，称为线性无

关.

(1)对〃=3,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.

①£=(1,1,1),7=(2,2,2)；②d=(1,1,1),]=(2,2,2),《=(5,1,4)；③2=(1,1,0),5=(1,0,1),P=(0,1,1),J=(1,1,1).

(2)已知向量8，瓦夕线性无关，判断向量Z+瓦~P+y,3+「是线性相关还是线性无关，并说明理由.

⑶已知加(加22)个向量1,以，…，迹线性相关，但其中任意加-1个都线性无关，证明下列结论：

①如果存在等式太高+左2%+…+⑥(左eR,i=1,2,%..,〃?)，则这些系数左，k2,心或者全为零，或

者全不为零；

②如果两个等式勺%+左2%+…+K%,=6,/必+/2a2+…=6(4苫R,h€R,i=l,2,3,…，机)同时成立，

左鼠k

其中/尸0,则小二十一一广.

4/2”加

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参考答案：

1.D

【分析】由已知向量的坐标求出5+3的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案.

【详解】Va=(1,m),b=(3,-2),z.3+6=(4,m-2),又0+B)_LB,

.*.3x4+(-2)x(m-2)=0,解得m=8.

故选D.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题.

2.A

【分析】由空间中线线、线面、面面之间的位置关系里一判定各选项即可.

【详解】若加_La,n工B,设戊,,对应法向量分别为加,〃，也是加，几的方向向量，由冽_L〃，

即浣_LK则a_L",故A正确；

若加〃〃，mlla,〃///?,则。与月可能平行或相交，故B错误；

若加_L〃，mlla,aV(3,则〃u夕，或〃//月，或〃与£相交，故C错误；

若加〃几，mVa,则〃_La,又a_L/?,则〃///或〃u〃，D错误.

故选：A

3.B

【分析】根据等差数列的性质和前〃项和公式运算.

【详解】因为数列｛%｝为等差数列，所以。4+2%+%。=2%2+2%=24,

所以知+佝=12,所以S?。=辿产』=10(%+出。)=10(%+®=120.

故选：B.

4.A

【分析】根据x的六种取值情况分别得出中位数，再利用古典概型概率公式即得.

【详解】当％=1,2,3时，这6个点数的中位数为3,当x=4时，这6个点数的中位数为4,

当％=5,6时，这6个点数的中位数为4.5,

故由古典概型概率公式可得：尸=).

故选：A.

5.C

【分析】由周期公式求得。，结合换元法即可求得最大值.

【详解】由题意7=/"，解得0=2,所以仆)=02彳+3+1,

当xe0,y时，/=2x+/e，，学,

所以/(X)在区间上的最大值为cos?+l=j,当且仅当x=0时等号成立.

故选：C.

6.D

【分析】由已知结合余弦定理进行化简即可求解.

【详解】解：因为。=2QCOS4,

由余弦定理可得0=22,将a=3,6=5代入整理得c=2而，

“+20b2c—”

所以cosA=—=.

2a3

故选：D.

7.D

【分析】根据双曲线渐近线方程可得。8=60。，可得|/O|=|C闾=|/引=c,再结合椭

圆定义及离心率公式可得解.

答案第1页，共8页

【详解】

如图所示,

由已知G：T—工=1，则一条渐近线/：y=后,

m3m

即ZAOF2=60°,

又闺阊=|/邳,

即I。闾=|。4且四边形/片2月为矩形，

所以==引=c,

贝l]|/月|=6c,

又根据椭圆定义可知|/用+卜闾=Cc+c=2a,

所以离心率0===耳1=V3-1,

故选：D.

8.B

【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数/(X)的解析式，再利用基本不等式可求得了(x)

的最小值.

【详解】因为函数y=f(x)+e工为偶函数，则〃r)+eT=〃x)+e，，即

〃尤)一〃一力=尸七,①

又因为函数>=/(x)-3e"为奇函数，则了(一切一3-”=一/(可+36',即

/(x)+/(-x)=3et+3e-\②

联立①②可得〃司=3+2b，

由基本不等式可得=e，+2e~x>2je*.2eT=272,

当且仅当e'=2eT时，即当x=±n2时，等号成立，

故函数/(无)的最小值为2VL

故选：B.

9.AB

【分析】对于A,由回归直线过样本中心点判断，对于B,将样本中心点代入回归方程求解,

对于C,由务的值分析判断，对于D,将尤=6代入回归方程求解.

1+2+3+4+5。-50+96+142+185+227

【详解】对于A,因为受=3,尸---------;----------=140,所以线性回

5

归方程必过(3,140),所以A正确;

对于B,由线性回归直线必过(3,140),所以140=31+7.1，解得务=44.3,所以B正确；

对于C,因为务=44.3>0,所以相关系数『>0,所以C错误；

对于D,当x=6时，3=6x44.3+7.1=272.9,所以可预测6月份的服装销量约为272.9万

件，所以D错误.

故选：AB.

10.ABD

答案第2页，共8页

【分析】根据复数运算对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】设Z]=“+6i,Z2=。+*，a,b,c,dGR,

则Z]+Z2=〃+°-(b+d)i=〃-bi+c-di=Z]+Z2,A选项正确.

若ZZ2=(Q+bi)(c+di)=ac-bd+^ad+6c)i=0,

\ac—bd=0

则｛」Lc，贝|J"6=O或c=d=0,所以Zi与Z2中至少有一个是0,B选项正确・

\aa+be=\)

若Z：+Z；=0,则可能Z】=l,Z2=i,C选项错误.

ZjZ2=(〃+历)(c+di)=ac->d+(ad+bc)i,

|ZjZ2|=J(aC-bd)2++bc)2_J(qc)2+(bd)2+(qd)2+伍域

=如+方欧+d)=J/+/.扬+/=阂区],D选项正确.

故选：ABD

11.BCD

【分析】根据圆C关于直线了="对称，得上得值，检验半径是否大于零，即可判断A；根

据直线与圆相切的充要条件判断B；根据直线与圆的位置关系确定y+底的最值即可判断

C；根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系可判断D.

【详解】解：圆洋x2+y2-2kx-2y-2k=0,整理得：(了一"+(y-if=R+1，

所以圆心C(R1),半径厂=卜+1|>0,贝1]左~1

对于A,若圆C关于直线V=质对称，则直线过圆心，所以1=/,得*=±1,又左=-1时，

r—0,方程不能表示圆，故A是假命题；

对于B,对于圆C,圆心为C(4,1),半径1=归+1|>0,则左力-1,

当直线为x=-1时，圆心到直线的距离d=\k-(-l)\=\k+]\=r,

故存在直线x=-l,使得与所有的圆相切，故B是真命题；

对于C,当％=1时，圆的方程为(x—lf+O-lf=4,圆心为C(l,l),半径,・=2

由于尸(龙,了)为圆C上任意一点，设y+=则式子可表示直线y=-百x+m,此时加表

示直线的纵截距，

故当直线与圆相切时，可确定机的取值范围，

_|73+l-m|

于是圆心C(l,1)到直线7=-瓜+根的距离"=//==丫=2,解得加=6-3或

m=5+V3,

则6-34加45+6，所以y+怎的最大值为5+V5，故C为真命题;

对于D,圆的方程为(》-1)2+3-1)2=4,圆心为半径厂=2,

如图，连接/C,8C,

答案第3页，共8页

因为直线〃4Ms与圆C相切，所以,且可得|九例=|九阿，又

|/。=忸0|=厂=2,

所以且MC平分48,所以S四边形.口=曰©49|=2^^=2*1丹印/，

贝l|Ma=2\M^\-\AC\=l^CM^-r2x2=4^|CM|2-4，贝U|。"|，|，叫最小值即QM的最

小值，

所以|54卜用的最小值为4,故D为真命题.

故选：BCD.

12.[-3,3)

【分析】由题意，若/U8={x[x>-2},则-2<1-。(4,求解即可

【详解】由题意，集合/={刈-2Vx<4},集合3={x|xN「a}

若/U8={x|尤>-2}

贝!]-2<1-aV4,解得-3Va<3

故实数。的取值范围为[-3,3)

故答案为：上3,3)

13.-/1:7

7

【分析】由题意，根据圆锥侧面积计算公式，求的圆锥底面半径、母线，结合三角形相似即

可求出小圆锥和圆台的体积之比.

【详解】设圆锥底面半径为「，母线长为/,

由题意，/=4,2Tlz=4兀，故r=2,

作圆锥轴截面如下图：

所以Z〃=2,AC=4fCH=2日所以圆锥体积为/二工兀x22x2g=外配,

33

因为用与底面的距离为由的平面截圆锥，故C为D=：1，MCDE〜MAB,

所以小圆锥体积匕=」兀*12、。=叵

33

所以圆台的体积匕=--匕=W，

故小圆锥和圆台的体积之比为}=

故答案为：J

14.19

【分析】由已知等式可得。川=%+1或%+1=2%,首先求出数列{%}为等差数列或等比数列

答案第4页，共8页

时正整数机的值，然后再讨论｛〃"｝为等差和等比交叉数列，要使用的值最小，可利用递推

关系式所满足的规律进行推导得出结果.

【详解】根据(«„+1-«„-!)(«„+1-2%)=0可知an+l=6+1或aII+l=2a“；

当4用=%+1时，数列｛%｝是以q=l为首项，1为公差的等差数列；

所以%=%+(M-l)xl=/7,

则am=m=2023,可得加=2023；

当力阳=2a“时，数列｛%｝是以q=1为首项，2为公比的等比数列；

所以a“=%-2"T=2"T,

则册=2*1=2023,解得〃7=1+log?2023,不合题意,舍去；

若数列｛%｝为等差和等比交叉数列，又易知为=1,出=2；

若要使加的值最小，则%,=1+2022,。“1=2022,am_2=1011,am_3=1010,am_4=505,

%一5=504,。,“_6=252,。『7=126,(z„,_8=63,am^=62,%°=31,a„,_u=30,

a

m-n=15,a„_13=14,am_i4=7,a“i5=6,am_l6=3,am_iy-a2-2,

止匕时加一17=2,BPm=19<2023；

故正整数〃?的最小值为19.

故答案为：19

【点睛】关键点睛：本题考查根据数列中的规律求解数列中的项的问题，解题关键是能够根

据递推关系式讨论若数列｛4｝为等差和等比各项交叉所得的数列，若要使加的值最小，则

需尽可能利用«„+1=2%对数列中的项进行缩减，进而利用首项求出m的值.

15.⑴a=2,b=\

⑵/(尤)2=°，/(》*=一一+5

［/'⑴=0

【分析】(1)求出函数的导函数，依题意可得八，即可求出。、6的值；

［/⑴=0

(2)由(1)可得/(x)的解析式，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极小值,

再求出区间端点的函数值，即可得解；

【详解】(1)解：•.・函数/(x)=aln尤一加+1,)(0二幺-2员,

・函数/⑴在X=］处与直线y=0相切，

]⑴=。-26=0a=2

解得

1/(1)=-^+1=0b=l

(2)解：由(1)可得/(x)=21nx—x2+1■.f'(x)=--2x=^^=2(l-x)(l+x)

XXX

所以当!(尤<1时/'(x)>0,当IvxVe?时/'⑺<0,

e

所以/(X)在［l，e［上单调递减，在上单调递增，在x=l处取得极大值即最大值,

所以/(x)max=〃1)=°,又=+l=-^y-l>-2>

/(e2)=21ne2-(e2)'+1=-e4+5<-2

所以/"L=小2)=--+5

16.(1)证明见解析

答案第5页，共8页

【分析】（1）证明：取S4的中点尸，连接CF,EF,CD,由题意可证得。E//CF,再由线

面平行的判定定理证明艮吧；

（2）以O为坐标原点，砺，砺的方向分别为了/轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐

标系.求出平面S4C与平面S3Z）的法向量，由二面角的向量公式求解即可.

【详解】（1）证明：取S4的中点尸，连接C尸,E尸,CD.

因为C,。为圆弧的两个三等分点，所以CD〃/2,CD=：/瓦

2

因为E,尸分别为SB,”的中点，所以E///AB,EF=\AB,

则CDIIEF,EF=CD,从而四边形CDEF为平行四边形，

故DE//CF.因为DEO平面”C,C尸u平面&4C,所以。£//平面S4C.

（2）解：以。为坐标原点，砺，砺的方向分别为％z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系.

因为/8="=4,所以/（0,-2,0）,*0,2,0）,C（e,-l,q,。（百,l,0）,S（0,0,26）,

则就=（6,1,0）,数=（0,2,26）,丽=（豉-1,0癖=（0,-2,2^）.

设平面&4c的法向量为丽=（%,必,zj,

则_1二令玉=1,得丽=1,一/J.

m-AS=2yl+2y/3zl=0,'）

设平面S3。的法向量为元=（工2，歹2/2）,

则—j令々=1，得力=I百,1.

n-BS=-2y2+2y/3z2=0,'）

设平面SAC与平面SBD所成锐二面角为3,

e八।/__5\m-n\1

则cos3=|cos〈加,n）|=.

\m\\n\5

故平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值为1.

4

17.⑴1r

,,19

（2）分布列见解析，—.

【分析】（1）利用古典概率公式即求；

（2）由题可知X的可能取值为5,6,7,8,然后利用求分布列的步骤及期望公式即得.

【详解】（1）从这6人中随机选出2人，共有C：=15种选法，

其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有C；+C；=4种.，

答案第6页，共8页

4

故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为'.

（2）由题可知，X的可能取值分别为5,6,7,8,

P（X=5）=£=?P（X=6）=C1G=；,

c6Jy°

尸（『=*rlrl《7尸（X=8）爷=:

C6,°

故X的分布列为：

X5678

££21

P

53515

112119

E（X\=5x—F6x—F7x—F8x—=—.

v7535153

18.⑴Q=2；

（2）证明见解析，定点（-4,2）.

【分析】（1）利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得。的值；

（2）先设出直线/的方程/：》=叼+乙并与抛物线方程联立，利用设而不求的方法求得

的关系，进而求得直线/过定点的坐标.

【详解】（1）因为点尸（。,4）在抛物线C上，所以16=2pa,即8=非，

因为APO厂的面积为4,所以：X£X4=4,解得p=4,所以。=2.

22

（2）由（1）得C:/=8x,尸（2,4）.

当直线/斜率为0时，不适合题意；

当直线/斜率不为0时，设直线/：x=w+f,设/（再,必），

\y2-8x,

由《，得广-8叩-St=0，

[x=my+t

则A〉0=2加2+，〉o，乂+%=8冽，y^2=-8t,

4

因为直线口，尸5的斜率之和为

%一4%-4二4

y.-4%—44

所以'+且不=不，即、.2十、,2-

x-29—2322

xf-f-

884…

所以--r+—77=T,所以

%+4%+43

122_2（必+%+8）2（凹+为+8）

——-----------F——

3%+4%+4（凶+4）（%+4）乂%+4（乂+%）+16

2（8加+8）,整理得加=，-2,

-8/+4x8m+162

所以直线/：1=加＞+，=]一：/_12y,

2

—y+1=0fx=—4