专题18 一次函数的定义压轴题五种模型全攻略（解析版）

专题18一次函数的定义压轴题六种模型全攻略考点一正比例函数的定义考点二识别一次函数考点三根据一次函数的定义求参数的值考点四求一次函数自变量或函数值考点五根据一次函数的定义求解析式考点六列一次函数解析式并求值典型例题典型例题考点一正比例函数的定义例题：（2022·河南商丘·八年级阶段练习）下列函数中，正比例函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正比例函数的定义进行判断：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．【详解】A、y=-8x是正比例函数，正确；B、y=-8x+1是一次函数，不符合题意；C、是二次函数，不符合题意；D、是反比例函数，不符合题意；故选

A．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，理解什么是正比例函数是解题的关键．【变式训练】1．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期中）函数y=x+2a-1是正比例函数，那么a的值是（

）A．﹣2 B．0 C．2 D．【答案】D【分析】根据正比例函数的定义求解即可：一般地，形如的函数叫做正比例函数．【详解】解：∵函数y=x+2a-1是正比例函数，∴2a-1=0，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题的关键．2．（2022·辽宁盘锦·八年级期末）函数y＝-5x＋a＋1是关于x的正比例函数，则a的值等于___________．【答案】-1【分析】一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此可得a+1=0，解出即可．【详解】解：∵函数y=-5x+a+1是正比例函数，∴a+1=0，解得：a=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．3．（2022·吉林·长春市净月实验中学八年级期中）已知关于的函数是正比例函数，则的值是________．【答案】2【分析】根据正比例函数的定义得到，然后解方程可得m的值．【详解】解：∵关于的函数是正比例函数，∴且，解得m=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．考点二识别一次函数例题：（2022·上海市长桥中学八年级期中）以下函数中，属于一次函数的是(

)A．B．、是常数C．D．【答案】C【分析】根据一次函数的定义逐项判断即可．【详解】解：A．选项不是一次函数，故该选项不符合题意；B．选项没有强调，故该选项不符合题意；C．选项，，故该选项符合题意；D．选项不是一次函数，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的定义．一般地，形如（k、b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数．掌握一次函数的形式是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·八年级专题练习）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（

）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝【答案】C【分析】根据一次函数和正比例函数的概念解答即可．【详解】解：A．是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意；B．不是一次函数，故选项不符合题意；C．是一次函数，但不是正比例函数，故选项符合题意；D．不是一次函数，故选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x和y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）；一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．2．（2022·湖南·衡阳市成章实验中学八年级阶段练习）下列函数关系式：；；；，其中一次函数的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一次函数的定义解答即可．【详解】解：是一次函数；是一次函数；，自变量x次数为2，不是一次函数；，自变量x不能做分母，不是一次函数．一次函数有个，故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．考点二根据一次函数的定义求参数的值例题：（2022·广东·江东镇初级中学八年级阶段练习）若函数是一次函数，则m的值为（

）A．±1 B．﹣1 C．1 D．2【答案】B【分析】根据一次函数的定义进行计算即可．【详解】解：根据题意得，|m|＝1且m﹣1≠0，解得m＝±1且m≠1，所以，m＝﹣1．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）当为何值时，函数是一次函数（

）A．2 B．－2 C．－2和2 D．3【答案】C【分析】根据一次函数的定义列方程求解即可．【详解】∵函数是一次函数，∴3-|m|=1且m-3≠0，∴m=±2且m≠3，∴m的值为2或-2，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．2．（2022·全国·八年级专题练习）已知函数y＝（m﹣1）x＋1﹣(1)当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数？(2)当m为何值时，这个函数是关于x的正比例函数？【答案】(1)m≠1(2)m＝﹣1【分析】（1）根据一次函数的形式，y=kx+b（k≠0），即可进行解答；（2）根据正比例函数的形式，y=kx（k≠0），即可进行解答．（1）解：∵函数y＝（m﹣1）x+1﹣是关于x的一次函数，∴m﹣1≠0，解得m≠1，即当m为不等于1的值时，这个函数是关于x的一次函数；（2）∵函数y＝（m﹣1）x+1﹣是关于x的正比例函数，∴m﹣1≠0且1﹣＝0，解得m＝﹣1，即当m为﹣1时，这个函数是关于x的正比例函数．【点睛】本题主要考查了正比例函数和一次函数的一般形式，熟练掌握相关内容是解题的关键．考点四求一次函数自变量或函数值例题：（2022·河北·石家庄外国语教育集团八年级期中）一次函数中，当时，，的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a值．【详解】解：一次函数中，当时，，，解得：．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式

y=kx+b是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖北荆州·八年级期末）若点在函数的图象上，则代数式的值等于（

）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】先根据一次函数的定义得到，则，再把整体代入所求式子求解即可．【详解】解：点在函数的图象上，，∴，．故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，代数式求值，熟知一次函数图象上的点满足一次函数解析式是解题的关键．2．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学八年级期中）已知点P（4，1）在函数y=ax+3的图象上，则a的值是_________.【答案】##【分析】将点P的坐标代入即可求得a的值．【详解】解：∵点P（4，1）在函数y=ax+3的图象上，∴1=4a+3，解得：a=，故答案为：．【点睛】本题考查求一次函数的参数，当点在函数图象上时，该点的坐标满足函数关系式．3．（2022·河南商丘·八年级阶段练习）已知：y与成正比例，且当时，．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当点在此函数图象上，求a的值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）将点代入（1）中的解析式，解方程即可得出结论．（1）解：∵y与成正比例，∴设，把，代入得：，∴，∴y与x之间的函数关系式为：；（2）解：∵点在此函数图象上，∴，解得：．

∴a的值为4．【点睛】本题主要考查了函数关系式，待定系数法，利用待定系数法解答是解题的关键．考点五根据一次函数的定义求解析式例题：（2022·上海·八年级专题练习）已知与成正比例，且当时，．(1)求与之间的函数解析式；(2)当时，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设与之间的函数解析式为，再将，代入求解即可得；（2）将代入（1）中的函数解析式即可得．【详解】（1）解：由题意，设与之间的函数解析式为，将，代入得：，解得，则与之间的函数解析式为．（2）解：将代入得：．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．【变式训练】1．（2022·广东茂名·八年级期中）已知与成正比例，且当时，．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)求当时，y的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由与成正比例，设再利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）把代入求解函数值即可．【详解】（1）解：∵与成正比例，∴设当时，．∴解得：∴函数关系式为：即．（2）当时，∴【点睛】本题考查的是正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，求解函数值，掌握“待定系数法求解函数解析式”是解本题的关键．2．（2022·河南商丘·八年级阶段练习）已知：y与成正比例，且当时，．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当点在此函数图象上，求a的值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）将点代入（1）中的解析式，解方程即可得出结论．（1）解：∵y与成正比例，∴设，把，代入得：，∴，∴y与x之间的函数关系式为：；（2）解：∵点在此函数图象上，∴，解得：．

∴a的值为4．【点睛】本题主要考查了函数关系式，待定系数法，利用待定系数法解答是解题的关键．3．（2021·河北·测试·编辑教研五八年级期末）已知y是x的正比例函数，当x＝﹣2时，y＝14．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当﹣3≤x≤5时，y的最大值是_________．【答案】(1)y＝﹣7x(2)21【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据一次函数的性质，在﹣3≤x≤5内，当x＝﹣3时，函数值最大，把x＝﹣3代入求得即可．（1）解：∵y是x的正比例函数，设y＝kx，∴当x＝﹣2时，y＝14，∴14＝﹣2k，解得，k＝﹣7，∴y＝﹣7x；（2）∵k＝﹣7＜0，∴y随x的增大而减小，∴在﹣3≤x≤5内，当x＝﹣3时，函数值最大，此时，y＝﹣7×（﹣3）＝21，∴函数最大值是21．故答案为：21．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征，求得正比例函数的解析式是解题的关键．考点六列一次函数解析式并求值例题：（2022·辽宁·丹东市第十七中学七年级期末）某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为______．【答案】y=1.1x+2.7【分析】根据乘车费用=起步价+超过3千米的费用即可得出．【详解】解：依据题意得：y=6+1.1（x-3）=1.1x+2.7，故答案为：y=1.1x+2.7．【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式．理解题意，找到数量关系是本题关键．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离．（1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数；（2）当时，求的值．【答案】（1），是的一次函数；（2）140【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）∵甲、乙两地相距100km∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km∴y=100+80x∴y是x的一次函数；（2）当时，得：y=100+80×0.5=140．【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．2．（2021·贵州贵阳·八年级期中）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值．【答案】（1），y是x的一次函数；（2）【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）∵甲、乙两地相距120km∴火车与甲地的距离表示为：（km），即；当火车到达甲地时，即∴，即火车行驶1.5h到达甲地∴y是x的一次函数；（2）根据（1）的结论，得：．【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．3．（2021·湖南岳阳·八年级期末）已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＝1时，求y的值．【答案】（1）y=-5x+29；（2）24【分析】（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得关于k和b的方程组，解方程组即可；（2）把x=1代入函数表达式计算即可．【详解】解：（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得，解得：，∴此一次函数的表达式为y=-5x+29；（2）将x=1代入y=-5x+29，得：y=-5×1+29=24．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解决这类问题一般先设函数的一般式，再代入两个点构造方程组求解．课后训练课后训练一、选择题1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列函数①；②；③；④；⑤中，是一次函数的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用一次函数的定义进行判断即可选择．【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③是反比例函数；④是一次函数；⑤是二次函数，所以一次函数有3个．故选：C．【点睛】本题考查一次函数的定义，理解一次函数的定义是解题关键．2．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校八年级期中）若点在函数的图象上，则下列各点也在此函数图象上的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】待定系数法求得解析式，然后逐项判断即可求解．【详解】解：∵点在函数的图象上，∴，解得，∴解析式为，A、∵当时，，∴点不在该函数图象上；B、∵当时，，∴点不在该函数图象上；C、∵当时，，∴点在该函数图象上；D、∵当时，，∴点不在该函数图象上；故选：C．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征．点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．3．（2022·安徽·定远县第一初级中学八年级阶段练习）已知函数是关于的正比例函数，则关于字母、的取值正确的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此可得，b-1=0，解出即可．【详解】解：∵一次函数是正比例函数，∴，b-1=0，解得：，．故选：A．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．4．（2022·安徽·宣城市宣州区金坝中心初级中学八年级期中）已知函数y＝（m﹣2）＋1是一次函数，则m的值为（

）A．± B． C．±2 D．﹣2【答案】D【分析】根据一次函数的定义：形如（k、b是常数，）的函数叫做一次函数，由此求解即可．【详解】解：∵是一次函数，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的定义．5．（2022·江苏·八年级专题练习）新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先依据题意得到函数关系式，然后依据正比例函数的定义求得m的值，最后解一元一次方程即可．【详解】解：∵[a，b]为一次函数y=ax+b（a，b为实数，且a≠0）的关联数，∴关联数[1，m+2]所对应的一次函数是y=x+m+2．又∵该函数为正比例函数，∴m+2=0，解得m=-2．∴方程可变形为：，解得：x=1，∴方程的解为x=1．故选：C．【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，解一元一次方程，求得m的值是解题的关键．二、填空题6．（2022·重庆市大足中学八年级期中）直线经过点，则___________．【答案】##【分析】将点代入直线表达式中求解即可．【详解】解：将代入中，得：，故答案为：．【点睛】本题考查一次函数的图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上的点的坐标满足一次函数解析式是解答的关键．7．（2022·辽宁沈阳·八年级期中）在函数中，当______时，是的正比例函数．【答案】-2【分析】根据正比例函数的定义得，且，进而即可求解．【详解】解：由题意得：，且，解得：．故答案为：-2．【点睛】本题主要考查正比例函数的定义，掌握正比例函数形式：是关键．8．（2022·湖南·明德华兴中学八年级期中）若关于x的函数y＝x|m|-1+9是一次函数，则m的值为_________．【答案】±2【分析】直接利用一次函数的定义数的定义，即可得出m的值．【详解】∵关于x的函数是一次函数，∴，解得：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确理解一次函数的“一次”的意义是解答本题的关键．9．（2022·上海·上外浦东附中八年级期中）已知函数是关于x的一次函数，则______．【答案】-2【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解．【详解】解：根据题意得：且，解得：m=-2．故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．10．（2022·山东青岛·八年级期中）已知点P在直线上，且点P到y轴的距离为1，则点P的坐标为______．【答案】或【分析】根据点P到y轴的距离是1可得出点P的横坐标是，再求出其纵坐标的值即可．【详解】解：∵点P在直线上，且点P到y轴的距离是1，∴点P的横坐标是，∴当时，；当时，，∴点P的坐标为：或．故答案为：或．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．三、解答题11．（2022·吉林四平·八年级期末）若是正比例函数，求m，n的值．【答案】m=，n=4【分析】根据正比例函数的定义，即可求解．【详解】解：∵是正比例函数，∴且，，解得，．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握形如的函数关系式的称为y关于x的正比例函数是解题的关键．12．（2022·广西·藤县藤州中学八年级阶段练习）已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；(2)当S=12时，求P的坐标．【答案】(1)S=-4x+40，0<x<10(2)P（7，3）【分析】（1）首先把x+y=10，变形为y=10-x，再利用三角形的面积求法：S=底×高÷2，可以得到S关于x的函数表达式，P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面积S＞0，可得到x的取值范围；（2）把S=12代入函数解析式即可．【详解】（1）根据题意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10，∴y=10-x，∴OA=8，P（x，10-x）∴S=×8(10-x)=-4x+40．又∵x>0，且10-x>0，∴0<x<10．（2）当S=12时，即12=40-4x，解得x=7，∴y=10-7=3，∴S=12时，P点坐标（7，3）．【点睛】此题考查一次函数的性质，解题的关键是数形结合运用三角形的面积公式进行计算．13．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）已知：y与成正比例，当时，．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当自变量x满足_______时相应的函数值满足．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可设y与x之间的函数关系式为，再将时，代入，求出k的值，即可得出y与x之间的函数关系式；（2）由y的取值范围，可确定-2x+1的取值范围，再解出x的解集即可．（1）∵y与成正比例，∴设y与x之间的函数关系式为．∵当时，，∴，解得：，∴y与x之间的函数关系式为；（2）∵，∴解得：故答案为：．【点睛】本题考查正比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式，解一元一次不等式组．利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式是解题关键．14．（2022·河北唐山·八年级期末）已知函数．(1)当时，求y的值；(2)当时，求x的值；(3)判断点是否在直线上．【答案】(1)(2)(3)不在【分析】（1）把代入解析式求解即可；（2）把代入解析式求解即可；（3）根据（1）求得的y的值即可判断．（1）当时，；（2）当时，，解得；（3）由（1）可知，时，，所以点不在直线上．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．15．（2022·全国·八年级课时练习）已知函数；(1)当取何值时，这个函数是正比例函数？(2)当在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？【答案】(1)当时，这个函数为正比例函数(2)当时，这个函数是一次函数【分析】（1）根据正比例函数的定义求