2023-2024学年河南省郑州市九校联考八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年河南省郑州市九校联考八年级（下）月考数学试卷（3

月份）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图，EB=EC,AB=AC,则此图中全等三角形有（）

A.2对

B.3对

C.4对

D.5对

2.不等式竽N3x—2的解集为（）

33

A.x>1B.%<1C.x>-D.x<-

3.下列数学式子：（T）—3<0；@2x+3y>0；③久=1；（4）x2-2xy+y2；⑤久+143；其中是不等

式的有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

4.若（爪-2）久27n+】-1>5是关于％的一元一次不等式，则该不等式的解集为（）

A.m—0B.x<—3C.x>—3D.m2

5.如图，在△4BC中，AB=5,AC=4,4D平分ABAC,DE是AaBD的中线，贝小―加：S^ACD=（）

6.如图，A/IBC是边长为2的等边三角形，△ABC的面积等于，D,E分别为

BC,AC的中点，P是4。上的一个动点，贝UPE+PC的最小值为（）

A.<3

B号

B

C.1D

D.2

7.如图，△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB=ACfAD=AE,4ABe=60。且A

ABAC=Z.DAE.^B,D、E三点共线时，々BEC的度数为（）

A.54°

//D\

B.56°

C.60°BC

D.62°

8.如图，NB4C为120。的等腰△ABC中，底边BC为3点DE垂直平分Z8于点A

D,贝的长为（）

BE\C

A.273B.2+<3C.6D.3<3

9.如图，AAOB=60°,C是BO延长线上的一点，0C=13cm,动点P从A

点C出发沿CB以3cm/s的速度移动,动点Q从点。出发沿。4以2cm/s的

速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t为s

时，是等腰三角形.（）「一二----------------------B

APOQvru

A.1B.6C.|或6D.9或8

10.已知，如图，等腰△ABC,AB=AC,NBAC=120。，4DJ.BC于点D,P

OP=OC,下列结论中正确\

点P是B4延长线上一点，点。是线段力。上一点，

的序号是：@^PAC=60°；@AC^AO+AP；③AOPC是等边三角形；

④乙4P。=乙DCO.（）BDC

A.①③④B.②③C.①②③D.①③

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.若a<b,则一5-2a_____—5—2b.

12.关于x的方程4x-m+1=3x-2的解是负数，则小的取值范围是一

13.在△2BC中，AB=AC,CD是48边上的高，ZXCD=30°,贝吐8=_

14.如图所示的网格是正方形网格，则NP48+NP8A=_____。（点4B,P是网格线交点）.

।*（'xpi•:■:■!.

AB

15.如图，BP平分/ABC,AP1BP^-P,APBC的面积为2cm2,则4

ABC的面积为cm2.

三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题16分）

解下列不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来:

(1)—x—1<3%—5；

（2）空一］（早.

17.（本小题8分）

物流公司要建一个物流中转站，如下图按照设计要求，中转站到两个城镇4、B的距离相等，且到U字型公

路小，门的距离也相等，则中转站P应建在什么位置（保留作图痕迹，不写作法）

B

18.（本小题8分）

为推进“书香社区”构建，某社区计划购进一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，

购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元.

（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？

（2）社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书的数量不少于文学类图书的两倍.请帮助社区设计最

省钱的购书方案，并计算该社区至少要准备多少购书款？

19.（本小题9分）

如图：4D是NB4C的平分线，DElAB^E,DFlAC^F,连接E、F,

求证：4。是EF的垂直平分线.

A

20.(本小题10分)

如图所示，在等边三角形4BC中，乙ABC、乙4cB的平分线交于点0,OB和。。的垂直平分线交BC于E、F,

求证：BE=EF=FC.

21.(本小题12分)

如图，在RtAABC中，^ACB=90°,CD1AB,垂足为D,AF平分NC4B,交CD于点E,交CB于点F.若

AC=12,AB=20.

(1)试说明：CE=CF；

(2)试着求出线段CE的长.

22.(本小题12分)

如图，在△ABC中，AOAB,4D平分ABAC,点D到点B与点C的距离相等，过点。作DE1BC于点E.

(1)求证：BE=CE；

(2)请直接写出N4BC,4ACB,N4DE三者之间的数量关系：

(3)若乙4cB=40。，/.ADE=20°,求NDCB的度数.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：图中的三角形有△ABE0AACE,AEBD^AECD,KABD^LACD,共3对.

故选：B.

根据SSS能得出△ABEgAACE,根据全等三角形的性质得出NB4D=NCAD,根据S4S即可推出△

ACD,根据全等得出BD=DC,根据SSS推出△EBDgAECD即可.

此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形

的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.

2.【答案】B

【解析】解：去分母得x+126久一4,

移项得—5光>—5,

解得x<1.

・•・原不等式的解集为X<1,

故选:B.

去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可.

本题考查了解一元一次不等式的应用，能正确运用不等式的基本性质解一元一次不等式是解此题的关键，

注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1,难度适中.

3.【答案】C

【解析】解：①—3<0,是不等式，符合题意；

@2x+3y>0,是不等式，符合题意；

③x=l,是等式，不符合题意；

（4）x2-2xy+y2,是多项式，不符合题意；

⑤x+1大3,是不等式，符合题意；

综上：是不等式的有①②⑤，共3个.

故选：C.

根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可.

本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式.

4.【答案】B

【解析】解：根据不等式是一元一次不等式可得：2爪+1=1且爪-2片0,

m=0

二原不等式化为：-2x-1>5

解得%<-3,

故选:B.

根据一元一次不等式的定义得出3+6=1,求出zn的值，再把m的值代入原式，再解不等式即可.

此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出小的值.

5.【答案】D

【解析】解：作DF于尸，148于H,/

•••4D平分NB4C,DF1AC,DH1AB,/\尸

DH=DF,-―、

SMDB：SAACD=4B：AC=5：4,

•••DE是△ABD的中线，

1

S^ADB—2SAABD,

S^ADB:S44co=5：8,

故选：D.

作DF14C于F,DHJ.AB于H,根据角平分线的性质得到DH=D尸，根据三角形的面积公式、三角形的中

线的性质计算即可.

本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

6.【答案】4

【解析】解：如图，连接BE交4。于点P',

是等边三角形，AB=2,4D是BC边上的高，E是AC的中点，

■.AD.BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，AE=CE1,

P'B=P'C,

P'E+P'C=P'E+P'B=BE,

根据两点之间线段最短，

点P在点P'时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长.

BE=VSC2-CE2=V22-I2=

所以P七+P，C的最小值为：，百，

故选：A.

根据等边三角形的三线合一的性质，连接BE交AD于点P,此时PB=PC,即可得到PE+PC的最小值即为

BE的长.

本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是利用等边三角形的性质.

7.【答案】C

【解析】解：•；AB=AC,乙ABC=60°,

-''A28C是等边三角形，

.­.aBAC=60°,

•••Z.DAE=乙BAC=60°,

•・,AD=AE,

・•.△ADE是等边三角形，

・•・"DE=乙AED=60°,

•・•Z-BAC=Z.DAE,

•••乙BAC-Z,CAD=乙DAE-/-CAD,

•••Z.BAD=Z-CAE,

在△BAD和△G4E中，

AB=AC

乙BAD=Z.CAE,

AD=AE

••.△R4DAa4E(S/S),

•••Z-AEC=Z.ADB

•・•Z.ADB=180°-AADE=120°,

・•・乙BEC=乙AEC-AAED=120°-60°=60°,

故选：C.

先分别证明△ABC和△/£>£均为等边三角形，得至U乙4DE=NAED=60。，再证明△BAD之△C4E得至!J

AAEC=AADB,求出4ADB的度数即可.

此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各种判定定理是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：••・ABAC=120。，△ABC为等腰三角形，

1

.・.zB=ZC=iX(180°-Z.BAC)=30°,

・・•DE垂直平分48,

AE=BE,

・•・乙EAB=Z-B=30°,

・•.Z.CAE=乙BAC-乙EAB=120°-30°=90°,

在中，"=30°,

CE=2AE,

・•.BC=BE+CE=AE+2AE=3AEf

・•,底边8C为3门，

3AE=3y/~3,

AE=V-3.

故选：C.

依题意得NB=NC=30。，根据DE垂直平分48得AE=BE,则NEAB==30。，进而NC4E=90。，再

根据直角三角形的性质得CE=2AE,贝|BC=3AE=373,据此可得4E的长.

此题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质

等知识点，主要考查运用相关性质进行推理计算的能力.

9【答案】D

【解析】解:分两种情况：(1)当点P在线段OC上时，

设t时后APOQ是等腰三角形，

有。P=OC-CP=OQ,

即8—3t=2t,

解得，七也

(2)当点P在C。的延长线上时，此时经过C。时的时间已用6s,

当APOQ是等腰三角形时，

•・•(POQ=60°,

.•・△尸。Q是等边三角形，

OP=OQ,

即2t=3t-8,

解得，t=8,

故选：D.

根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段0C上时；（2）当点P在C。的延长线上时.分别列式

计算即可求.

本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当

点P在点。的左侧还是在右侧是解答本题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：①•••ABAC=120。，

NP4C=180°-ACAB=60°,

故①正确；

②③如图，在4C上取力E=P4连接PE,OB,

•••APAE=180°-ABAC=60°,

・•・△4PE是等边三角形，

.­.乙PEA=NAPE=60°,PE=PA,

.­./.APO+乙OPE=60°,

连接。B,

AB=AC,AD1BC,

.・.OB=OC,

•••Z.OCB=Z-OBC,

又•・,OC=OP,

.・.OB=OP,

・•.Z.OPB=(OBP,

・•.Z.OPC+乙OCP=180°-L.OPB-Z.OCB-乙OBP-乙OBC,

又・・•乙OBP+乙OBC=乙48c=30°

・•・"PC+乙OCP=180°-30°-30°=120°

NOCP=/.OPC=60°,

.•■AOPC是等边三角形，

OP=CP,乙CPE+乙OPE=60°,

/.APO=Z-CPE,

在△。。4与4CPE中，

PA=PE

AAPO=乙EPC,

.OP=CP

•••△OPAdCPE（SAS）,

AO—CE,

ACCE+AE=AO+AP；

故②正确；故③正确；

④由②③知，N4P。=^ABO,4DCO=乙DBO,

•・•点。是线段力。上一点，

.­.乙48。与4DB。不一定相等，

.♦・N4P。与NDC。不一定相等，

故④错误，

故选：C.

根据平角的定义得NP4C=180°-/.CAB=60°,可知①正确；在4C上取4E=PA,连接PE,可知△力PE

是等边三角形，再利J用S4S证明△0P4三△CPE,得20=CE,可知②正确；由NCP。=60。，OP=0C,

可得AOPC是等边三角形，由乙4B0与NDBO不一定相等，NAP。与NDC。不一定相等，故④错误.

本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造

全等三角形是解题的关键.

11.【答案】>

【解析】解：两边都乘以-2,得

—2a>—2b,

两边都加-5,得

—5-2a>-5—2b,

故答案为：>.

根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）

同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.解答即可.

主要考查了不等式的基本性质.掌握：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等

式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改

变是解决问题的关键.

12.【答案】m<3

【解析】解：解方程得：x=m-3,

•••方程的解为负数，

m—3<0,

解得：m<3.

故答案为：m<3

先求出方程的解，然后根据解为负数，列不等式求解.

本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质：

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.

13.【答案】60。或30°

【解析】解：如图，当CD在△力BC内时，

CD1AB,

ZX=90°-/.ACD=60°,

AB=AC,

Z-B=zC=60°,

CD1AB,

：.ABAC=90°+ZXCD=120°,

•••AB=AC,

Z-B=Z.C=30°,

D

A

----------------^c

故答案为：60°或30°.

根据三角形的内角和定理，求出N4的度数，然后再求出NB的度数.

本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理及推论此题难度不

大，属于中等题；

14.【答案】45

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的

作出辅助线是解题的关键.

延长4P交格点于。，连接根据勾股定理得到PQ2=BU=12+22=5,PB2I2+32=10,求得

PD2+DB2=PB2,于是得到NPDB=90。，根据三角形外角的性质即可得到结论.

【解答】

解：延长4P交格点于D,连接8D,

D

B

贝曲。2=BD2=仔+22=5,PB2=I2+32=10,

.­.PD2+DB2=PB2,

.­.乙PDB=90°,

.­.乙DPB=APAB+"BA=45°,

故答案为45.

15.【答案】4

【解析】解：延长4P交BC于E,

•••BP平分N4BC,

・•.Z.ABP=乙EBP,

•••AP1BP,

・•・乙APB=乙EPB=90°,

BP=BP,

・•.AP=PE,

^LABP=S^EBP'S&ACP=S^ECP'

2

•••SMBC=2S〉PBC~4(cm).

故答案为：4.

根据已知条件证得△ABP之△EBP,根据全等三角形的性质得到AP=PE,得出S^BP=S""，SLACP=

S^ECP，推出S“BC=2sAPBC，代入求出即可•

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等.

16.【答案】解：(1)—%—1<3%—5,

-x—3x工-5+19

-4%4—4,

%>1,

该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

-5-4-3-2-1012345

,、3+2%1+2%

(2)丁一］〈M，

5(3+2%)-10<2(1+2%),

15+10%—10<2+4%,

10%—4%<2+10—159

6x<—3,

x<-3，

该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

।।।।14।।।।।।,

-5-4-3-2-Ij012345

【解析】(1)按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答;

(2)按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答.

本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的

关键.

17.【答案】解：如图，作公路小，n所成锐角的角平分线，再作线段AB的垂直平分线，相交于点P,

则点P即为所求.

【解析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可知，中转站P在，字型公路小，n所成锐角的角平

分线与线段4B的垂直平分线的交点处，再根据角平分线和线段垂直平分线的作法作图即可.

本题考查作图一应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、

线段垂直平分线的性质是解答本题的关键.

18.【答案】解：（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，

依题意得:廉年二端，

解得：：羿

答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元.

（2）设科技类图书的购买数量为小本，则文学类图书的购买数量为（100-机）本，依题意有：

m>2（100—m）,

解得根>弊，

•••文学类图书的单价低于科技类图书的单价，小为整数，

m=67时有最省钱的购书方案，

38x67+26x（100-67）

=2546+26x33

=2546+858

=3404（元）.

故该社区至少要准备3404元购书款.

【解析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，根据“购买2本科技类图书和3本文学

类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元”，即可得出关于x,y的二元一次方程

组，解之即可得出结论；

（2）设科技类图书的购买数量为小本，则文学类图书的购买数量为（100-巾）本，根据科技类图书的数量不

少于文学类图书的两倍列出不等式求得机的范围，即可得出结论.

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列

出二元一次方程组；（2）找准不等关系，正确列出一元一次不等式.

19.【答案】证明：•••4。是NB2C的平分线，

DE1AB,DF1AC,

：.DE=DF,AAED=^AFD=90°,

在RtZkAED和RtAAFD中

..（AD=AD

"iDE=DF'

RtAAED丝RtAAFD（HL）,

AE=AF,

•••4D是NBAC的平分线，

.­.4。是EF的垂直平分线.

【解析】先求出。E=OF,^AED=Z.AFD=90°,根据HL证Rt△2ED义Rt△AFD,推出根据

等腰三角形性质推出即可.

本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答

此题的关键.

20.【答案】证明：在等边三角形4BC中.

；4ABC、N4CB的平分线交于点。，0B和。C的垂直平分线交BC于E、F,

：.乙OBC=乙OCB=30°,0E=BE,OF=FC.

.­.LOEF=60°,乙OFE=60°.

OE=OF-EF.

BE=EF=FC.

【解析】先根据线段的垂直平分线的性质和角平分线性质得到有关的角和线段之间的等量关系：NOBC=

ZOCB=30°,OE=BE,OF-FC；再利用三角形的外角等于不相邻的两内角和求出NOEF=60。，

乙OFE=60。.从而判定4OEF是等边三角形即。E=OF=EF,通过线段的等量代换求证即可.

此题考查了线段的垂直平分线的性质等和三角形的外角等于不相邻的两内角和以及等边三角形的性质；进

行线段的等量代换是正确解答本题的关键.

21.【答案】(1)证明：•・•乙4cB=90。，CDLAB,

Z.CAF+Z.CFA=90°,^LFAD+^AED=90°,

•••AF平分NCZB,

•••Z.CAF=Z-FAD,

•••Z-CFA=Z-AED,

Z.AED=乙CEF,

Z.CFA=Z-CEF,

・•.CE=CF；

(2)解:如图，过点F作FG于点G.

•••AF平分NC力B,

•••Z.CAF=Z-GAF,

在△ZCF和△AGF中，

AACF=^AGF=90°

^CAF=AGAF,

AF=AF

・•・△AC尸丝△4GFQL4S),

•.AC=AG=12,CF=GF,

・•.BG=AB—AG=20-12=8,

•・•乙ACB=90°,

•••BC=ylAB2-AC2=V202-122=16，

设CE=CF=x,贝!JGF=x,BF=BC-CF=16-x,

在RtABFG中，由勾股定理得：BF2=BG2+FG2,

即(16-x)2=82+X2,

解得：x=6,

答：线段CE的长为6.

【解析】(1)证NC凡4=乙CEF,即可得出结论；