江苏省无锡市江阴市两校联考2023-2024学年高一下学期5月阶段检测数学试题(含答案)

—2024学年度春学期5月阶段检测试卷高一数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和2．已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为（）．A．2.75 B．2.80 C．2.81 D．2.823．已知一个水平放置的四边形ABCD，用斜二测画法画出它的直观图是一个底角为45º，上底长为1，下底长为2的等腰梯形，则四边形ABCD的面积为（）A. B. C. D.4．已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列正确的是（）．A．若，，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，则5．已知向量与的夹角为60º，，则=（）A．B．C．或D．以上都不对6．已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是（）A．3，4 B．2，8 C．2，4 D．3，87．已知是单位向量，且，在上的投影向量为，则与的夹角为（）A． B． C． D．8．已知锐角中，内角A、B、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（）A．直线与直线AF异面 B．直线与平面平行C．平面截正方体所得截面是平行四边形D．点C和点B到平面的距离相等10．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为偶数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，事件D=“出现点数为奇数”，则以下选项正确的是（）A．A与B互斥 B．A与D互为对立事件C．D．11．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以为圆心的两个扇形（如图2），若，，点在上，，点在上，（，），则（）A．取值范围为 B．的取值范围为C．当时， D．当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为___________13．已知正四棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为_____________．14．设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则b=__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在和内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率．16．（15分）如图，三棱柱中，平面ABC，，点M，N分别是线段，的中点．（1）求证：平面平面；（2）设平面与平面的交线为l，求证：．17．（15分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人租车时间超过三小时，且不超过四小时的概率；（2）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；（3）求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．18．（17分）的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）设，当的值最大时，求的面积．19．（17分）如图所示，在长方形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面．（1）求证：；（2）求四棱锥的体积；（3）在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．2023-2024学年度春学期5月阶段检测试卷高一数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B2．B3．A4．D5．B6．D7．C8．【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出，根据为锐角三角形可求得角的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出，求出的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数的不等式，解之即可．【详解】由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，因为为锐角三角形，则，，所以，，又因为函数在内单调递增，所以，，可得，由于为锐角三角形，则，即，解得，，因为，则，因为存在最大值，则，解得．故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ABD10．ABD11．AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【详解】（1）,……2分因为第一组的频率为，，第二组的频率为，，所以第25百分位数在第二组，设为，则，所以第25百分位数为30．……4分（2）年龄在的市民人数为，年龄在的市民人数为，用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，……3分设年龄在的4人为，，，，年龄在的2人为，，从这6为市民中抽取两名的样本事件为，共15种，其中2名年龄都在内的样本事件有种，所以两名幸运市民年龄都在内的概率为．……4分16．【解析】【小问1详解】三棱柱中，平面ABC，而平面ABC，则，又，，平面，于是得平面，而平面，所以平面平面……8分【小问2详解】连接，如图，因点M，N分别是线段，的中点，则，因平面，平面，因此，平面，而平面平面，平面，所以．……7分17．（15分）【详解】（1）甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为，．……2分(2)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况．都付0元的概率为；……2分都付2元的概率为；……2分都付4元的概率为．……2分所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为．……1分(3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ元，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得．……4分即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为．……2分18．（17分）【解析】【小问1详解】由题意在中，，，由正弦定理得，又因为，故，故，又，所以，得到.【小问2详解】由题意及（1）知，，，由正弦定理知外接圆直径，故，，其中，且，因为，故，而，故的最大值为1，此时，即故，，所以，又，故，此时.19．（17分【详解】（1）根据题意可知，在长方形中，和为等腰直角三角形，∴，∴，即．（1分）∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，（4分）∵平面，∴．（5分）（