2022-2023学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，共30.0分.）

1.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶.下列四幅标识图，其中文字上面图案是

中心对称图形的是（）

2.下列等式，从左到右的变形是因式分解的是（

A.x(x-2)=x2—2xB.6x2y—6x-xy

C.x2—4=(x+2)(%—2)D.x+2=x(l+-)

3.将分式至中的x,y的值同时扩大2倍，则分式的值（）

A.扩大2倍B.缩小到原来的C.保持不变D.无法确定

4.交通法规人人遵守，文明城市处处安全.在通过桥洞时，我们往

往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的.

车高工（血）的范围可表示为（

A.%>4.5

B.x>4.5

C.x<4.5

D.0<%<4.5

5.三条公路将4B,C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个

集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）

B

A.三条高线的交点B.三条中线的交点

C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点

6.直线与直线G：y2=k2x+b在同一平面直角坐标系中的位置关系如图所示,

则关于x的不等式向久>七万+6的解集为（）

A.%>2B.%<2C.%>3D.%<3

7.在课堂上，陈老师发给每人一张印有朋△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个

Rt^A'B'C,使得RtAC'B'C'三RtAABC.小赵和小刘同学先画出了NMB'N=90。之后，后续

小赵同学小刘同学

对这两种画法的描述中正确的是（）

A.小赵同学作图判定RtAA'B'C'=Rt△ABC的依据是HL

B.小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长

C.小刘同学作图判定Rt△a'B'C'三口△48C的依据是2S4

D.小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段4C的长

8.如图，设14■张折叠型方桌子，若4。=BO—50cm,CO-DO=30cm,将桌子放平后,

要使力B距离地面CD的高为40cm,则两条桌腿需要叉开的4408为（）

A.90°B,120°C.135°D.150°

9.下列命题是真命题的是（）

A.若a>b,贝!11—2a>1—2b

B.等腰三角形的角平分线、中线和高重合

C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

D.一个正多边形的内角和为720。，则这个正多边形的一个外角等于60。

10.如图，在四边形纸片4BCD中，AB//DC,AB=DC=4AT3,4。=9,/BCD=30。，

点E是线段DC的中点，点F在线段BC上，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C'EF,连接4C',

则AC'长度的最小值是（）

A.B.C.5口D.

二、填空题（共5小题，共15.0分）

11.分解因式：x2—2%=.

12.要使分式会有意义，式的取值应满足___.

x-2

13.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地

铺成一片,称为平面图形的镶嵌.某工人师傅在铺地板时把四块完全相同的图案（图1）拼成一个

如图所示的大图案（图2）,经过测量，AB=60cm,BC=100cm,4c两点间的距离为80cm,

阴影部分的面积为cm2.

A

D

知B

图2〜飞

14.如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为1小宽的弯曲小路，则这块草地的面积为

15.如图，在△力8c中，AB=AC,^ABC=60°,点。是△ABC外一点,

若CD=3,BD=5V_2＞乙BDC=75°,则线段4D的长为

三、解答题（共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题8.0分）

2%—]>—%61?）

（1）解不等式组:1,并把它的解集在数轴上表示出来.

（2）解方程:吉+3=导

17.（本小题6.0分）

?

先化简，再求值J—久+1，其中x=q—l

18.（本小题6.0分）

如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角

坐标系，AABC的顶点都在格点上.

(1)将AaBC向右平移6个单位长度得到A4/1G，请画出AAiBiG；

(2)画出关于点。的中心对称图形A4B2c2；

(3)若将△4BC绕某一点旋转可得到△&82c2，请直接写出旋转中心的坐标.

19.(本小题8。分)

如图，在△力8C中，点、D,E分别是AC,4B的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF=3BF,

连接DB,EF.

(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；

(2)若NACB=90。，AC=12cm,DE=4cm,求四边形DEFB的周长.

20.(本小题8.0分)

“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人深圳南山的荔枝以肉厚多汁深受大众的喜爱.某超市用

2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米极荔枝的千克数相同，已知每千克糯米梭荔枝

价格比每千克桂味荔枝的价格多10元.

(1)求桂味荔枝、糯米梭荔枝每千克的进货价格；

(2)这两种荔枝销售很好，超市决定再进这两种荔枝共300千克，且糯米粮荔枝的数量不超过

桂味荔枝数量的2倍，桂味荔枝以25元/千克销售，糯米极荔枝以38元/千克销售，请问桂味、

糯米梭荔枝各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？

21.(本小题9.0分)

【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此

类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.其依据是不等式(或等式)的

性质：若x-y〉0,贝！〉y；若x-y=0,则x=y；若久一丫<0,则x<y.

2

例：已知M=CJ2—ab,N=ab—b,其中aK6,求证：M>N.

证明：M-N=a2—ab—ab+b2=(a-b')2,

ab,

(a—b)2>o,故M>N,

【新知理解】

(1)比较大小：x—32+x.(填“>”，"="，“<”)

【问题解决】

(2)甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示(a为正整数)，其面积分别为Si，S2.请比较S],

52的大小关系.

甲乙

【拓展应用】

(3)请用“作差法”解决下列问题：

某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有48两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折

收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折.请问游泳的学生选择哪种方案更合

算？

22.(本小题10.0分)

【探究发现】

(1)如图1,在A4BC中，AB=AC.AH1BC,垂足为“，点。在力”上，连接BD,CD,则有下

列命题：®^ABD=AACD；(2)ABDH=ACDH.

请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程.

【类比迁移】

(2)如图2,在△ABC中，AB^AC,Z.BAC=45°,点。在三角形的内部，过点。作8。1CD,

且BD=CD,连接AD,求证：AD=BD=CD.

【拓展提升】

(3)如图3,在AABC中，^BAC=45°,BC=5,把线段力B绕点2顺时针方向旋转90。到力M,

把线段4C绕点4逆时针旋转90。到力N,分别连接MB,NC,MN,请直接写出△4MN面积的最

大值.

答案和解析

1.【答案】D

解：选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所

以不是中心对称图形；

选项。的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图

形.

故选：D.

根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形

重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.

本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心.

2.【答案】C

解：A.x(x-2)=x2-2x,从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不

符合题意；

B.6x2y^6x-xy,等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

C./-4=(久+2)(久-2),从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

Dx+2=x(l+|),等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题

思；

故选：C.

根据因式分解的定义判断即可.

本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解.

3.【答案】C

解：将分式W中的％、y的值同时扩大2倍为七=W，

即分式的值保持不变，

故选：C.

根据已知得出七=去;，求出后判断即可.

本题考查了分式的基本性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力.

4.【答案】D

解：由题意可得，0<xW4.5.

故选：D.

根据不等式的定义解决此题.

本题主要考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可。

【解答】

解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性

质，集贸市场应建在乙4、乙B、NC的角平分线的交点处。

故选C。

6.【答案】A

解：当x〉2时，k±x>k2x+b,即关于久的不等式/qx〉B无+6的解集为x>2.

故选：A.

观察函数图象得到当x>2时，函数y=七万的图象都在y=k2x+b的图象上方.

本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值

大于（或小于）。的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或

下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.也考查了在数轴上表示不等式的解集.

7.【答案】A

解：4小赵同学作图判定RtATl'B'C'mRMA8C的依据是正确，本选项符合题意；

8、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长，错误，应该是力C的长，不相信不

符合题意；

C、小刘同学作图判定AB'C'三Rt△力BC的依据是ASA,错误，应该是S4S,本选项不符合题

思；

。、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段力C的长，错误，应该是4B的长，本选项不

符合题意.

故选：A.

根据全等三角形的判定方法一一判断即可.

本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所

学知识解决问题.

8.【答案】B

解：作DE148于E.

AD=50+30=80cm,DE=40cm,

N4=30°,

AO=BO,

Z.B=Z.A=30°,

•••乙AOB=180°-30°-30°=120°.

故选：B.

作DEJ.AB于E,根据题意，得在RtAZOE中，AD=SO+30=80cm,DE=40cm,由此可以

推出乙4=30。，接着可以求出NB=乙4=30。，再根据三角形的内角和即可求出乙40B的度数.

此题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理.作出辅助线

得到乙4=30。是解题的关键.

9【答案】D

解：若a〉6,则l-2a<l-2b,故A是假命题，不符合题意；

等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故8是假命题，不符合题意；

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C是假命题，不符合题意；

一个正多边形的内角和为720。，则这个正多边形有6条边，它的一个外角等于360。+6=60。，故

。是真命题，符合题意；

故选：D.

根据不等式性质，等腰三角形性质，平行四边形判定，多边形内角和与外角和逐项判断.

本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理.

10.【答案】C

解：连接4E,过点E作EM1AD的延长线于点M,

VAE>AC-EC,

当点4、C'、E在一条直线上时，AC'的值最小，

由翻折可知EC=EC',

CD=4，百，点E是线段DC的中点，

•••EC=EC=ED=2c,

••・四边形28CD是平行四边形，

：.AD//BC,

：.乙MDE=乙BCD=30°,

在Rt中，Z.MDE=30°,ED=2V_3>

EM=：ED=C，

由勾股定理得MD=VED2-EM2=/(2V-3)2-(V-3)2=3，

vAD=9,

•••AM=AD+MD=12,

在Rt△4ME中，由勾股定理得AE=VAM2+EM2-J122+(V-3)2=7y/~3>

AC=AE-EC=7AT3-2c=5「，

即ac'长度的最小值是5/2,

故选：c.

连接力E,过点E作EM1AD的延长线于点M,由翻折可知EC=EC',根据两点之间，线段最短可

知力E22C'—EC',故只有当点4、C'、E在一条直线上时，AC'的值最小，根据勾股定理求出EM、

MD、4E的长，即可得出AC'长度的最小值.

本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，翻折的性质，根据两点之间，线段最短得出4C'、E在

一条直线上时，4C'的值最小是解题的关键.

n.【答案】穴万―2)

解：x2—2%=x(x—2).

故答案为：久(x—2).

提取公因式X,整理即可.

本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式.

12.【答案】x丰2

解：当分母X-2H0,即久42时，分式工有意义.

x—2

故答案是：x丰2.

分析题意，根据分式有意义的条件可得X-2力0,解不等式即可得到x的取值范围，至此问题得

解.

本题主要考查分式的相关知识，解答本题需熟练掌握分式有意义的条件.

13.【答案】1200

解：如图，连接4C,这四个平面图形都可以拼成平行四边形,

4

BC2=1002=10000,

•••AB2+AC2=BC2,

■■^BAC=90°,

・•・阴影部分的面积

的面积

4

=7X60x80

4

=1200(cm2),

故答案为：1200.

连接AC,根据勾股定理的逆定理证出ABAC=90。，根据阴影部分的面积=%4BCD的面积，即可

得出答案

本题考查了平面镶嵌(密铺)，两点间的距离，掌握这四个平面图形都可以拼成平行四边形是解题

的关键.

14.【答案】b(a-1)

解：平移的性质可得：草坪可看作长为(a-1)小，宽为bm的矩形，

二这块草地的面积为b(a-1).

故答案为：/)(a-l).

根据平移的性质可得：草坪可看作长为(a-1)小，宽为的矩形，然后进行计算即可解答.

本题主要考查了生活中的平移现象，利用矩形的面积公式进行计算是解题的关键.

15.【答案】1的

解：以CD为边在CD的右侧作等边ACDE,连接BE,过点B作BF1ED,交ED的延长线于点F,

乙BFD=90°,

■：AB=AC,AABC=60°,

・•.△ABC是等边三角形，

•••AC=BC,/-ACB=60°,

•••△CDE都是等边三角形，

•••CD=CE=DE3,/.DCE=乙CDE=60°,

•••^ACB=乙DCE=60°,

Z-ACB+乙BCD=Z-DCE+Z-BCD,

•••Z.ACD=Z-BCE,

ACO三△BCE(SZS),

•••AD=BE,

•••乙BDC=75°,

・•・乙BDF=180°一乙BDC-Z.CDE=45°,

・•・(DBF=90°-乙BDF=45°,

・•・乙DBF=(BDF=45°,

DZ7n口BD5AT2匚

...BF=DF=-=-^s,

在Rt△BFE中，EF=DF+DE=5+3=8,

BE=VBF2+EF2=M52+82=<^9,

•••AD=BE=

故答案为：V-89.

以CD为边在CD的右侧作等边ACDE,连接BE,过点B作BF1ED,交ED的延长线于点F,根据垂

直定义可得NBFD=90。,再根据已知易得△48C是等边三角形，从而可得4C=BC,4ACB=60°,

然后根据等边三角形的性质可得CD=CE=DE=3,/.DCE=L.CDE=60°,从而利用等式的性

质可得乙4CD=4BCE,进而利用S4S可证△ACDWABCE,再利用全等三角形的性质可得4D=BE,

最后根据平角定义可得NBDF=45。，从而可得/DBF=NBDF=45。，进而可得BF=DF=5,

再在RtABFE中，利用勾股定理可求出BE的长，即可解答.

本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰

直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

16.【答案】解：(1)解不等式①，得万〉g,

解不等式②，得x<6,

;该不等式组的解集是,<%<6,

把该不等式组的解集在数轴上表示如下：

3

该不等式组的解集是g<x<6,

(2)方程两边都乘以(x-2)得：

1+3(%—2)—x—1,

解得：x=2,

检验：当x=2时，x-2=2-2=0,

•••久=2是增根，原方程无解.

【解析】(1)先分别求各个不等式的解集，再把不等式的解集表示在数轴上后，确定该不等式组的

解集，

(2)先将该分式方程转化为整式方程，求解，检验后即可得到答案.

此题考查了不等式组和分式方程的求解方法，准确熟练地进行计算是解题的关键.

2

17.【答案】解：原式=出一（%—1）

x2%2—1

~x+1x+1

_1

%+1'

•­,x=V-2—1,

.,.原式=]_1_AT2

<^-1+1-77--

【解析】直接利用分式的加减运算法则化简，进而得出答案.

此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的加减运算是解题关键.

18.【答案】解：(1)如图，A&BiCi即为所求;

%

~I~I~m~：6r：~I~m~~

(2)如图,A&B2c2即为所求;

(3)(-3,0)•

【解析】

【分析】

本题考查作图-平移、中心对称、旋转变换.

(1)根据平移的性质即可将44BC向右平移6个单位长度得到44劣6；

(2)根据中心对称的定义即可画出△&%的关于点。的中心对称图形△々々Q；

⑶根据旋转的性质即可将△ABC绕某一点旋转可得到A&B2c2,进而写出旋转中心的坐标.

【解答】

解：(1)见答案；

(2)见答案;

(3)连接B%,CC2,两线相交于点(一3,0),

所以旋转中心的坐标为(-3,0).

19.【答案】(1)证明：•.・点D,E分别是AC,4B的中点，

DE是△ABC的中位线，

DE//BC,BC=2DE,

•••CF=3BF,

BC=2BF,

•••DE=BF,

.•・四边形DEFB是平行四边形；

(2)解：由(1)得：BC=2DE=8cm,BF=DE=4cm,四边形DEFB是平行四边形，

BD=EF,

是"的中点，AC=12cm,

CD=|T1C=6cm,

Z.ACB=90°,

•••BD=VCD2+BC2=V62+82=10(cm).

*平行四边形OEFB的周长=2(DE+BD)=2x(4+10)=28(cm).

【解析】(1)证OE是△ABC的中位线，得DE〃BC,BC=2DE,再证DE=BF,即可得出四边形DEFB

是平行四边形；

(2)由(1)得：BC=2DE=8cm,BF=DE=4cm,四边形DEFB是平行四边形，得BD=EF,再

由勾股定理求出BO=10cm,即可求解.

本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中

位线定理，证明四边形DEF8为平行四边形是解题的关键.

20.【答案】解:(1)设桂味荔枝每千克的进货价格x元,则糯米极荔枝每千克的进货价每千克(％+10)

元，

根据题意得：幽=喘，

x%+10

解得：%=20,

经检验x=20是分式方程的解，

•••x+10=30,

答：桂味荔枝、糯米梭荔枝每千克的进货价格分别为20元和30元；

(2)设桂味荔枝进货t千克，总利润为加元，则糯米极荔枝进货(300-t)千克，

根据题意得：300—tW2t,

解得：t>100,

v147=(25-20)t+(38-30)(300-t)=-3t+2400,

,**—3<0,

”随t的增大而减小，

.,.当t=100时，加最大，/ax=-3X100+2400=2100(元)，此时300-100=200,

答：桂味、糯米梭荔枝各进货100千克和200千克时获得利润最大，最大利润是2100元.

【解析】(1)设桂味荔枝每千克的进货价格x元，则糯米梭荔枝每千克的进货价每千克Q+10)元，

根据两种荔枝千克数相同列出方程，解方程即可；

(2)设桂味荔枝进货t千克，总利润为加元，则糯米梅荔枝进货(300-t)千克，根据题意得出300-

t<2t,得出t>100,由题意得出勿=-3t+2400,由一次函数的性质得出“随t的增大而减小，

得出当t=100时，W的最小值=2100(元)，求出300-100=200即可.

本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用；根据题意方程方程组和得出一次函数解析式是解

决问题的关键.

21.【答案】<

解：(1)％—3—2—X=—5<0,

%—3<2+%,

故答案为：<；

(2)Si=(a+7)(a+1)=a?+8a+7,

S?=(a+4)(a+2)=a?+6a+8,

Si-$2

=a?+8a+7—(a?+6a+8)

=a2+8a+7—a2-6a—8

=2a—1,

•・•。为正整数，

a>1,

2a>2,

2ci—1之1>0,

・•.Si>S2;

(3)设原价为a(a>0)元，游泳x次，

则4方案的费用=ax-90%=0.9ax；

B方案的费用=5a+a(x—5)-80%=O.Qax+a；

0.9ax-(0.8ax+a)=0.1ax—a,

，.当0.1a久一a>0时,即久>10时,0.9ax>0.8ax+a；

当0.1a比一a=0时，即x=10时,0.9ax=0.8ax+a；

当0.lax-a<0时，即久<10时，0.9ax<O.Qax+a；

・•・当游泳次数多于10次时，选择B方案；

当游泳次数等于10次时，选择4B方案都可以；

当游泳次数少于1。次时，选择4方案.

(1)作差即可作出判断；

(2)分别求出Si，S2,然后作差，根据a是正整数即可做出判断；

(3)设原价为a(a>0)元，游泳x次，分别求出力，B方案的费用，然后作差，分三种情况讨论得出

答案.

本题考查了公式法，整式的加减，一元一次不等式的应用，第三问无法判断0.1ax-a的正负，所

以分类讨论得出结果，这是解题的关键.

22.【答案】(1)解：选择①△4BD三△4CD,

证明：vAB=AC,AH1BC,

Z-BAD=Z.CAD,

又AD=AD,

ABD三△ZCD(SAS),

选择②ABDH三ACDH,

证明：・・・48=AC,AHIBC,

••・BH=CH,

又•・•DH=DH,

••△BDH"CDH(SAS).

(2)证明：•・・NBDC=90。，BD=BC,

・•・乙DBC=乙DCB=45°,

vAB=AC,ABAC=45°,

•••乙ABC=乙ACB=(180°-