【高中数学】函数的应用（二）同步练习 2023-2024学年高一年级上册数学人教A版（2019）必修第一册

4.5函数的应用(二)

【夯实基础】

知识点1函数的零点与方程的解

1.设函数y=f(x)有5个零点不，9，鼻,相，三，且对一切实数x均满足

f(x+4)+/(-x)=0,则%+%+鼻+兀+%=()

A.8B.10C.16D.20

2.方程2'+3x-4=0的实数根所在的区间为().

B.(-1,0)C.(0,；［D.［；］

3.3表示不超过x的最大整数，例如［3.5］=3,［-0.5］=-1.已知是方程

lnx+3x_15=0的根，则区］=()

A.2B.3C.4D.5

知识点2用二分法求方程的近似解

4.某同学用二分法求方程3'+3x-8=O在xe(l,2)内近似解的过程中，设

/(x)=3*+3x-8,且计算了⑴<0,〃2)>0,/(1.5)>0,则该同学在第二次应计

算的函数值为()

A./(0.5)B./(1.125)C./0.25)D./(1.75)

5.已知函数f(x)在(10,12)内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001,

若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间(10,12)至少需要二等分()

A.8次B.9次C.10次D.11次

知识点3函数模型的应用

6.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度

各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在

成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称

为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述

生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析

式为了(幻=K>0,a>0,Z?>0),xe［0,+oo),该函数也可以简化为

K\f)

/U)=-—~西(K>0,a>\,Z<0)的形式.已知描述的

1+a1+3

是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为

1m,经过一年，该果树的高为2.5m,则该果树的高度超过8m,至少需要()

A.4年B.3年C.5年D.2年

7.由于某地人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年20%的比例

降低.若要求患病率低于当前患病率的g，则至少需要经过__________时间.(参

考数据：lg2“0.3,1g3®0.48)()

A.4年B.5年C.6年D.7年

8.某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能

继续对折了.在理想情况下，对折次数〃与纸的长边单位：cm)和厚度x(单

位:cm)满足“wMog,纥根据以上信息，当某张纸对折完4次时，色的最小值为

3xx

.现有一张长边为30cm,厚度为0.01cm的矩形纸，该矩形纸最多能

对折次.(参考数值：1g2ao.3,lg3ao.48)

【提升能力】

9.随着智能手机的普及，抖音、快手、火山视频等短视频APP迅速窜红.针对这

种现状，某文化传媒有限公司决定逐年加大短视频制作的资金投入，若该公司

2019年投入短视频制作的资金为5000万元人民币，在此基础上，若以后每年

的资金投入均比上一年增长8%,则该公司投入短视频制作的资金开始超过

6900万元人民币的年份是()•(参考数据：lgl.08=0.03，1g5ao.70，lg6.9=0.84)

A.2023年B.2024年C.2025年D.2026年

10.已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当04x41时,

=,则方程f(x)=—/在区间［-3,5］上所有解的和为().

(x-1)

A.8B.7C.6D.5

11.(多选)已知函数f(x)=x|x-a|-2有三个不同的零点，则实数。的取值可以

为()

A.OB.2近C.3D.4

12.(多选)已知定义域为R的偶函数/(x)有4个零点演，x2,X],

2

x4(x,<x2<x3<x4),并且当xNO时，f(x)=x-ax+1,则下列说法中正确的是

()

A.实数a的取值范围是(YO,-2)u(2,+00)

B.当x<0时，f(x)=x2+ax+\

C.西/吃％=1

D.%1+2X2+3刍+4X4的取值范围是[2G,+OO)

13.已知函数/(x)=|行,则函数y=/(x)-3的零点为______.

[x+log2x,x>0

14.某种干细胞在培养过程中，每30分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这

种干细胞由1个培养成1024个需经过________小时.

【综合素养】

15.已知定义在R上的函数/(x)满足/(x)+/(-x)=0,且当xWO时,

f(l+x)=f(x),当xe(0,l)时，f(x)=x2,则函数尸(x)=(x—l)/(x)—1在[-4,5]

上有个零点.

16.“半斤不脸红，一斤不心跳，二斤倒不了！”酒驾者都有超乎寻常的“自

信”，显然他们已经忘记了酒精会使人神经麻痹、迟钝的真理.世界卫生组织的

事故调查显示，在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起，而造成

死亡的事故中50%以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成

为交通事故的第一大“杀手”.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶红酒后

酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且该图表示的函数模型

30log”fxH—1+8,04x4-

为了(、)=22.

80X2-°-5V+10,X>-

2

酒精含量f(z)[mg/100inL

80

68.............，

60：•e

••

40*：■■

••

■

20•：°.

••

°132345678时间”(h)

2

（1）求。的值；

（2）当酒精含量大于20mg/100mL是酒后驾车，则喝完一瓶红酒最少要经过

多长时间才可以安全驾车？（时间以整小时计算）

答案以及解析

1.答案：B

解析：对于任意XGR,函数f(x)满足f(x+4)+f(-x)=0,.•.函数的图像关于点

(2,0)对称，函数/(%)的零点关于直线x=2对称，函数/(x)的5个零点中有2

对关于直线x=2对称，中间的零点是2,.•.%+々+&+玉+%=2x4+2=10.故选

B.

2.答案：A

解析：设f(x)=2*+3x-4,则/(£j=23+3x；-4=0-

/(1)=2'+3-4=1>0,因为所以是方程2、+3x-4=0的实数根

所在的一个区间.又f(x)=2，+3x-4在R上单调递增，故方程2，+3x-4=0有唯一

的实数根.故选A.

3.答案：C

解析：令/(x)=lnx+3尤一15,

当x=4时,/(4)=ln4+3x4-15<0,

当x=5时，/(5)=ln5+3x5-15>0,

即八4)〃5)<0,又"X)单调递增，其图象是连续不断的，所以"X)的零点所在

区间为(4,5),所以为］=4,故选C.

4.答案：C

解析:Q/⑴<0,/(2)>0"(1.5)>0,.,.在区间(1,1.5)内函数f(x)=3'+3x-8存在

一个零点，该同学在第二次应计算的函数值为/［笥)="1.25).故选C.

5.答案：D

解析：本题考查二分法求方程近似值的过程.设对区间(10,12)至少二等分n次，

此时区间长度为2,则第〃次二等分后区间长为工，依题意得工<0.001,

n>log22000,10<log22000<11,所以〃Nil.

6.答案：A

解析：由题可得y⑼=L则y+3：：io,解得人=2,左=_1,所以

1/(1)=2.5,[1+3=4，

/(幻=罟=，由函数解析式可知，/(X)在[0,+00)上单调递增，且

/(3)=—31=双=7.5<8,f(4)=—匕=9>8,故该果树的高度超过8m,

1+3-'41+3-

至少需要4年.故选A.

7.答案：B

解析：假设至少需要经过的时间为x(单位：年)，由题意得两边同时

取以士为底的对数得log/^T>log,1,।1

•^>>og4-

5W15Jm353

因为log」=」^_=Tg3上一=4.8,所以x>4.8,即x=5.故选

53Ig4-lg521g2-(l-lg2)31g2-l

B.

8.答案：64,7

解析:Sn<—log2—>得2log,q24,log2—>6>

3"x3"xx

.-.^>64,即丝的最小值为64.

XX

小回而音上口230_22nnn_2lg3+320.48+3

IlI忌、为口〃4—log。---二—l°g)3000=—x---------4一x-----------h7.7,

3*0.013231g230.3

故该矩形纸最多能对折7次.

9答案:B

解析：当年份为〃时，短视频制作的资金为5000x(l+8%)e9(万元)，〃eN*,

“22019,由5000x(1+8%尸39>6900,两边同时取对数并整理得

(«-2019)lgl.08>lg6.9-lg5,

解得n>S84-Q70+2oi9®4.7+2019=2023.7,从而得〃22024,

0.03

所以资金投入开始超过6900万元的年份是2024年.故选B.

10.答案：A

解析：因为/(x)满足/(2-x)=/(x),所以f(l-x)=/(l+x),所以f(x)的图象关于

直线X=1对称，

令//(x)=―二，则Mx)的图象关于直线X=1对称，作出函数/(X)与〃(x)=——X

(x-1)-(x-1)

在［-3,5］上的图象，如图所示.

由图知〃(x)与f(x)的图象在区间［-3,5］上共有8个交点，且两两关于直线x=l对

11.答案：CD

解析:当X40时,f(x)<0恒成立,即仇x)在区间(ro,O］上无零点,所以当x>0

时，x|x-a|=2有三个正根，解得a=或a=x+2.当x>0时，y=x-2单调递

XXX

增，且x二eR,则方程a=有一个根，则方程a=x+2要有两个根，即

XXX

V—6+2=0有两个正数解，则卜="‘—〉。，解得心2立，故C、D项正确.

［xi+x2=a>0

12.答案：BC

解析：对于A选项，因为f(x)为偶函数且有4个零点，所以当x>0时/(x)有2

△=/—4>0,

个零点，故《-a=>。>2,故A错误；对于B选项，当x<0时,

——>0

2

-x>0,故/⑺=/(-幻=/+办+1,故B正确；对于C选项，由函数/(幻是偶函

数，%<毛<%3<%4可知X3%4=1，且芯=一%，X2=~X39故XRW/=(专%4)~=1，故C

正确；对于D选项，玉+2%+3毛+4儿=43+3Z=—+3儿，由工4>&>0，曰%4=1可

知国＞1,函数y='+3x在(1,+co)上单调递增，故工+3%w(4,+8),故D错误.故

xx4

选BC.

13.答案：-8和2

解析：令y=/(x)-3=0,得/(x)=3.

当时，令J-x=3,得％=—8；当x〉O时，/(x)=x+log2x,易知/(x)

在区间(0,+oo)上单调递增，又/(2)=3,所以x=2.

故函数y=/(幻-3的零点为-8和2.

14.