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文档简介
贵州省黔东南苗族侗族自治州东南州名校2024年高一数学第二学期期末质量检测试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.一组数据中的每一个数据都乘以3,再减去30,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是3.6,方差是9.9,则原来数据的平均数和方差分别是()A.11.2,1.1 B.33.6,9.9 C.11.2,9.9 D.24.1,1.12.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的()A.5 B.4 C.3 D.93.将函数的图像左移个单位,则所得到的图象的解析式为A. B.C. D.4.在平面直角坐标系中,,分别是轴和轴上的动点,若直线恰好与以为直径的圆相切,则圆面积的最小值为()A. B. C. D.5.已知向量,,若向量与的夹角为,则实数()A. B. C. D.6.设函数(为常实数)在区间上的最小值为,则的值等于()A.4 B.-6 C.-3 D.-47.已知曲线,如何变换可得到曲线()A.把上各点的横坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位长度B.把上各点的横坐标伸长到原来的倍,再向左平移个单位长度C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位长度D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位长度8.过点且与直线垂直的直线方程为()A. B.C. D.9.若向量,的夹角为60°,且||=2,||=3,则|2|=()A.2 B.14 C.2 D.810.已知等差数列的前项之和为,前项和为,则它的前项的和为()A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知,,若,则实数________.12.某公司有大量客户,且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是________.13.不等式的解集为________.14.已知是等比数列,且,,那么________________.15.在中,,,.若,,且,则的值为______________.16.的最大值为______.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图,在三棱柱中,各个侧面均是边长为的正方形,为线段的中点.(1)求证:直线平面;(2)求直线与平面所成角的余弦值;(3)设为线段上任意一点,在内的平面区域(包括边界)是否存在点,使,并说明理由.18.已知圆经过,,三点.(1)求圆的标准方程;(2)若过点N的直线被圆截得的弦AB的长为,求直线的倾斜角.19.如图,在四边形中,.(1)若为等边三角形,且是的中点,求.(2)若,,求.20.已知海岛在海岛北偏东,,相距海里,物体甲从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛移动,同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小时的速度移动.(1)问经过多长时间,物体甲在物体乙的正东方向;(2)求甲从海岛到达海岛的过程中,甲、乙两物体的最短距离.21.如图,在三棱锥中,点,分别是,的中点,,.求证:⑴平面;⑵.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】
根据新数据所得的均值与方差,结合数据分析中的公式,即可求得原来数据的平均数和方差.【详解】设原数据为则新数据为所以由题意可知,则,解得,故选:A.【点睛】本题考查了数据处理与简单应用,平均数与方差公式的简单应用,属于基础题.2、B【解析】
由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出,分析循环中各变量的变化情况,可得答案.【详解】当时,,,满足进行循环的条件;当时,,,满足进行循环的条件;当时,,,满足进行循环的条件;当时,,,不满足进行循环的条件;故选:B【点睛】本题主要考查程序框图,解题的关键是读懂流程图各个变量的变化情况,属于基础题.3、C【解析】
由三角函数的图象变换,将函数的图像左移个单位,得到,即可得到函数的解析式.【详解】由题意,将函数的图像左移个单位,可得的图象,所以得到的函数的解析式为,故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换,其中熟记三角函数的图象变换的规则是解答本题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.4、A【解析】
根据题意画出图像,数形结合,根据圆面积最小的条件转化为直径等于原点到直线的距离,再求解圆面积即可.【详解】根据题意画出图像如图所示,圆心为线段中点,为直角三角形,所以,作直线且交于点,直线与圆相切,所以,要使圆面积的最小,即使半径最小,由图知,当点、、共线时,圆的半径最小,此时原点到直线的距离为,由点到直线的距离公式:,解得,所以圆面积的最小值.故选:A【点睛】本题主要考查点到直线距离公式和圆切线的应用,考查学生分析转化能力和数形结合的思想,属于中档题.5、B【解析】
根据坐标运算可求得与,从而得到与;利用向量夹角计算公式可构造方程求得结果.【详解】由题意得:,,,解得:本题正确选项:【点睛】本题考查利用向量数量积、模长和夹角求解参数值的问题,关键是能够通过坐标运算表示出向量和模长,进而利用向量夹角公式构造方程.6、D【解析】试题分析:,,,当时,,故.考点:1、三角恒等变换;2、三角函数的性质.7、D【解析】
用诱导公式把两个函数名称化为相同,然后再按三角函数图象变换的概念判断.【详解】,∴可把的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位长度或先向左平移个单位,再把图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)可得的图象,故选:D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换,解题时首先需要函数的前后名称相同,其次平移变换与周期变换的顺序不同时,平移的单位有区别.向左平移个单位所得图象的函数式为,而不是.8、A【解析】
先根据求出与之垂直直线的斜率,再利用点斜式求得直线方程。【详解】由可得直线斜率,根据两直线垂直的关系,求得,再利用点斜式,可求得直线方程为,化简得,选A【点睛】当直线斜率存在时,直线垂直的斜率关系为9、A【解析】
由已知可得||,根据数量积公式求解即可.【详解】||.故选A.【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及运算,考查了利用数量积进行向量模的运算求解方法,属于基础题.10、C【解析】试题分析:由于等差数列中也成等差数列,即成等差数列,所以,故选C.考点:等差数列前项和的性质.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、2或【解析】
根据向量平行的充要条件代入即可得解.【详解】由有:,解得或.故答案为:2或.【点睛】本题考查了向量平行的应用,属于基础题.12、分层抽样.【解析】分析:由题可知满足分层抽样特点详解:由于从不同龄段客户中抽取,故采用分层抽样故答案为分层抽样.点睛:本题主要考查简单随机抽样,属于基础题.13、【解析】
将三阶矩阵化为普通运算,利用指数函数的性质即可求出不等式的解集.【详解】不等式化为,整理得,,,即,,即不等式的解集为故答案为:【点睛】此题考查了其他不等式的解法,指数函数的性质,以及三阶矩阵,是一道中档题.14、【解析】
先根据等比数列性质化简方程,再根据平方性质得结果.【详解】∵是等比数列,且,,∴,即,则.【点睛】本题考查等比数列性质,考查基本求解能力.15、【解析】,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理,利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量,利用向量的定比分点公式表示向量,计算数量积,选取基地很重要,本题的已知模和夹角,选作基地易于计算数量积.16、3【解析】
由余弦型函数的值域可求得整个函数的值域,进而得到最大值.【详解】,即故答案为:【点睛】本题考查含余弦型函数的值域的求解问题,关键是明确在自变量无范围限制时,余弦型函数的值域为.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)(3)存在点,使,详见解析【解析】
(1)设与的交点为,证明进而证明直线平面.(2)先证明直线与平面所成角的为,再利用长度关系计算.(3)过点作,证明平面,即,所以存在.【详解】(1)设与的交点为,显然为中点,又点为线段的中点,所以,平面,平面,平面.(2)平面,平面,,,平面,平面,平面,点在平面上的投影为点,直线与平面所成角的为,,,,.(3)过点作,又因为平面,平面,所以,平面,平面,平面,,所以存在点,使.【点睛】本题考查了立体几何线面平行,线面夹角,动点问题,将线线垂直转化为线面垂直是解题的关键.18、(1)(2)30°或90°.【解析】
(1)解法一:将圆的方程设为一般式,将题干三个点代入圆的方程,解出相应的参数值,即可得出圆的一般方程,再化为标准方程;解法二:求出线段和的中垂线方程,将两中垂线方程联立求出交点坐标,即为圆心坐标,然后计算为圆的半径,即可写出圆的标准方程;(2)先利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为,并对直线的斜率是否存在进行分类讨论:一是直线的斜率不存在,得出直线的方程为,验算圆心到该直线的距离为;二是当直线的斜率存在时,设直线的方程为,并表示为一般式,利用圆心到直线的距离为得出关于的方程,求出的值.结合前面两种情况求出直线的倾斜角.【详解】(1)解法一:设圆的方程为,则∴即圆为,∴圆的标准方程为;解法二:则中垂线为,中垂线为,∴圆心满足∴,半径,∴圆的标准方程为.(2)①当斜率不存在时,即直线到圆心的距离为1,也满足题意,此时直线的倾斜角为90°,②当斜率存在时,设直线的方程为,由弦长为4,可得圆心到直线的距离为,,∴,此时直线的倾斜角为30°,综上所述,直线的倾斜角为30°或90°.【点睛】本题考查圆的方程以及直线截圆所得弦长的计算,在求直线与圆所得弦长的计算中,问题的核心要转化为弦心距的计算,弦心距的计算主要有以下两种方式:一是利用勾股定理计算,二是利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离.19、(1)(2)【解析】
(1)先由题意,结合平面向量基本定理,用表示出,再由向量的数量积运算,即可得出结果;(2)先由向量数量积的运算,求出,再由,结合题中条件,即可得出结果.【详解】解:(1)为等边三角形,且,又是中点,又(2)由题意:,,,又【点睛】本题主要考查向量数量积的运算,熟记平面向量基本定理,以及向量数量积的运算法则即可,属于常考题型.20、(1)小时;(2)海里.【解析】
试题分析:(1)设经过小时,物体甲在物体乙的正东方向,因为小时,所以.则物体甲与海岛的距离为海里,物体乙与海岛距离为海里.在中由正弦定理可求得的值.(2)在中用余弦定理求,再根据二次函数求的最小值.试题解析:解:(1)设经过小时,物体甲在物体乙的正东方向.如图所示,物体甲与海岛的距离
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