（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 立体几何初步第51课直线与平面、平面与平面的垂直 试题

第51课直线与平面、平面与平面的垂直

（本课时对应学生用书第页）

自主学习回归教材

激活思修

1.（必修2P47练习3改编）已知平面a，平面B,直线/，平面B,那么直线/与平面a的位置关

系为.

【答案】平行或线在面内

【解析】容易忽略线在面内的情况.

2.（必修2P37习题6改编）如图，平面ABC_L平面ABD,ZACB=90°,CA=CB,ZXABD是正三角形，0

为AB的中点，则图中直角三角形的个数为.

【答案】6

【解析】由题可知△ABC,AACO,△BCO,AOAD,AOBD,ZSOCD是直角三角形.

3.（必修2P37习题7改编）如图，AB为圆0的直径，C为圆0上的一点，ADL平面ABC,AEJ_BD于点

E,AFLCD于点F,则BD与EF所成的角的大小为.

【答案】900

【解析】可证BDJ_平面AEF.

4.(必修2P47练习5改编)如图，已知直线ABJ.a,垂足为B,AC是平面a的斜线，CDa,

CD1AC,则图中互相垂直的平面有对.

(第4题)

【答案】3

【解析】平面ABCJ_a,平面ABDJ_a,平面ABC_L平面ACD.

1.直线与平面垂直的定义

如果一条直线a与一个平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面a,记作

a±a,直线a叫作平面a的垂线,平面a叫作直线a的垂面,垂线和平面的交点称为垂足.

2.直线与平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

3.直线与平面垂直的性质定理

如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

4.(1)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的

两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.

(3)二面角的平面角的大小范围：［0。，180。］.

(4)常用作二面角的平面角的方法：定义法、垂面法.

5.两平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角,

我们就说这两个平面互相垂直.

6.两个平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

7.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直

线垂直于另一个平面.

【要点导学】

要点导学各个击破

息令类斛折

直线与平面的垂直关系

例1如图，在四棱锥P-ABCD中,例_1_平面ABCD,AB1AD,AC±CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E

是PC的中点.

（例1）

(1)求证：CD1AE；

(2)求证：PDL平面ABE.

【思维引导】(1)要证CD_LAE,可先证CDJ_平面PAC,要证CD,平面PAC,可先确定关系

CD_LPA与CDJ_AC；（2）要证PDJ_平面ABE,可证PD_LAE与PD_LAB.

【解答】（1）在四棱锥P-ABCD中，

因为PAJ_底面ABCD,

CD平面ABCD,故PA_LCD.

因为AC_LCD,PAOAC=A,

PA平面PAC,AC平面PAC,

所以CD_L平面PAC.

而AE平面PAC,所以CD_LAE.

（2）由PA=AB=BC,

ZABC=60°,可得AC=PA.

因为E是PC的中点，所以AELPC.

由（1）知，AE±CD,且PCnCD=C,

所以AEL平面PCD.

而PD平面PCD,所以AE_LPD.

因为PA_L底面ABCD,AB平面ABCD,

所以PA_LAB.

又因为AB_LAD,PAHAD=A,

所以AB平面PAD,

又PD平面PAD,所以AB_LPD.

又因为ABCAE=A,

AB平面ABE,AE平面ABE,

所以PD_L平面ABE.

【精要点评】在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，

应考虑线与线、线与面所在的平面特征，以顺利实现证明需要的转化.其中证明线面垂直的方

法有：

①利用线面垂直的定义；

②利用线面垂直的判定定理；

③若a_La,a//b,则儿La；

④利用面面平行的性质定理，

即a〃B,a_Laa_LB；

⑤利用面面垂直的性质定理：a_LB,aDB=/,aa,allai.P.

【高频考点•题组强化】

1.（2015•南通期末改编）如图,在直三棱柱ABC-ABC中,AC1BC,M是棱C3上的一点.求证:

BC1AM.

A

（第1题）

【解答】因为ABC-ABC是直三棱柱，所以CC」平面ABC.

因为BC平面ABC,

所以CG_LBC.

因为ACJ_BC,CCDAC=C,CG,AC平面ACCA,

所以BCJ"平面ACCA.

因为AM平面ACCAi,

所以BC_LAM.

2.（2015•苏州期末改编）如图（1），在正方体ABCD-ABCD中，求证：A£_L平面GBD.

（第2题⑴）

【解答】如图（2）,连接AC,

则AC_LBD.

在正方体ABCD-ABCD中，AA」平面ABCD,BD平面ABCD,所以AAi_LBD.

又因为AAiDAC=A,

所以BD_L平面AAC

因为A£平面AAiC,

所以A£_LBD.

同理可证A】C_LBG.

又因为BDABG=B,BD,BG平面3BD,所以A£_L平面GBD.

3.如图（1）,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB：BC=1：,0,F分别为CD,BC的中点,

且E0J_平面ABCD,求证：AF1EE.

【解答】如图（2）,连接OF,A0,设AB=2a,则BC=2a.

因为四边形ABCD为矩形，

（第3题⑵）

所以A0==3a.

同理，AF=a,0F=a.

S^AF2+0F2=9a=A02,

所以△AFO为直角三角形，

所以AF_LOF.

因为EO_L平面ABCD,

AF平面ABCD,

所以EO_LAF.

因为OFnOE=O,OF,0E平面OEF,

所以AF_L平面OEF.

又EF平面OEF,所以AFJ_EF.

4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,ZDAB=60°,AB=2AD,PD_L底面ABCD,

求证：PA±BD.

P

【解答】因为NDAB=60°,

AB=2AD,

由余弦定理得BD=AD,

从而BDUADJAB，故BD_LAD.

又PD_L底面ABCD,BD平面ABCD,所以BD_LPD.

又因为ADCIPD=D,AD平面PAD,PD平面PAD,

所以BD_L平面PAD.

又PA平面PAD,故PA_LBD.

5.如图，AB为圆0的直径，点E,F在圆。上，且BC_LBE,ZABC=90°,求证：AF_L平面CBF.

（第5题）

【解答】因为NABC=90°,

所以BC_LAB.

又因为BCJ_BE,ABnBE=B,

AB平面ABEF,

BE平面ABEF,

所以BC_L平面ABEF.

又因为AF平面ABEF,所以BC_LAF.

因为AB为圆0的直径，所以AF_LBF.

又因为BFCIBC=B,BF平面CBF,BC平面CBF,

所以AF_L平面CBF.

平面与平面的垂直关系

例2如图(1),S为平面ABC外一点，SA_L平面ABC,平面SAB_L平面SBC.

(例2⑴)

(1)求证：AB1BC；

(2)若AF_LSC于点F,AE_LSB于点E,求证：平面AEF_L平面SAC.

【思维引导】由线面垂直，面面垂直的性质，推导线线垂直；而要证明面面垂直，一般

从现有直线中寻找平面的垂线.

【解答】⑴如图⑵，作AEJ_SB于点E.

(例2(2))

因为平面SABJ_平面SBC,

平面SABA平面SBC=SB,

AE平面SAB,

所以AE_L平面SBC.

因为BC平面SBC,

所以AE_LBC.

因为SA_L平面ABC,

BC平面ABC,所以SA_LBC.

又因为AECSA=A,

AE平面SAB,SA平面SAB,

所以BC_L平面SAB.

又AB平面SAB,所以AB_LBC.

（2）由（1）可知AE_L平面SBC,

又SC平面SBC,所以AE_LSC.

又因为SC_LAF,AEAAF=A,

AE平面AEF,AF平面AEF,

所以SC,平面AEF.

又SC平面SAC,

所以平面AEF,平面SAC.

【精要点评】（D要证面面垂直，则需先证线面垂直；要证线面垂直，则需证线线垂直.

（2）在有关面面垂直的问题中，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转

化为线面垂直，进而转化为线线垂直，因此熟练掌握“线面垂直”与“面面垂直”间的条件转

化是解决这类问题的关键.

变式1（2015•苏北四市期末改编）如图，在三棱锥P-ABC中，已知平面PBCL平面ABC.若

AB±BC,CP1PB,求证：CP±PA.

（变式1）

【解答】因为平面PBCJ_平面ABC,平面PBCC平面ABC=BC,AB平面ABC,AB1BC,所以

AB_L平面PBC.

因为CP平面PBC,所以CP_LAB.

又因为CP_LPB,且PBCAB=B,

AB,PB平面PAB,

所以CP_L平面PAB.

又因为PA平面PAB,所以CP_LPA.

变式2（2015•常州期末改编）如图（1）,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD_L

平面ABCD,PB=PD,PA1PC,CD1PC,0,M分别是BD,PC的中点，连接0M.求证：0M_L平面PCD.

p

(变式2(1))

【解答】如图(2),连接AC,P0.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以0为AC的中点.

在△PAC中，因为0,M分别是AC,PC的中点,

所以0M〃PA.

(变式2(2))

因为0是BD的中点,PB=PD,

所以P0_LBD.

又因为平面PBD_L平面ABCD,平面PBDA平面ABCD=BD,P0平面PBD,

所以P0_L平面ABCD.

因为CD平面ABCD,

从而P0_LCD.

又因为CDJ_PC,PCnP0=P,PC平面PAC,P0平面PAC,所以CD_L平面PAC.

因为0M平面PAC,所以CD_LOM.

因为PAJJ>C,0M/7PA,所以OM_LPC

又因为CD平面PCD,PC平面PCD,CDnPC=C,

所以OMJ_平面PCD.

线面垂直关系的探究问题

例3如图，在直四棱柱ABCD-ABCD冲，DB=BC,DB_LAC,点M是棱BBi上一点.

D.C,

（例3）

(1)求证：MD1AC；

(2)试确定点M的位置，使得平面DMG_L平面CCDD.

【思维引导】(1)通过证明ACJL平面BBDD,来证明AC_LDM；(2)通过构造与平面CCDD垂

直的直线，进行平移寻找所求的点的正确位置.

【解答】⑴连接BD,因为BB」平面ABCD,AC平面ABCD,所以BB」AC.

又因为BD_LAC,且BDCBB尸B,BD,BBi平面BBDD”所以AC_L平面BBD。.

而MD平面BBDD”所以MDAC.

(2)当点M为棱BBi的中点时，可使得平面DMGL平面CCDD.

取DC的中点N,DC的中点N”连接NNi交D3于0,连接0M.

因为N是DC的中点，BD=BC,

所以BN_LDC.

又因为平面ABCDn平面DCCD=DC,

平面ABCD_L平面DCGD”

所以BN_L平面DCCD.

又因为点0是NNi的中点，

所以BM〃0N,且BM=0N,

即四边形BM0N是平行四边形，

所以BN〃0M,

所以0MJ_平面CCDD.

又因为0M平面DM3,

所以平面DMC」平面CCDD.

【精要点评】探求符合要求的点或线的问题时，可以先假设存在，即增加条件后再证

明；或通过先构造平行或垂直的特殊位置上的点或线，通过对其进行平移，来寻找正确的结

果，然后再反过来证明.

变式（2014•苏州模拟）如图（1）,边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互

相垂直，M,Q分别为PC,AD的中点.

（变式（D）

（1）求证：PA〃平面MBD.

（2）在线段AB上是否存在一点N,使得平面PCN,平面PQB?若存在，试指出点N的位置，并

证明你的结论；若不存在，请说明理由.

【解答】⑴如图⑵,连接AC交BD于点0,连接M0.

（变式⑵）

由四边形ABCD为正方形，知点0为AC的中点，又因为M为PC的中点,

所以MO〃PA.

因为M0平面MBD,PA平面MBD,

所以PA〃平面MBD.

⑵存在点N,当N为AB的中点时，平面PCNL平面PQB.证明如下：

因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，

所以BQ_LNC.

因为Q为AD的中点，4PAD为正三角形，

所以PQ_LAD.

因为平面PAD_L平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,PQ平面PAD,

所以PQ_L平面ABCD.

又因为NC平面ABCD,所以PQ_LNC.

又因为BQAPQ=Q,BQ,PQ平面PQB,

所以NC_L平面PQB.

因为NC平面PCN,

所以平面PCN_L平面PQB.

通檐也依

1.（2015•南京、盐城、徐州二模）己知a,8表示两个不重合的平面，m,〃表示两条不同的直

线，给出下列命题：

①若卬〃a,n//B,m\.n,则aJ.B;

②若a〃6,m//a,n//P,则〃〃n；

③若a,nX.B,则aJ.B;

④若a_L6,mA.a,z?±P,则/_L〃.

其中为真命题的是.（填序号）

【答案】③④

2.在空间中，给出下列四个命题：

①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；

②若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；

③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

④若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线.

其中正确的命题是.（填序号）

【答案】①④

【解析】易知①④正确.对于②，过这两点的直线还可能与平面相交；对于③，垂直于同一条

直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面.

3.如图，在四棱锥P-ABCD中,AB〃CD,AB1AD,CD=2AB,平面PAD_L底面ABCD,PA±AD,E和F

分别是CD和PC的中点.

c

（第3题）

（1）求证：PAJ_底面ABCD；

（2）求证：平面BEF_L平面PCD.

【解答】（1）因为平面PADJ_平面ABCD,平面PADC1平面ABCD=AD,PA±AD,PA平面PAD,

所以PA_L底面ABCD.

（2）因为E为CD的中点，AB=CD,所以AB=DE,

又因为AB〃DE,所以四边形ABED为平行四边形.

因为AB_LAD,所以平行四边形ABED为矩形，

所以DE_LAD.

由（1）知PAJ_底面ABCD,CD平面ABCD,

所以PA_LCD.

又ADDAP=A,AD,AP平面PAD,

所以CD_L平面PAD.

因为PD平面PAD,所以CDJ_PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点,

所以PD〃EF,所以CD_LEF,又CD_LBE,BEAEF=E,BE,EF平面BEF,

所以CD_L平面BEF.

又因为CD平面PCD,

所以平面BEFJ_平面PCD.

4.（2014•江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知

PA1AC,PA=6,BC=8,DF=5.

(第4题)

(D求证：直线PA〃平面DEF；

(2)求证：平面BDE_L平面ABC.

【解答】(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE〃PA.

又因为PA平面DEF,DE平面DEF,

所以直线PA〃平面DEF.

(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点，PA=6,BC=8,所以DE=PA=3,EF=BC=4.

又因为DF=5,

所以DF2=DE?+EF2,

所以NDEF=90°,即DE_LEF.

XPA1AC,DE〃PA,所以DEJLAC

因为ACAEF=E,AC平面ABC,EF平面ABC,

所以DE_L平面ABC.

又因为DE平面BDE,

所以平面BDEJ_平面ABC.

【融会贯通】

融会贯通能力提升

(2015•江苏卷)如图，在直三棱柱ABOAiBC中，己知AC_LBC,BC=CCI(设ABi的中点为D,

BiCnBC,=E.

(1)求证：DE〃平面AACC；

(2)求证:BC.IAB,.

【思维引导】

【规范解答】(D由题意知E为BQ的中点，

先.明.线平分

又D为ABi的中点，所以..............2分

又因为DE平面AACC,AC平面AACC,

所以DE〃平面AACC..................................................5分

(2)因为三棱柱ABC-ABC是直三棱柱，所以CC_L平面ABC.

因为AC平面ABC,所以AC_LCC.

规范的线面垂直

又因为AC_LBC,CG平面BCCB,BC平面BCCB,BCACOC,

所以AC_L平面BCCB.

又因为BG平面BCCB,所以BCAC................................9分

因为BC=CG,所以矩形BCCB是正方形，因此BC_LBC

先证明线面垂直,

再一丽面面垂直

因为AC,B£平面BiAC,ACCBC=C,所以BG_L平面BAC..........13分

又因为ABi平面RAC,所以BC」ABi..............................14分

【精要点评】本题属于中档题，难度不大，以考查基础为主，如考查空间中点、线、面

的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中要注意问

题的合理转化.规范表达很重要.

趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第101102页.

【检测与评估】

第51课直线与平面、平面与平面的垂直

一、填空题

1.在一个平面内，和这个平面的一条斜线垂直的直线有条.

2.已知四边形ABCD为梯形，AB〃CD,/为空间一直线，则“，垂直于两腰AD,BC”是垂直于

两底AB,DC”的条件.

3.（2014•辽宁卷）己知〃，〃表示两条不同的直线，a表示平面.下列说法中正确的

是.（填序号）

①若勿〃a,n//a,则0〃n；

②若z»_La,na,则R_L〃；

③若a,m_Ln,则〃〃a；

④若w〃a,mA-n,则〃J.a.

4.已知两条不同的直线a,6与三个不重合的平面a,J3,丫，那么能使a_LB的条件

是.（填序号）

①aj_y,P±y；②aCB=a,b±a,66；③a〃8,a//a；®a//a,a_LB.

5.（2014•盐城一，调）已知三个不重合的平面a,B,y,两条不同的直线1,0满足a_L丫，

YAa=/»,yA0=7,IVm,有下列条件：①WJ_B；@7±a；③B_LY:④aJ.B.其中由

上述条件可推出的结论有.（填序号）

6.（2014•常州期末）给出下列四个命题：

①“直线a〃直线6”的必要不充分条件是“a平行于6所在的平面”：

②“直线1,平面a”的充要条件是“/垂直于平面a内的无数条直线”；

③“平面a〃平面B”是“a内有无数条直线平行于平面B”的充分不必要条件；

④，，平面aJ_平面B”的充分条件是“有一条与a平行的直线/垂直于P”.

上述命题中，所有真命题为.（填序号）

7.（2015•泰州期末）若a,B是两个相交平面，则下列命题中正确的是.（填序号）

①若直线用，a,则在平面B内，一定不存在与直线山平行的直线；

②若直线〃J.a,则在平面B内，一定存在无数条直线与直线雇直；

③若直线0a,则在平面8内，不一定存在与直线屣直的直线；

④若直线〃a,则在平面B内，一定存在与直线遥直的直线.

8.如图，四棱锥V-ABCD的底面为矩形，侧面VBAJL底面ABCD,VBJ_平面VAD,则平面VBC与平面

VAC的位置关系为.

（第8题）

二、解答题

9.（2015•扬州期末改编）如图，在三棱锥P-ABC中,D为AB的中点.若PA=PB,且锐角三角形PCD

所在平面与平面ABC垂直，求证：AB1PC.

p

（第9题）

10.（2015•北京卷）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VABJ_平面ABC,AC=BC,0,M分别为AB,VA

的中点.

（1）求证:VB〃平面M0C；

（2）求证：平面M0C_L平面VAB.

（第10题）

11.（2014•南京、盐城二模）如图,在正三棱柱ABC-ABG中，E,F分别为BB”AC的中点.

⑴求证：BF〃平面AiEC；

（2）求证：平面AiEC_L平面ACCA.

（第11题）

三、选做题（不要求解题过程，直接给出最终结果）

12.如图，在四棱锥P-ABCD中，PDJ_底面ABCD,底面ABCD为正方形，PD=DC,E,F分别是AB,

PB的中点.

(1)求证:EF±CD；

(2)在平面PAD内求一点G,使GFJL平面PCB,并证明你的结论.

【检测与评估答案】

第51课直线与平面、平面与平面的垂直

1.无数

2.充分不必要

3.②【解析】①中0,〃可以平行、相交或异面；③中〃〃a或〃④中直线〃与平面a的位

置关系不确定：只有②正确.

4.④【解析】由面面垂直的定义及判定定理可得.

5.②④【解析】由条件知丫Ca=m,ly,则根据面面垂直的性质定理有

lA-a,即②成立；又根据面面垂直的判定定理有。，尸，即④成立.

6.③④【解析】①是既不充分也不必要条件；②是充分不必要条件，即“直线平面

可得“/垂直于平面。内的无数条直线”，反之，不成立；③④正确.

7.②④【解析】对于①，若两个平面互相垂直，显然在平面£内存在与直线加平行的直线,

故①不正确；对于②，ka,定与两平面的交线垂直，有一条直线就有无数条直线，故②

正确；对于④，若卬与两个平面的交线平行或〃为交线，显然存在，若如与交线相交，设交点为

A,在直线W上任取一点6(异于点/),过点晌平面B引垂线，垂足为C,则直线比11.平面在

平面/内作直线/垂直于4G可以证明平面49G则故④正确