人教版高中数学选择性必修一导学案全套

人教版高中数学选择性必修一导学案全套1.1空间向量及其运算【学习目标】1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；2.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；3.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.【重点和难点】重点：理解空间向量的概念难点：掌握空间向量的运算及其应用【知识梳理】一、温故知新1.平面向量的概念名称定义备注向量既有又有的量。向量的大小叫做向量的长度或模平面向量是自由向量零向量长度等于0的向量，其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量与非零向量共线的单位向量为平行向量(或共线向量)方向的向量0与任一向量平行（或共线）相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为2.向量的线性运算（1）加法：是指求两个向量和的运算；法则（几何意义）：三角形法则、平行四边形法则。（2）减法：是指求与的相反向量的和的运算叫做与的差；法则（几何意义）：三角形法则。（3）数乘：是指求实数与向量的积的运算；法则（几何意义）：①；②当时，与的方向；③当时，与的方向；④四时，=.3.共线向量定理向量与共线的充要条件是，当且仅当存在唯一实数λ，使得。4.平面向量基本定理如果是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量，一对实数使，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的一组基底。结论：（1）若向量，不共线，则的等价条件是；（2）三终点A,B,C共线存在实数使得=，且5.两个向量的夹角（1）定义：一直两个非零向量，作，则∠叫做与的夹角。（2）范围：夹角的取值范围是。①当与同向时，=；②反向时，=；③当与垂直时，=，并记作⊥。6.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件（1）与的夹角是锐角·0且与不共线；（2）与的夹角是钝角·0且与不共线。7.平面向量的数量积（1）定义：·=，规定·=；（2）坐标表示：·=，其中；（3）运算律①交换律：·=；②结合律·=；③数乘：·=.（4）在方向上的投影是；（5）·的几何意义：数量积·等于的模||与在的方向上的投影的乘积。8.向量数量积的性质设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则（1）==；（2）⊥；（3）·=；（4）|·|≤||·||.【学习过程】一、情境导学章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始。二、探究新知知识点一空间向量的概念思考1.类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq\o(AB,\s\up14(→))，其模记为__________.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫_______，记为0单位向量______的向量叫单位向量相反向量与向量a长度_____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二空间向量的加减运算及运算律思考2.下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.eq\o(OB,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝a＋beq\o(CA,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14(→))＝a－beq\o(OB,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＝a＋b(2)空间向量加法交换律a＋b＝b＋a空间向量加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)知识点三空间向量的数乘运算思考3.实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝____.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝______；②λ(a＋b)＝______；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).知识点四共线向量与共面向量思考4.回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)使__________点P位于平面ABC内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使eq\o(AP,\s\up14(→))＝___________对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋__________做一做1.如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.(1)eq\o(AA,\s\up14(→))′－eq\o(CB,\s\up14(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(B′C,\s\up14(→))′.例1.已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．＝k，＝k，＝k，＝k．求证：四点E，F，G，H共面变式训练1．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则（）A．四点O，A，B，C必共面B．四点P，A，B，C必共面C．四点O，P，B，C必共面D．五点O，P，A，B，C必共面知识点五空间向量数量积的概念思考5.如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量eq\o(OA,\s\up14(→))与eq\o(BC,\s\up14(→))的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝______交换律a·b＝_____分配律a·(b＋c)＝_________(3)空间向量的夹角①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，则______叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.②范围：〈a，b〉∈_______.特别地：当〈a，b〉＝___时，a⊥b.两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔_______②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________.特别地，a·a＝____或|a|＝③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝_______④|a·b|≤|a|·|b|例2．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，（1）求AC′的长；（如图所示）（2）求与的夹角的余弦值．变式练习2.(1)如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，则对角线的长为.（2）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为.例3．已知：m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n．求证：l⊥α【当堂检测】1.下列命题中，假命题是()A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等2.在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.33.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是()A.a＝b B.a＋b为实数0C.a与b方向相同 D.|a|＝34.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→)))＋eq\o(CC,\s\up14(→))1；②(eq\o(AA,\s\up14(→))1＋eq\o(A1D,\s\up14(→))1)＋eq\o(D1C,\s\up14(→))1；③(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BB,\s\up14(→))1)＋B1C1；④(eq\o(AA,\s\up14(→))1＋eq\o(A1B,\s\up14(→))1)＋eq\o(B1C,\s\up14(→))1.其中运算的结果为eq\o(AC,\s\up14(→))1的有___个.5.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up14(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up14(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up14(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝____.6.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.7.BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.【课堂小结】1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键．参考答案：知识点一空间向量的概念思考1.答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.(1)方向；大小；长度；模；长度；|a|或|eq\o(AB,\s\up14(→))|(2)零向量；模为1；相等；相反；相同；相等；同向；等长知识点二空间向量的加减运算及运算律思考2.答案如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，则eq\o(OC,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＝a＋b，eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＝b－a.知识点三空间向量的数乘运算思考3.答案λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.(1)相反；|λ||a|；(2)(λμ)a；λa＋λb；λ1a＋λ2a知识点四共线向量与共面向量思考4.答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.平行或重合；a＝λb；方向向量；eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋ta；eq\o(AB,\s\up14(→))惟一；p＝xa＋yb；xeq\o(AB,\s\up14(→))＋yeq\o(AC,\s\up14(→))；xeq\o(AB,\s\up14(→))＋yeq\o(AC,\s\up14(→))做一做1.解（1）eq\o(AA′,\s\up14(→))－eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\o(AA′,\s\up14(→))－eq\o(DA,\s\up14(→))＝eq\o(AA′,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AD′,\s\up14(→)).（2）eq\o(AA′,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(B′C′,\s\up14(→))＝(eq\o(AA′,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→)))＋eq\o(B′C′,\s\up14(→))＝eq\o(AB′,\s\up14(→))＋eq\o(B′C′,\s\up14(→))＝eq\o(AC′,\s\up14(→)).向量eq\o(AD′,\s\up14(→))、eq\o(AC′,\s\up14(→))如图所示.例1.【分析】（1）可画出图形，根据便可得到，从而得出EF∥AB，同理HG∥DC，且有EF＝HG，这便可判断四边形EFGH为平行四边形，从而得出四点E，F，G，H共面；解：（1）证明：如图，∵；∴；EF∥AB，且EF＝|k|AB；同理HG∥DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；∴EF∥HG，且EF＝HG；∴四边形EFGH为平行四边形；∴四点E，F，G，H共面；变式练习1.【答案】B【解析】由已知得，而，四点、、、共面．故选：．知识点五空间向量数量积的概念思考5.解∵eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))，∴eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(AB,\s\up14(→))＝|eq\o(OA,\s\up14(→))||eq\o(AC,\s\up14(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))〉－|eq\o(OA,\s\up14(→))||eq\o(AB,\s\up14(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(AB,\s\up14(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2).求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.(2)数量积的运算律a·b＋a·c；λ(a·b)；b·a(3)空间向量的夹角∠AOB；[0，π]；eq\f(π,2)；eq\r(a·a)；eq\f(a·b,|a||b|)；a·b＝0；|a|·|b|；－|a|·|b|；|a|2例2．【分析】（1）可得＝＝，由数量积的运算可得，开方可得；（2）由（1）可知，又可求和，代入夹角公式可得．解：（1）可得＝＝，＝＝+2（）＝42+32+52+2（4×3×0+4×）＝85故AC′的长等于＝（2）由（1）可知＝，＝故＝（）•（）＝＝＝又＝＝＝＝5故与的夹角的余弦值＝＝变式练习2（1）【答案】【解析】在平行六面体中中，因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，所以，所以，所以，，所以.（2）【答案】【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1，则，，.，，所以而，，所以.例3．解：设直线m的方向向量为，直线n的方向向量为，直线l的方向向量为，∵m，n是平面α内的两条相交直线∴与是平面α内的两个不共线向量，设平面α内的任一向量为，由平面向量基本定理，存在唯一实数λ，μ，使＝λ+μ又∵l⊥m，l⊥n，∴＝0，＝0∴•＝＝λ+μ＝0∴∴直线l垂直于平面α内的任意直线，由线面垂直的定义得：l⊥α达标检测1.答案：D解析容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.2.答案A解析根据空间向量的基本概念知四个命题都不对.3.答案D解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.4.答案4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→)))＋eq\o(CC,\s\up14(→))1＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(CC,\s\up14(→))1＝eq\o(AC,\s\up14(→))1；②(eq\o(AA,\s\up14(→))1＋eq\o(A1D,\s\up14(→))1)＋eq\o(D1C,\s\up14(→))1＝eq\o(AD,\s\up14(→))1＋eq\o(D1C,\s\up14(→))1＝eq\o(AC,\s\up14(→))1；③(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BB,\s\up14(→))1)＋eq\o(B1C,\s\up14(→))1＝eq\o(AB,\s\up14(→))1＋eq\o(B1C,\s\up14(→))1＝eq\o(AC,\s\up14(→))1；④(eq\o(AA,\s\up14(→))1＋eq\o(A1B,\s\up14(→))1)＋eq\o(B1C,\s\up14(→))1＝eq\o(AB,\s\up14(→))1＋eq\o(B1C,\s\up14(→))1＝eq\o(AC,\s\up14(→))1.所以4个式子的运算结果都是eq\o(AC,\s\up14(→))1.5.答案－8解析eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(CD,\s\up14(→))－eq\o(CB,\s\up14(→))＝e1－4e2，eq\o(AB,\s\up14(→))＝2e1＋ke2，又A、B、D三点共线，由共线向量定理得eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(BD,\s\up14(→))，∴eq\f(1,2)＝eq\f(－4,k).∴k＝－8.6.答案6解析由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.7.解如图所示.∵eq\o(BA,\s\up14(→))1＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BB,\s\up14(→))1，eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))，∴eq\o(BA,\s\up14(→))1·eq\o(AC,\s\up14(→))＝(eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BB,\s\up14(→))1)·(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→)))＝eq\o(BA,\s\up14(→))·eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BB,\s\up14(→))1·eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BB,\s\up14(→))1·eq\o(BC,\s\up14(→)).因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝0，eq\o(BB,\s\up14(→))1·eq\o(AB,\s\up14(→))＝0，eq\o(BB,\s\up14(→))1·eq\o(BC,\s\up14(→))＝0且eq\o(BA,\s\up14(→))·eq\o(AB,\s\up14(→))＝－a2.∴eq\o(BA,\s\up14(→))1·eq\o(AC,\s\up14(→))＝－a2.又eq\o(BA,\s\up14(→))1·eq\o(AC,\s\up14(→))＝|eq\o(BA,\s\up14(→))1|·|eq\o(AC,\s\up14(→))|cos〈eq\o(BA,\s\up14(→))1，eq\o(AC,\s\up14(→))〉，又∵〈eq\o(BA1,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))〉∈[0，π]，∴〈eq\o(BA,\s\up14(→))1，eq\o(AC,\s\up14(→))〉＝120°，又∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴异面直线BA1与AC成60°角.∴cos〈eq\o(BA,\s\up14(→))1，eq\o(AC,\s\up14(→))〉＝eq\f(－a2,\r(2)a·\r(2)a)＝－eq\f(1,2).1.2空间向量基本定理【学习目标】1.掌握空间向量基本定理.2.了解空间向量正交分解的含义.3.会用空间向量基本定理解决有关问题.【重点和难点】重点：掌握空间向量基本定理难点：用空间向量基本定理解决有关问题.【知识梳理】一、温故知新1．平面向量基本定理及其证明，其证明过程为：①平移：将平移成同一始点的向量．②平行投影：过平移后所得向量的终点分别作平移后所在直线的平行线与这两条直线分别相交，得在方向上的分向量．③依据共线向量定理，分别用表示在方向上的分向量．④求分向量的和，代入，定理得证．平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面内两个不共线向量来线性表示．【学习过程】一、情境导学我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？二、探究新知知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？因此，如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p=xi+yj+zk

。我们称xi,y探究如图1.2-1，设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点o，对于任意一个空间向量p=OP,设OQ为OP在i,j所确定的平面上的投影向量，则OP=OQ+QP,又向量QP，k共线，因此存在唯一实数z，使得QP+zk，从而OP=OQ+zk

，而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得OQ=xi+yj.从而，OP=空间向量基本定理1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.2.基底:我们把定理中的a,b,c面的向量都可以构成空间的一个基底.3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用i,j由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.定理辨析1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.做一做1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)空间向量的基底是唯一的.()(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.()(3)已知A,B,M,N是空间四点,若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.()(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.()2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1+e2-e3,试判断{OA,OB解:设OA=xOB+yOC,则e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),即e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,∴y-3即不存在实数x,y,使得OA=xOB+yOC,所以OA,OB所以{OA,OB典例解析例1.如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点．（1）用向量，，表示和．（2）若四面体OABC的所有棱长都等于1，求•的值．跟踪训练1.如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up14(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.(1)eq\o(AP,\s\up14(→))；(2)eq\o(AM,\s\up14(→))；(3)eq\o(AN,\s\up14(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up14(→)).反思感悟用基底表示空间向量的解题策略1.空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.例2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=(1)证明:EF⊥B1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦值.思路分析选择一个空间基底,将EF,B1C,C1G用基向量表示延伸探究：设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MF∥B1C.归纳总结：应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).【当堂检测】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是()A.AB,ACC.D1A2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CC1D1D的中心,且AF=AD+mAB-nAA1,则m,A.12,-12 B.-12,-12C.3.下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等4.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD中点,若PA=a,PB=b,PC=c,则BE=.

5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.6．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【课堂小结】1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键．【参考答案】做一做1.答案:(1)×(2)√(3)√(4)√2.答案:C解析:如图所示,令a=AB,b=AA1,c=AD,则x=AB1,y=AD1,z=AC,a+由于A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故选C.3.解:设OA=xOB+yOC,则e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),即e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,∴y-3即不存在实数x,y,使得OA=xOB+yOC,所以OA,OB所以{OA,OB典例解析例1.解：（1）＝，＝，∴＝++＝++＝+（）+（）＝﹣++，∴＝＝+＝﹣++＝++．＝＝+＝﹣++＝++．（2）＝（++）•（++）＝2+•+++2++++2＝++++++++＝跟踪训练1.解连接AC，AD′.(1)eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(AA′,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(AA′,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c).(2)eq\o(AM,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))′)＝eq\f(1,2)(a＋2b＋c)＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)eq\o(AN,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up14(→))′＋eq\o(AD,\s\up14(→))′)＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(AA,\s\up14(→))′)＋(eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(AA,\s\up14(→))′)]＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)eq\o(AQ,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(CQ,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(4,5)eq\o(CA,\s\up14(→))′＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA,\s\up14(→))′－eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA,\s\up14(→))′＝eq\f(1,5)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→)))＋eq\f(4,5)eq\o(AA,\s\up14(→))′＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.例2.(1)证明:设DA=i,DC=j,DD1=则{i,j,k}构成空间的一个正交基底.所以EF=ED+DF=-12k+12(DA+AB)=12i+1所以EF·B1C=12i+12j-12k·(-i-k)=-12(2)解:EF=12i+12j-12k,C1|EF|2=12i+12j-12k2=14|i|2|EF|=3,|C1G|2=-k-13j2=|k|2+19|j|2=∴cos<EF,C=12延伸探究：解:设DA=i,DC=j,DD1=则B1C=B1MF=AF-AM=12j-12i-12j+所以MF∥B1C.达标检测1.答案:C解析:只有选项C中的三个向量是不共面的,可以作为一个基底.2.答案:A解析:因为AF=AD+DF=AD+12(3.答案:C解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.4.答案:12a-32b+解析:BE=12(BP+BD)=12(-b+BA+BC)=-12b+12(PA-PB+PC-PB)=-125.解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.∴1=μ,即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b,b+c,c+a不共面.故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.6．解：（1），同理可得，．（2）因为，所以，因为，所以．异面直线与所成角的余弦值为．1.3空间向量及其运算的坐标表示【学习目标】1.了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示2.掌握空间向量运算的坐标表示3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题【重点和难点】重点：理解空间向量的坐标表示及其运算难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题【知识梳理】一、平面向量坐标表示及其运算已知=(,)，=(,)，写出下列向量的坐标表示+=(+，+)；-=(-，-)；=(，)；=//=0；⊥=0设，则或如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么；cos=（）【学习过程】一、情境导学我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.二、探究新知一、空间直角坐标系与坐标表示1.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i,j,k,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz1.画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系.2.点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk.在单位正交基底i,j,k下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z3.向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作OA=a由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z小试牛刀1.若a=3i+2j-k,且{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为.

(3,2,-1)答案:向量OP的坐标恰好是终点P的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.思考：在空间直角坐标系中,向量OP的坐标与终点P的坐标有何关系?二、空间向量运算的坐标表示1.空间向量的坐标运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么向量运算向量表示坐标表示加法a+b

减法a-b

数乘λa

数量积a·b

(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(λa1,λa2,λa3);a1b1+a2b2+a3b32.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔(λ∈R);

(2)a⊥b⇔⇔.

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3;a·b=0;a1b1+a2b2+a3b3=0点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔a4.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)|a|=a·a=(2)cos<a,b>=a·b|(3)若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1,P2两点间的距离为|P1P2a12+a22小试牛刀1.已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n= ,3m-n= ,(2m)·(-3n)=.

2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=,若a⊥b,则λ=.

3.已知a=(-2,2,3),b=(32,6,0),则|a|=,a与b夹角的余弦值等于.

例1在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求DO用坐标表示空间向量的步骤如下:跟踪训练1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,若以{AB,AD,AA1}为基底,则向量AE的坐标为,向量AF的坐标为例2已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).(1)求AB+CA,(2)若点M满足AM=(3)若p=CA,q=CB,求(p+q)·(p-q).空间向量的坐标运算注意以下几点:(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.跟踪训练2在△ABC中,A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5).(1)求顶点B,C的坐标;(2)求CA·(3)若点P在AC上,且AP=12PC例3已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,c∥BC,求c;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断;(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.跟踪训练3.已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).(1)若a∥b,分别求λ与m的值;(2)若|a|=5,且与c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a.例4如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.(1)求BM,BN的长.(2)求△BMN的面积.反思感悟向量夹角与模的计算方法利用坐标运算解空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,然后利用夹角与模的计算公式进行求解.跟踪训练4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,BB1的中点,则cos∠EAF=,EF=.

一题多变——空间向量的平行与垂直典例在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3B1P=PD1,若PQ⊥AE,BD延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ,其他条件不变,结果如何?延伸探究2本例中若点G是A1D的中点,点H在平面xOy上,且GH∥BD1,试判断点H的位置.【当堂检测】1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底{AB,AD,AA1}下的坐标为(2,1,-3).若分别以DA,DC,DDA.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)2.下列向量中与向量a=(0,1,0)平行的向量是()A.b=(1,0,0) B.c=(0,-1,0)C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k的值等于()A.1 B.35 C.254.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点的距离的最小值为()A.31010 B.55 C.5.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4).(1)计算2a-3b和|2a-3b|.(2)求<a,b>.6.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.(1)求证：EF⊥CF；(2)求eq\o(EF,\s\up14(→))与eq\o(CG,\s\up14(→))所成角的余弦值；(3)求CE的长.【课堂小结】课堂小结：本节课你学到了什么？平面平面向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示数形结合类比类比简单简单的立体几何问题【参考答案】小试牛刀1.(3,2,-1)答案:向量OP的坐标恰好是终点P的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.小试牛刀1.(-1,-1,1);(5,-11,19);168解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.2.4;-2解析:若a∥b,则有2λ=λ8=-1λ-6,解得λ=4.若a⊥b,则a·b=3.答案:36解析:|a|=a·a=(-2)2+22+(3例1思路分析先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系,再根据空间向量基本定理,将DO,解:由已知AO⊥OB,O1O⊥OA,O1O⊥OB,从而建立以OA,OB,OO1方向上的单位向量i,j,k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz,如图,则OA=4i,OB=2jDO=-OD=-(OO1+O1D)=-OO1故DO的坐标为(-2,-1,-4).A1B=OB-OA1=OB-(OA+故A1B的坐标为(-4,2,-即DO=(-2,-1,-4),A1B=(-4,2,-跟踪训练1.答案:1解析:因为AE=AD+DD因为AF=所以向量AF的坐标为1,因为AC1=AB例2思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解:(1)因为A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),所以AB=(-3,5,-4),CA=(-1,0,9).所以AB+CA=(-4,5,5)，又CB=(-4,5,5),BA=(3,所以CB-2BA=(-10,15,-3)，又AB=(-3,5,-4),AC=(1,0,-9),所以AB·AC=-3+0+36=(2)由(1)知,AM=12AB+34AC=12(-若设M(x,y,z),则AM=(x-1,y+2,z-4),于是x-1=-34,(3)由(1)知,p=CA=(-1,0,9),q=CB=(-4,5,5).(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.跟踪训练2解:(1)设B(x,y,z),C(x1,y1,z1),所以AB=(x-2,y+5,z-3),BC=(x1-x,y1-y,z1-z).因为AB=(4,1,2),所以x-2=4,y+5=1,z-因为BC=(3,-2,5),所以x1-6=3,y1+4=-(2)因为CA=(-7,1,-7),BC=(3,-2,5),所以CA·BC=-21-2-35=-(3)设P(x2,y2,z2),则AP=(x2-2,y2+5,z2-3),PC=(9-x2,-6-y2,10-z2),于是有(x2-2,y2+5,z2-3)=12(9-x2,-6-y2,10-z2所以x2-2=12(9例3思路分析(1)根据c∥BC,设c=λBC,则向量c的坐标可用λ表示,再利用|c|=3求λ值;(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.解:(1)∵BC=(-2,-1,2)且c∥BC,∴设c=λBC=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).∴|c|=(-2λ)2+(-λ∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).(2)∵a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-52跟踪训练3.解:(1)由a∥b,得(λ+1,1,2λ)=k(6,2m-1,2),∴λ+1=6k,1=k(2m-(2)∵|a|=5,且a⊥c,∴(λ+1)2+12+(2λ)2例4思路分析建立空间直角坐标系,写出B,M,N等点的坐标,从而得BM,BN的坐标.然后利用模的公式求得BM,BN的长度.对于(2),可利用夹角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN解:以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).则B(0,1,0),M(1,0,1),N0,(1)∵BM=(1,-1,1),BN=0,-12,|BN|=02+-122+12=(2)S△BMN=12·|BM|·|BN|·sin∠∵cos∠MBN=cos<BM,BN>=∴sin∠MBN=1-故S△BMN=12×3×52×跟踪训练4.答案解析:以A为原点,AB,AD,AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系(图略),设正方体棱长为1,则E0,12,1,F∴cos<AE,AF>=AE·AF|AE|·|AF|=12一题多变——空间向量的平行与垂直典例解:如图所示,以点D为原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴,E0,0,12,B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),因为3B1P=PD1,所以3(a-1,a-1,0)所以3a-3=-a,解得a=34,所以点P的坐标为34,3由题意可设点Q的坐标为(b,b,0),因为PQ⊥AE,所以PQ·AE=0,所以(b-34,b-34,-1)·(-1,0,即-(b-34)-12=0,解得b=14,所以点Q因为BD=λDQ,所以(-1,-1,0)=λ(14,14,0),所以λ4延伸探究1解:以点D为原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,点Q的坐标为(c,c,0),因为B1Q所以(c-1,c-1,-1)·c,c,-12=0,即c(c-1)+c(c-1)+12=0,4c2-4c+1=0,解得c=12,所以点Q的坐标为12,1所以点Q是线段BD的中点,所以BD=-2DQ,故λ=-2.延伸探究2解:以点D为原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,因为点G是A1D的中点,所以点G的坐标为因为点H在平面xOy上,设点H的坐标为(m,n,0),因为GH=m-12,n,-12,BD1=(-1,-1,1),且GH∥BD1,所以m-1所以点H的坐标为1,12,0,所以点H为线段AB的中点.达标检测1.答案:D解析:a=2AB+AD-3AA1=2DC-DA-3DD1=8j-i-92.答案:B解析:比较选项中各向量,观察哪个向量符合λa=(0,λ,0)的形式,经过观察,只有c=-a.3.答案:D解析:由已知得|a|=2,|b|=22,a·b=0,所以由(ka+b)·(a+kb)=2可得k|a|2+k|b|2+(k2+1)a·b=2,即2k+8k=2,解得k=154.答案:C解析:因为点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2,由二次函数性质易知,当t=15时,取得最小值为95.∴AB的最小值为5.解:(1)2a-3b=2(2,-1,-2)-3(1,1,-4)=(4,-2,-4)-(3,3,-12)=(1,-5,8).|2a-3b|=12+(-5(2)cos<a,b>=a·b|a||b|=93×32=22,又6.解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，C(0,1,0)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))).所以eq\o(EF,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq\o(CF,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq\o(CG,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，eq\o(CE,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，\f(1,2))).(1)证明因为eq\o(EF,\s\up14(→))·eq\o(CF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×0＝0，所以eq\o(EF,\s\up14(→))⊥eq\o(CF,\s\up14(→))，即EF⊥CF.(2)因为eq\o(EF,\s\up14(→))·eq\o(CG,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)×1＋eq\f(1,2)×0＋(－eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，|eq\o(EF,\s\up14(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(CG,\s\up14(→))|＝eq\r(12＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，∴cos〈eq\o(EF,\s\up14(→))，eq\o(CG,\s\up14(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up14(→))·\o(CG,\s\up14(→)),|\o(EF,\s\up14(→))||\o(CG,\s\up14(→))|)＝eq\f(\f(1,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(15),15).(3)|eq\o(CE,\s\up14(→))|＝eq\r(02＋－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2).1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）【学习目标】1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.【重点和难点】重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系难点：用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系【知识梳理】一、自主导学（一）空间中点、直线和平面的向量表示1.点的位置向量在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.如图.2.空间直线的向量表示式如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取AB=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得AP=ta,即AP=tAB.如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OP=OA+ta,或OP=OA+tAB①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.3.空间平面的向量表示式如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使OP=OA+xAB+yAC.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.4.平面的法向量如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·AP=0}.点睛：空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.（二）、空间中直线、平面平行的向量表示位置关系向量表示线线平行设μ1,μ2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R,使得μ1=λμ2.线面平行设μ是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n=0.面面平行设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2.点睛：1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.二、小试牛刀1.下列说法中正确的是()A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的2.若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是()A.-1,12,-323.若两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为()A.(-1,2,-1) B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)4.若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且两条直线平行,则x=,y=.

5.若平面β外的一条直线l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量为n=(4,-1,-2),则l与β的位置关系是.

【学习过程】一、情境导学牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大。如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢?二、典例解析例1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.延伸探究：本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何?利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组n(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.跟踪训练1.如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,试建立适当的坐标系(1)求平面ABCD的一个法向量;(2)求平面SAB的一个法向量;(3)求平面SCD的一个法向量.例2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,点P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.归纳总结：利用空间向量证明线与线平行的方法证明两直线平行,可先求出两直线的方向向量,然后证明两直线的方向向量共线,从而证明两直线平行.跟踪训练2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.例3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.利用空间向量证明线面平行的方法(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平行.(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.跟踪训练3.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE.例4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?利用空间向量证明面面平行的方法(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明;(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.跟踪训练4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面EFBD.金题典例：如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面AB'D'∥平面BDC'.【达标检测】1.若不重合的直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),则()A.l1∥l2 B.l1⊥l2C.l1,l2相交但不垂直 D.不能确定2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB()A.与坐标平面xOy平行 B.与坐标平面yOz平行C.与坐标平面xOz平行 D.与坐标平面yOz相交3.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是()A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)4.已知l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为1,12,5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.【课堂小结】【参考答案】知识梳理1.答案:B解析:由平面法向量的定义可知,B项正确.2答案:D解析:AB=(2,-1,-3)=-3-233.答案:A解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n令x=-1,则y=2,z=-1.即平面ABC的一个法向量为n=(-1,2,-1).4.答案:-12；15解析:因为两条直线平行,所以a∥b.于是2-6=4x=5.答案:平行解析:因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.6.答案:(1)×(2)√(3)×(4)√学习过程例1.思路分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.解:如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得D(0,0,0),P(0,0,1),E0,12,1DB=(1,1,0).设平面EDB的法向量为n=(x,y,z),则n⊥DE,n⊥DB,于是n取x=1,则y=-1,z=1,故平面EDB的一个法向量为n=(1,-1,1).延伸探究：解:如同例题建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),平面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.跟踪训练1.解:以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间