《2.3直线的交点坐标与距离公式》课件与同步练习

第一课时两条直线的交点坐标2.3直线的交点坐标与距离公式当——=——=——时，两条直线重合。A1B1C1A2B2C2两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的位置关系与系数的关系？l1⊥l2A1A2+B1B2=0l1//l2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0或B2C1-B1C2≠0A1B2-A2B1≠

0l1与l2相交回顾引入两条直线的交点坐标思考1:若点P在直线l上，则点P的坐标(x0，y0)与直线l的方程Ax+By+C=0有什么关系？

Ax0+By0+C=0思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0，

直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置关系分别如何？

学习新知思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标吗？有什么办法求得这两条直线的交点坐标？xyoP思考4:一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？几何元素及关系代数表示点A

A(a,b)直线lL:Ax+By+C=0点A在直线l上直线l1与l2的交点是A

点A的坐标是方程组的解Aa+Bb+C=0学习新知两条直线的交点：如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成的方程组的解；反之，如果方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0学习新知思考5：对于两条直线和,若方程组

有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？直线l1、l2联立得方程组

(代数问题)(几何问题)学习新知一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有方程组

学习新知例1：求下列两条直线的交点：

l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.解：解方程组3x+4y－2=02x+y+2=0∴l1与l2的交点是M（－2，2）x=－2y=2得典型例题练习：课本第72页练习1

例2判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标.（1）（2）（3）典型例题例3：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）。证明：联立方程3x+2y－1=02x－3y－5=0oxy(1,-1)M解得：x=1y=-1代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0得0+λ·0=0∴M点在直线上A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0是过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。M（1，-1）即典型例题过交点的直线系思考1:经过直线l1:3x+4y-2=0与直线l2:2x+y+2=0的交点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？思考2:上述直线l1与直线l2的交点M(-2,2)在这条直线上吗？当m，n为何值时，方程分别表示直线l1和l2？n=0,m≠0表示直线l1,m=0,n≠0表示直线l2学习新知k存在:y-2=k(x+2)；k不存在:x=-2思考3:方程表示的直线包括过交点M（-2，2）的所有直线吗？

不表示2x+y+2=0这条直线思考4:方程表示经过直线l1和l2的交点的直线系，一般地，经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可怎样表示？m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0或A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0学习新知例4：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。解法一：解方程组x+2y－1=0，2x－y－7=0得x=3y=－1∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3∴所求直线的斜率是3所求直线方程为y+1=3（x－3）即3x－y－10=0解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0∴－————=32+λ2λ－1解得λ=1/7因此，所求直线方程为3x－y－10=0典型例题例5求证:不论m取何实数,直线(2m－1)x－(m+3)y－(m－11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.典型例题巩固练习1.已知直线l1:ax+4y-2=0与直线l2:2x-5y+b=0互相垂直，垂足为（1,c),则a+b+c的值为()A.20B.-4C.0D.24

3.直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为

.BC3x+y+1=01.已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点

.巩固练习

2.已知点A(1,3),B(4,2),若直线ax-y-2a=0与线段AB有公共点，则实数a的取值范围是

.

3.曲线y=|x|与直线y=kx+1有两个交点，则实数k的取值范围是

.

1）对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有方程组

2）过交点的直线系经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可表示m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0或A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0课堂小结第二课时两点间的距离2.3直线的交点坐标与距离公式名称方程的形式已知条件方程直线的局限性一般式点斜式斜截式两点式截距式

（x1，y1)是直线上一点，k是斜率k是斜率，b是直线在y轴上的截距不包括与x轴垂直的直线

a是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两点不包括与x轴垂直的直线不包括与坐标轴垂直的直线

Ax+By+C=0(A、B不同时为零)A、B、C为常数任何位置的直线不包括与坐标轴垂直的直线，不包括过原点的直线。

回顾引入直线方程的五种形式当——=——=——时，两条直线重合。A1B1C1A2B2C2两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的位置关系与系数的关系？l1⊥l2A1A2+B1B2=0

l1//l2

A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0或B2C1-B1C2≠0A1B2-A2B1≠

0

l1与l2相交回顾引入1）对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有方程组

2）过交点的直线系经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可表示m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0或A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0复习引入1.在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系.2.平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？学习新知向量法推导两点间的距离公式学习新知已知平面上两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),能否求出两点间的距离|P1P2|？

由此得出两点间的距离

思考:特别地，点P(x，y)与坐标原点的距离是什么？

思考1:在平面直角坐标系中,已知点P1(2,-1)和P2(-3,2),如何计算点P1和P2的距离？学习新知xyoP1P2M思考2:一般地,已知平面上两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),利用上述方法求点P1和P2的距离可得什么结论？MxyoP1P2

典型例题

1、求下列两点间的距离(1)、A(6，0),B(-2，0)(2)、C(0，-4),D(0，-1)(3)、P(6，0),Q(0，-2)(4)、M(2，1),N(5，-1)课本第74页第1题巩固练习2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标；

3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的距离等于10，求点P的纵坐标。巩固练习例2.证明平行四边形四条边的平方和和等于两条对角线的平方和。证明:以A为原点,AB为x轴建立直角坐标系.xyABCD(0,0)(a,0)(b,c)(a+b,c)则四个顶点坐标分别为A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。解析法第二步:进行有关代数运算第三步:把代数运算结果翻译成几何关系。第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量。典型例题用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤：第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.方法总结已知点A(x,0)和B(2,3)的距离为3,求x的值。若|AB|为3或者2呢？

已知△ABC的三个顶点是A(-1,0),B(1,0),C，试判断三角形的形状。

提高练习两点距离公式逆应用距离公式的变式探究思考1:已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离公式可作怎样的变形？

学习新知思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距离公式又可作怎样的变形？

思考3:两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分别是什么？

思考4:若已知和，如何求？

学习新知

例3设直线2x-y+1=0与相交于A、B两点，求|AB|的值.

典型例题4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。yxoBCAM(0,0)(a,0)(0,b)已知:Rt△ABC中，D是斜边BC上的中点.求证:AD=.

巩固练习1.两点间距离公式2.坐标法第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量。第二步:进行有关代数运算第三步:把代数运算结果翻译成几何关系。

课堂小结作业P79习题2.3第4和12题思考题：用坐标法证明：三角形内，重心到三个顶点的距离的平方和最小。学习新知第三课时点到直线的距离2.3直线的交点坐标与距离公式

在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?QPyxol思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,怎样求点P到直线l的距离呢?点到直线的距离如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.学习新知当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.Qyoy=y1(x0,y0)xP(x0,y1)Qxyox=x1P(x0,y0)(x1,y0)下面设A≠0,B≠0,我们进一步探求点到直线的距离公式:[思路一]利用两点间距离公式:PyxolQ学习新知点P到直线/的距离，就是从点P到直线/的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足(如右图).因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|,就可以得到点P到直线l的距离.得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为因此，点P(xo,yo)到直线l:Ax+By+C=0的距离可以验证，当A=0,或B=0时，上述公式仍然成立下面设A≠0,B≠0,我们进一步探求点到直线的距离公式:[思路二]利用两点间距离公式，设而不求:PyxolQ学习新知点P到直线/的距离，就是从点P到直线/的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足(如右图).因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|,就可以得到点P到直线l的距离.因此，点P(xo,yo)到直线l:Ax+By+C=0的距离可以验证，当A=0,或B=0时，上述公式仍然成立

将(1)(2)两边平方后相加，得[思路三]构造直角三角形求其高.学习新知[思路四]向量法求点到直线的距离.我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离?学习新知P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：点到直线的距离：（1）分子是P点坐标代入直线方程；（2）分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根类似于勾股定理求斜边的长学习新知(3)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,

若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(4)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.例1:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求△ABC的面积xyOABCh解：设AB边上的高为hAB的方程为化为一般式还有其他方法吗？典型例题3.求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.1.求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离.2.求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.4、P（2，—3）到直线x+2y+4=0的距离是_______0巩固练习5.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______.6.点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______.例2：用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。证明:建立如图直角坐标系,设P(x,0),x∈()OA(a,0)C(-a,0)B(0,b)xyEFP可求得lAB:()lCB:()|PE|=()|PF|=()A到BC的距离h=()因为|PE|+|PF|=h，所以原命题得证。典型例题例3.已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.典型例题解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得即x+3y-5=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.典型例题(方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,

即x+3y-5=0.当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程典型例题

在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.巩固练习1.已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为_____________________________.2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝02.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是

.

解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP|最小,

3.若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是______.1.平面内一点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式是当A=0或B=0时,公式仍然成立.2.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.

3.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.课堂小结第四课时两条平行直线间的距离2.3直线的交点坐标与距离公式P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：回顾引入（1）分子是P点坐标代入直线方程；（2）分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根类似于勾股定理求斜边的长(3)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,

若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(4)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.新课引入A.两平行线的距离B.点到直线的距离C.点到点的距离求平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。解：在直线2x

－7y－6=0上任取一点，如P(3,0)则两平行线的距离就是点P(3,0)到直线2x－7y+8=0的距离.因此，d=P尝试练习两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离.两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.yxol2l1QP学习新知解:在直线上Ax+By+C1=0任取一点,如P(x0,y0)则两平行线的距离就是点P(x0,y0)到直线Ax+By+C2=0

的距离。（如图）因此，d=两条平行直线间的距离：已知两条平行直线方程为:则它们之间的距离为:学习新知注意(1)把直线方程化为直线的一般式方程;(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等；(3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.例1(1)已知两平行直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,则l1与l2间的距离为

.

(2)直线3x+y-3=0和直线6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为

.

(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0间的距离相等,则直线l的方程为

.

典型例题

典例解析例2．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？变式:上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．典例解析典型例题例3.已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程.思路探究：由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2.进而求出直线