第05讲 直角三角形的性质与判定综合（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）

第05讲直角三角形的性质与判定综合1．掌握直角三角性的性质及有关运算；能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.直角三角形的性质与判定性质两锐角之和等于90°斜边上的中线等于斜边的一半30°角所对的直角边等于斜边的一半若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明）判定有一个角为90°的三角形时直角三角形有两个角的和时90°的三角形是直角三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形面积公式，其中a是底边常，hs是底边上的高【题型1根据直角三角形的性质求角度】【典例1】（2023春•洪江市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝52°，则∠A等于（）A．58° B．48° C．38° D．28°【变式1-1】（2023春•清远期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝50°，∠C＝（）A．40° B．50° C．30° D．45°【变式1-2】（2023春•渠县校级期末）在△ABC中，∠A＝20°，∠C＝90°，则∠B的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【变式1-3】（2023春•普宁市期末）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝56°，AD⊥BC，DE∥AC．则∠ADE的度数为（）A．56° B．46° C．44° D．34°【题型2三角形板与平行线综合应用】【典例2】（2023•扶风县一模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（）A．40° B．45° C．50° D．55°【变式2-1】（2023•梁园区一模）如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（）A．62° B．52° C．38° D．28°【变式2-2】（2023春•文成县期中）如图所示，直线a∥b，直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1＝33°，则∠2的度数为（）A．57° B．47° C．67° D．33°【变式2-3】（2023•平江县模拟）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠ADE＝70°，则∠CBF的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．30°【题型3直角三角形解答题综合应用】【典例3】（2022春•贵溪市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．【变式3-1】（2022春•滨海县期中）如图，AD⊥BC，垂足为D，点E在AC上，且∠A＝30°，∠B＝40°．求∠BFD和∠AEF的度数．【变式3-2】（2023春•玄武区期末）请把下面的证明过程补充完整．已知：如图，AD是△ABC的高，点E在AC上，G在AB上，∠2+∠C＝90°，∠1＝∠2．求证：GD∥AC．证明：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC（三角形高线的定义），∴∠ADC＝90°（①），∴∠3+∠C＝90°（直角三角形两个锐角互余），又∵∠2+∠C＝90°（已知），∴②（③），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（④），∴GD∥AC（⑤）．【题型4直角三角形全等的判定】【典例4】（2023春•莲湖区期末）如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．说明OD＝OC成立的理由．【变式4-1】（2023春•章丘区期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．【变式4-2】（2023春•石阡县期中）如图，已知AD⊥BE，垂足C是BE的中点，AB＝DE．求证：Rt△ABC≌Rt△DEC．【变式4-3】（2022春•平远县期末）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．1．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°2．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（）A．34° B．44° C．124° D．134°3．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．（2023•永定区一模）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（）A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE5．（2023•武侯区校级三模）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD1．（2023春•惠来县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝50°，则∠B等于（）A．55° B．50° C．45° D．40°2．（2022秋•河口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（）A．∠A与∠1互余B．∠B与∠2互余 C．∠A＝∠2 D．∠1＝∠23．（2023春•南山区期中）如图2，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠BAD＝32°，则∠C的度数是（）A．28° B．30° C．32° D．36°4．（2021秋•峨边县期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（）A．38° B．39° C．51° D．52°5．（2022春•思明区校级期末）如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（）A．3 B．3.3 C．4 D．56．（2022春•定远县期末）如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°7．（2022秋•衡山县期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等8．（2022秋•亳州期末）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB的是（）A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．BC＝BD9．（2022秋•东营区校级期末）如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PA平分∠BAC，则△APD与△APE全等的理由是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASS10．（2023春•睢宁县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝．11．（2022•海淀区校级模拟）如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝°．12．（2022秋•临湘市期末）如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝度．13．（2022秋•固始县期末）如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为．14．（2022春•佛冈县校级期中）如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．（1）求证：CD⊥AB；（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．15．（2023春•郑州期末）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF是△ABC的角平分线，过点D作DG∥AF交BC于点G，求证：∠CEF＝∠CGD．请补全下面的证明过程．证明：∵CD⊥AB（已知），∴∠ADC＝90°（），∴∠DAE+∠AED＝90°（直角三角形两锐角互余），∵∠ACB＝90°（已知），∴∠+∠CFA＝90°（直角三角形两锐角互余），∵AF是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAF＝∠DAE（），∴∠AED＝∠CFA（），∵∠AED＝∠CEF（），∴∠CEF＝∠（等量代换），∵DG∥AF（已知），∴∠CFA＝∠CGD（），∴∠CEF＝∠CGD（）．16．（2023春•垦利区期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．17．（2022秋•利川市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．