2024年高考数学押题预测模拟卷1（新高考九省联考题型）（解析版）

决胜2024年高考数学押题预测卷01

、旭匕、、九

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己

的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求典.

1.已知z=l+i,贝i]l+z()

【答案】A

【解析】由题意知：z=l+i,则彳=1—i,

J1-i13

所以：；—==£—.故A项正确•

1+z2+1(2+i)(2-i)55

故选：A.

2.已知向量工(2,3),b=(-l,x),贝广(a+b)，(a—b)”是"x=26”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由已知得，a+b=(l,3+x),a-b=(3,3-x),

若(a+6)_L(a—b),贝!I(a+)A(a—b)=0,3+9—x2=0,解得x=±2\/^,

a

所以“X=26”=(a+b)l.(a-b)",但“(a+6)L(q—石)”4“x=2百”,

所以“(a+6)，(a-6)”是“x=2日的必要不充分条件，

故选：B.

3.已知集合人士降2^},^{山=2，,x«2},则()

A.A<JB=BB.A<JB=AC.A(B=BD.Au(CB)=R

【答案】A

【解析】由现2%«1,贝!!log2Xwlog22,所以O<X«2,

所以A={.log?x<l)=1%|0<x<2},又B={y卜=2*,x<2}={y[O<y<4},

所以AqB,则=A,B=A.

故选：A.

4.从正方体八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可熊()

A.每个面都是等边三角形

B.每个面都是直角三角形

C.有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形

D.有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形

【答案】D

【解析】如图，

BAG每个面都是等边三角形，A不选；

A每个面都是直角三角形，B不选；

ABG三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D.

5.已知函数/(尤)的定义域为R,y="x)+e*是偶函数，y=〃x)—3e*是奇函数，则/(%)的最

小值为()

A.eB.272C.273D.2e

【答案】B

【解析】因为函数产〃力+^为偶函数，则/(一同+/=〃尤)+e1即

/(%)-/(-x)=e-x-ex,①又因为函数y=/(%)—3d为奇函数，贝i]

/(-x)-3e-r=-/(x)+3e\即〃％)+/(-%)=30*+3心，②

联立①②可得f(x)=ex+2e-x,

由基本不等式可得f(x)=炉+2ex>2Vex-2e-x=2后，

当且仅当e'=2eT时，即当x=^In2时，等号成立，

2

故函数/(x)最小值为20.

故选；B.

k

6.已知反比例函数y=—(ZHO)的图象是双曲线，其两条渐近线为君由和癖由，两条渐近线的夹角

x

为将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y=±x,由此可求得其离心率为正.已知函数

走X+_L的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线丁=3入和辟由，则该双曲线的离心率是

y=

3x3

()

24

A.6B.2.s/3C.D.乎

【答案】C

【解析】在第一象限内，函数y=且％+：1的图象位于y=Y3x上方，

3x3

由于)=@x和j轴是渐近线，所以两条渐近线之间的夹角2。=巴，故。=巴，

,336

不妨将双曲线y=，3彳+，绕其中心旋转逆时针旋转30,则可得到其焦点在＞轴上的双曲线

3x

vY4jrTT

4-0=1,且两条渐近线之间的夹角2。=—,因此其中一条渐近线的倾斜角为一,

a2b233

因此£=百，进而可得、=£=Ji+12：=与

故选：C.

7.已知2sintz—sin/?=百，2cos(z-cos/7=l,则cos(2e—2〃)=()

A1R屏f1

844

【答案】D

【解析】因为2sina—sin/?=JL2cosa—cos分=1,

所以平方得，(2sina-sin/?)2=3,(2cosof-cos/?)2=1,

即4sin2a-4sinasin力+sirj2/=3,4cos2cif-4cos6zcos^+cos2/?=1,

两式相加可得4—4sinasin£—4cosecos£+l=4,

即cosacosjS+sin6/sin/?=—,

故cos(a—£)=；,

17

cos(2o-2p)=2cos2(^a-/3^-l=2x--l=--.

故选：D.

8.已知定义域为R的函数的导函数为尸(%),若函数〃3x+l)和r(x+2)均为偶函数，且

2023

:(2)=—8,则2广(。的值为()

1=1

A.0B.8C.-8D.4

【答案】C

【解析】：/(3x+1)为偶函数，f(-3x+1)=/(3%+1),则/(-%+1)=f(x+1),两边求导得：

-/,（-x+l）=/，（x+l）,

则/'（力关于点（1,0）成中心对称，又/’（尤+2）为偶函数，.•.r（r+2）=r（x+2）,即广（力关

于直线x=2成轴对称，

，'⑴=。且r（x）=r（4-x）=-r（x-2）,rq+2）=—广⑺，即得：

/'（无+4）=—/'（尤+2）=/'（x）,

故广（X）是周期函数,且一个周期为4,因r（3）=—/'⑴=0/（4）=/'（0）=—/⑵=8,故

r（i）+/,（2）+/,（3）+r（4）=o,

20232024

于是£:（i）=£r（4）=506X0—8=—8.

1=11=1

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/（x）=sin（公（:+0）（。>0,0<。<兀）的最小正周期为兀，且函数/（x）的图象关于直线

TT

x=-一对称，则下列说法正确的是（）

12

A.函数下⑴的图象关于点,（）］对称

B.函数/⑴在区间［。，1］内单调递增

C.函数“X）在区间内有恰有两个零点

JT

D.函数Ax）的图象向右平移一个单位长度可以得到函数g（x）=cos2x的图象

12

【答案】AD

【解析】函数/（x）=sin（ox+0）（0>O,O<e<7t）的最小正周期为兀，

2兀

则一=7tf得G=2,贝ij/（%）=sin（2%+。），

a）

TT

又函数了⑴的图象关于直线工=-一对称，

12

则/（一--）=sin（--+⑼=±1,则一工+夕=工+kn,keZ,

12662

即。=g+kn,keZ,又°<夕<兀，则。=g,

故/（x）=sin（2尤+g）,

A,当x="时，/（—）=sin（2•—+—）=sin27i=0,

3,333

则函数/（x）的图象关于点,0）对称，A正确；

(八5兀、।27兀12兀3兀

B,A;eIO?-I»则2x+^-w9

3~3~Y

函数y=sin尤在（葭,笄）单调递减，则函数/（x）在区间[（）,571

T7内单调递减,B错误;

2Ji2兀

C,由/（%）=sin（2%+-^-）=0,贝！12%+可=£Z,

即％=—巴+处,左£Z,又

32

71

%=：，则有1个零点，C错误;

6

71

D,函数〃x）的图象向右平移;个单位长度,

TT712兀TL

则一五)=sin[2(x-五)+丁]=sin(2x+-)=cos2x=g(x),

D正确；

故选：AD

10.已知A、8是椭圆土+]=1的左、右顶点，尸是直线x=2百上的动点（不在无轴上），

AP交椭圆于点M,创/与OP交于点N,则下列说法正确的是（）

A.kPA-kPB=­B.若点尸（2君,3&）,则%AOM：5竹0加=5

C.是常数D.点N在一个定圆上

【答案】BCD

【解析】如下图所示：

对于A选项,设点网2后s）（swO）,易知点4卜石,0）、B（V3,0）,

SS§2

所以，5%=2百+忖2百-百=§不定值'八错；

对于B选项，当点尸的坐标为（2百,3应），左丛=崇=手，

则直线的方程为y=乎卜+6），即工=乎〉一百，

联立j-2'，可得丁―0y=O,解得y=力或y=。，即加=0,

2X2+3/=6

B对;

2—3码2

对于C选项，设直线AP的方程为尤=9—石QwO）,

一严可得（2产+3卜2_4圆=0,解得尸。或〉=型1

联立

2x2+3y2=6'7-2/+3

则“舞，V旦-艮雪-艮班学

M2/+3"22/+32?+3

’2舟-3月

即点M-2产+3-

x=2百/

x=ty近

联立《可得73百，即点P26，

X=2A/3y=~^（7,

12r_183百x4612/+18

所以，OPOM------1-------=------C对;

2r+32/+32〃+3

22&2

对于D选项，设点〃（得，兀），其中为工0,且个+々=1，则焉-3=-季,

3必222

t_3_3，贝11心=£左"，所以，Q-k^B=Gkopk^B=-々

而亍”333

则勺/MB=T，所以，OP±BM,取线段。8的中点E

由直角三角形的几何性质可知|人因=；|。即=乎,

所以，点N在以线段。8的直径的圆上，D对.

故选：BCD.

11.已知四棱锥P-ABCD,底面ABC。是正方形，P4_L平面ABC。，A£）=1,PC与底面

A5CD所成角的正切值为Y2,点M为平面A6CQ内一点，且AM=4AT>（O</1<1）,点N为

2

平面内一点，NC=后,下列说法正确的是（）

TT

A.存在X使得直线PB与AM所成角为:

B.不存在4使得平面平面

C.若4=①，则以P为球心，9为半径的球面与四棱锥P-A5CD各面的交线长为

2

V2+V6

-----------71

4

D.三棱锥N-ACD外接球体积最小值为上叵兀

6

【答案】BCD

【解析】由平面ABCD,底面ABCD是正方形，AD=1,可得AC=0,

且NPC4是PC与底面ABC。所成角，即tanNPC4=2A=正，则上4=1,

AC2

7T

同理/尸氏4是PS与底面ABCD所成角，故NP3A=—,

4

TT

由题意，AM在面ABC。内，故直线PB与AM所成角不小于一，A错；

4

24,平面ABC。，5Cu平面ABCD,则B4_L5C,又ABLBC,

PAAB^A,R4,A3u面E4B,则上面。45，

要平面上钻，平面M要在直线上，而AM=九4。（0<；1<1）,

显然不存在，B对；

由题设AM=YZAD=变，将侧面展开如下图，

22

球与侧面的交线是以尸为圆心，逅为半径的圆与侧面展开图的交线，如下石江，

2

由tanZ4P/=正=tanZBPC=3，jr

则NAP尸=N5PC,ZAPF+/FPB=—,

2724

jrTT

所以ZFPC=ZBPC+ZFPB=根据对称性有ZFPC=ZCPE,故NFPE=

42

所以E4小长为'显-

4

又球与底面ABC。交线是以A为圆心，理为半径的四分之一圆，故长度为叵，

24

综上，球面与四棱锥尸-ABCD各面的交线长为史上西兀，C对；

4

由题设，三棱锥N-ACD外接球也是棱锥N-ABCD外接球，

又N为平面内一点，NC=后,且QAu面MB,则面245_1_面ABCD,

BC1AB,面QABc面ABCD=AB,BCu面ABC。，故5cl面

易知N在面R4B的轨迹是以8为圆心，2为半径的圆（去掉与直线A5的交点），

根据圆的对称性，不妨取下图示的四分之一圆弧，则N在该圆弧上，

当BN接近与面AB重合时NA4N趋向兀，

BN2

当BN面ABCD时乙BAN最小且为锐角，sinZBAN=-=-=,

ANyJ5

BN]

而LABN的外接圆半径r=

2sin/BANsinZBAN

正方形ABCD的外心为AD,BC交点。，且到面的距离为，

所以棱锥N-ABCD外接球半径R=,要使该球体体积最小,只需尸最小,

故外接球最小体积为=平°,

仅当/BAN=：时%n=l,此时治D对.

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其60%分位数为

【解析】由图可知第一组的频率为0.04义5=0.2<0.6,前两组的频率之和为

0.04x5+0.1x5=0.7>0.6,则可知其60%分位数在［10』5）内，设为x,

则0.1x（无一10）=0.6—02,解得％=14.

故答案为：14

13.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等

分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一

次分形”：再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复卜.述操作，这称为“二次分形"：L.

依次进行“几次分形"（zieN*）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.

若将边长为1的正三角形“〃次分形”后所得分形图的长度不小于120,则〃的最小值是.

（参考数据：

4

【解析】依题意可得“〃次分形”图的长度是“n-1次分形”图的长度的

由“一次分形”图的长度为gx4x3=4,

4

所以“每次分形”图的长度可看成是首项为4,公比为§的等比数列,

4

所以“几次分形”图的长度为4x

n—\

4

故>120,即>30,两边取对数得（〃-1乂2坨2-Ig3）21+lg3,

,l+lg31+0.4771…

所以〃—12------------«----------------------则〃>12.8,

21g2-lg32x0.301-0.4771

又〃eN*，故〃的最小整数值是13.

故答案为：13.

14.在平面直角坐标系xQy中，已知圆。:/+丁=4,若正方形ABC。的一边A8为圆。的一条

弦，贝UI。。的最大值为.

【答案】272+2

【解析】令/9区4=。€[0,二TT)且|。5|=2,15cl=4cos。，要使|。。|最大有

2

TT

cos/05c=—+e,

2

如下图示，在△OBC中10cl2=|0fi|2+|BC|2-21OB||BC\cosZOBC,

所以|OC『=4+(4cos8)2-2x2x(4cosO')-cos(~+

=4+16cos2e+16sin6cose-8(sin26+cos28)+12

=8V2sin(2^+-)+12,

4

当且仅当9=9时IOCImax=夜+12=2也后+3=2(1+叵),

o

所以|0C|的最大值为20+2.

故答案为：2-\/2+2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=ex(x2—ax—a).

(1)若曲线y=/(尤)在点(1,/⑴)处的切线平行于x轴，求实数。的值；

(2)求函数/(©的单调区间.

【答案】(1)1(2)答案见解析

【解析】(1)由题可得尸(x)=e*[x2+(2-a)x-2a],

因为Ax)在点(1,7(1))处的切线平行于x轴，所以/'⑴=0,

即e(3-3a)=0,解得a=l,经检验。=1符合题意.

(2)因为1(尤)=断/+(2-a)x-2a],

令/'(无)=0,得x=—2或尤=心

当。<—2时，随x的变化，/'(%),“X)的变化情况如下表所示:

X(-00,a)a(a,—2)-2(-2,+8)

f'M+0—0+

于(X)单调递增/⑷单调递减/(-2)单调递增

所以/(x)在区间(-*a)上单调递增,在区间(a,-2)上单调递减,在区间(-2,+◎上单调递增.

当。=一2时，因为/'(x)=e*(x+2)2i0,当且仅当x=—2时，/'(x)=0,

所以/(x)区间(-8,+8)上单调递增.

当a>—2时，随x的变化，/'(x),/(x)的变化情况如下表所示：

X(-00,-2)-2(-2,。)a(a,+oo)

尸⑴+0—0+

f(X)单调递增/(-2)单调递减/(«)单调递增

所以/Xx)在区间(-8,-2)上单调递增，在区间(-2,a)上单调递减，在区间(。,物)上单调递增.

综上所述，

当。<一2时，"X)的单调递增区间为(—8,a)和(-2,+8),单调递减区间为(a,—2)；

当。=-2时，“X)的单调递增区间为(-oo,+8),无单调递减区间；

当a>—2时，“X)的单调递增区间为(—8,—2)和(凡口)，单调递减区间为(—2,a).

16.生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件

的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软

件，结果如下：

跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四

中学生80604020

大学生30202010

假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.

(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用

跑步软件一的概率；

(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记

X为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为与，4，%,其方差为

s；;样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为弘，%，为，为，其方差为4；

毛，巧，花，了4，%，%，为，%的方差为S；.写出S；,S；的大小关系.(结论不要求证

明）

【答案】（1）三（2）分布列详见解析，E（X）=-（3）

20v74

【解析】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，

onon4

这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率为之;义菰二卓.

2008020

20

（2）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为8x^=2,

80

所以X的所有可能取值为0,1,2,

尸（X=0）=!H，尸"=］）=詈=*P（X=2）=詈4

所以X的分布列为：

X012

5153

P

142828

51533

所以石(X)=0x——+lx——+2x—=—.

v71428284

(2)证明如下:

寸幽=。4—=0.3,1=。2，1

200200200200

=0.25

所以2_(0.4—0.25)2+(0.3—0.25『+(0.2-0,25)2+(0.1-0.25)21

可一厂

80

303201201101

y——=—，%=—=—，%=—=—，%=—二—，

180828043804808

4—“

所以Yjm+［：-：)十［；-：)一i

4-4_128

数据：X］,82，X3,X4,%,%,%，%，

对应的平均数为

所以

(0.4-0,25)2+(0.3-0,25)2+(0.2-0,25)2+(0.1-0.25)2

13

81280

所以s；<s；<s]

17.如图，在四棱锥P—A8CD中，上4J_底面ABC。，AD//BC,AB1BC.点M在棱PB

2

上,PM=2MB,点、N在棱PC上,PA=AB=AD=-BC=2.

(1)若CN=2NP,。为尸。的中点，求证：NQ〃平面2钻；

2PN

(2)若直线K4与平面AMN所成角的正弦值为:，求2段的值.

【答案】(1)证明见解析⑵33

【解析】(1)证明：过“作的平行线交PC于”，连接HD,

.PMPHMHrPH21

,又PM=2MB,——二一,:.HC=-PC,又CN=2NP,

一万一正一正PC33

:.NH=PN=HC,.,.N为PH的中点，又。为尸。的中点，

:.NQ//HD,

2

又MH=—BC=2,又AD=2,AD!IBC,

3

:.ADHMH,且AD=Aff/,

四边形MHD4是平行四边形，

:.HDHMA,:.NQ//AM,

，NQ<Z平面巳钻，AA/U平面.〔NQ//平面上45

AD,钎所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

4

,P(0,0,2).C(2,3,0),z.AM=(-,0,

AP=(fl,0,2).PC=(2,3,-2),

.,.设PN=2PC=(2/1,32,-22)(0<2<l),

AN=AP+PN=(0,0,2)+(2A,34,—2A),=(2A,3A,2—2X)

设平面AAW的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-AM=—x+—z=O4-62

则j33,令x=l,则z=—2,y—

32

n-AN=2Ax+3Ay+(2-24)z=0

4-

・•・平面4WN的一个法向量为〃=(1,土詈，-2),

3/t

设直线PA与平面AMN所成角为氏

..APn.42

n>1=1------------1=，则力」

sin0=|cos<AP,加「川2人4+看L

3

PN

*PC"3

18.已知抛物线C：y2=2px(0<2<5)上一点〃的纵坐标为3,点M到焦点距离为5.

(1)求抛物线。的方程；

(2)过点(1,0)作直线交。于A,6两点，过点A,3分别作C的切线4与4，4与乙相交于点

D,过点A作直线4垂直于4,过点8作直线乙垂直于4，4与乙相交于点E，4、4、%、乙分

别与无轴交于点P、Q、R、S.记VDPQ、_DAB.ABE、的面积分别为，、S?、

S3、S’.若S|Sz=4S3s2求直线A3的方程.

【答案】(1)y2=2x(2)x+46y-l=0

9=2pt9

【解析】(1)设/。,3),由题意可得1p,即丁+£=5,

t+—=52P2

I2

解得。=1或。=9(舍去)，所以抛物线C的方程为y2=2x.

设经过3(电,%)两点的直线方程为几：xmy+1(me/?),

与抛物线方程y2=2x联立可得V=2根y+2,

即y2-2my-2=0,A=4/w2+8>0

；•%+%=2机，％%=—2・

y2=2x,则y=±岳，

11

y=±-TT==-，

二过点A作C的切线4方程为y=—(x—xJ+M=—x+:",

%X2

(2、

令y=0,得％=—2k,即尸-近,0.

2、2，

同理，过点B作c的切线4方程为了=；x+£,

2LA=_I

，即。（一1,加）,

正2="

2

|-l-m-m-l|m2+2

则。到直线加的距离四一.

Vm2+1m2+

又•.•过点A作直线，3垂直于4,

3

直线4的方程为y=-%》+玉%+%=-%x+^^-+%>

22、

令y=o,得工=工.+1,即R'+1,0.

227

3

2

同理，直线，4的方程为了=一%》+1-+%，

22、

令y=°，得％=+1,即S二+1,0.

2I27

2

••.陷=券—V

2

22

xjrfi

联立两直线方程，解得

y=-y2x+^-+y2y

2

x=2m2+2一〜\

整理后可得《,即石（2疗9+2,2机）,

y=2m17

2

2m+2-m-2m-l]

则E到直线5的距离(3

[m2+1Jm2+1

22

由上可得S]=；间|仇|=；今--|m|，S=^-\AB\-\d_\=