2023-2024学年安徽省十五校高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省十五校教育集团高二（上）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知点M（l,-1,一2，百），空间内一平面a过原点0,且垂直于向量元=（一3,2,-，百），则点M到平面a的距

离为（）

1111

A.JB”C.7D.（

4568

2.已知数歹此名｝是首项为5,公差为3的等差数列，则。2024=（）

an

A1011n1012=2022n2024

A------R------（------I）----

3037,30373037,3037

3.抛物线y=3%2+4上到直线x+y+4=0距离最近的点的坐标是（）

A.（-也刍B.（0,4）C.（―2噌）D.（1,§）

4.若直线丫=kx+2把单位圆/+必=1分成长度为1：2的两段圆弧，则k=（）

A.±<3B.±A<15C.±<17D.±2<5

5.定义：对于数a,6,若它们除以整数rn所得的余数相等，则称a与b对于模山同余或a同余于b模小，记作

。三b（7nod?n）.已知正整数力满足力三ll（mod6）,将符合条件的所有t的值按从小到大的顺序排列，构成数列

｛aJ设数列｛即｝的前几项之和为无，则乎的最小值为（）

A.12B.14C.16D.18

6.已知函数y=/（久）为连续可导函数，y=（尤2+4久+3）［0）的图像如

图所示（见图），以下命题正确的是（）

A.f（-3）是函数的极大值

B"（-1）是函数的极小值

C./（久）在区间（-3,1）上单调递增

口.〃久）的零点是—3和一1

7.已知正方体力BCD-4B1C1D1的棱长为2,M、N分别是侧面CDD©和BCC/1的中心.过点”的平面a与

ND垂直，则平面a截正方体4BCD-所得的截面积5为（）

C.5<6D.7<6

8.已知6,尸2是椭圆G：W=＞名＞°)与双曲线G：W=1(。2＞0也＞0)的公共焦点,

02分别是G与。2的离心率，且P是G与C2的一个公共点，满足配•电=0,则下列结论中正确的是

()

A.嫌+留=盛一状B.1+*=1

C.好+2多的最小值为|+272D.32的最大值为

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.关于空间向量，以下说法正确的是()

A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.若对空间中任意一点0,有人=＜瓦？+9区+4元，则P,A,B,。四点共面

ODZ

C.设｛落瓦可是空间中的一组基底，则自+3,3+乙不+码也是空间的一组基底

D.若江不＜0,则＜出1＞是钝角

：

10.已知直线4：ax—y—a+3=0,Z2x+ay+a+2=0,Z3：kx—y=0,其中a,k为常数，4与%

的交点为M,贝女)

A.对任意实数a,lr1l2B.不存在点P,使得|PM|为定值

C.存在a,使得点M到原点的距离为3D.M到小的最大距离为苧

11.已知数列｛a九｝满足=1,--^――=。九+1贝!)。2023的值可能为()

Nzan+lan

A.1B.-1C.22°22D.(1)2022

12.经研究发现：任意一个三次多项式函数/(%)=ax3+bx2+c%+d(aH0)的图象都只有一个对称中心

点(%o，/(%o))，其中％o是f"(%)=0的根，/'(%)是/(%)的导数，/"(%)是/(汽)的导数，若函数/(%)=/+

ax2+%+b图象的对称点为(—1,2),且不等式e%—mxe(J,nx+1)＞[/(%)—x3—3x2+e]久，对任意XG

(1,+8)恒成立，贝U()

1

A.a=3B.b=1C.zn的值可能是—cD.m的值可能是——

e

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等差数列满足42+44+2a7=12,贝u2a9-a13的值为.

14.如图所示，P为。48CD所在平面外一点，E为力。的中点，F为PC上一

点，当24〃平面EBF时，益

15.在平面直角坐标系宜》中，椭圆马+4=l(a>b〉0)和抛物线y2=,x交于点A,B,点P为椭圆的右

顶点.若。、4、P、B四点共圆，则椭圆离心率为.

1

16.已知函数/(久)=m(x-l)ex--+久在久eG，2)上有两个极值点，则实数小的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)

公差不为零的等差数列中，是和的等比中项，且该数列前17项之和为289.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)若如=厮-20/3,求数列｛%｝的前n项之和7；的最小值.

18.(本小题12分)

已知函数/(久)=(x2—2x+2a)ex.

(1)若/(久)在［2,7］上单调递增，求a的取值范围；

(2)试讨论函数/(x)的单调性.

19.(本小题12分)

如图在平行六面体A8CD—4/1G01中，AB^AD=AAr=72.Z.A±AB=^A1AD=/.BAD=60°.

(1)求证：直线4C1平面BDD/i；

(2)求直线4C和BQ夹角的余弦值.

20.(本小题12分)

已知函数/(X)=ex(2x-a),其最小值为一元

(1)求a的值；

(2)若关于久的方程“久)-权+b=0恰有一个实根，求实数6的范围.

21.(本小题12分)

如图，圆台。内的上、下底面圆半径分别为1,2,圆台的高为，百，4B是下底面圆的一条直径，点C在圆。

上，且BC=2/Z,点M在圆。上运动(M与C在AB的两侧)，MN是圆台的母线，MN1BC.

(1)求CM的长；

(2)求平面BCN和平面的夹角的余弦值.

22.(本小题12分)

如图，设P是/+必=8上的动点，点£)是点p在无轴上的投影，M点满足而=4而(440).

(1)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

(2)若4=今设点2(2,1),4关于原点的对称点为B,直线I过点(1,-勺且与曲线C交于点M和点N,设直线

AM与直线BN交于点T,设直线4M的斜率为灯，直线BN的斜率为电.

①求证：3为定值；

化2

(苴)求证：存在两条定直线4、小使得点r到直线k、%的距离之积为定值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：点”（1,—1,—2，豆），空间内一平面a过原点0,且垂直于向量元=（—3,2,—，豆），

由题意可得：0M=（1,-1,-2AA3）,平面a的法向量为元=（一3,2,一门），

.•.点M到平面a的距离为塔列=p

故选：A.

根据题意结合点到面的距离公式运算求解.

本题考查空间中点到平面的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

2.【答案】D

【解析】解：由题意可知：2=5+3（n-l）=3n+2,

a-n

故可得…盛，

诉“_2x2024_2024

目「以42024=3x2024+2=3037'

故选：D.

根据题意结合等差数列通项公式可得即，即可得结果.

本题主要考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：因为直线x+y+4=0的斜率k=一1,

又因为y=3x2+4,则y'=6x,

当平行与直线x+y+4=0且与抛物线相切时，切点到直线的距离最小，

令V=6%=-1,解得x=此时y=3（-1）2+4=相，

可知抛物线y=3%2+4上到直线％+y+4=0距离最近的点的坐标是（品卷）.

故选：C.

根据题意可知抛物线y=3%2+4的切线与直线x+y+4=0平行时，切点到直线％+y+4=0距离最小,

结合导数的几何意义运算求解

本题考查用导数的方法求点到直线的距离最小的方法，属于中档题.

4.【答案】B

【解析】解：直线y=k%+2把单位圆％2+y2=i分成长度为1：2的两段圆弧，C为的中点,

•・•0A=1,

1

・•.0C=

|2|_1

・•・圆心(0,0)到直线/c%—y+2=0的距离为J必+]2,解得/c=+V15«

故选：B.

根据已知条件，先求出圆心角，再结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解.

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题.

5.【答案】C

【解析】解：由题意可知：an=6n-1,且&i+i-a九=6,

可知数列｛即｝是等差数列，则L=碓+(厂1)]=3n2+2n,

可得『=1^=6何+/+4"25*"4=16,

当且仅当n=1时，至坐取得最小值16.

n

故选：C.

根据给定条件，求出数列｛a"的通项及前几项和为sn,再借助基本不等式求解即得.

本题主要考查了等差数列的求和公式，还考查了利用基本不等式求解最值，属于中档题.

6.【答案】B

【解析】解：y—(x2+4x+3)/'(x),比2+4尤+3<。=—3<x<—1,

二由y=(x2+4x+3)/(久)的图象知，

当％<一3或一3<%<一1时，[(X)<0；当久〉一1时，[(久)>0,

/(久)在上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，

/(X)的极小值为无极大值.

故A错误，8正确，C错误，

又/(—3)，/(—I)的值不确定，故D错误•

故选:B.

由y=(/+4久+3)/'(久)的图象知，当X<-3或一3<x<-1时，f'(x)<0；当x>-l.时，/'(久)>0,逐

一判断力BCD即可.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：正方体2BCD-&B1QD1的棱长为2,M、N分别是侧面CD/CI和BCC/1的中心，

过点M的平面a与ND垂直，

以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

侧面CDi的中心侧面BG的中心N(l,2,l),且D(0,0,0),

则而=(1,2,1)，.••点M在平面a与平面CDDiG的交线上，

设P(0,乃,Z])为这条交线上任意一点，则丽=(0,yi一1,Z1-1),

**"ND-L平面a,则MP,DN=2(%—1)+z1—1=0»2yl+z1=3,

令z1=0,得点尸(0,去0),令zi=2,得点G(04,2),

连接FG,平面a与平面4BCD必相交，

设QO,%0)为这条交线上任意一点，则而=(x,y-1,0),

而•丽=%+2(y-|)=0,整理得x+2y=0,

令％=2,得点E(2[,0),连接FE,

・平面4/16%〃平面4BCD,则平面a与平面&B1GD1的交线过点G,与直线FE平行,

过G作GH〃FE,交4%于/(t,0,2),则丽=(t，T，。)，PE=(2,-1,0),

GH//VE，t=l,”(1,0,2),

由题意得平面a与平面4BB14,4。/A都相交，则平面a与直线相交，

令交点为K(2,0,zn),£^=

由铳・丽=-2+爪=0,得K（2,0,l）,

连接EK,HK,得截面五边形EFGHK,即截面S为五边形EFGHK,

则EF=FG=<5,GH=EK=浮HK=<2,

取EF中点”1,1,0）,连接GL,EH,贝帖L=EH=^，HK=口

取EF中点”1,1,0）,连接GH,EH,贝UGL=EH=亨，

在八EHK中，3KH=EK飞《严=_萼sinNEKH=卓

2EK-HK55

△EHK的面积SAEHK=：XEKXHKsin^EKH=1x^xvr2x^p=^,

在△FGL中，COSNG町=GF?；；?谓F=台sinNGFL=喀，

2GF-LF55

AFGL边上的高九=FG-sinzGFL=冷

梯形EFGH的面积SEFGH=J（G”+FE）•仁:（乎+VT）x雪=孚，

乙乙乙。乙

・•・平面a截正方体4BCD-所得的截面积S=S^EHK+SEFGH=苧.

故选：B.

建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积，能求出结果.

本题考查正方体的结构特征、面面位置关系、截面、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题.

8.【答案】D

【解析】解：已知&,尸2是椭圆G：W=1（%>瓦>0）与双曲线C2：工一看=192>0也>0）的公

共焦点，

对于选项A,c2=al-b1=al+

即选项A错误；

对于选项3,由椭圆及双曲线的定义可得：|PFi|+|尸尸2|=2的，①

\\PF1\-\PF2\\=2a2,②

又P是G与。2的一个公共点，满足配•电=0,

2

则|PFi『+\PF2\=4c2,

2

由①②可得|PF/2+\PF2\=2（。+a分,

则4c2=2（而+02）>

即4+里=2,

cLCL

即2+/=2,

即选项8错误；

21(?21、।1

对于选项C,由8选项可得黄=占=笠中=2+号不，

2,—12践―1L2(2e§-1)

所以登+2多=+2(2%-1)+Q或-1)+L

令t=2专一1>1,

令/«)=(+t+/t>i，r«)=——+1=蒙>0恒成立，所以/⑹单调递增，

10

所以f(t)>f(l)="1+；3,

即号+2用>3,所以C不正确;

对于选项。，设工=V"^sine,—=V-2cos0,

81e2

则+——y/~6sind+y/_2cosd=2V^sin(6+—)<2V^,此时8=—,即e1=^=^jf=e2=^^cosd=

时等号成立，所以D正确.

故选：D.

由题意可得内,a2,b「无的关系，判断出4选项的真假，再由西•电=0,可得曲线的离心率的关系，

判断出8选项的真假，由“1”的活用及基本不等式的性质，判断出C选项的真假；设工=，Is讥0-=

81e2

^2cose,由三角函数的性质可得小+工的最大值，判断出D选项的真假.

3e2

本题考查了椭圆的离心率，双曲线的离心率的求法及椭圆的性质的应用，属中档题.

9.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查了空间向量的共线定理，共面定理的应用，考查了基底的概念以及向量的夹角的应用，属于中档

题.

根据向量共线的概念即可判断选项人根据空间向量的基本定理即可判断选项2；根据空间向量的基底的

概念即可判断选项C；根据向量夹角的定义即可判断选项D.

【解答】

解：选项A：根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，

若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；

选项8：因为对空间中任意一点。，有赤=吉瓦？+/初历，

632

贝4(而一硒+家加一函)+"加一硝=6,整理可得：PA=-2PB-3PC,

由平面向量基本定理可知点P，A,B,C四点一定共面，故B正确；

选项C：由他,瓦可是空间中的一组基底，则向量2,不共面，

可得向量Z+济W+m也不共面，所以宙+石花+*五+可也是空间中的一组基底，故C正确；

选项。：若a•3<o,则<之耳〉为钝角或兀，故。错误.

故选：ABC.

10.【答案】ACD

【解析】解：对于4，因为axl—lxa=0,则41%，故A正确；

对于B,因为"：ax—y—a+3=0,l2-.x+ay+a+2=0,即人：a(x—1)—(y—3)=0,l2-(%+

2)+a(y+1)=0,

易得直线"过定点4(1,3),直线6过定点B(-2,-1),

因为k与，2的交点为M,则M在以4B为直径的圆上，

而的中点为C(*,l),且|明=5,故点M在圆C：(x+i)2+(y-I)2=y±,

故取点P坐标为(一11),此时|PM|为定值，故8错误；

对于C,因为|0。|=苧圆的半径为|,

故M到原点取值范围为［亨，当5，且36岑3，

所以存在实数a，使得M到原点的距离为3,故C正确；

对于D,因为。过原点。，所以当。C1G，

且M在直线OC上时，点M到G的距离最大且最大值为亨，故D正确.

故选：ACD.

对于力，由公42+B1B2=0即可判断得人1%；对于B,结合选项A中的结论，得到M在圆C上，由此可求

得点P使得|PM|为定值；对于C,利用选项8中的结论，结合点到圆上的点的距离的最小值即可判断；对

于D,利用直线到圆上点的距离的最大值即可判断.

本题考查直线的应用，属于中档题.

11.【答案】AD

【解析】解：依题意，由号一/一=与+1-工，

22G什1",an

可得,-2a~~=Q九+1一号，

aa

n^n+l乙

gp2an[1-an_20^+1—072

^an+lan2

化简整理，得-1)(2。九+1-%J=0,

•*,。九+]=2a九,=1，

1

(J)当a?i+i=2a九时,*,a1=1,

•••数列｛a"是首项为1,公比为3的等比数列，

•••a2。23=IX(；)2023T=断。22,

②当a“+ian=l时，可得厮=1,下面用数学归纳法证明：

=1

当几时，ar=1,命题成立，

当n=fc(/c>l,keN*),假设以=1成立，

则当n=k+l时，,.,a/c+ia/c=l,

a=—=1,命题成立，

k+1ak

由上可知，厮=1成立，此时42023=1，

a2023=1或&2023=(-)2022.

故选：AD.

先将题干中递推公式进行转化得到即+1，即的两种对应关系，然后分类讨论｛%｝的通项公式，由此可得结

果.

本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式.考查了分类讨论思想，转化与化归思想，数学归纳法，等

比数列的通项公式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

12.【答案】ABC

【解析】解：由题意得/(—1)=—1+a—1+b=2,

••,/'(%)=3x2+2ax+1,・•・/"(%)=6x+2a,

・•./”(-1)=—6+2Q=0,解得a=3,b=1,故A,5正确；

止匕时/(%)=%?+3%2+%+1,

%>1,ex—mxe(J,nx+1)>[/(%)—%3—3x2+e｝xe,等价于m-e

当%>0时，ex>x+1,贝卜一=elnxe+x>—elnx+%+1(当且仅当％=e时，等号成立)，

从而Le：(：,+e)2**=_e,故机W—e,故C正确，。错误.

mx+llnx+1

故选：ABC.

由题意可得f(-l)=2且/〃(一1)=0,由此列式求得。与b的值，可得43正确；ex-mxe(J.nx+1)>

[/(%)-%3-3x2+e]xe,等价于mW匚窑生产，利用放缩法求得不等式右侧的最小值，可得小的范围

判断C与。.

本题考查利用导数求函数的极值与最值，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查

运算求解能力，属难题.

13.【答案】3

【解析】解：由题意可得：a2+a4+2a7=2a3+2a7=4a5=12,则（25=3,

Wj"以,2aga13=+a13aI3—as—3*

故答案为：3.

根据等差数列下标和性质运算求解.

本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.

14.【答案】

【解析】解：连接AC交BE于点M,

连接FM.

•••尸4//平面EBF,PAu平面PAC,平面「ACn平面=EM,

・•.PA//EM,

.PF_AM_AE_1

''~FC~~MC~~BC~2"

故答案为：i

连接AC交BE于点M,运用线面平行的性质定理，可得PA//EM,再由平行线分线段成比例定理，可得结

论.

本题考查的知识点是线面平行的性质定理，行线分线段成比例定理，难度中档.

15.【答案】苧

【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，椭圆a+%=l(a>b>0)和抛物

线y2=：a久交于点a,8,点P为椭圆的右顶点.

如图所示,0(0,0),P(a,0),4(%,y),

则OA=(x,y)>PA=(x—a,y)，

因为。、4P、B四点共圆，

又点A,B关于直线0P对称，

则瓦？1PA，

则示■TA—x2—ax+y2—0>

X2-o

1212

-y--a

24

代入椭圆方程今+马=1,

可得,+"x?=1，

,21

整理得A=1,

a23

2

所以e2=i一1=2,

az3

即e=?.

故答案为：苧.

分别求出0、4、尸坐标，利用四点共圆可以得到府1同，解方程即可.

本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆离心率的求法，属中档题.

16.【答案】点,今

【解析】解：•.・函数/(%)=血(％-1)短一/+%在(今2)上有两个极值点,

・•./'(%)=mxex-2%+1在G，2)上有两个变号零点,

令mxe-2乂+1=0,可得加=.

令以x)=第G<x<2),则"⑺=2xex—(x+l)(2x—l)ex_(x-1)(2x+l)

(xex)2x2ex

1

〃(％)>0^>-<%<1,"(%)<0^1<%<2,

・•・函数h(x)在0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

又*)=0,h(l)=工,八(2)=另，作出函数旗久)在(12)上图象,

zezez

2

当*Vzn<，时，直线y=m与函数h(%)在*2)上的图象有两个交点，

设两个交点的横坐标分别为第1、%2，且由图可知，

当之<%<5或无2<x<2时，m>至竦，此时/'(%)=xex(m—旦?)>0,

当/<%<第2时，m<三U，此时/'(%)=xex(m-4土)<。，

・•・函数/(%)在弓,%)上递增，在(打,%2)上递减，在(上，2)上递增，

此时，函数f(%)有两个极值点，合乎题意.

因此，实数血的取值范围为(备［).

故答案为：(*，；)•

由/'(%)=0可得血="U，令八(%)="?(：<%<2),则直线y=m与函数九(%)在4,2)上的图象有两个

交点，利用导数分析函数依%)的单调性与极值，数形结合可得出实数优的取值范围.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题.

17.【答案】(1)解：设等差数列｛。九｝的公差为d,

则dH0,

因为。2是。3和。5的等比中项，

贝！Jag—a3a5，

即(@i+d)2=@+2d)(%+4d),

22

BP+2ald+d=+6ard+8d,

整理可得4ai+7d=0,①

又因为数列｛%J的前17项和为17al+%竺=17(的+8d)=289,

可得的+8d=17,②

联立①②可得d=ar=—当,

rrKI.«、」119,68八68187

所以。九=%+（z几一l）d=一方■+五（z九-1）=2571-_25--

（2）由g=an—20V-3=黑几一—20V~3<0,

可得几<187+500C

68

187+500V3

而x15.49,

68

所以满足条件的九的最大值为15,

因此，数列｛b｝的前n项之和7；的最小值为As=fl(1+2+3+…+15)—15x嘿—15x2073=*—

30073.

【解析】(1)设等差数列｛&J的公差为d,则d力0,根据题意可得出关于的、d的方程组，解出这两个量的

值，利用等差数列的通项公式可求得数列｛厮｝的通项公式；

(2)解不等式%=厮-20宿<0,得出满足条件的正整数兀的最大值，再结合等差数列的求和公式可求得

勒的最小值.

本题考查了等差数列的通项公式的求法，重点考查了等差数列的求和公式，属中档题.

18.【答案】解：(1)f(%)=(%2-2%+2。)靖在［2,7］上单调递增，

/'(%)=—2%+2a)ex+(2x-2)e*=(x2+2a—2)ex,

・•・/'(%)=(x2+2a-2)ex>0在［2,7］上恒成立，

即先2+2a-2>0在［2,7］上恒成立，

又y=/+2。-2在［2,7］上单调递增，

当％=2时，y=/+2。-2取得最小值2a+2,

*，•2a+2之0,即aZ—1,

•••。的取值范围［-1,+8).

(2)由(1)可得：((%)=(%2+2。-2)靖，

当2a—2>0,即a>1时,则/'(%)=(%2+2a—2)e%>0,

当2a—2<0,即a<1时，

令，(%)>0,解得X<2—2a或%>V2—2a；令f'(%)<0,解得一，2-2a<%<V2—2a；

・•・当QNI时，/(%)在R上单调递增；

当aVI时，/（%）在（-8,一心2—2a）,“2-2a,+8）上单调递增,在（-'2-2a,32-2a）内单调递减.

【解析】(1)由题意可知：/0)=(/+2£1-2)/20在［2,7］上恒成立，结合二次函数分析求解；

(2)分2a-2>0和2a-2<0两种情况，结合导数以及二次不等式分析求解.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

19.【答案】(1)证明：设荏=落AD=b^^=落贝U{落瓦可为空间的一个基底，

则砧=有+另一演BD^b-a，西=乙

因为48=AD=AAt=V-2'/-ArAB—/.ArAD—乙BAD=60°,

所以片=另2=m2=2，^.b=b-c=c-a=1，

所以不•前=01—0•(3—①=0，砧.西=0+3—8亮=0，

所以4C1BD,&C1BB］，又BDCBB1=B,

所以&C，平面5^—-------彳G

(2)解：由(1)得酩=b+c,^^7/7

所以一豆-一~BCi=(a+b-c)-(b+c)^a-b+a-c+b2+b-c-c-/'"、、

W-2rAB

b—c=2，

2222

|A1C\=(a+b—c)=a+b+c+2a-b—2a-c—2b-c=4：>

所以|不|=2，贝!1|瓦=@+6)2=方2+老+2隹？=6，

所以|跖|二，石，

设&C与8Ci的夹角为氏则cos®=।焉孰=2^=V-

所以直线4C和8cl夹角的余弦值为名.

6

【解析】(1)设屈=2,AD=b,AA；=c,贝U{3花,钟为空间的一个基底，根据空间向量的线性运算得出

A^C,BD,两，再根据向量的数量积运算得出彳忑•前=0,不•西=0,从而得出为C1BD,

&C1BB1，进而根据线面垂直的判定定理，即可证明直线4C1平面BDD/i；

(2)根据空间向量的线性运算得出西=3+乙再根据向量的数量积运算求得不•西=2和碇|=

2/2,|BG|=<6,最后根据异面直线的夹角公式cos<砧，蚓>=黑饕,即可求出直线和

BQ夹角的余弦值.

本题主要考查直线与平面垂直的证明，异面直线所成角的求法，向量法的应用，考查运算求解能力，属于

中档题.

20.【答案】解：⑴因为/(%)=ex(2x-a),所以/'(%)=ex(2x-a+2),

当％€(早,+8),则/(%)>0,可知/(%)单调递增；

当%e(一8,等)，则/'(%)<0,可知/(%)单调递减；

则/(%)最小值在％=早处取到，

可得;'(殍)=—2e'=—2e”，解得a=1,

所以a的值为L

(2)因为a=l,所以e«2x—1)=6Q—1),显然x=1不是方程的根，

则b=叽2久；1)丰1).

X-111

令g(x)=则。'(久)=

八，X—1(X—1)

当第E(-8,0)U(|,+8),则“(%)>0,可知0(%)在(一8,0)和6,+8)上单调递增;

如图所示：

若b=叽2与1)(%。1)有1个实根，即使y=b与g(%)有一个交点即可，

x—1

□

可知6<0或b=1或b=4ej,

所以实数b的范围为(_8,0]u{l,4el)-

【解析】(1)先求导函数再求出最值求参即可；

(2)先把函数转化为函数的交点问题，构造函数g(x)=丝普生再结合单调性及值域求参即可.

本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了导数的综合应用，考查了函数思想及数形结合思想，属于

中档题.

21.【答案】解：(1)依题意。。1，平面ABC,BCu平面48C,则。。MNLBC,

。。1与MN相交，BC_L平面。3NM,

•••。"u平面OO/M,•••BCLOM,

AC1BC,AC//OM,

BC=2<3>AB=4,Z.ACB=90°,

sinzCXB=浮：.乙CAB=60°,

•••/-AOM=60°,是等边三角形，/N。4M=60°,

C,M关于4B对称，CM=2X2Xsin60°=273.

(2)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图,

则4(0,-2,0),C(-<3,-l,0),M(<3,-l,0)，5(0,2,0),

'''OrN=-OM,■-N(^-,—

.•・奇=(O丽=(等,一2，一门)，CB=(73,3,0)，丽=(苧］,门),

设平面/MN的法向量为记=(居y,z),

(m-AM=V_3x+y=0___

贝叼———>门i,取久=得记=(V3,—3,V3),

m-NM=^-x-^y-yf3z=0

设平面BCN的法向量为元=(a,4c),

(n-CB=6CL+36=0

叫一词3/3J-万，取a=3,得元=(3,一门,一4)，

n•CN=La+-Lb+V3c=0

设平面BCN和平面力MN的夹角为，，cos。=署兽=点、=维，

|m|-|n|V15xv2835

平面BCN和平面4MN的夹角的余弦值为冬.

【解析】(1)根据圆台的性质可得。。1，平面2BC,从而得到。0118C,再由MN18C,得到BC1平面

OO1NM,即可得到BC1OM,从而得到AC〃OM,再由锐角三角函数求出NC4B,即可得到AAOM是等边

三角形，由此能求出结果.

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BCN和平面4MN的夹角的余弦值.

本题考查圆台结构特征、线面