江苏省苏州市2024届高考全国统考预测卷数学试卷含解析

江苏省苏州市震泽中学2024届高考全国统考预测密卷数学试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知双曲线C:二-斗=1（。＞0力＞0）的焦距为2c,过左焦点6作斜率为1的直线交双曲线C的右支于点尸，若线

ab

段P耳的中点在圆。：犬+丁=02上，则该双曲线的离心率为（）

A.V2B.2夜C.拒+1D.272+1

2.已知A,B,C,。是球。的球面上四个不同的点，若/归=4。=£出=£＞。=5。=2,且平面£出。_1_平面ABC,

则球。的表面积为（）

20万15TT,

A.------B.------C.67rD.5%

32

7T

3.已知函数/■（x）=cos（2x+§）,则下列结论错误的是（）

A.函数/（九）的最小正周期为兀

B.函数/（%）的图象关于点］点,0）对称

c.函数/（%）在1q,^］上单调递增

D.函数/（九）的图象可由y=sin2x的图象向左平移5个单位长度得到

4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝

才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛,

每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

5.已知等差数列｛《,｝的公差为-2,前〃项和为S“，％,出，%为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120。，

若5〃＜与对任意的“eN*恒成立，则实数机=（）.

A.6B.5C.4D.3

6.四人并排坐在连号的四个座位上，其中A与3不相邻的所有不同的坐法种数是（）

A.12B.16C.20D.8

—,X<1

7.已知函数/。）=]alnx-若曲线y=/Q）上始终存在两点A，B,使得。且A5的中点在丁

---------Y>I

x(x+l)

轴上，则正实数〃的取值范围为（

A.(0,+oo)—,+a)D.[e,+oo)

e

8.如图是二次函数/（%）=必—法+〃的部分图象，则函数g（x）=〃lnx+/'（%）的零点所在的区间是（）

?!C.(1,2)D.(2,3)

9.已知向量。=（1,一2）,6=（3,—1）,则（

A.a//bB.a-LbC.a//(d-b)D.a-L(d-b)

10.已知抛物线C：丁2=2阳°>0）,直线了=中-修（左〉0）与0分别相交于点4,M与C的准线相交于点N,

^\AM\=\MN\,贝!u=（）

2V2

丁c.2V2

x-y+l<0,

11.已知砂为圆（x-1）?+（y+1）?=1的一条直径，点M（x,y）的坐标满足不等式组<2x+y+320,则被.旅的

取值范围为（）

B.[4,13]

C.[4,12]

12.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥尸-45C的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）

Q

A.PA,PB,PC两两垂直B.三棱锥P-4BC的体积为§

C.\PA\=\PB\=\PC\=sj6D.三棱锥尸-ABC的侧面积为3J?

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x>0

13.已知X,y满足不等式组b+y-1N0,则z=%+2y的取值范围为.

x-3y-l<0

14.如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等

腰直角三角形，则此四棱锥的体积为.

15.已知数列｛。“｝满足囚=1,且34+]%+4+]-q=0恒成立，则%,的值为.

16.在直角三角形ABC中，NC为直角，ABAC>45，点。在线段上，^CD=-CB,^tanZDAB=-,

32

则ZBAC的正切值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，点T为圆。：必+丫2=1上一动点，过点?分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A,B,连接

8A延长至点P,使得氏4=AP，点P的轨迹记为曲线C.

BT

（1）求曲线C的方程；

（2）若点A,3分别位于X轴与y轴的正半轴上，直线与曲线C相交于Af,N两点，且|人却=1,试问在曲线

C上是否存在点Q,使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线/方程；若不存在，说明理由.

18.（12分）已知抛物线E：产=2加；（p>。），焦点厂到准线的距离为3,抛物线E上的两个动点A（。，山）和3（m,

J2）,其中X#X2且X1+X2=1.线段AB的垂直平分线与X轴交于点C.

（1）求抛物线E的方程；

（2）求A4BC面积的最大值.

19.（12分）已知ae（0,鼻，£e停兀），cos〃=—sin（<z+/?）=^.

（1）求sina的值；

（2）求tan］（z+m的值.

20.（12分）椭圆C：'+*=1（a>b>0）的离心率为手，它的四个顶点构成的四边形面积为2行.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P是直线x=/上任意一点，过点P作圆好+/=/的两条切线，切点分别为〃，N,求证：直线MN恒

过一个定点.

21.（12分）已知数列｛为｝是公比为正数的等比数列，其前九项和为"，满足q=2,且％，2§2，%成等差数列.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）若数列也｝满足〃=题2%,求"一以+区-年+届-&+…+必9-瓦》的值.

2

22.（10分）设点耳（-G。），耳（C,O）分别是椭圆0：・+>2=1.〉1）的左、右焦点，P为椭圆。上任意一点，且

PF^PF2的最小值为L

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，动直线l；y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点,N是直线/上的两点，且耳M,8N，/,

求四边形F[MNF]面积S的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

设线段尸耳的中点为A,判断出4点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.

【详解】

设线段尸耳的中点为4,由于直线月尸的斜率是1,而圆。：必+丁=02,所以40,c).由于。是线段月工的中点,

所以归阊=2|Q4|=2c,而|P£|=2|AG|=2x缶=2缶，根据双曲线的定义可知归耳卜|尸引=2a,即

2

2岳—22,即―南丁血+1-

故选：C

本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档

题.

2、A

【解析】

由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案.

【详解】

如图，

取BC中点G,连接AG,DG,则AGLBC,DGJLBC,

分别取ABC与_DBC的外心E,F,分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O,

则O为四面体A—BCD的球心，

由AB=AC=DB=DC=BC=2,得正方形OEGF的边长为正，则OG=Y5，

33

•••四面体A—BCD的外接球的半径R=JOG?+EG?

二球O的表面积为47rx(J|)2=一.

故选A.

【点睛】

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.

3、D

【解析】

/,,llJIJIJI

由7=，可判断选项A；当x==时，2x+'=」可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；

co1232

y=sin2x+—=cos2x-^U/(x)可判断选项

I12

【详解】

由题知/(X)=cos2%+三，最小正周期7=夸=兀，所以A正确;当x=M时,

JTJT兀\3兀\

2%H—二一，所以B正确；当2x+yeI7i,—I,所以C正确;由y=sin2x

32

."兀、."71兀、

的图象向左平移2个单位，Wy=sin2x+^~=sm2x+—=sm2x+-------=

I6；l23；

cosf2x-|U/(x),所以D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.

4、B

【解析】

人每天走的路程构成公比为g的等比数列，设此人第一天走的路程为％,计算4=192,代入得到答案.

【详解】

由题意可知此人每天走的路程构成公比为!的等比数列，设此人第一天走的路程为％,

2

则[(2〃=37g，解得凡=192,从而可得q=192xL96,%=192=24,故4-4=96-24=72.

1--

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

5、C

【解析】

若对任意的〃eN*恒成立，则S”,为S”的最大值，所以由已知，只需求出S“取得最大值时的〃即可.

【详解】

由已知，％〉。2〉。3>。，又三角形有一个内角为120。，所以=城+城+。2。3，

〃；二(〃i-2)2+(4-4『+(〃]一2)(%-4),解得。1=7或％=2(舍)，

故S'=7〃+”"；D>(―2)=—层+8n,当〃=4时，S“取得最大值，所以加=4.

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列前"项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.

6、A

【解析】

先将除A,5以外的两人先排，再将A,5在3个空位置里进行插空，再相乘得答案.

【详解】

先将除A,5以外的两人先排，有用=2种；再将4,5在3个空位置里进行插空，有=3x2=6种，所以共有

2x6=12种.

故选：A

【点睛】

本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.

7、D

【解析】

根据A5中点在y轴上，设出A,B两点的坐标A(T,R+/2),B(Z,/(O),a>o).对/分成三类，利用

Q4,03则04.03=0,列方程，化简后求得。=二，利用导数求得乙的值域，由此求得。的取值范围.

In?Inf

【详解】

根据条件可知A,3两点的横坐标互为相反数,不妨设A(T,「+『)，/⑺)，(/>0),若/<1,则/⑺=+产，

由Q4LO瓦所以0403=0,即一产+(r+产)(—r+/)=0,方程无解；若7=1,显然不满足Q4_LO5；若f〉l,

.”、a\nt,2/32、八t,/％)lnt-1~,,t

则/«)=丁一K，由。4.03=0,即—产+(，+厂)丁一n=0,即。=「，因为—=-~/,所以函数

t(t+1)'勺《+1)Inz[In"(Inr)Inr

在(O,e)上递减，在(e,y)上递增，故在/=e处取得极小值也即是最小值自=6,所以函数y=.在(1+8)上的

值域为[e,+oo),故ae[e,+8).故选D.

【点睛】

本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最

小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.

8、B

【解析】

根据二次函数图象的对称轴得出〃范围，y轴截距，求出。的范围，判断g«)在区间端点函数值正负，即可求出结论.

【详解】

•：f(x)^x2-bx+a,结合函数的图象可知，

h

二次函数的对称轴为x=。</(0)=〃<1,

1h

—<x=—<1,*/fr(x)=2x-b,

所以g(x)=aInx+fr(x)=aInx+2x—b在(0,+oo)上单调递增.

又因为S(万)—^ln—+1—/?<0,g(l)=alnl+2—/?〉0,

所以函数g(x)的零点所在的区间是[glJ.

故选:B.

【点睛】

本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.

9、D

【解析】

由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.

【详解】

•向量d=（1,-2）,b=（3,-1）,二a和匕的坐标对应不成比例，故a、人不平行，故排除A；

显然，a*b=3+2^0,故。、人不垂直，故排除成

''a—b=（-2,-1）,显然，。和。一。的坐标对应不成比例，故a和不平行，故排除C；

，（a-Z?）=-2+2=0,故a±（a-b），故。正确，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.

10、C

【解析】

根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.

【详解】

显然直线y=左,一々｝左〉0）过抛物线的焦点/

如图，过4,“作准线的垂直，垂足分别为C,D,过M作AC的垂线，垂足为E

根据抛物线的定义可知MZ>=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M为AN的中点，所以MO为三角形NAC的中位线,

.1

故MD=CE=EA=—AC

2

设M/=f,则MD=f,AF=AC=2t,所以AM=3f,在直角三角形AEM中，ME=y]AM2-AE2=-t2=272?

所以―MAE:联当=2也

故选：c

【点睛】

本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.

11,D

【解析】

首先将建.旅转化为“72_1，只需求出MT的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数

形结合即可得到答案.

【详解】

作出可行域如图所示

设圆心为T(l,-1),则ME.砂=(MT+TE>(MT+TF)=

2.2___.2

(MT+TE)•(MT—TE)=MT-TE=MT

过T作直线x—y+l=O的垂线，垂足为3,显然MBWMTWMA,又易得4-2,1),

所以M4=-（一2）f+（-1一I）=屈，TB="（_1）2=丁，

27

故MEMF=MT-le[-,12].

故选：D.

【点睛】

本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化

与划归的思想，是一道中档题.

12、C

【解析】

根据三视图，可得三棱锥P-A3C的直观图，然后再计算可得.

【详解】

解：根据三视图，可得三棱锥P-A3C的直观图如图所示，

其中。为的中点，底面A5C

114

所以三棱锥P-43c的体积为一x—x2x2x2=—,

323

：.\AC\^\BC\=\PD\=2,\AB\=^|AC|2+|BC|2=272,:.\DA\=\DB\=\DC\=41,

.".IPA|=|PB\=\PC\=色2+（友『=瓜

|PA|2+|P5|2^|AB|2,.-.PA,必不可能垂直，

即PA,PB,PC不可能两两垂直，

SAPBA=}x2拒X2=2VLS"BC=S"AC=；XJ（A）-fx2=#）.

•••三棱锥P-ABC的侧面积为275+272.

故正确的为C.

故选：C.

【点睛】

本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13-.[1,+oo)

【解析】

画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知z=x+2y在点(1,0)处取得最小值，即2mhi=l+2x0=l,

所以由图可知z=x+2y的取值范围为口,+8).

14、述

3

【解析】

画图直观图可得该几何体为棱锥，再计算高求解体积即可.

【详解】

解：如图,是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形,

上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形,

•••此四棱锥S-ABCD中,ABC。是边长为2的正方形，

SAD是边长为2的等边三角形，

故CD，AD,又CD，SO,AZ)cSD=。

故平面SAD，平面ABCD,

二的高SE是四棱锥S-ABCD的高,

,此四棱锥的体积为：

V=gs正方形ABC。xSE=1x2x2xV4-1=-

故答案为：拽.

3

【点睛】

本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意

1

15、——

16

【解析】

11c,1,

易得--------=3,所以｛一｝是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可.

4+ianan

【详解】

111

由已知，*0,因3<7用%+4用一%=0,所以--------=3,所以数列｛1｝是以

a

4+1nan

，=1为首项，3为公差的等差数列，故工=1+(6-l)x3=16,所以牝=2.

«1a616

故答案为：—

16

【点睛】

本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.

16、3

【解析】

在直角三角形中设3,AC=x<3,tanZDAB=tan(ZBAC-ZDAC)=-,利用两角差的正切公式求解.

2

【详解】

设BC=3,AC=x<3,

31

则tanABAC=一,tanADAC=-

xx

2

―2x1

tanZDAB=tan(ZBAC-ZDAC)==——二—nx=1,

1+4%+32

故tanZBAC=3.

故答案为：3

【点睛】

此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)—+y2=1(2)不存在；详见解析

4"

【解析】

(1)设TOo，%),P(x,y),通过=即A为必的中点，转化求解，点P的轨迹C的方程.

产

(2)设直线/的方程为y=先根据IAB1=1,可得—+产=1,①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得

k2

4/=4左2+1，②，将①代入②可得4/+左2+「0,该方程无解，问题得以解决

【详解】

(1)设尸(x,y),T(x0,y0),则A(/,O),3(0,%),

由题意知氏4=AP，所以4为Pfi中点，

XC

X——X

n2——

由中点坐标公式得，即°2,

。=%，[%=y

2

又点T在圆。：d+>2=1上，故满足/2+为2=1,得y2=1.

2

曲线C的方程L+/=1.

4-

(2)由题意知直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为y=二kx+t,

因为|AB|=|OT]=1,故|—£|+/=1，即]+『=1①，

y=kx+t

联立<元22,消去丁得：(4左2+1)%2+8左比+4,2-1)=(),

彳+,=

设加(石，乂)，^(x2,y2),

8kt4(?—1)

yl+y2=k(x]+x2)+2t=k^-^-^+2t=-^-,

因为四边形OMQN为平行四边形，故。(一伴匚，77?~7]，

I4k+14左~+1)

(8kty

点Q在椭圆上，故「正力J2t[2_],整理得4/=4/+1②，

43产+1J―

将①代入②，得4/+^+i=o,该方程无解，故这样的直线不存在.

【点睛】

本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题.

18、(1)V=6x(2)更立.

3

【解析】

(1)根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；

(2)根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.

【详解】

(1)抛物线E：y2=2px(p>0),焦点F(^,0)到准线x=-，的距离为3,可得p=3,即有抛物线方程为炉=

6x；

(2)设线段A8的中点为M(xo,刈)，则/=生产=2,

一、，-%一1_%-—-6-3

y°=~~，kABx2~xiy£_y/%+%%，

66

则线段A3的垂直平分线方程为y-yO=-g(x-2),①

可得x=5,y=0是①的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，

且点C(5,0),由①可得直线A5的方程为广/=』(x-2),即》=四(j-jo)+2②

%3

代入y2=6x可得y2=2yo(j-jo)+12,BPy2-2yoy+2yo2=O③，

由题意H，»是方程③的两个实根，且yi分2,

所以△=lyo2-1(2城-12)=-ljo2+18＞O,解得-2币＜必＜26，

以为=J（百一/）2+（M

=J1+当卜%2-乖年—12))=,49+%2乂12f2),

又C(5,0)到线段AB的距离h=\CM\=J(5-2)2+(0一%了=电十，

所以SA4BC=5|A5|/I=3，(9+%2乂12_%2).19+为2

二巧9+舄(24—2,州9+为力出9+yj4-32后豆・竽,

26+y

当且仅当9+JO2=21-2jo,即jo=±V5，A（^,&不），B（匕监，百—近）,

33

或A（4^，-亚一此，B-石+近）时等号成立,

所以SAABC的最大值为电7.

3

【点睛】

此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积

关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式

求最值.

19、（1）-（2）述

32

【解析】

（1）先利用同角的三角函数关系解得sin，和cos（a+户）,再由sin。=sin［（。+尸）—，利用正弦的差角公式求解

即可；

（2）由（1）可得tanc和tan£,利用余弦的二倍角公式求得tan，,再由正切的和角公式求解即可.

【详解】

解：（1）因为7;cos/?=-g,

谑

~9~

所以sina=sin[(cif+/?)-/?]=sin(a+/?)cos°-cos(a+0)sin/?

7ff4012A/2_1

9{3)[9)33

(2)由(1)得,sina=g,aw

smaV2

所以tan。=

cosa4

B8cos12sin21-tan2j

因为cos〃=cos2y-sin2^-=------------------=-----------5且cos尸二一一,

」cos2+sin21+tan23

222

1-tan2y

即=-；,解得tan?4=2,

1+tan2y

因为所以:所以tan^>0,

所以tan^=0,

p

tancr+tan—屋+收_5后

所以tan2

2

1-tan«-tan—

2

【点睛】

本题考查已知三角函数值求值，考查三角函数的化简,考查和角公式，二倍角公式，同角的三角函数关系的应用，考查运算

能力.

20、(1)。+，=1；(2)证明见解析.

【解析】

（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；

（2）设点P（2,%）,M（%，x）,N（%,%），由PNJ_ON,结合斜率公式化简得出2—2%-M%=0,

2-2x2-y2yo=O,即M^^（%,%）满足2-2》一》0=。，由%的任意性，得出直线恒过一个定点

（1,0）.

【详解】

a2=b2+c2

a2=2

（1）依题意得~,2a-2b=2A/2,解得<

b1—c1=\

c_V?

a2

即椭圆C：y+y2=l；

（2）设点P（2,%）,M（%，x）,N（%2，%）

其中x；+y：=2,X；+£=2

由WOM,取,0可得.一々,且=_1,y2~y°~---1

X]_2%x2—2x2

即玉+y—2Al—%％=0，々+%—2々一%%=°

注意到x；+y；=2,xf+yl=2

于是2-2玉一%%=0,2-2x2-y2yo=O

因此川（石,乂）,?7（%2，%）满足2-2兀-》0=°

由凡的任意性知，x=l,y=0,即直线MN恒过一个定点（1,0）.

【点睛】

本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.

21、(1)%=22"T(“eN*)(2)-20000

【解析】

(1)由公比4表示出。2，。3,52，由。2,252，。3成等差数列可求得心从而数列的通项公式；

(2)求(1)得么，然后对和式始一度+区—以+公―，+…+%-稣。两两并项后利用等差数列的前几项和公式可

求解.

【详解】

(1)•••{4}是等比数列，且。2,2S2，%成等差数列

2

:.4s2=4+为,即4(%+%q)=axq+a{