江西2022-2023学年高一年级下册期中考试数学试卷(含答案)

江西丰城中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.集合4={》|必<9},5={尤eN|-l<%<5},则A8的子集个数为（）

A.3B.2C.4D.8

2.复数1=」一（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）

1-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.用一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）

A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台

4.在RtAABC中,AC，刀点是AB边上的中点,=6,C4=8,则•CD的值为

（）

A.-14B.-6C.14D.-12

5.已知定义在R上的奇函数/（%）满足/（x）=/（2—x）.当14x42时,/（x）=log2（x+7）,

贝U/（2021）=（）

A.3B.-3C.-5D.5

6.设4工4是三条不同的直线,a，B,7是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是

（）

A.若IJIa,a//4，则4〃4

B.若4±tz,tz±/2，则乙±/2

C若“//2I1ua，4u££=则4〃，3

D.若a_L£,a17=/],|3A丫=/2,则4〃/2

7.已知从甲袋内摸出1个红球的概率是L从乙袋内摸出1个红球的概率是‘从两袋内

32

各摸出1个球，则,等于（）

A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率

C.2个球中至少有1个红球的概率D.2个球中恰好有1个红球的概率

22

8.如图所示，已知耳和居分别是双曲线。:+-==1（。〉01〉0）的左、右焦点，圆

ab

G+c）2+y2=4c2与双曲线位于X轴上方的图像从左到右依次交于A、3两点，如果

二、多项选择题

9.已知数据看,0,X3,…，居的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是《也勺，4,

数据JV2,上，…，笫的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是4也,。2也,且满足

%=3%一1（i=l,2,3,…，则下列结论正确的是（）

A也=3/?］—1B.6i2=a1C.c2=9CjD.d2=3dx—1

10.已知〃也c满足cvb且QCVO,则下列不等式恒成立的是（）

11

bcnb-a^ba-a-c丁

AA.—>—B.------>0C.——>——D.------<0

aacccac

11.已知函数/（%）=sin〉0）在区间［0,兀］上有且仅有3条对称轴，给出下列

四个结论，正确的是（）

A.S的取值范围是［2,上］

［44；

B./（%）在区间（0,71）上有且仅有3个不同的零点

C./（x）的最小正周期可能是当

D.“X）在区间10,总上单调递增

7T

12.如图,在菱形ABCD中,=2,ZABC=—，〃为3C的中点，将△ABM沿直线AM翻

3

折到用V/的位置，连接与C和BQ,N为耳。的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确

A.面ABXM1面BXMC

B.线段CN长度的取值范围为工6]

C.直线AM和CN所成的角始终为工

6

D.当三棱锥用-AMD的体积最大时，点C在三棱锥用-AMD外接球的外部

三、填空题

13.函数/（x）=2a”+l（a>0且awl）的图象过定点，这个点的坐标为.

14.楼道里有8盏灯，为了节约用电,需关掉3盏互不相邻的灯,则关灯方案有

种.

15.若直线y+2-2左=0与曲线C:y=V?二？有两个不同的交点,则实数上的取

值范围是.

22

16.过双曲线。:a-方=1（。〉0]〉0）右焦点R作直线/,且直线/与双曲线C的一条

渐近线垂直,垂足为A,直线/与另一条渐近线交于点A且点A,5位于x轴的异侧,。为坐

标原点，若△Q钻的内切圆的半径为名，则双曲线C的离心率为.

3

四、解答题

17.某汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开始，凡购买一

辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该

品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直

方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中的参数。，估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额

的心理预期值的众数、平均数；

(2)采取分层抽样的方式从[5,6),[6,7)两组中共抽取了6人,现从这6人中随机抽2人,

求这2人来自不同组的概率.

18.已知圆C://+2x-4_y+m=0.

(1)若圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半，求机的值；

(2)当加=3时，若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程.

19.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面四边形A3CD为菱形，点E为棱PD的中点，。为边

A3的中点.

(1)求证：AE〃平面POC；

JT

(2)若侧面底面A3CD,且NABC=NPAB=—,筋=2八4=4,求平面必。与平

3

面POC的夹角的余弦值.

20.已知a,b,c分别为AABC三个内角A,B,C的对边，且“cosC+6asinC=b+c.

(1)求A；

(2)已知△ABC的面积为£工设航为3c的中点，且AM=6ZBAC的平分线交BC

4

于N,求线段A7V的长度.

4r~

21.如图，在斜三棱柱ABC-DEF中,AABC是边长为2的正三角形,3。=CD=—6,侧

3

棱AD与底面ABC所成角为60°.

（1）求三棱柱ABC-DEF的体积；

（2）在线段DR（含端点）上是否存在点G,使得平面G3C与平面ABC的夹角为

60°?若存在，请指出点G的位置；若不存在,请说明理由.

22.已知椭圆「，+/=1（。〉6〉0）的右焦点为网c,0）（c>0）,离心率为与经过R且

垂直于x轴的直线交：T于第一象限的点M,。为坐标原点，且|。阳|=半.

（1）求椭圆「的方程；

⑵设不经过原点。且斜率为;的直线交椭圆「于根两点A5关于原点。对称的

点分别是CQ,试判断四边形ABCD的面积有没有最大值.若有，请求出最大值；若没有,

请说明理由.

参考答案

1.答案：D

解析：A={x[—3<%<3},5={0,1,2,3,4},

.-.AB={0,l,2},

.-.A3的子集个数为：23=8.

故选：D.

2.答案：B

解析：复数z=」一i(l+i)-1+i

1-12

可得复数1=二一（i为虚数单位）在复平面内对应的点为

1-i{22J

位于第二象限，

故选：B.

3.答案：C

解析：圆柱的截面可以是矩形，圆锥的截面可以是三角形，圆台的截面可以是梯形，只有

球的截面都是圆.

故选：C.

4.答案：A

解析：以C为原点，建立如图所示的直角坐标系，

则3(6,0),A(0,8),£>(3,4),C(0,0)

所以AB=(6,—8),CD=(3,4),

所以AB•CD=6x3+(—8)x4=—14.

故选：A.

5.答案：A

解析：根据题意,定义在R上的奇函数〃尤)满足/(x)=/(2-x),

贝1J一/(一%)=f(2-x)，变形可得f(x+2)=-f(x),

则有/(%+4)=-/(%+2)=/(幻,即函数八%)是周期为4的周期函数，

贝切(2021)=/(1)=1暇8=3,

故选：A.

6.答案：C

解析：对于A,/i〃a,a/〃2，/i与6可能相交、异面，未必平行，所以A错；

对于B,^la,a1/2，则，所以B错；

对于C,因为“4,设由4和4确定的平面为,，假设44=A,

则Ae/,Aea,Ac/7,所以三条直线有公共点A,与1,1112矛盾，所以C对；

对于D,当。，，，1y=k，/3/=/2时,可能则/1与/2相交沫必〃〃2，所以口错.

故选：C.

7.答案：C

解析：从甲袋内摸出1个红球的概率是L从乙袋内摸出1个红球的概率是L

32

从两袋内各摸出1个球，

对于A,2个球不都是红球的概率为P=P=1—故A错误；

326

对于B,2个球都是红球的概率为P=±x上=土，故3错误;

326

7

对于C,2个球中至少有1个红球的概率为P=l-士，故c正确;

3

对于D,2个球中恰好有1个红球的概率为P—工]+[1一!卜，=，,故口错误.

故选：C.

8.答案：A

解析：连接耳，取A8的中点鸟的中点D,连接耳C,耳。，

由已知及双曲线的定义得|44H明|=|鸟耳|=2C,\AF2|=2a+2c,\BF2\=2c-2a,

/4月耳=120。，，&/^。月月中,5也/。耳1=5M60。=产4="二

忻用2c

a

c,:.-=43-l,:.cosZBFF=^^=^^c-a

又0v2l

忸周一IK鸟I2cAd

故选：A.

9.答案：ACD

解析：由题意可知,两组数据满足X=3%-1(i=l,2,3,-,«),

由平均数计算公式得

x

-(Ji+/+,••+,")=—x「(3X]-1)+(3x,—1)++(3%—l)]=3x_xf+x2+...+—1,

nnL」〃

所以d=36]-1，故A正确；

由它们的众数也满足％=3玉-1(i=l,2,3,二〃)，

则有g=3勾-1,故3错误；

由方差的性质得。2=9q,故C正确；

对于数据七,马,与，…,X”,假设其第80百分位数为4,

当0.8〃=k是整数时,&=立十%,

2

当0.8〃不是整数时，设其整数部分为左，则4=X.,

所以对于数据3%-1,3尤2-1,3差-1,…,3x“-1,假设其第80百分位数为V,

当0.8〃=左是整数时,d2=3XkT13Xk「l=34—1,

当0.8n不是整数时，设其整数部分为左，则d2=3%+「1=34-1,

所以4=34-1,故D正确.

故选：ACD.

10.答案：ABD

解析：因为〃力,c满足且acvO,所以cvO,〃＞0力符号不确定,

1A「

选项A：因为Z?＞c,—〉0,所以一〉一,选项A正确；

aaa

选项B：因为6＜0,』＜0,所以/?一。＜0,^^＞0,选项B正确；

CC

选项C：因为b＜a,』＜0,

C

T22

当网＜a时12＜心所以幺〉幺，

CC

i22

当匕＜0且问〉a时方＞/,所以5选项C错误;

选项D：因为。＜4,,＜0,所以。一00,伫^＜0,选项D正确.

acac

故选：ABD.

11.答案：ACD

解析：由XC［0,兀］,得H-----G—,TIG）------,

444

因为函数/（%）在区间［0,汨上有且仅有3条对称轴,

所以＞+门解得*#故人正确;

对于B,XG（0,71）,

717171

COXH-----£

4

715兀7兀

/.。兀+一£

4T,-T

、【乙兀

当妙+一£y,37T时,〃X）在区间（0,兀）上有且仅有2个不同的零点;

4

7兀

+371,时,/（同在区间（0,71）上有且仅有3个不同的零点，故B错误;

对于c,周期丁="，由-<«<-JO

。4413。9

.8兀8兀

..---</、---,

139

又展8兀8兀

1?，-9-

所以〃尤）的最小正周期可能是子，故c正确;

对于D,

71兀〃;71兀

CDH--£9+

X44774

D9,13CDTl7171

乂一<①<—,---1—e

441542

所以〃龙）在区间。木上一定单调递增，故D正确.

故选：ACD.

12.答案：AC

由题意在菱形A3CD中,AB=2,M为3c的中点,

11JT

所以与Af=3M=—3C=—AB=1,又ZABC=-,

1223

由余弦定理AM?=2?+12-2xix2cos60°=3,故AM=6,AA/2+CM2=4=AB，,

所以AM，与“，同理AMLMC,

又B[M=M，与M,MCu平面片MC,

故AM,平面与MC,又AMu面A4M,

故面ABXM1面5阳。,故A选项正确；

对于选项民如图所示，取AD中点瓦连接EN,EC,

所以£C〃4W,且EC=AM,又因为N为耳。的中点，

所以EN//Ag，且EN=3Ag=1,又由A选项得41/，6。,/45。=60。，

所以/BA"=AB,AM=30。且AM=也，

所以/NEC=*,/NEC=三,

66

在△CEV中，由余弦定理得：

CN2^CE2+NE2-2CE-NE-cosZNEC^3+l-2xy/3xlx—=l,

2

即CN=1,故B选项错误；

C选项：由3选项得EN//A5],所以直线AM和CN所成角即为EC与CN所成角ZNCE,

又NC=NE=1,故NNCE=NEC=—，故C选项正确；

6

D选项：当三棱锥用-AMD的体积最大时，耳M，平面ABCD,

由四边形ABCD为菱形，且ZABC=60°,ZBAM=30°,

故NMCD=120o,AM，AD敝C在△AMD的外接圆内，

又AAMD的外接圆在三棱锥用-AMD外接球的内部，

故点C在三棱锥B}-AMD外接球的内部，故D选项错误.

故选：AC.

13.答案：(1,3)

解析：由X—1=0,得x=l,止匕时y=3.

函数/(x)=2a/+1(a>0且awl)的图象过定点(1,3),

故答案为：(1,3).

14.答案：20

解析：依题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯,

则有C：=20种方案.

故答案为：20.

15.答案：”].

解析：由题意可得直线/:丘一丁+2—2左=0即y=攵（x—2）+2,

所以直线/恒过定点A（2,2）,

曲线C:y=V?二?图象为以（0,0）为圆心,2为半径的上半圆（包含x轴部分），

当直线/过点（-2,0）时，它们有两个交点，此时k=2_~_2）=，

当直线/与上半部分圆相切时，有一个交点，此时左=0,

由图象可知,若直线/与曲线C有两个不同的交点，则10〈左

2

即实数上的取值范围是.

故答案为：.

16.答案：逝.

2

解析：如图所示:

设A在第一象限，

_be

由题意可知|AF\=d=/=b,

其中d为点—G。)到渐近线y=)x的距离,|0司=c,

所以|OA|=7lOF|2-|AF|2=Vc2-b2=a,

设△0钻的内切圆的圆心为航，

则般在NAC出的平分线3上，

过M分别作MNLQ4于N,VT，AB于T,

又因为E4LQ4于A,

所以四边形M窗N为正方形，

2〃

所以|ML|=|2W|=§,

所以|ON|=|OA|—|M4|=a—j,

2b

3b

2b

Cl---a

3

月f以—=a---,a=2Z?,

33

所以/=片+〃_5b2,

所以c=y/5b,

所以6，=叵=巨

a2b2

故答案为：叵.

2

17.答案：（1）。=0.30,众数为2.5万元,3.5万元，平均数的估计值为3.5万元.

解析：（1）由频率分布直方图得：（0.10x2+2a+0.15+0.05）xl=l,

解得a=0.30.

频率直方图的众数为最高小矩形的中点的横坐标，得众数为2.5万元,3.5万元,

因为直方图的组距为1,则各组数据的频率即为相应小矩形的高，

所以平均数的估计值为

x=l.5x0.1+2.5x0.3+3.5x0.3+4.5x0.15+5.5x0.1+6.5x0.05=3.5（万元）.

（2）因为来自［5,6）,［6,7）的人数比为2：1,共抽取6人，

故来自［5,6）有4人，记为4,3,。,。,来自［6,7）有2人，记为e工

从6人中随机抽取2人，则由15种等可能的结果：

O={ABAC,AD,AeAf,BC,BD,Be,Bf,CD,Ce,Cf,De,Df,ef},

记“从这6人中随机抽2人，这2人来自不同组”为事件

M={Ae,Af,Be,Bf,Ce,Cf,De,Df}，包含8个样本点，

故从6人中随机抽取2人，这2人来自不同组的概率为P（M）=2.

18.答案：（1）m=—；

15

（2）y=（2+C）x或>=（2-娓）x或x+y+l=0或x+y-3=0.

解析：（1）将圆。的方程化为标准方程为0+1）2+（丁-2）2=5-根，

所以圆C的圆心为。（-1,2）泮径为厂=7^二£,

因为圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半，

所以、1+22=产，

所以厂2=£,即5-7〃=/,解得帆=「.

（2）当加=3时将圆C的方程化为标准方程为（x+11+（y-2）2=2,

其圆心C（-1,2）,半径r=血,

①当切线在两坐标轴上的截距为零时，

设切线的方程为丁=履，

所以圆心到切线的距离为^^=逝,即左2_必-2=0,解得左=2土面.

所以切线方程为y=(2+#)x或y=(2-#)x；

②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，

设切线的方程为x+y-a=O,

所以圆心到切线的距离为匕耳出=0,即|a-1|=2,解得。=3或-1,

V2

所以切线方程为x+y+l=O或x+y-3=0.

综上所述，所求切线方程为y=(2+痛)x或y=(2-痛)x或x+y+l=0或x+y-3=0.

19.答案：(1)证明见解答；

(2)平面以。与平面POC的夹角的余弦值为手.

解析：(1)证明：取线段PC的中点R,连接。REf

E,F分别为PD,PC的中点,EF//CD且跖=工CD,

2

底面ABCD是菱形，且。为A3的中点,,AO//CD且A。=工CD,

2

AOHEF且AO=£F.四边形AOFE平行四边形,OFHAE,

又竹匚平面/^^他•平面尸。。，

.♦.AE〃平面POC；

(2)连接AC,由NABC=殳，得△ABC是等边三角形，

3

：.OC±AB,侧面PAB，底面A3CD,侧面PAB底面ABCD=AB,

jr

OCu底面ABCD,：.OC±侧面出5,因为ZPAB=-,AB=2PA=4,

3

4+16-尸笈

由余弦定理的:cosZPAB=

2PAAB2x2x42

解得：PB=26

以0为坐标原点,03,0C,过。作平面ABCD的垂线为坐标轴建立空间坐标系O-孙Z,

如图所示.

则A（—2,0,0）,C（0,2百,0）,D（-4,2后0）,尸（-1,0,我

则AD=(-2,2"0),AP=(1,0,8),OC=(0,20,0),OP=(-1,0,百)

设平面PAD的一个法向量〃=（x,y,z）,

皿噜口；2氐=。,令.G则”]1

则

AP-m=x+y/3z=Q

二平面心。的一个法向量〃=（力,L-1）,

设平面POC的一个法向量为；=（aAc）,

则0On=W§b=0

，解得:。=0,令c=l,则a=M,

OPwn=-a+V3c=0

二平面POC的一个法向量为“=（。,伍C）,

m-n3-1_V5

cos<m,n>=------

\m\\n\后义4―5

所以平面以。与平面POC的夹角的余弦值为手.

20.答案：（1）A=-；

3

⑵AN考

解析：(1)在445。中,。35。+6。$111。=人+0,

由正弦定理得则

sinAcosC+A/3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC

/.A/3sinAsinC=cosAsinC+sinC,

Ce(O,7i),

sinCwO,

A/3sinA-cosA=1,

/.2sin^A--^-j=1,

/.sinfA--=—,

I6J2

又A«0㈤,A一3(哈芝I，

.7L7L口口.兀

A——=—,即A=一；

663

（2）作出图形,如下：

“为3c的中点,

2AM=AB+AC,

,-.4|AMp=(AB+AC)2=|AB|2+2AB-AC+\AC\2=c2+b2+bc,

:.b2+c2+bc^12,

_3A/3

^△MEC-4，

.1...73,_3&I

..一besinA——be—-----,be—3,

244

：.b+c=y/b2+2/?c+c2=V15,

-□△ABC一口AABN丁°AACAT，

3G1/7、4蔺.兀星AZ

-----=—(/7+c)ANsin—=------AN,

4264

:.AN=—,

5

21.答案：(1)273.

(2)存在,G位于点E

解析：（1）取3c中点”,连接如图所示,

因为△ABC为正三角形,Z\DBC为等腰三角形且以3C为底,

故（三线合一），

所以平面ADM.

又BCu平面ABC,

所以平面ADMJ_平面ABC,

故AD在平面ABC的射影在射线AM上，

则ZDAM为侧棱AD与底面ABC所成角,

即"AM=60°.

在中,AM=6,DM=不£

4L

由余弦定理知AD=—6，