河北省秦皇岛卢龙县联考2023-2024学年中考数学模拟试卷含解析

河北省秦皇岛卢龙县联考2023-2024学年中考数学模拟精编试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得NABC=a,NADC=£,则竹竿AB与AD的长度之比为（

tanasin/?smaDcos/

tan/?sinacosa

2.二次函数加；+c（今0）和正比例函数y=-的图象如图所示，则方程（》+1）x+c=0（〃#0）的两

根之和（）

A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定

3.如图，AD//BE//CF,直线A,b与这三条平行线分别交于点A,B,。和点。，E,足已知A3=LBC=3,DE

=2,则EF的长为（）

A.4B..5C.6D.8

4.已知二次函数丁=以2+法+。的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

B.b<0C.b2-4-ac<0D.a+b+c<0

使CE=；CD,过点B作BF〃DE,与AE的延长线

5.如图，ZACB=90°,D为AB的中点，连接DC并延长到E,

交于点F,若AB=6,则BF的长为（）

B.7C.8D.10

6.运用乘法公式计算（3-a）（a+3）的结果是（）

A.a2-6a+9B.a2-9C.9-a2D.a2-3a+9

7.如图，正比例函数弘=k.x的图像与反比例函数％=幺的图象相交于A、B两点,其中点A的横坐标为2,当%＞为

X

时，X的取值范围是（）

A.x<-2或x>2B.x<-2或0Vx<2

C.-2VxV0或0VxV2D.-2Vx<0或x>2

8.—sin60。的倒数为（）

1

A.-2B.-C.—----D.--------

233

9.计算（―18）+9的值是（）

A.-9B.-27C.-2D.2

10.下列几何体中，三视图有两个相同而另一个不同的是（）

D.(3)(4)

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如果当时0,厚0,且a式）时，将直线y=ax+b和直线y=bx+a称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对

偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为（1,4）的一对“对偶直线”：

12.分解因式x2-x=______________________

13.计算（a3）2+（a?）3的结果等于

14.如图，每个小正方形边长为1,则△ABC边AC上的高BD的长为

15.在AABC中，点D在边BC上，且BD：DC=1：2,如果设A3=a，AC=b，那么8。等于一（结果用a、b

的线性组合表示）.

16.如图，反比例函数（x<0）的图象经过点A（-2,2）,过点A作轴，垂足为8,在y轴的正半轴上

x

取一点尸（0,力，过点尸作直线04的垂线/,以直线/为对称轴，点5经轴对称变换得到的点用在此反比例函数的

图象上，则t的值是（）

A.1+75B.4+72C.4-72D.-1+75

17.分解因式：X2—9=▲,

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）计算：（-2）-2-变S也45。+（-1）2。18-方+2

2

19.（5分）为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆.若购买A型公交车1辆,

B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元.求购买A型和B型公交

车每辆各需多少万元？预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司

购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次,

则该公司有哪几种购车方案？在(2)的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？

20.(8分)如图，已知在及一ABC中，ZC=90°,AO是NS4c的平分线.

(1)作一个。使它经过AD两点,且圆心。在A3边上；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)判断直线8C与。的位置关系,并说明理由.

21.(10分)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，AABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(1)直接写出AABC关于原点。的中心对称图形M与G各顶点坐标：4⑸C,；

(2)将AABC绕5点逆时针旋转90。，画出旋转后图形AABG•求AABC在旋转过程中所扫过的图形的面积和点C

经过的路径长.

22.(10分)已知：a+b=4

(1)求代数式31)(ft+1)-而值;

(2)若代数式a2-2ab+b2+2a+2b的值等于17,求a-%的值.

23.(12分)如图，在四边形ABCD中，AB/7CD,ZABC=ZADC,DE垂直于对角线AC,垂足是E,连接BE.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)若AB=BE=2,sinZACD=^,求四边形ABCD的面积.

2

24.（14分）“赏中，华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参

加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布

表和部分频数分布直方图如图表：

请结合图表完成下列各题：

（1）①表中a的值为,中位数在第，组；

②频数分布直方图补充完整；

（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？

（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人,

求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率.

组别成绩X分频数（人数）

第1组50<x<606

第2组60<x<708

第3组70<x<8014

第4组80<x<90a

第5组90<x<10010

50607080如100测试成绩

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、B

【解析】

在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；

【详解】

*AC

在R3ABC中，AB=-------,

sina

AC

在RtAACD中，AD=——

smp

ACACsin/?

・・AB：AD=-------：~~~—-----，

sinasmpsina

故选B.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题.

2、C

【解析】

设52+云+°=0(a/0)的两根为xi,X2,由二次函数的图象可知X]+X2<0,a>0；设方程

ax2+]6+；]x+c=0(aw0)的两根为机，”，再根据根与系数的关系即可得出结论.

【详解】

解：设以2+—+o=0(〃wO)的两根为xi,Xi,

,・,由二次函数的图象可知Xi+X2<。，a>0,

<0.

a

设方程—]%+c=。(〃。。)的两根为根，〃，贝!|"+3bl

I3)m+n=--------=----------

aa3a

■：a>Q

:.m+m<Q

故选C.

【点睛】

本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键.

3、C

【解析】

^：AD//BE//CF,根据平行线分线段成比例定理可得

AB_DE

BC~EF，

12

即an一=---,

3EF

解得E尸=6,

故选C.

4、B

【解析】

根据抛物线的开口方向确定a,根据抛物线与y轴的交点确定c,根据对称轴确定b,根据抛物线与x轴的交点确定

b2-4ac,根据x=l时，y>0,确定a+b+c的符号.

【详解】

解：•••抛物线开口向上，

,*.a>0,

•.•抛物线交于y轴的正半轴，

•*.c>0,

ac>0,A错误；

b

V-->0,a>0,

2a

,*.b<0,...B正确；

•••抛物线与x轴有两个交点，

Ab2-4ac>0,C错误；

当x=l时,y>0,

.*.a+b+c>0,D错误；

故选B.

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y

轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.

5、C

【解析】

VZACB=90°,D为AB的中点，AB=6,

1

/.CD=-AB=1.

2

XCE=-CD,

3

/.CE=1,

/.ED=CE+CD=2.

又；BF〃DE,点D是AB的中点，

AED是小AFB的中位线，

；.BF=2ED=3.

故选C.

6、C

【解析】

根据平方差公式计算可得.

【详解】

解：(3-a)(a+3)=32-a2=9-a2,

故选C.

【点睛】

本题主要考查平方差公式，解题的关键是应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘,

并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方.

7、D

【解析】

先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论.

【详解】

解：•反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，

:.A、B两点关于原点对称，

••,点A的横坐标为1,.•.点B的横坐标为-1,

•.•由函数图象可知，当-1<XV0或x>l时函数yi=kix的图象在%=与的上方，

X

.,.当yi>yi时,x的取值范围是-IVxVO或x>l.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出yi>yi时x的取值范围是解答此题的关键.

8、D

【解析】

分析：-sin60。=-电，根据乘积为1的两个数互为倒数，求出它的倒数即可.

2

详解：-sin60。=-乌

2

V32月

-走的倒数是-2叵

故选D.

点睛：考查特殊角的三角函数和倒数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

9、C

【解析】

直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案.

【详解】

解：(-18)4-9=1.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

10、B

【解析】

根据三视图的定义即可解答.

【详解】

正方体的三视图都是正方形，故（1）不符合题意；

圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆，故（2）符合题意；

圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，故（3）符合题意;

三棱锥主视图是、左视图是,俯视图是三角形，故（4）不符合题意;

故选B.

【点睛】

本题考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解决问题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、y=x+3,y-3x+l

【解析】

把（1,4）代入两函数表达式可得：a+b=4,再根据“对偶直线”的定义，即可确定a、b的值.

【详解】

把（1,4）代入y=ox+人得：a+b=4

又因为awO,bwO,且awb,

所以当a=l是b=3

所以“对偶点”为（1,4）的一对“对偶直线”可以是：y=x+3,y=3x+l

故答案为y=x+3,y=3x+l

【点睛】

此题为新定义题型，关键是理解新定义，并按照新定义的要求解答.

12、x（x-l）

【解析】

X2-X

=x（x-l）.

故答案是：x（x-l）.

13、1

【解析】

根据塞的乘方，底数不变，指数相乘；同底数募的除法，底数不变，指数相减进行计算即可.

【详解】

解：原式=a，=“°=1

【点睛】

本题主要考查塞的乘方和同底数塞的除法，熟记法则是解决本题的关键，在计算中不要与其他法则相混淆.幕的乘方，

底数不变，指数相乘；同底数塞的除法，底数不变，指数相减.

14、§

5

【解析】

试题分析：根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形

ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长：

根据勾股定理得：AC=A/32+42=5»

由网格得：SAABC=-X2X4=4,且SAABC=LAC・BD=LX5BD,

222

18

，一x5BD=4,解得：BD=一.

25

考点：1.网格型问题；2.勾股定理；3.三角形的面积.

,*lr

15、一b—a

33

【解析】

根据三角形法则求出即可解决问题;

【详解】

如图，

BC=BA+AC=b-a,

1

VBD=-BC,

3

1,1

/.RD=—b——a.

33

故答案为彳8——<2.

【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.

16、A

【解析】

4

根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2,2）得到k=-4,即反比例函数解析式为丫=--,且OB=AB=2,

则可判断AOAB为等腰直角三角形，所以NAOB=45。，再利用PQLOA可得到NOPQ=45。，然后轴对称的性质得

4

PB=PBSBBUPQ,所以NBPQ=NB，PQ=45。，于是得到B，P，y轴，则点B的坐标可表示为t）,于是利用

t

44

PB=PB，得t-2=|--|=-,然后解方程可得到满足条件的t的值.

tt

【详解】

如图，

・・k=-2x2=-4,

4

・・・反比例函数解析式为y=—,

x

VOB=AB=2,

•••△OAB为等腰直角三角形，

:.ZAOB=45°,

VPQ±OA,

/.ZOPQ=45°,

V点B和点B，关于直线1对称,

PB=PBr,BBUPQ,

.*.ZBTQ=ZOPQ=45O,ZBrPB=90°,

・・・B，P_Ly轴，

4

・・・点B，的坐标为(--，t),

t

VPB=PBr,

•44

••t-2=|-一|=一9

tt

整理得t2-2t-4=0,解得tl=l+石,t2M-75(不符合题意，舍去)，

，t的值为1+石.

故选A.

【点睛】

本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性

质及会用求根公式法解一元二次方程.

17、(x+3)(x-3)

【解析】

x2-9=(x+3)(x-3),

故答案为(x+3)(x-3).

三、解答题(共7小题，满分69分)

7

18、一

4

【解析】

按照实数的运算顺序进行运算即可.

【详解】

V272

解：原式-------X--------+1-(-2)4-2,

422

---+1+1,

42

7

4

【点睛】

本题考查实数的运算，主要考查零次幕，负整数指数幕，特殊角的三角函数值以及立方根，熟练掌握各个知识点是解

题的关键.

19、(1)购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元.

(2)三种方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆；③购买

A型公交车8辆，则B型公交车2辆；

(3)购买A型公交车8辆，B型公交车2辆费用最少，最少费用为1100万元.

【解析】

详解：(1)设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得，

f二+1二=二©

11二1+二=与。

解得，

(二=100

U=150

答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元.

(2)设购买A型公交车a辆，则B型公交车(10-a)辆，由题意得

Itffa+wio-n)a680

解得：6<a<8,

因为a是整数，

所以a=6,7,8；

则(10-a)=4,3,2；

三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车

8辆，B型公交车2辆.

(3)①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100x6+150x4=1200万元；

②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100x7+150x3=1150万元；

③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100x8+150x2=1100万元；

故购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元.

【点睛】

此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等

式组解决问题.

20、(1)见解析；(2)BC与。相切，理由见解析.

【解析】

(1)作出AD的垂直平分线，交AB于点O,进而利用AO为半径求出即可；

(2)利用半径相等结合角平分线的性质得出OD〃AC,进而求出ODLBC,进而得出答案.

【详解】

(1)①分别以4。为圆心，大于工AD的长为半径作弧，两弧相交于点E和产，

2

②作直线所，与AB相交于点。，

③以。为圆心，Q4为半径作圆，如图即为所作;

(2)BC与。相切，理由如下:

连接OD,

OAOD为。半径，

OA—OD，

.•.一A0£＞是等腰三角形，

：.ZOAD^ZODA,

AD平分44C,

:.ZCAD=ZOAD,

.-.ZCAD^ZODA,

ACOD,

NC=90。，

Z.ODB=90°,

:.OD±BC,

OD为。半径，

:.BC与，。相切.

【点睛】

本题主要考查了切线的判定以及线段垂直平分线的作法与性质等知识，掌握切线的判定方法是解题关键.

21、(1)4(3,—3),用(4,—1),C/0,-2)；(2)作图见解析，面积=工+“乃，/=姮

242

【解析】

(1)由AABC在平面直角坐标系中的位置可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点即可得4、B］、

G的坐标;

(2)由旋转的性质可画出旋转后图形MBC2,利用面积的和差计算出,然后根据扇形的面积公式求出

S扇形CBG，利用AABC旋转过程中扫过的面积S=S5Bg+S扇形eg进行计算即可•再利用弧长公式求出点C所经过

的路径长.

【详解】

解：(1)由AABC在平面直角坐标系中的位置可得：

A(-3,3),伙-4,1),C(0,2),

•••AA与G与AABC关于原点对称，

.••4(3,—3),四(4,—1),Q(0,-2)

:.BC=J(-4-0)2+(l-2)2=V17，

2

.<907T-BC(g)217〃

“扇形g=F-=---=丁，

V5AAsc2=4x2-—xlx2-—xlx3-—xlx4=—,

AABC在旋转过程中所扫过的面积：

o_oo_717

»-+J扇形CBG=5+7乃

点。所经过的路径：

,90〃XA7V17

I=---------------=-------7T•

1802

【点睛】

本题考查的是图形的旋转、及扇形面积和扇形弧长的计算，根据已知得出对应点位置，作出图形是解题的关键.

22、(1)5；(2)1或-1.

【解析】

(1)将原式