塑性成形理论课后答案(答案参考)

第一章

,20•••、

1-10.已知一点的应力状态(T)5-15•••xlOMPa,试求该应力空间中x—2y+2z=l的斜截面上的正应

、00—2

力和切应力7"为多少？

解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=O,则方向余弦为:

ABC

/，in-]911—/

VA2+B2+C2A/A2+B2+C2VA2+B2+C2

，11-222_2

因此;：I=；------二二一，m=I——=3'n712+(-2)2+22§

JF+(-2y+223^12+(-2)2+22

Sx=。x/+TXV机+工xz〃=200X—50X——-------

333

12350

Sy=工xy/+。y机+工zy几=50X-----F150X—=--------

Sz=Txz/+工丫2m+。2九二—100X—=------------

33

100135022002

(J=SXZ+Sym+Szn=-------X-----------------X-----------------X—

333333

1000

=—111

~9~

s2=S;+Si+S

“y12500

1000

12500-=13.4

T~9~

"100........、

1-n已知OXYZ坐标系中，物体内某点的坐标为(4,3,-12),其应力张量为：CT..=4050•••,求出主应

、-2030-10,

力，应力偏量及球张量，八面体应力。

解：J1=ax+cTy+crz=100+50-10=140

777

A=+qq+qoy一和z一心「一?孙=100x50+50x(-10)+100X(-10)-402-(-20)2-302

=600

J222

3=+2TxyTyzTxz-CTxTyz-c7yTxz-J4=-192000

O-3-140o-2+600a-192000=0

。i=122.2,。2=31.7,。3=49.5

om=140/3=46.7

"53.3…、「46.7.....\

端=403.3•••；Cm=046.7•••

「2030-56.7；<00046.7,

o8=om=46.7

(8=J(b]-b2)2+(/—「3)2+。3-5)2=39・1

1-12设物体内的应力场为=-6町2+C]%3,。)=一202%)/T

Xy=­02y3—c3x"y，b?==0,试求

系数Cl，C2，C30

解：由应力平衡方程的：

daSTdr「？、？、？2八

—+—+—^=-6y2+3c,x2-3cy2-c,x2=0

CcCJ12?.J3

oxoyoz

dr8adr

y^J+--=-2cxy-3cxy=0

dxdydz32

dr0rde

—+—zy+—^=M0

dxdydz

22

BP：-(6+3c2)y+(3c1-c3)x=0(1)

—2C3—3c,=0(2)

有(1)可知：因为x与y为任意实数且为平方,要使(1)为零，必须使其系数项为零,

因此，63c2=0(3)

3CI-C3=O(4)

联立(2)、(3)和(4)式得：

即：Cl=l,C2=­2,C3=3

<505080、

MPa,求外法线方向余弦为1=m=g,n=的斜截

1-13.已知受力物体内一点应力张量为：CT--=500-75^2

(80-75-30；

面上的全应力、主应力和剪应力。

角星：Sx=。x/+Txy机+Txzn—50x—F50x—F80x———50+40A/2

22J2

1

50x--75x=25-37.5上

Sy—工Xy，+。ym+TzyH=

2

n=80x--75x--30x^=2.5-1572

Sz=Txz/+Tyzm+。z

22V2

S=111.7

Jl=20

J2=16025

J3=-806250

。3-20。2-16025。+806250=0方程具有三个不相等的实根!

。i=-138.2,。2=99.6,。3=58.6

1-14.在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为

’100-10)’0500、'-10-5-10、

a)%=0-100MPa；b)cr1二5000MPa；c)o-..=-5-20MPa

、-10010；、0010J、-100-6J

1）画出该点的应力单元体；

2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。

解：a）点的应力单元体如下图

2)

100-10、

a)%=0-100MPa该点的应力不变量：Ji=10MPa,J2=200MPa,J3=0MPa,

-10010,

主应力和主方向:

,V2_V2

。1=20MPa,1=±---；m=0；n=+；

22

。2=-10MPa,l=m=n=0

o3=0MPa,1=±-----；m=0；n=±-----；

22

主剪应力Ti2=±15MPa；T23=i5MPa；ii2=±10MPa

最大剪应力Tmax=15MPa

八面体应力。8=3.3MPa；18=12.47MPa。

等效应力3=26.45MPa

应力偏张量及球张量。

(20八，八(iocQ

——0-10—00

33

A

CF.=00MPa；(J=0—0MPa；

y3y3

c20cc10

-100——00—

13J13J

b)点的应力单元体如下图

’0500、

该点的应力不变量：

<7,.V,.=5000MPaJi=10MPa,J2=2500MPa,J3=500MPa,

[o010J

主应力和主方向：

o1=10MPa,l=m=n=0

o2=50MPa,1=m=±-----；n=0；

一2

。3=-50MPa,1=m=±-----；n=0。

2

主剪应力Ti2=±20MPa；T23=±50MPa；Ti2=±30MPa

最大剪应力Tmax=30MPa

八面体应力。8=3.3MPa；T8=41.1MPao

等效应力3=87.2MPa

应力偏张量及球张量。

八(iocQ

r——io5“001—00

31r\31/A

—50-■-0MPa；cr..二0—0MPa；

3y3

八八20cc10

00——00—

13J13J

'-10-5-10、

该点的应力不变量：

o-,.y,.=-5-20MPaJi=-18MPa,J2=33MPa,J3=230MPa,

「100-6?

主应力和主方向：

。1=10MPa,l=m=n=0

。2=50MPa,1=m=±-----；n=0；

一2

。3=-50MPa,1=m=±-----；n=0。

2

主剪应力T12=±20MPa；T23=±50MPa；TI2=±30MPa

最大剪应力Tmax=30MPa

八面体应力。8=-6MPa；T8=9.7MPa。

等效应力方=20.6MPa

应力偏张量及球张量。

'-16-5-101(-600、

-5-80；%=0-60

3°0-12；0—6,

1-19.平板在x方向均匀拉伸（图1-23）,在板上每一点Ox二常数，试问％为多大时，等效应力为最小？并求其最小

值。

解：等效应力:

2222

b=-[(CT—bT+(b—b>+(b-<r)+6(r+r+r)l

2,L'xy/、yz，、xz，\xyyzxz/J

令y=（CT、一cr,）+（cr，）2+（cr、）2，要使等效应力最小，必须使y值最小，两边微分得:

2(cr-cr)dcr+2crdcr=———=0

'xyzyyydb

2cr-cr=0

xy

cr=2cr

yx

等效应力最小值:

=月[(巴-b)+(b)+(b)]

min

=A/3<TX

1-20.在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与x轴交成。角的一个平面上，其正应力为。（。＜0）,切应力为J

且为最大切应力K,如图1-24所示。试画出该点的应力莫尔圆，并求出在y方向上的正应力。y及切应力Txy,且将

。y、Tyz及。x、Txy所在平面标注在应力莫尔圆上。

图1-24（题20）

解：由题意得知塑性区一点在与x轴交成0角的一个平面上的切应力为为最大切应力K,因此可以判断该平面为主剪平

面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图1-25所示。

%=Kcos29

第二章

2-9.设a=a(x?—2y2);qJ=6*2;右=axy,其中a、b为常数，试问上述应变场

在什么情况下成立？

解：对=a(x?-2y2)求y的2次偏导，即：

d2s.

——F=4a(1)

dy

对q=bx?求x的2次偏导，即:

d2s

—^=2b(2)

8x2

对=axy求x和y的偏导，即：

(3)

dxdy

带(1)、(2)和(3)入变形协调方程(4),得:

1广£九°2

(4)

2dy2dx2dxdy

；(4a+2b)=a

即：a=-b时上述应变场成立。

2-10试判断下列应变场是否存在？

z2x22

⑴4=寸，£y=x?y,&工=0,yxy=o，ryz=1(+y)>/xz=1(+y)

22

(2)=X+y,£y=y2,sz=0,/xy=2g，ryz=/xz=0

(1)解：对义=g2、£y=x?y和邑=g分别求X、y或z的2次偏导，对加=。、

7yz=((z?+y)和7xz=((x?+y?)分别求x、y和z的2次偏导,则：

注…沙。；(a)

d2£&£

—^=2y，一^二0；(b)

dx26z2

82£_d2e.

—^二0'—^二°；(c)

dx2ay2

d2yd2y32y_

/xy0^^^:0；(d)

dxdy5yszdxdz

将(a)、(b)、(c)和(d)代入变形协调方程(e)：

+春)一

2dy2dx,2dxdy

ia2gd2e).0%z

2(-&yz(e)

2dydz

192gz।表_

2dx2dz2dzdx

贝ij(e)第一式不等，即：!(2x+2y)w0

这说明应变场不存在。

(2)对砥=X?+y2、£y=y2和％=0分别求X、y或Z的2次偏导，对乙丫=%和

7yz=7xz=°分别求x、y和z的2次偏导,

d2ec8_

一广二2,——^:0;(a)

dy3z2

(b)

d£_

—^二°，(c)

dx

d2y2

dya2/yxz_

—^=2^^^二0；-0(d)

dxdy3y&dxdz

1d2sd'£d'y

贝U：+—41)=1^—^=2,说明应变场不存在。

2讨dxdxdy

2-11.设物体中任一点的位移分量为

M=10xl0-3+0.1x10-3xy+0.05x10-3z

v=5xl0-3-0.05X10-3X+0.1X10-3)；Z

w=10x103-0.lxICT'盯z

求点A(0.5,-1,0)的应变分量、应变球张量，主应变，八面体应变、等效应变。

解：£=—=0,1x103V

xcJ

OX

啜Z

dco„.«-a

——=-O.lx10xy

dz"

=/=-(—+—)=0.05x1(Tx-0.025x1O-3

yx25ydx

=!(虫+丝)=0.05义10-3y_°os义io-位

2dzdy

iaco5u、

在+拓)=0.025x1O-3-0.05x1O-3yz

将点A的x=0.5,y=-1,z=0代入上式，得点A的应变分量

'-0.1x10-3o0.025x10-3、

〃=00-0.05x103

333

^0.025x10-0.05x100.05x10?

对于点A：

8.=-(6*+£+£)=--X104

mA3个\xyz/(o

(5

--xW500

3

S/mA=0--xlO50

3

00--xW5

k

-3

L1=£x+£y+£z=-0.05xlO

b=(££+££+££)-(y*12+y2+y2)=-8.125x10,°

2、xyyzzxz\，xy/yz/zxz

I3=2.5x104

32

£-I^-I2s-I3=0

即:短-i.5x102-8.125X1O10^+2.5x10-13=0

0=8.3x105,=2.9x10%=-1.04x10^*

£.=~(£+£+S)=--X10-4

83x，6

九-%。+(%-+(J-+6(/；+九；+/1)

=±7.73x10号

^=72|/8|=1.09x10^

2-12.物体中一点应变状态为：

6=0.001,%=0.005,j=-0-0001,乙丫=0.0008,/yz=0.0006,

%=—0.0004,试求主应变。

解：由题可知：

'108-4、

£=8506xlO45

、-46

L=£+£+£=5.9x10-3

1xyz

1=(£,£,+S£+££)-(Z2+Y2+/2)=3.24x106

2、xyyzzx，\，xy/yz/zxz

9

I3=-1.98x10

即：/_59x103__324x106f+1.98x1010=0

解方程得主应变：£1=6.4X1CT,=-8.3x103,=3.7x103

131

2-13.已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为4=—+—x+—y,

x420040-

U=-+—x-——y,试求该点的应变分量j,3,并求出主应变£],邑的大小与

y525200

方向。

解:出=0.015

dx

du

£=^=-0.005

ySy

__1/du*

=八*=5(m+T=0.0325

dx

1=8+£"Oxi。？

1xy

23

V2=Sxsy-y/xy=-1.13125xl0

I3=o

即：二一LOxlO%-1.13125x10"。

解方程得主应变：q=-0.039,2=0.029,邑二。

32.5o]rr,3900、

由：32.550xlO3m=0290xICT得:

、000,n007

151+32.5m=39

l2+m2=1

解这个方程得：mi=0.5575,m2=5.16。由于m2=5.16>l,与方向余弦规定不符，因此,

mi=0.5575才是正确解。由此得：1=0.689。

即已k・0.039时,方向余弦为：1=0.689,m=0.5575,n=0。

同理可求：£2=0.029时，方向余弦为：1=0.8025,m=0.5966,n=0o

第三章

3-6.某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为Cx=75,与=15,©z=0,txy=15(应力

单位为MPa),若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？

解：由由密席斯屈服准则：

a=^1—[(cr-crV+(cr-cr)2+(cr-cr)2+6(r2+T2+T~)]

得该材料的屈服应力为：

5=jg](75—15)2+(15-O)2+(O-75)2+6(152+0+0)]=73,5MPa

3-7.试证明密席斯屈服准则可用主应力偏量表达为：

_

,|(靖+好+靖)=crs

证明：由密席斯屈服准则：J(CT]_02)2+(q_02)2+(0]_03)2=6°s

22

即：V(d)2+(cr2)+(cr3)-<7^2--b2b3=8(1)

而：

+b；2)

\2\2z、2

J+

3r⑵

—[6cr+6cr；+60*5-65cr,-6tTjCFj-6cr3^2]

=7[°T+<72+<73-<7lCr2-Cri0-3~a3(J21

所以：(1)式与(2)式相等。

3-8.试分别用密席斯和屈雷斯加屈服准则判断下列应力状态是否存在？如存在，应力处于

弹性还是塑性状态？(材料为理想塑性材料)

a00、5q00

a)%=000b)%=0-5q0

100b”00-4crS?

，1.2q00、'0.5400,

c)4=0O.lo.s0，d)%=000

)

<0007、°0-0.6crv

100、，00.45q0、

a

e)%=0-0.5crs0，^iJ二0.45crv00

<00—L5crJ<°00,

解：a）由屈雷斯加屈服准则：6p3=。得：os-0=os,存在。应力处于塑性状态。

由密席斯屈服准则3=）仁J（。1—%）+（。3—%）2+（句—。3J=°>存在。应力处

于塑性状态。

b）由屈雷斯加屈服准则：01-03=Gs得：-4©s+50s=©s，存在。应力处于塑性状态。

由密席斯屈服准则

石=%^'(9一^2)2+(03_02)2+(?一03丫

1

J(-5q+5%甘+(4%+5qr+(-5q+4。）

存在。应力处于塑性状态。

c）由屈雷斯加屈服准则：6P3=仇得：1,2d-0=1.2d>d,不存在。

由密席斯屈服准则

6J(0一%)2+(%-%丫+(%—%了

1J(L2q-01/)2+(0.15-OF+(O-L2q)2

而

=Jl.33bs〉q

不存在。

d）由屈雷斯加屈服准则：6-6=。得:0.5os+0.6os=l.las>Os，不存在。

由密席斯屈服准则

3=+（^3_^2）2+（巧一〃3）2

=；J（0.5/-Op+（0+0.6幻2+（_og-0.57丫

V2

=J0.96O；〈q

存在。应力处于弹性状态。

e）由屈雷斯加屈服准则：6-©3=0S得：-0.5©s+L50s=©s=0s，存在，应力处于塑性状态。

由密席斯屈服准则

万=/J(巧_02)2+(03一丫+—63丫

1

7(-o-+0.5o-)2+(-0,5CT+1.5O-)2+(-1.5cr+cr)2

正ssSSss

=JO.75bs〈q

存在。应力处于弹性状态。

f)由屈雷斯加屈服准则：Tmax=(6-03)/2=0s/2得：Tmax=0.45os<Os,存在，应力处于弹性状

O

由密席斯屈服准则

"AK/f，)2+(%,_4)2+(4一/)2+6(7J+丁+乙2)

=’3=(0.45%了=0.78%〈4

存在。应力处于弹性状态。

(75-150)

3-9已知开始塑性变形时点的应力状态为^=_15150，

、°00,

试求：

(1)主应力大小；

(2)作为平面应力问题处理时的最大切应力和单轴向屈服应力；

(3)作为空间应力状态处理时按屈雷斯加和米塞斯准则计算的单轴向屈服应力。

解：由于点的应力状态为平面应力状态，由/2=2±W2]+7：得主应

力O1和<52:

75+152

2­+15

主应力为：01=78.54,02=11.46,<53=0

最大切应力：Tmax=33.54

单轴向屈服应力为：5=2/+7：=67.08

作为空间应力状态处理时按屈雷斯加准则计算：

单轴向屈服应力：os=Oi—03=78.54；

作为空间应力状态处理时按米塞斯准则计算的单轴向屈服应力:

22222

a=[((7-er1z+3-er)7+(cr-a)7+6(r+T+r)z]J

、2L'xy'yz、zx、xyyzzx

=jg[(75—15T+(15—0『+(0—75y+6(152+0+0)]

=73.48

QS=73.48

第四章

4-5.有一金属块，在x方向作用有150MPa的压应力。在Y方向作用有150MPa的压应力，

z方向作用有200MPa的压应力。试求金属块的单位体积变化率(设E=207X103MPa,v=0.3)。

解：各方向应力为：。x=。y=-150MPa,。z=-200MPa,则球应力为：。m=-166.7MPa

单位体积变化率为：

l-2v

l-2x0.3

x166.7

207x103

即：em=-3.22X10-4

4-6.已知一点的应力状态如图4-16所示，试写出其应力偏量并画出主应变简图。

图4-16(题15)

解：设01>02>03，则：

平均应力：=L+b,+4)=(9+4+2)=5

,400、

应力偏量为：5=0-1Q

0-3,

由列维一米赛斯增量理论d4(U得:

yy

d与=d2=4d2

df2=d2=-d2

dj=6d2=-3(U

主应变简图如图示：

4-7.两端封闭的细长薄壁管平均直径为r,平均壁厚为/，承受内压力p而产生塑性变形，设

管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。

解：

4-8.求出下列两种情况下塑性应变增量的比：

①单向应力状态：CTj=crs

②纯剪力应力状态：八二,电

①解：设6>02>©3，贝!1：

+0\+0\)=巴~，因此，应力偏量为:

37

%23

0

。'=0-幺0

3

00e

3

由列维一米赛斯增量理论d4yycU得:

dj=--d2

23

dj=--d2

33

塑性应变增量的比为：

a=二=2同理:%=2也=1

djdjd%

一3

②解：已知纯剪力应力状态：q=crjJW

应力张量为：

b'

0VIVI

bCT

%=0

V3V3

)0

<V3V3)

由列维一米赛斯增量理论djv=b)y(U得:

d%=£(u

塑性应变增量的比为:

也=旦=1

d/yzd/yz

第六章

1.20#钢圆柱毛坯，原始尺寸为①50X50mm,室温下压缩至高度h=25mm,设

20

接触表面摩擦切应力T=0.2Y,已知Y=746e°-MPa,试求所需变形力P和单位

流动压力p。

解：圆柱压缩时体积不变，则当h=25mm时，

H—h50-25

=0.5

H50

020

T=0.2Y=0.2X746e=129.9MPa

当T=Tmax,

Tmax=K=129.9MPa

由于圆柱压缩是轴对称问题，宜采用柱座标。由题意得圆柱界面上的摩擦为

20

T=0.2Y,Y=746£°-MPa,设三个坐标方向的正应力s四和a视为主应力，且

与对称轴z无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平

衡方程为：

(q+21)(r+dr)hd9-crrrhd"2Taxrd<Pdr-2sin(争办=0

令sin®W2)Qd0/2,并忽略二次微分项，则得

也|巧一W12Tq

drrh

由于轴对称条件，6=与。此时平衡方程简化为

,2rcr,

do=---------dr1-1

rh

根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为

az—ra=2K

或

d(yr=do7

代入式(1-1),得

2TC

dcr=---------dr

zh

因此

]2r厂

Incr=------r+C

zh

或

259.8

---------r

11

crz=Qe1-2

边界条件:当厂=R时，tTr=0o由近似屈服条件知，此时的bz=2K,代入方程

式(1-2),可得

一空口

2K=C1e11

或

-259.8—

C,=2Keh

代入式(1-2),得

-259.8^^

a=2Keh1-3

因为：h=25,R=25A/2,K=129.9MPa

a=259,8e10-36(25^-r)

z

所需变形力P为：

p=f：crds=f：259.8•e10-36(25^r).2加dr

JOzJ0

=7.5x105

压板上的平均单位压力用万表示，则

P=------=191.12MPa

出2

2.模内压缩铝块，某瞬间锤头压力为500kN,坯料尺寸为50X50X100mm3,如

果工具润滑良好，并将槽壁视为刚体，试计算每侧槽壁所受的压力（如图6-11）。

图6-11（题2）

解：从变形区内取一单元体作受力分析。单元体的高度为平板间的高度h,宽度

为dx,长度为一个单位。假定是主应力且均匀分布，当沿x轴坐标有dx的变量

是，Ox相应的变化量就可用微分dox来表示。y方向上的压应力用Oy表示。摩擦

力f的方向同金属质点流动方向相反，设每侧槽壁所受的压力p,如图所示。

列出单元体的微分平衡方程:

axh-（crx+d（yx）h-2foydx=0

h-dax+2/•crv-dx=02-1

屈服条件为：

ay-axA=2k

因止匕，do*A=doy、,

将此式代入式（2-1）整理得

积分后得：lnby=-?x+C

-%

h

crv=Ge2-2

根据应力边界条件确定积分常数。

应力边界条件为：当x=5/2时，Ox=p。

由屈服条件式，得bjh/9=2k+p

代入式（2-2）求系数Ci得：

2fb

C,=（2k+p）eT2

h（2x）

因此：ay=（2k+p）e

bb2fb_x

P=£2byhdx=£2（2k+p）eh2hdx

已知锤头压力P为500kN,代入上式即可求得每侧槽壁所受的压力po

3.圆柱体周围作用有均布压应力，如图6/2。用主应力求徽出力P和单位流动

压力。，设T=mko

解：圆柱压缩为轴对称问题，采用柱座标。设三个坐标方向的正应力Or、Op

和必视为主应力，且与对称轴Z无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单

元体沿径向的静力平衡方程为：

(q+期)(r+dr)hd<P-巧泌d<?+2Taxrd</>dr-2a^hSm(—jrfr=0

令sin(dW24却/2,并忽略二次微分项，则得

也十。一।274一0

drrh

由于轴对称条件，。尸⑦。此时平衡方程简化为

J2T(7

do=---------dr3-1

rh

根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为

crz~(jr=2K

d(yr=du

代入式(3-1),得

,2mkcr,

do-=-----------^dr

zh

因此

,2mk—

Incr=--------r+C

zh

或

2mk

--------r

11

crz=Qe-----------------------------------------------3-2

边界条件：当r=R时，or=ooo由近似屈服条件知，此时的4=2K+oo,代入方

程式(3-2),可得

一叫

2K+o0=C]e11

或

(、-2m建

C1=(2K+o0>-

代入式(3-2),得

z\2mk-

11

a=(2K+cr0)e3-3

所需变形力P为:

压板上的平均单位压力用,表示，则

5试用主应力法求解板料拉深某瞬间凸缘变形区的应力分布。（不考虑材料加

工硬化）

凸缘变形区

or+dar

图6-14（题5）

解：板料拉深某瞬间凸缘变形区受力如图6-14,为平面应力状态，设正应力

8、8为主应力，单元体沿径向的静力平衡方程为：

令sin（d8/2）Qd（9/2,并忽略二次微分项，则得

将屈服条件Or-O0=2K代入上式得

积分常数C根据凸缘的外缘处（r=R）的?=0边界条件，得积分常数

C=2KlnR

凸缘变形区的应力分布为：

crr=2KlnR/r5-2

第七章

7-10解：已知a族是直线族，p族为一族同心圆，c点的平均应力为：omc=一

90MPa,最大切应力为K=60MPa。C点应力为：

(J=(J-2ksin2@=-90-60sin|-—|=-30MPa

xcmC