2023-2024学年四川省高二年级上册数学期末统考模拟试题含解析

2023-2024学年四川省棠湖中学高二上数学期末统考模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设p是抛物线V=4x上的一个动点，尸为抛物线的焦点.若8(3,2),则忸目+|尸盟的最小值为。

A.20B.3A/2

C.4D.5

2.已知圆G：f+V—2x+2y+l=0(mGH)的面积被直线x+2y+l=0平分，圆C2：(x+2『+(y—3丫=16,

则圆G与圆G的位置关系是()

A.相离B.相交

C.内切D.外切

3.已知数列｛4｝满足q=2,an-2---,则氏=()

an-l

67

A.-B.-

56

55

C.一D.一

46

4.设圆/+4x+4y+7=o上的动点p至[j直线x+丁-30=o的距离为则d的取值范围是()

A.[0,3]B.[2,3]

C.[2,4]D.[3,5]

5.函数〃九)的定义域为R,其导函数/'(九)的图像如图所示，则函数八％)极值点的个数为。

A.2B.3

C.4D.5

6.定义在区间（0,+8）上的函数/（x）满足：2/（九）＜4'（%）＜3/（%）对》6（0,+8）恒成立，其中/'（X）为/Xx）的导函

数，则

1/(I)1

A.—<-------<一

4/(2)2

B.L幽，

16/(2)8

1/(I)1

c.—<——<一

3/(2)2

1/(I)1

D.—<-......<一

8/(2)4

7.圆。|：必+丁—2关=0与圆Q：尤2+/一分=0的位置关系是。

A.外离B.外切

C.相交D.内切

8.已知双曲线C:「-，=1（。〉0,6〉0）的一条渐近线方程为且与椭圆卷■+q=1有公共焦点.则C

的方程为（）

2222

A.土-匕=1B.土-工=1

81045

y2

9.若函数/（力=3/+2必+3以—1在&/上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围为（）

,、35

A.〃2----B.a＜—

43

535,,3

C.----<QV-----D・----<Q<-----

3434

10.已知函数/(x)=；x2+lnx+(a-e)x在t，+coj上是增函数，则实数。的取值范围是()

A.[e-2,+oo)B.(e-2,+co)

「5)(5

C.e——,+ooD.e——,+co

L2)I2

11.下列命题中，真命题的个数为()

22

(1)机<-2是「一+二一=1为双曲线的充要条件;

5—m2+m

(2)若孙=。，则x=0(x,yeR)；

(3)若a=(l,—2,3),&=(1,2,1),则力九

(4)椭圆友+[=1上的点距点(逐,0)最近的距离为方；

A.1个B.2个

C.3个D.4个

12.已知向量a=(l,2,-丁),0=(%,1,2),且―//5,则孙=()

1

A.-2B.一一

2

1

C.—D.2

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知椭圆土+工=1的左焦点为点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段P尸的中点在以原点。为圆心，

9511

为半径的圆上，则直线P尸的斜率是.

14.等差数列｛。“｝中，若。3+。5+%=42,。2=5,贝!Ia„=______,数歹U<---------------->的前n项和为Sn,贝!|Sn=_______

aa

[n-n+lJ

22

15.已知双曲线=-4=13，6>0)的左、右焦点分别为B,F1,过点F1且倾斜角为/的直线/与双曲线的左、右

a2b26

支分别交于点A,B.S.\AF2\=\BF2\,则该双曲线的离心率为.

16.已知点尸是抛物线V=—4x上的一个动点，则点尸到点拉(0,2)的距离与点尸到该抛物线准线的距离之和的最小

值为______________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.（12分）已知椭圆£:鼻+去=1（。〉6〉0）的离心率为3,右焦点为尸，且E上一点尸到尸的最大距离3

（1）求椭圆E的方程；

（2）若A,5为椭圆E上的两点，线段A5过点F,且其垂直平分线交x轴于〃点，|AB|=日，求|加|

18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A5C。是矩形，M是的中点，N是5c的中点，平面A5CZ＞,

且PD=CD=4，AD=2

（1）求证：肱V〃平面产。；

（2）求平面拉与平面ABC。夹角的余弦值

19.（12分）国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校经济困难学生发放.用于帮助他们支付在校

期间的学习和日常生活费.从2021年秋季学期起，全日制普通本专科学生每人每年申请贷款额度由不超过8000元提高

至不超过12000元，助学贷款偿还本金的宽限期从3年延长到5年.假如学生甲在本科期间共申请到48000元的助学贷

款，并承诺在毕业后5年内还清，已知该学生毕业后立即参加工作，第一年的月工资为3000元，第13个月开始，每

个月工资比前一个月增加5%直到8000元，此后工资不再浮动.

（1）学生甲参加工作后第几个月的月工资达到8000元；

（2）如果学生甲从参加工作后的第一个月开始，每个月除了偿还应有的利息外，助学贷款的本金按如下规则偿还：前

12个月每个月偿还本金100元，第13个月开始到第59个月每个月偿还的本金比前一个月多30元，第60个月偿还剩

余的本金.则他第60个月的工资是否足够偿还剩余的本金.

（参考数据：1.0510=2.53；1.0520«2.65；1.0521»2.79）

n

20.（12分）在数列｛%｝中,%=1,an+l=2an+2,

⑴设〃=条，证明：数列｛2｝是等差数列；

2

（2）求数列｛%｝的前"项和.

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：4+p-=1（”＞方＞0）的左、右焦点分别为八，歹2,离心率为当.

2n

点尸是椭圆上的一动点，且尸在第一象限.记尸右心的面积为S,当尸耳，丹鸟时，S

丁

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)如图，PFi,尸尸2的延长线分别交椭圆于点M,N,记町用和人阴工的面积分别为Si和S*

112

(i)求证：存在常数3使得不+不=三成立；

»2»

(ii)求S2-求的最大值.

22.(10分)在正方体A3CD—A4Gq中，M、N、E分别是A3、的中点

(1)证明：平面〃平面BCD1；

(2)证明：MN±DC,

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】作出图形，过点P作抛物线准线的垂线24,由抛物线的定义得归同=|叫，从而得出

\PB\+\PF\=\PB\+\PA\,再由p、B、A三点共线时，怛即+|刚取最小值得解.

过点P作抛物线准线l;x=-l的垂线PA,由抛物线的定义得归典=|丛|,

.•.|PB|+|PF|=|PB|+|T^|>|AB|=3+I=4,

当且仅当P、B、A三点共线时，等号成立，

因此，I尸耳+|尸盟的最小值为4.

故选：C.

2、D

【解析】根据题意，圆G：7+/—2X+枢y+的面积被直线x+2y+l=0平分，即直线x+2y+l=0

经过圆G的圆心，由此求出两圆的圆心和半径，然后判断两个圆的位置关系即可

【详解】根据题意，圆G：x2+y2-2x+my+l=0（m&R）,

2

即（x—l）2+（y+'）2=巴，其圆心为（1,—竺），半径

2422

圆G：+y2-2x+my+l=0（me/?）的面积被直线x+2y+1=0平分，

即直线x+2y+l=0经过圆G的圆心，

则有1-机+1=0,解可得%=2,

即所以圆。1：d+丁2-2x+2y+l=0的圆心(1,-1),半径为1,

圆的标准方程是(1+2丁+(y—3)2=16,圆心(-2,3),半径为4,

其圆心距|QG|=79+16=5=1+4,

所以两个圆外切，

故选：D.

3、A

【解析】根据递推关系依次求出/，/，%，%即可.

C1

【详解】4=2,4=2——，

-13-14-15-16

a2=2----=-,%=2------=-,%=2-----=-,a5=2----=-.

ax2a23%4a45

故选：A.

4、C

【解析】求出圆心(2,-2)到直线x+y-3后=0距离，再借助圆的性质求出d的最大值与最小值即可.

【详解】圆4x+4y+7=0的方程化为(x—2y+(y+2)2=1,圆心为(2,-2),半径为1,

则圆心(2,-2)到直线x+y-30=0的距离d=923闽=3>1>即直线和圆相离，

因此，圆上的动点P到直线的距离d,有%x=3+l=4,411n=3-1=2,即2Wd<4,

即d的取值范围是：[2,4].

故选：C

5、C

【解析】根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解.

【详解】如图所示，设导函数/'(%)的图象与x轴的交点分别为不1X?,X3，/，*5，

根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，

可得占,%为函数/(%)的极大值点，％，/为函数/(%)的极小值点，

所以函数/(%)极值点的个数为4个.

故选：C.

【解析】分别构造函数g(x)=/半，xe(O,+s),以刈=绰，xe(O,+s),利用导数研究其单调性即可得出

【详解】令g(x)=3，xe(0,+8),

X

g")…『⑺,

VxG(0,+O)),2/(x)<矿(x)<3/(x)恒成立，

/./(x)>0,0<7v77v7,

••.g'O)>o,..・函数g(x)在Xe(0,+8)上单调递增，

./(1)</(2).』1)(1

14，一/⑵4

令/z(x)=#，xe(0,+s),"(x)=-'(x)j3/(无),

-VXG(0,+oo),2/(x)<xf'{x)<3/(x)恒成立，

.•小—"x)<o

函数Kx)在xe(0,+8)上单调递减,

X

./(D/(2).1<Z0),给卜用得

•.丁>>丁’,丁/⑵。综上可得：8〃2)(4'

故选：D

【点睛】函数的性质是高考的重点内容,本题考查的是利用函数的单调性比较大小的问题，通过题目中给定的不等式，分

别构造两个不同的函数求导判出单调性从而比较函数值得大小关系.在讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原

则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响

7、C

【解析】利用圆心距与半径的关系确定正确选项.

【详解】圆2x=0的圆心为(1,0),半径为1,

圆分=0的圆心为(0,2),半径为2,

圆心距为2-1<2+1,

所以两圆相交.

故选：C

8、B

【解析】根据已知和渐近线方程可得2=@,双曲线焦距2c=6,结合a、b、。的关系，即可求出结论.

a2

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为丁=正元,则2=且①.

2a2

22

又因为椭圆土+匕=1与双曲线有公共焦点，

123

双曲线的焦距2c=6,即c=3,则曲+作=。2=9②.

_22

由①②解得。=2,6=君，则双曲线C的方程为匕一乙=1.

45

故选：B.

9、C

【解析】根据极值点的意义，可知函数/(X)的导函数在1g，”上有且仅有一个零点.结合零点存在定理，即可求得。的取

值范围.

【详解】函数/(力=3/+2/+3以—1

贝!|/*(%)=x2+4X+3Q

因为函数/(%)在]:,1)上有且仅有一个极值点

即/'(x)=x2+4X+3。在GJ上有且仅有一个零点

根据函数零点存在定理可知满足/[3)/'(1)<0即可

代入可得[a+3a],(5+3a)<0

..53

解得一；<a<一~-

34

故选:C

【点睛】本题考查了函数极值点的意义，函数零点存在定理的应用，属于中档题.

10、A

X〉工恒成立，可得出a2e-[x+，]对任意的x〉工恒成立，利用基本不

【解析】由题意可知，/'（力之0对任意的

2[x）2

等式可求得实数。的取值范围.

【详解】因为/（x）=；x2+lnx+（a—e）x,则/'（x）=x+-+a-e,

2x

对任意的〉恒成立,

由题意可知，/'（X）之。对任意的■恒成立，所以,a2e—[x+xg

由基本不等式可得6-卜+「|＜6-2卜]=e-2,当且仅当尤=1时，等号成立,

所以,a2e—2.

故选：A.

11、A

【解析】利用方程表示双曲线求出加的取值范围，利用集合的包含关系可判断（1）的正误；直接判断命题的正误,

可判断（2）的正误；利用空间向量垂直的坐标表示可判断（3）的正误；利用椭圆的有界性可判断（4）的正误.

【详解】对于（1）,若曲线^—+3—=1为双曲线,则（5—加）（2+加）＜0,

5-m2+m

即（m+2）（m—5）＞。，解得加＜一2或根＞5,

因为{秋帆＜一2}{刈机＜一2或%＞5},

22

因此，机＜-2是=二+二一=1为双曲线的充分不必要条件，（1）错；

5-m2+m

对于（2）,若孙=。，则x=0或丁=0,（2）错；

对于（3），a./?=l2-22+3xl=0»贝！l〃_L6，（3）对；

对于（4）,设点P（尤,y）为椭圆]+、=1上一点，贝！j/=4—§r且一3VxM3,

则点P到点（J5,0）的距离为d=[（x一君）+V=J/_2^/5X+5+4--|X2

=J|X2-2A/5X+9=y-^-3=3—e13—五3+6],（4）错.

故选:A.

12、A

【解析】利用空间向量共线的坐标表示即可求解.

x12

【详解】由题意可得；=7=—,

12—y

解得元=；,y=-4,

所以孙=gx(-4)=_2.

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、岳

【解析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步

求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

【详解】方法1：由题意可知I。川=|。河|=。=2,

由中位线定理可得|尸制=21|=4,设P(x,y)可得(x—2)2+V=16,

22

联立方程上+乙=1

95

321

可解得》=--/=一(舍)，点P在椭圆上且在x轴的上方，

22

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知I。/|=|OM|=c=2,

3

由中位线定理可得|尸耳|=211=4,即。一%=4=%=-5

z「、巫

求得尸-5，2；所以」p/二:=JI5.

2

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几

何问题的重要途径.

14、@.3/1-1②.---------

6〃+4

1(11A1

【解析】设等差数列｛%｝公差为d,根据等差数列的性质即可求通项公式；------=---------采用裂项相

d

消的方法求S”.

【详解】设等差数列｛4｝公差为4

%+%+%=42=>3as=42=>%=14,

d=^^=g=3,

5-23

an=Oy+(〃-2)d=3〃-1；

1(11)1

a/％Ian4+1J3

e1(111111)1门1、n

；.)〃=--------1--------------1--H---------------=-----------------=-------------------=------------

31a1a2a2a3anan+1J31alan+1J3123n+2J6〃+4

ri

故答案为：3n-l；--.

6〃+4

15、0

【解析】由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得a,c的关系，再由离心率公式可得所求

值

【详解】过F2作F2Aa43于点"，设|4月2|=田歹2尸处

因为直线/的倾斜角为J,

O

所以在直角三角形RF2N中，|N8|=gl4£|=c,\NF]\=&,

由双曲线的定义可得尸i|-|5f21=2”，所以田尸i|=2a+m,

同理可得|A的|=m-2a,所以|A5|=|3FiL|AFi|=4a,

即[AN|=2a,

所以|4肌|=c-2a,因此m=J§c,

2

在直角三角形ANFi中，|AF2|=INF2P+IANF，

所以(6c)2=4a2+c2,所以c=0a,

则e=工=A/2,

a

故答案为：V2

16、y/5

【解析】由抛物线的定义得：|PN|=|/N|,所以|PN|+|PM|=|尸司+|PM|,当p、F、"三点共线时，|PN|+|PM|最

小可得答案.

【详解】如图所示：厂(-1,0),

由抛物线的定义得：|尸肥=归耳，所以|PM+|PM=|PF|+|PM|,

由图象知：当P、F、M三点共线时，|PN|+|PM|最小,

2

(\PN\+\PM\)mn=\FM\=^-iy+2=45.

故答案为：、后.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22A

17、（1）L+t=1；（2）-

435

【解析】（1）根据离心率和最大距离建立等式即可求解；

（2）根据弦长，求出直线方程，解出点的坐标即可得解.

【详解】（1）椭圆£:q+今=1（。〉6〉0）的离心率为右焦点为F,且E上一点尸到F的最大距离3,所以

C]

e=—=—,a+c=3所以〃=2,c=l,b=6,

a29

22

所以椭圆E的方程L+±=1；

43

（2）A,3为椭圆E上的两点，线段A5过点尸，且其垂直平分线交x轴于〃点，

22

所以线段A5所在直线斜率一定存在，所以设该直线方程,=左（尤-1）代入?+:=1,

整理得：（3+4左2卜2一弘2尤+4左2—12=0,设A（玉,乂）,5（%2，%），

8k之4左2—12

IAB|=—,—=y/l+k2x+/)~-4为超

18k24k2-12

'13+4左2-4x

3+4F

121

整理得：16=(+^)>

k2—3

53+4左2

当左=G时，线段AB中点坐标

FH

中垂线方程：y+/=—II=|­

当左=-6时，线段A3中点坐标

中垂线方程：y—iFHi=p

4

综上所述：1切1=1.

18、（1）详见解析；

⑵正

5

【解析】（1）取尸。的中点E,连接ME,CE,易证四边形MEQV是平行四边形，得到MN//CE,再利用线面平行

的判定定理证明;

（2）建立空间直角坐标系，求得平面MBC的一个法向量加=（尤,y,z）,易知平面ABCD的一个法向量为：n=（0,0,1）,

/\m-n

由cos（m,〃片可忖求解.

【小问1详解】

证明：如图所示:

取尸。的中点E,连接ME,CE,

因为底面ABC。是矩形，M是的中点，N是5c的中点,

所以ME//NC,ME=NC,

所以四边形AffiCN是平行四边形，

所以跖V//CE,又W平面PCD,CEu平面PCD,

所以肱V〃平面PCD；

【小问2详解】

建立如图所示空间直角坐标系：

则42,0,0)1(2,4,0),C(0,4,0),P(0,0,4),"(1,0,2),

所以CB=(2,0,0),CM=(l,T2),

设平面MBC的一个法向量为m=(Ay,Z),

CB-m=0(2x=0

则，即“cc，

CM-m=0[x-4y+2z=0

令y=l,得'=(0,1,2),

易知平面A8CZ＞的一个法向量为：/?=(0,0,1),

....,m-n22#!

所以cos加,〃=Lppp=亍=,

|m|-|n|V55

所以平面MBC与平面ABCD的夹角的余弦值为史.

5

19、(1)33；

(2)不能，理由见解析.

【解析】(1)设甲参加工作后第x(尤eN*)个月的月工资达到8000元，根据已知条件可得出关于X的不等式，结合参

考数据可求得结果；

(2)分析可知从第13个月开始到第59个月偿还的本金是首项为130为首项，以30为公差的等差数列，计算出甲前59

个月偿还的本金，再由甲第60个月的工资可得出结论.

【小问1详解】

解：设甲参加工作后第x(xeN*)个月的月工资达到8000元，

QQAQQ

贝!13000(1+5%)i228000,可得L05"”?=2§,xeN*,解得xN33,

所以，学生甲参加工作后第33个月的月工资达到8000元.

【小问2详解】

解：因为甲前12个月每个月偿还本金100元，第13个月开始到第59个月每个月偿还的本金比前一个月多30元，

所以，从第13个月开始到第59个月偿还的本金是首项为130为首项，以30为公差的等差数列，

47x46

所以，前59个月偿还的本金为12x100+130义47+--------x30=39740,

2

因为第13个月开始，每个月工资比前一个月增加5%直到8000元，

所以，第60个月的工资为8000元，

因为8000<50000—39740,因此，甲第60个月的工资不能足够偿还剩余的本金.

20、（1）略（2）=nx2"-2"+l

【解析】（1）题中条件2=券，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的：的递推公式

口角=24+2"转化为；的递推公式：答=枭+1,从而4+1=2+1,X=2=1，进而得证；（2）由（1）可

得，%="2〃T,因此数列…的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其

前,项和，即有：5=12-2?T2;……ir：12-.①，①;得:

2S-12T1+32---I..-：2"::②，

②-①得鼠=”2-1>--2^=-'+1.

试题解析：（1）,•*a„+i=2a„+T,整■=爱7+1,又；6“=爱「；•黑=b“+l,

^.=4=1,则也｝是•为首项］为公差的等差数列；

■

x

由（1）得bn=l+（n-l）-l=n,：.an=nT-,

•••卜20+2x21+3X22+…+（*D+E*4①，

①二得：.S,»lx21+2x22+3x2J+...+（n-l）x2*-1+i»x2,Wi

②-①得1=，•2':12:•；•=，：22-1.

考点：1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.

22

21、(1)—+^=1

62

112

(2)(i)存在常数;1=10,使得不+^=下成立;

Q[KJ,Q

（ii）S?-4的最大值为竽.

【解析】（1）求点P的坐标，再利用面积和离心率，可以求出〃，片,°2,然后就可以得到椭圆的标准方程;

⑵设点的坐标和直线方程，联立方程，解出N的y坐标值与尸的坐标之间的关系，求以焦距为底边的三角形面积;

利用均值定理a+人22，茄当且仅当a=b时取等号，求最大值.

【小问1详解】

先求第一象限P点坐标：

X-C

<e=£=g=>>21-鼻=：b。=y=£b,所以尸点的坐标为,

a5aJ53

VJ

口+铲」

’1cy/3,2瓜

--2c---b------

233

所以<==>片=6,b~=2,c2=4,

b2=a2-c2

22

所以椭圆E的方程为L+上=1

62

【小问2详解】

设P（%o,%）（%>°,%>。），M（与％），N（巧,%），

易知直线PM和直线PN的坐标均不为零，

因为耳（—2,0）,耳（2,0）,所以设直线的方程为x+2=my,直线PN的方程为无一2="y,

'x+2=my（,2

由,%2+，2]=>$+=l^>（m'+3）y-4my-2=0

石十5一

222

所以%%=2°，因为%+2—m%,-£-+22__1,

m+362

vv______-_____-_______2%2________2

y-y-------------------------------------------

所以「国+2丫।3V+3K+4x0+42x0+5

k^0J

所以弘=0%v

2XQ+5

I-（2）2/

同理由〈22―2_+匕=10+3）y2+4ny—2=0

—+^=162

162

所以为%=——二，因为不一2=町；0,丘+至=1,

n+362

cc22

yy=______2_____________%

*22

所以G0-2Y|3-xo+3yo-4xo+4-5-2x0

%

所以必

5—2x0

・

因为S=：M引•|y°|=2y°,号|x|=—2%,S2=1-|^|.|y2|=-2y2

所以存在常数2=io,使得!+J=（成立.

2%2为8%%

（ii）S2-S1=2（y1-y2）=

2