山东省济南市外国语学校2023届九年级下学期3月月考数学试卷(含解析)

数学一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.的相反数是()A.2023 B. C. D.答案：A解析：详解：解：的相反数是2023．故选：A2.如图是下列哪个立体图形的主视图（）A. B.C. D.答案：B解析：详解：解：的主视图为，故选：B．3.2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（）A. B. C. D.答案：C解析：详解：解：150万，故选：C．4.如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（）A.30° B.60° C.50° D.40°答案：A解析：详解：详解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°．∵∠A=120°，∴∠C=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°．故选A．5.垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识图案，下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：A解析：详解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意；B．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意．故选：A．叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．6.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：详解：由数轴可得：，A．，故此选项不合题意；B．，故此选项符合题意；C．，故此选项不合题意；D．，故此选项不合题意；故选：B．7.将分别标有“最”、“美”、“济”、“外”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上汉字可以组成“济外”的概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：详解：解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“济外”的结果有2种，两次摸出的球上的汉字可以组成“济外”的概率为，故选：A．8.若，则的值为（）A. B.3 C. D.5答案：C解析：详解：解：当时，原式，故选：C．9.用长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形生物园的一边长为，则围成长方形生物园的面积为，选取6组数对在坐标系中描点，则正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：详解：由题意得S是x的二次函数，且开口向下.故选：B10.如图，中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于、点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，做射线，交于点，过点作交于点．已知，，则的长为（）A. B.3 C. D.4答案：C解析：详解：根据作图可知：是的角平分线，，，，，，，，，即，即，解得，，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。直接填写答案．）11.分解因式：______．答案：解析：详解：解：；故答案为：．12.如图，是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是______．答案：解析：详解：解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，即这个点取在阴影部分的概率是，故答案为：．13.如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为________．答案：解析：详解：解：设正方形的边长为，则由题设条件可知：解得：点A的横坐标为：，点A的纵坐标为：故点A的坐标为．故答案为：．14.为了提高同学们的创新能力和设计能力，某中学进行班徽设计大赛，下图是某班一位同学的徽设计获奖作品，其形状可以近似看作正五边形，则每一个内角为______度．答案：108解析：详解：解:∵正五边形的内角和，∴每一个内角为，故答案为：108．15.使分式与的值相等的x的值为_____．答案：9解析：详解：解：根据题意得：，去分母得：3(x+1)=2(2x−3)，解得：x=9，检验：当x=9时，(2x-3)(x+1)≠0，∴原方程的解为x=9，即使分式与的值相等的x的值为9．故答案为：9．16.如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的动点，且，点为的中点，点为上的一动点，则的最小值为______．答案：解析：详解：解：，点为的中点，，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（一部分），作关于的对称点，连接，交于，当点刚好在直线上时，此时的值最小，最小值为的长；，，，在利用勾股定理有，，的最小值为，故答案为：8．三、解答题（本大题共10个小题，共86分）17.计算：．答案：解析：详解：．18.解不等式组：，并写出其中的正整数解．答案：1≤x＜4，1，2，3解析：详解：解：，解不等式①得：x＜4，解不等式②得：x≥1，∴不等式组的解集是1≤x＜4，∴不等式组的正整数解是1，2，3．19.如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM=CN．答案：见解析解析：详解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠A=∠C，∵DM⊥AB，DN⊥BC，∴∠DMA=∠DNC=90°，在△DAM和△DCN中，，∴△DAM≌△DCN（AAS），∴AM=CN．20.年月，中共中央胜利召开了第二十次全国代表大会，我市组织全体学生开展了“学习二十大、争做好队员”的主题阅读活动，受到了各校的广泛关注和同学们的积极响应．某校为了解同学们的阅读情况，随机抽查了部分学生的在某一周的主题阅读文章的篇数，并制成了如图所示的统计图．某校抽查的学生阅读篇数统计表：某校抽查的学生阅读篇数统计表某校抽查的学生阅读人数统计文章阅读篇数人数请根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）被抽查的学生人数是______人，______；（2）本次抽查的学生阅读篇数的中位数是______，众数是______．（3）求本次抽查的学生平均每人阅读的篇数；（4）若该校共有学生人，请估计该校学生在本周内阅读篇数为篇的人数．答案：（1）；（2）中位数为：；众数为：（3）本次抽查的学生平均每人阅读的篇数为：（4）估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为篇的有人解析：小问1详解：被抽样的学生人数：（人）；．答：被抽样的学生人数为人，的值为：．小问2详解：将学生阅读篇数从小到大排列处在第、位都是，∴中位数为：；学生阅读文章篇数出现次数最多的是，出现次，∴众数为：．小问3详解：学生平均每人阅读的篇数：（篇）答：本次抽查学生平均每人阅读的篇数为：．小问4详解：（人），答：估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为篇的有人．21.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径．答案：（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为．解析：详解：(1)连接OD．∵EF⊥AF，∴∠F＝90°．∵D是的中点，∴，∴∠EOD＝∠DOC＝∠BOC，∵∠A＝∠BOC，∴∠A＝∠EOD，∴OD∥AF，∴∠EDO＝∠F＝90°，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；(2)在Rt△AFE中，∵AF＝6，EF＝8，∴AE=＝10，设⊙O半径为r，∴EO＝10﹣r．∵∠A＝∠EOD，∠E＝∠E，∴△EOD∽△EAF，∴，∴,∴r＝，即⊙O的半径为．22.小明同学想利用刚学的三角函数知识测量一栋教学楼的高度，如图，他在A处测得教学楼顶B点的仰角为，走到C处测得B的仰角为，已知O、A、C在同一条直线上．求教学楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到）答案：解析：详解：解：在中，，∴，∵，∴，在中，，∴，解得：，答：教学楼的高度约为．23.为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌的足球和4个B品牌的足球共需960元；购买5个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需640元．（1）求A，B两种品牌的足球的单价．（2）该校打算通过“京东商城”网购20个足球共花w元，若购买A品牌的足球x个，求w与x的函数关系式．如果购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则学校最多需要花多少钱？答案：（1）A品牌足球的单价为80元，B品牌足球的单价为120元；（2），元解析：小问1详解：设A，B两种品牌的足球的单价分别为y元，z元由题意得：解方程组得：即A品牌足球的单价为80元，B品牌足球的单价为120元小问2详解：当3≤x≤7时，由于－40<0，所以w随x的增大而减小所以当x=3时，w有最大值（元）即如果购买A品牌足球不少于3个且不多于7个，则学校最多需要花2280元．24.如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．（1）填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）请直接写出不等式组≤﹣x+b的解集是；（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．答案：（1）y＝﹣x+4；；（2）1≤x≤3；（3）最大值是2，最小值是解析：详解：解：（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得：1＝﹣3+b，解得b＝4，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4，将B（3，1）代入y＝得：1＝，解得k＝3，∴反比例函数的解析式为；故答案为：；（2）将A（m，3）代入y＝﹣x+4得：3＝﹣m+4，解得m＝1，∴A（1，3），由图可得，一次函数与反比例函数的交点分别为A（1，3），B（3，1），则≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；故答案为：（3）∵点P是线段AB上一点，设P（n，﹣n+4），∴1≤n≤3，∴S＝OD•PD＝•n（﹣n+4）＝﹣（n2﹣4n）＝﹣（n﹣2）2+2，∵﹣＜0，且1≤n≤3，∴当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，∴当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是．25.在△ABC中，，，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当时，填空：①线段PA与DC的数量关系是______；②∠DCP的度数是______；（2）如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，不成立，说明理由．（3）当时，若，，请直接写出点D到CP的距离．答案：（1）①相等，②60°（2）不成立，理由见解析（3）或解析：小问1详解：①证明：如图1所示：将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，，，，，，是等边三角形，，，，，，；②解：如图1中，设交于点，，，，，即；故答案为：①相等；②；小问2详解：解：（1）中结论不成立．理由：如图2所示：，，，，，，，，，，，；小问3详解：解：①当是锐角三角形，，过点作于，过点作交的延长线于，如图所示：在中，，，，，，，，由（2）可知，，，，，；②当是钝角三角形时，，过点作于，过点作交的延长线于，如图所示：在中，，，，，，，，由（2）可知，，，，，；故点到的距离为或．26.如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；（3）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．答案：（1）（2）（3）或解析：小问1