押重庆卷第7-10题（找规律、圆、四边形、代数证明）-备战2024年中考数学临考题号押题（解析版）-备战2024年中考数学临考题号押题

押重庆卷第7-10题押题方向一：找规律3年成都真题考点命题趋势2023年重庆A卷第7题图形类规律探索；从近年重庆中考来看，找规律以选择题形式考查，比较简单；预计2024年重庆卷还将继续对找规律考查。图形类需特别注意，按重庆的惯例一般不考第n个，只需注意前10个即可。2023年重庆B卷第6题图形类规律探索；2022年重庆A卷第6题数字类规律探索；图形类规律探索；2022年重庆B卷第6题图形类规律探索；1．（2023·重庆·中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（

）

A．39 B．44 C．49 D．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了4+5=9根木棍，第②个图案用了4+5×2=14根木棍，第③个图案用了4+5×3=19根木棍，第④个图案用了4+5×4=24根木棍，……，第⑧个图案用的木棍根数是4+5×8=44根，故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（

）

A．14 B．20 C．23 D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2=3×1−1；第②个图案中有5个圆圈，5=3×2−1；第③个图案中有8个圆圈，8=3×3−1；第④个图案中有11个圆圈，11=3×4−1；…，所以第⑦个图案中圆圈的个数为3×7−1=20；故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为3n−1是解题的关键.3．（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（

）

A．32 B．34 C．37 D．41【答案】C【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．4．（2022·重庆·中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（

）A．15 B．13 C．11 D．9【答案】C【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：1+2=3；第③个图案中菱形的个数：1+2×2=5；…第n个图案中菱形的个数：1+2n−1【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：1+2=3；第③个图案中菱形的个数：1+2×2=5；…第n个图案中菱形的个数：1+2n−1∴则第⑥个图案中菱形的个数为：1+2×6−1故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．此类题题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，根据已知图案归纳出图案个数的变化规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键。1．下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个△，第②个图形中一共有13个△，第③个图形中一共有22个△，……，按此规律排列，则第⑧个图形中△的个数为（

）A．97 B．95 C．87 D．85【答案】A【分析】本题考查了探究图形变化规律，找出图形变化的个数变化规律是解题的关键．写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第n个图形中的个数，再取n=8进行计算即可得解．【详解】解：第①个图形中三角形有：6=2+3+1第②个图形中三角形有：13=4+5+2第③个图形中三角形有：22=6+7+3…，依此类推，第n个图形中三角形有2n+2n+1+n所以，第⑧个图形中圆和正三角形个数一共是：82故选：A．2．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案用的木棍根数是（

）A．24 B．29 C．34 D．39【答案】C【分析】本题考查了图形类规律探索，由图得出第n个图案用木棍4+5×n=(5n+4)根，再令n=6，计算即可得出答案．【详解】解：由图可得：第1个图案用木棍：4+5=9（根），第2个图案用木棍：4+5×2=14（根），第3个图案用木棍：4+5×3=19（根），…，∴第n个图案用木棍4+5×n=(5n+4)（根），∴当n=6时，5×6+4=34（根），故选：C．3．用若干大小相同的开口笑图形按如图所示的规律拼成一列图案，其中第①个图案中有4个开口笑图形，第②个图案中有7个开口笑图形，第③个图案中有10个开口笑图形，⋯，按此规律排列下去，则第⑦个图案中开口笑图形的个数是（

）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】C【分析】观察发现每一个图形比前一个图形多三个开口笑图形，利用此规律求解即可．本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中开口笑图形的个数为3n+1．【详解】解：第①个图案中有1+3=4个开口笑图形，第②个图案中有1+2×3=7个开口笑图形，第③个图案中有1+3×3=10个开口笑图形，…，按此规律排列下去，则第n个图案中开口笑图形的个数为3n+1，∴第⑦个图案中开口笑图形的个数为3×7+1=22，故选：C．4．规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第2023个图案用几根火柴棒（

）A．8093 B．8095 C．8092 D．8091【答案】A【分析】观察图形的变化即可得第1个图形火柴棒的个数；摆第2个图案要用的火柴棒；摆第3个图案要用的火柴棒；即可得第n个图形的火柴棒个数，从而可求解．【详解】观察图形的变化可知：摆第1个图案要用火柴棒的根数为：5；摆第2个图案要用火柴棒的根数为：9=5+4=5+4×1；摆第3个图案要用火柴棒的根数为：13=5+4+4=5+4×2；…则摆第n个图案要用火柴棒的根数为：5＋故第2023个图案要用火柴棒的根数为：4×2023+1=8093故选：A【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，解题的关键是利用规律解决问题．5．下列图形是按照一定规律排列的，其中第①个图形中有3个圆点，第②个图形中有9个圆点，第③个图形中有18个圆点，按此规律排列下去，第⑦个图形中的圆点的个数为（）A．80 B．82 C．84 D．86【答案】C【分析】本题主要考查图形类规律，解题的关键是通过观察图形得出规律．根据已知图形找到规律：第n个图形中圆点的个数为：3nn+12．再把【详解】解：第①个图形有：3=3×1个圆点；第②个图形有：9=3×1+2第③个图形有：18=3×1+2+3……∴可知第n个图形有：31+2+3+4+……+n∴第⑦个图形有：3×7×82故选：C．押题方向二：圆3年成都真题考点命题趋势2023年重庆A卷第8题用勾股定理解三角形；切线的性质定理；从近年重庆中考来看，圆以选择题为主进行考查，比较简单，但近几年难度在增加；变化趋势由原来的求角度变为求解线段长，预计2024年重庆卷还将继续对圆，特别是切线以及垂径定理考查。还要关注几种常见辅助线的作法。2023年重庆B卷第8题切线的性质定理；2022年重庆A卷第10题切线的性质定理；2022年重庆B卷第10题圆与三角形的综合(圆的综合问题)；2021年重庆A卷第5题已知圆内接四边形求角度；2021年重庆B卷第5题半圆（直径）所对的圆周角是直角；1．（2023·重庆·中考真题）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A=30°，AB=23，BC=3，则OC的长度是（

A．3 B．23 C．13 D．【答案】C【分析】根据切线的性质及正切的定义得到OB=2，再根据勾股定理得到OC=13【详解】解：连接OB，∵AC是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AC，∵∠A=30°，AB=23∴在Rt△OAB中，OB=AB⋅∵BC=3，∴在Rt△OBC中，故选C．

【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．2．（2023·重庆·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD=50°，则∠BAC的度数为（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】连接OC，先根据圆的切线的性质可得∠OCD=90°，从而可得∠OCA=40°，再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：如图，连接OC，

∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠ACD=50°，∴∠OCA=40°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA=40°，故选：B．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．3．（2022·重庆·中考真题）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A=∠D，且AC=3，则AB的长度是（

）A．3 B．4 C．33 D．【答案】C【分析】连接OB，先求出∠A＝30°，OB＝AC＝3，再利用OBAB=tan【详解】解：连接OB，∵OB＝OD，∴△OBD是等腰三角形，∴∠OBD＝∠D，∵∠AOB是△OBD的一个外角，∴∠AOB＝∠OBD＋∠D＝2∠D，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A=∠D，∴∠A＋∠ABO＝∠A＋2∠D＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OB＝AC＋OC，∵OB＝OC，∴OB＝AC＝3，∵OBAB∴AB＝OBtan故选：C【点睛】此题考查了切线的性质定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，求出∠A＝30°是解决此题的关键．4．（2022·重庆·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC=PC=33，则PB的长为（

A．3 B．32 C．23【答案】D【分析】连接OC，根据AC=PC，OC=OA，证出∠A=∠OCA=∠P，求出∠A=∠OCA=∠P=30°，在Rt△OPC中，tan∠P=OCPC,cos∠P=PCOP，解得【详解】解：连接OC，如图所示，∵AC=PC，∴∠A=∠P，∵OC=OA，∴∠A=∠OCA，∴∠A=∠OCA=∠P，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP=90°，∵∠A+∠P+∠OCA+∠OCP=180°，∴∠A=∠OCA=∠P=30°，在Rt△OPC中，tan∠P=OCPC∴OC=PC×tan∠P=33∵PB=OP−OB，OB=3，∴PB=3，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答此题的关键．5．（2021·重庆·中考真题）如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是（

）A．80° B．100° C．110° D．120°【答案】B【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C=180°-∠A=100°，故选：B．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（2021·重庆·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A=20°，则∠B的度数为（

）A．70° B．90° C．40° D．60°【答案】A【分析】直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=70°，故选：A．【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．此类题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答此题的关键，如果涉及辅助线的证明，多考虑连接圆心和过切点的半径。构造直角三角形利用勾股定理解题也是常用思路。1．如图，点A、C是⊙O上两点，连接AC并延长交切线BD于点D，连接OB、OC、BC、AB，若∠CBD=40°，则∠BOC=（

）A．40° B．55° C．70° D．80°【答案】D【分析】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由切线的性质得∠OBD=90°，求出∠OBC=50°，再由等边对等角得出∠OBC=∠OCB=50°，最后再由三角形内角和定理计算即可得出答案．【详解】解：∵BD切⊙O于D，∴∠OBD=90°，∵∠CBD=40°，∴∠OBC=∠OBD−∠CBD=90°−40°=50°，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=50°，∴∠BCO=180°−∠OBC−∠OCB=80°，故选：D．2．如图，AB是⊙O的直径，BC为弦，D是弧BC的中点，连接AD交BC于E，若∠BAD=30°，AB=23，则EC=（

A．1 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】本题考查了圆周角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，连接OD，BD，CD，OC，OD交BC于点F，由题意得出OD⊥BC，CD=BD，证明出【详解】解：连接OD，BD，CD，OC，OD交BC于点，∵D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∵∠BOD=2∠BAD=60°，∴∠COD=60°，又∵OD=OC，∴△OCD为等边三角形，∴OF=DF=12OD=14故CE=CF−EF=3故选A．3．如图，点D是⊙O的弦AB延长线上一点，CD切⊙O于点C，若OB∥CD，AB=OB=3，则BD的长度为（

A．5 B．3+1 C．23【答案】D【分析】本题考查了圆的切线的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，含有30°角直角三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．连接OC，过点B作BE⊥CD于点E，先证明△OAB是等边三角形，由OB∥CD得∠D=∠OBA=60°，继而解Rt△BED【详解】解：连接OC，过点B作BE⊥CD于点E，∵AB=OB=3，OA=OB∴OA=OB=AB=3∴△OAB是等边三角形，∴∠OBA=60°，∵OB∥CD，∴∠D=∠OBA=60°，∵CD切⊙O于点C，∴∠OCD=90°，∵BE⊥CD，OB∥CD，∴BE=OC=3在Rt△BED中，BD=故选：D．4．如图，已知AB与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接BC交⊙O于点D，E为⊙O上一点，当∠CED=58°时，∠B的度数是（

）

A．32° B．64° C．29° D．58°【答案】D【分析】连接OD，根据圆周角定理得到∠DOC，从而求得∠OCD，根据AB与⊙O相切得到∠CAB=90°，结合三角形内角和即可得到答案；【详解】解：连接OD，∵CD⏜=CD∴∠DOC=2∠CED=116°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=180°−116°∵AB与⊙O相切，∴∠CAB=90°，∴∠B=180°−90°−32°=58°，故选：D．

【点睛】本题考查圆周角定理，切线性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线得到∠DOC．5．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上一点，CD切⊙O于点D，DE为⊙O的弦，若∠AED=60°，⊙O的半径是2．则CD的长为（

）A．4 B．3 C．23 D．【答案】C【分析】如图所示，连接OD，根据切线的性质得到∠ODC=90°，再由圆周角定理求出∠AOD的度数，进而求出∠DOC的度数，再解直角三角形即可．【详解】解：如图所示，连接OD，∵CD是圆O的切线，∴∠ODC=90°，∵∠AED=60°，∴∠AOD=2∠AED=120°，∴∠DOC=60°，∵⊙O的半径是2，∴tan60°=CD∴CD=23故选C．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．押题方向三：四边形求解3年成都真题考点命题趋势2023年重庆A卷第9题根据正方形的性质求角度；根据旋转的性质求解；从近年重庆中考来看，四边形中求值以选择题形式考查，难度逐年增大；预计2024年重庆卷还将继续考查，主要注意三方面：一直接求角度，二利用字母表示角，三求线段长。特别注意用字母表示角，考到可能性更大。2023年重庆B卷第9题全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；斜边的中线等于斜边的一半；根据正方形的性质求线段长；2022年重庆A卷第9题角平分线的有关计算；全等三角形综合问题；根据正方形的性质证明；2022年重庆B卷第9题全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质求线段长；2021年重庆A卷第9题全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质证明；2021年重庆B卷第9题斜边的中线等于斜边的一半；根据正方形的性质求角度；1．（2023·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°．若∠BAE=α，则∠FEC一定等于（）

A．2α B．90°−2α C．45°−α D．90°−α【答案】A【分析】利用三角形逆时针旋转90°后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．【详解】将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABH，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=∠C=90°，由旋转性质可知：∠DAF=∠BAH，∠D=∠ABH=90°，AF=AH，∴∠ABH+∠ABC=180°，∴点H，B，C三点共线，∵∠BAE=α，∠EAF=45°，∠BAD=∠HAF=90°，∴∠DAF=∠BAH=45°−α，∠EAF=∠EAH=45°，∵∠AHB+∠BAH=90°，∴∠AHB=45°+α，在△AEF和△AEH中AF=AH∠FAE=∠HAE∴△AFE≌△AHE(SAS∴∠AHE=∠AFE=45°+α，∴∠AHE=∠AFD=∠AFE=45°+α，∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°+2α，∵∠DFE=∠FEC+∠C=∠FEC+90°，∴∠FEC=2α，故选：A．

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．2．（2023·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE=BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB=2，则OF的长度为（

）

A．2 B．3 C．1 D．2【答案】D【分析】连接AF，根据正方形ABCD得到AB=BC=BE，∠ABC=90°，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得∠BFE=45°，再证明△ABF≌△EBF，求得∠AFC=90°，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出OF的长度．【详解】解：如图，连接AF，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BE=BC，∠ABC=90°，AC=2∴∠BEC=∠BCE，∴∠EBC=180°−2∠BEC，∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=2∠BEC−90°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF=∠EBF=1∴∠BFE=∠BEC−∠EBF=45°，在△BAF与△BEF,AB=EB∠ABF=∠EBF∴△BAF≌△BEFSAS∴∠BFE=∠BFA=45°，∴∠AFC=∠BFA+∠BFE=90°，∵O为对角线AC的中点，∴OF=1故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得∠BFE=45°是解题的关键．3．（2022·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=AF，则∠CDF的度数为（

）

A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°【答案】C【分析】先利用正方形的性质得到AD=AB，∠DAF=∠B=∠ADC=90°，∠BAC=45°，利用角平分线的定义求得∠BAE，再证得△ABE≌△DAFSAS，利用全等三角形的性质求得∠ADF=∠BAE=22.5°，最后利用∠CDF=∠ADC−∠ADF【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠B=∠ADC=90°，∠BAC=45°，∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠BAE=1在△ABE和△DAF中，AD=AB∠DAF=∠B∴△ABE≌△DAFSAS∴∠ADF=∠BAE=22.5°，∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=90°−22.5°=67.5°，故选：C【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．4．（2022·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE=OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE=25°，则∠CBE的度数为（

）A．50° B．55° C．65° D．70°【答案】C【分析】根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数．【详解】解：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，∵OE=OF，∴△AOF≌△BOE（SAS），∴∠OBE=∠OAF，∵OE=OF，∠EOF=90°，∴∠OEF=∠OFE=45°，∵∠AFE=25°，∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，故选：C．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键．5．（2021·重庆·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（

）A．1 B．2 C．2 D．2【答案】C【分析】先证明△MAO≅△NDO(ASA)，再证明四边形MOND的面积等于，△DAO的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，∴∠AOD=90°∵ON⊥OM∴∠MON=90°∴∠AOM=∠DON又∵∠MAO=∠NDO=45°,AO=DO∴△MAO≅△NDO(ASA)∴∵四边形MOND的面积是1，∴∴正方形ABCD的面积是4，∴A∴AB=2故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2021·重庆·中考真题）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（

）A．60° B．65° C．75° D．80°【答案】C【分析】根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出∠AMP的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形中，∴∠MBO=∠NDO=45°，∵点O为MN的中点∴OM=ON，∵∠MPN=90°，∴OM=OP，∴∠PMN=∠MPO=30°，∴∠MOB=∠MPO+∠PMN=60°，∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，∠AMP=180°−75°−30°=75°，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质，根据角的关系进行计算．此类题考查了特殊四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键。还会涉及辅助线的证明。但不会脱离常用辅助线，遇到困难时也可以尝试用特殊值加测量的方法解决问题。1．如图，在正方形ABCD中，边AB、AD上分别有E，F两点，AE=DF，BP平分∠CBF交CD于点P．若∠CPB=α，则∠CEB的度数为（

）A．90°−α B．α C．180°−2a D．90°−【答案】C【分析】本题考查正方形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，先根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义求出∠CBF=2∠CBP=180°−2α，再根据平行线的性质推出∠AFB=∠CBF=180°−2α，最后证明△BAF≌△CBESAS，即可得出【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=DC，∠A=∠EBC=∠BCD=90°，∵AE=DF，∴AB−AE=AD−DF，即AF=BE，∵∠CPB=α，∴∠CBP=90°−∠CPB=90°−α，∵BP平分∠CBF，∴∠CBF=2∠CBP=180°−2α，∵正方形ABCD中，AD∥∴∠AFB=∠CBF=180°−2α．在△BAF和△CBE中，AB=BC∠A=∠CBE∴△BAF≌△CBE∴∠BEC=∠AFB=180°−2α．即∠CEB的度数为180°−2a．故选C．2．如图，在菱形ABCD中，∠BEF=α°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PFC=（

）A．90°−12α° B．90°−α° C．180°−2α°【答案】D【分析】延长PF交EB的延长线于H点，根据题意证出△BHF≌△CPF，得HF=FP，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得EF=FH=FP，在等腰△EHF中易求出最终结果；此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定方法、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，准确作出辅助线是解决此题的关键．【详解】延长PF交EB的延长线于H点，∵ABCD是菱形，E，F分别是边AB和BC的中点∴BE=BF,BF=FC∵∠BEF=α°∴∠BEF=∠BFE=α°∵AH∴∠FBH=∠FCP在△BHF和△CPF中∠FBH=∠FCP∴△BHF≌△CPF∴HF=FP∴F是PH的中点∵EP⊥CD∴EP⊥AB在Rt△HEP中，EF是中线，PH∴PH=2EF∴EF=FH=FP∴∠H=α°∠CFP=∠BFH=180°−∠H−∠HEF−∠EFB=180°−α°−α°−α°=180°−3α°故选：D．3．如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，连接DE，点F为对角线AC的中点，连接EF，若DE⊥AC，AB=2AD，设∠AFE=α，则∠DAF的度数可以表示为（

）A．45°+12α B．45°+α C．45°−α【答案】B【分析】取AB的中点G，连接FG，则FG为△ACB中位线，FG=12CB,FG∥BC，先证明∠1=∠2，则tan∠1=tan∠2，设AD=2x，则【详解】解：取AB的中点G，连接FG，则FG为△ACB中位线，FG=1∵AB=2AD，∴设AD=2x，则AB=4x∵矩形ABCD，∴∠B=∠ADC=∠DAB=90°,AB=DC=4x,BC=AD=2x，∵DE⊥AC，∴∠1+∠CDE=∠2+∠CDE=90°，∴∠1=∠2，∴tan∠1=∴AEAD∴AE2x∴AE=x，∴EG=AG−AE=2x−x=x，而FG=1∴FG=x，∴FG=FE，又FG∥CB,∠B=90°，∴∠FGE=90°，∴△FGE为等腰直角三角形，∴∠FEB=45°，∵∠FEB=α+∠EAF，∴∠EAF=45°−α，∴∠DAF=90°−∠EAF=90°−45°−α故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，外角定理，以及同角的余角相等，锐角三角函数，熟练掌握知识点是解决本题的关键．4．在正方形ABCD中，连接BD，E为BC中点，F为BD上一点，连接EF，AF，满足AF=EF，延长AF交CD于点N，连接EN，若∠DAF=α，则∠ENC用含α的式子表示为（

）A．45°−α2 B．45°−α C．2α 【答案】C【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，圆周角定理等知识，连接CF，先证明△ABF≌△CBF，得到∠FEC=90°−α，∠BFE=45°−α，∠AFB=45°+α，进而得到∠EFN+∠BCD=180°，证明N、F、E、C中点共圆，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：连接CF，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=∠ADB=45°，∠BAD=∠BCD=90°，∵∠DAF=α，∴∠BAF=90°−α，∠AFB=∠ADB+∠DAF=45°+α，在△ABF和△CBF中，AB=BC∠ABD=∠CBD∴△ABF≌△CBF，∴AF=CF，∠BCF=∠BAF=90°−α，∵AF=EF，∴CF=EF，∴∠FEC=∠BCF=90°−α，∴∠BFE=∠FEC−∠CDB=90°−α−45°=45°−α，∵∠AFB=45°+α，∴∠AFE=∠AFB+∠BFE=45°+α+45°−α=90°，∴∠EFN=180°−∠AFE=90°，又∵∠BCD=90°，∴∠EFN+∠BCD=180°，∴N、F、E、C中点共圆，∴∠ENC=∠EFC，∵∠FEC=∠BCF=90°−α，∴在△EFC中，∠EFC=180°−∠FEC−∠BCF=2α，∴∠ENC=∠EFC=2α，故选：C．5．如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB=AC，连接DE，若∠BAC=α，则∠E的度数是（

）A．α2 B．45°−α2 C．α−45°【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理等；连接BD与AC交于O，根据矩形的性质可证∠OBA=∠BAC=α，BD=BE，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解；掌握性质，作出辅助线，构建等腰△BDE是解题的关键．【详解】解：如图，连接BD与AC交于O，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，OA=OB=1∠ABC=90°，∴∠OBA=∠BAC=α，∴∠ABE=90°，∴∠DBE=∠ABE+∠OBA=90°+α，∵BE=AC，∴BD=BE，∴∠E=∠BDE，∴∠E==45°−1故选：B．押题方向四：代数证明3年成都真题考点命题趋势2023年重庆第10题化简绝对值；合并同类项；从近年重庆中考来看，代数证明以选择题形式考查，难度很大；预计2024年重庆卷还将对代数证明考查。注意分类讨论思想在此类题目中的渗透。2022年重庆第12题新定义下的实数运算；去括号；1．（2023·重庆·中考真题）在多项式x−y−z−m−n（其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x−y−|z−m|−n=x−y−z+m−n，x−y−z−m−n=x−y−z−m+n①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【详解】解：x−y−z−m−n=x−y−z−m−n若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现−x，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x−y−z−m−n=x−y−z−m−n；x−y−z−m−n=x−y+z−m−n；x−y−|z−m|−n=x−y−z+m−n；x−y−z−m−n=x−y−z−m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x−y有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．2．（2022·重庆·中考真题）对多项式x−y−z−m−n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x−y)−(z−m−n)=x−y−z+m+n，x−y−(z−m)−n=x−y−z+m−n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】给x−y添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．【详解】解：∵x−y∴①说法正确∵x−y−z−m−n−x+y+z+m+n=0又∵无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号∴②说法正确③第1种：结果与原多项式相等；第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D．【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．此类题综合性强，主要考查了整式，分式，根式等的变形计算或操作，熟练掌握添括号和去括号法则，灵活运用乘法公式，用配方法因式分解换元法设参数拆项与逐步合并等技巧变形，也可以用特殊值解决部分问题。1．有一列数−1,−2,−3,−4，将这列数中的每个数求其相反数得到1,2,3,4，再分别求与1的和的倒数，得到12,13,14,15，设为a1①a5=2，a6=32，③a2015=3；④A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律．【详解】解：由题意得：a1=12，a2a5=1−12+1a9=1−2+1=−1，a∵2015÷4=503⋯⋯3，∴a2015是由a∵a3=14，a7∴a3、a7、∵503÷3=167⋯⋯2，∴a2015依次计算：a13=11+1=12则每3次操作，相应的数会重复出现，∵==−79∵50÷12=42∴=−=−97综上分析可知，正确的有2个，故选：C．2．对于整式：x−3、2x−1、4x+1、5x+3、6x+5，在每个式子前添加“+”或“−”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为M．例如：|x−3+(2x−1)−(4x+1)−(5x+3)−(6x+5)|=|−12x−12|，当x≤−1时，M=−12x−12；当x≥−1时，M=12x+12，所以M=−12x−12或12x+12．下列相关说法①至少存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数；②若一种“全绝对”操作的化简结果为M=−2x+k（k为常数），则x≤32；③所有可能的“全绝对”操作后的式子化简后有32种不同的结果．正确的个数是（A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题考查了整式的加减、绝对值的意义，根据绝对值的意义、整式的加减运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵x−3+∴①正确，符合题意；∵M=−2x+k，x−3−2x−1∴2x−3≤0，解得：x≤3∴②正确，符合题意；由题意得：x−3、2x−1、4x+1、5x+3、6x+5的绝对值各有2种，∴“全绝对”操作后的式子化简后有2×2×2×2=16种不同的结果，∴③错误，不符合题意；综上所述，正确的有①②，共2个，故选：C．3．已知两个正整数a，b，可按规则c=a+1b+1−1扩充得到一个新数，再从a，b，c三个数中任取两个数，按上述规则又可扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充得到一个新数叫做