辽宁省新民市2023年九年级上学期《数学》期中试题和参考答案

辽宁省新民市2023年九年级上学期《数学》期中试题和参考答案一、选择题每小题2分，计20分。1.一元二次方程根的判别式的值是（）．A. B.C. D.【答案】B【详解】∵，，，∴．故选：B．2.同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是()A. B.C. D.【答案】D【详解】由题意可得，所有的可能性为：∴至少有两枚硬币正面向上的概率是0.5，故选D.3.正方形、矩形、菱形都具有的特征是（）A.对角线互相平分 B.对角线相等C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角【答案】A【详解】A、三者均具有此性质，故正确；B、菱形不具有此性质，故不正确；C、矩形不具有此性质，故不正确；D、矩形不具有此性质，故不正确；故选：A．4.关于x的一元二次方程，则a的条件是（）A. B.C. D.【答案】C【详解】∵是关于x的一元二次方程，∴，即，故选：C．5.关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是（）A.若，则平行四边形ABCD是菱形B.若，则平行四边形ABCD是正方形C.若，则平行四边形ABCD是矩形D.若，则平行四边形ABCD是正方形【答案】C【详解】A、错误．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是矩形；

B、错误．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形；

C、正确．

D、错误．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是菱形；

故选：C．6.用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【详解】，移项，得，这里，故选：B．7.如图，将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处．若，则等于（）A. B.C. D.【答案】C【详解】∵四边形是矩形，，，由折叠的性质可得：，故选：C．8.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的概率稳定在0.2左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（）．A.4 B.10C.12 D.16【答案】D【详解】袋子中黄球的个数最有可能是：（个），故选：D．9.若，是两个实数，定义一种运算“△”，，则方程的实数根是（）．A.， B.，C.， D.，【答案】A【详解】∵，∴，移项得，，提公因式得，，或，所以，，故选：A．10.如图，是矩形的一条对角线，点E，F分别是的中点．若，则的长为（）A.6 B.7C.8 D.9【答案】C【详解】∵点E，F分别是的中点，∴是的中位线，∴，∵，∴，又∵E是的中点，∴中，，∴．故选：C．二、填空题每小题3分，计18分。11.掷一枚均匀的硬币，前五次抛掷结果都是正面朝上，那么第六次抛掷的结果为正面朝上的概率为_____．【答案】0.5【详解】掷一枚均匀的硬币，前五次抛掷结果都是正面朝上，那么第六次抛掷的结果为正面朝上的概率为0.5．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°.CD为AB边上的中线，若∠A=α，则∠BCD的度数为______(用含α的代数式表示).【答案】(90°−α)【详解】∠B＝90°−∠A＝90°−α，∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∴CD＝AB＝BD，∴∠BCD＝∠B＝90°−α，故答案为90°−α．13.若某两位数的十位数字是方程的根，则它的十位数字是_____．【答案】7【详解】依题意解方程：，又因为是两位数，所以十位数字是7。14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且，，于点E，则__________．【答案】4.8【详解】∵四边形ABCD是菱形，且AC=6，DB=8，∴CO=0.5AC=3，BO=0.5BD=4，AO⊥BO，∴BC==5，∵S菱形ABCD=AC•BD=BC•AE，∴AE=，故答案为：．15.已知，则的值是_____．【答案】1或2【详解】∵，∴，则或，解得或，当时，；当时，；综上，的值是1或2；16.如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为_____．【答案】【详解】设，则，∵沿翻折后点C与点A重合，∴，在中，，即，解得，∴，由翻折的性质得，，∵矩形的对边，∴，∴，∴，过点E作于H，则四边形是矩形，∴，，∴，在中，．故答案为：．三.解答题17.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2），【小问1详解】，，，解得．【小问2详解】

，解得，．18.已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边．求的值及的周长．【答案】，的周长为14．【详解】把代入方程得，，解得；∴方程为，解得，，∵，∴等腰三角形ABC的腰长为7，底边长为3，∴的周长为．19.如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，连接AE、CE，，，求证：四边形ABCD是正方形．【答案】见解析【详解】证明：在和中，∴（AAS），∴，又∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．20.某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶（500ml）、红茶（500ml）和可乐（600ml），抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品；不相同时，不能获得任何奖品．根据以上规则，回答下列问题：（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或画树状图的方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）∵转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；∴一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为：；（2）画树状图得：∵共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有2种情况，∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为：．21.某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．【答案】【详解】设南瓜亩产量的增长率为，则种植面积的增长率为．根据题意，得．解这个方程，得，（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为．22.如图，在四边形中，，M，N分别是的中点．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）详见解析（2）【小问1详解】∵，M是的中点，∴，∴，又∵N是的中点，∴；【小问2详解】∵，M是的中点，∴，∴，∴．23.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2）线段PQ不能平分△ABC的面积．【详解】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2则：BP=6-x，BQ=2x，所以S△PBQ=0.5×（6-x）×2x=8，即x2-6x+8=0，可得：x=2或4（舍去），即经过2秒，△PBQ的面积等于8cm2．（2）设经过y秒，线段PQ恰好平分△ABC的面积，△PBQ的面积等于12cm2，S△PBQ=0.5×（6-y）×2y=12，即y2-6y+12=0，因为△=b2-4ac=36-4×12=-12＜0，所以△PBQ的面积不会等于12cm2，则线段PQ不能平分△ABC的面积．四.拓展创新题24.某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP=CQ；（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）PE=QE，理由见解析（3）PE的长为3.4【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠A＝∠B＝∠BCD＝∠DCQ＝90°，AD＝BC＝CD＝AB＝4，∵∠PDQ＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ，在△APD和△CQD中，，∴△APD≌△CQD（ASA），∴AP＝CQ；【小问2详解】PE＝QE，理由如下：由（1）得：△APD≌△CQD，∴PD＝QD，∵DE平分∠PDQ，∴∠PDE＝∠QDE，在△PDE和△QDE中，，∴△PDE≌△QDE（SAS），∴PE＝QE；【小问3详解】由（2）得：PE＝QE，由（1）得：CQ＝AP＝1，∴BQ＝BC+CQ＝5，BP＝AB﹣AP＝3，设PE＝QE＝x，则BE＝5﹣x，在Rt△BPE中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2＝x2，解得：x＝3.4，即PE的长为3.4．25.