《第八章 立体几何初步》知识梳理、考点专练和单元检测试卷

《第八章立体几何初步》知识梳理【知识构建】【知识梳理】一、常见几何体的面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.圆柱的侧面积S侧=2πrl,表面积S=2πr(r+l).圆锥的侧面积S侧=πrl,表面积S=πr(r+l).圆台的侧面积S侧=π(r'+r)l,表面积S=π(r'2+r2+r'l+rl).球的表面积S=4πR2.其中r',r分别为上、下底面半径,l为母线长,R为球的半径.二、常见几何体的体积柱体的体积V=Sh;锥体的体积V=13台体的体积V=13(S'+S球的体积V=43πR3其中S',S分别为上、下底面面积,h为高,R为球的半径.三、平面的基本事实基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.四、空间点、直线、平面之间的位置关系1.空间中直线与直线的位置关系共面直线2.空间中直线与平面的位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点;(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行——没有公共点.当直线与平面相交或平行时,直线不在平面内,也称为直线在平面外.3.空间中平面与平面的位置关系(1)两个平面平行——没有公共点;(2)两个平面相交——有一条公共直线.五、空间平行关系的判定及性质1.直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.2.直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.3.平面与平面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.4.平面与平面平行的性质定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.六、空间垂直关系的判定及性质1.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.2.直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.3.平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.4.平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直.《第八章立体几何初步》考点专项训练考点一基本立体图形解决空间基本立体图形结构特征问题的三个策略(1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力．(2)构建几何模型、变换模型中的线面关系．(3)通过反例对结构特征进行辨析．一．选择题1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆台、一个圆锥【答案】B【解析】设等腰梯形，较长的底边为，则绕着底边旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，（如右轴截面图）故选B．2．某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上A．乐、新、快 B．快、新、乐 C．新、乐、快 D．乐、快、新【答案】B【解析】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，故选B．3．以下空间几何体是旋转体的是A．圆台 B．棱台 C．正方体 D．三棱锥【答案】A【解析】一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．所以选项正确．故选A．4．一个圆锥的母线与其轴所成的角为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，设圆锥的母线为，底面圆半径为，因为，所以，解得，所以底面圆的周长为，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为．故选D．5．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．正方体【答案】B【解析】用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以满足条件；用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状不可能是一个三角形，所以不满足条件；用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以满足条件；用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以满足条件．故选B．6．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．以上都有可能【答案】D【解析】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是圆锥，也可能是圆柱，也可能是球体．故选D．7．下列说法正确的是A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台【答案】C【解析】对于，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，所以选项错误；对于，棱柱的底面不一定是平行四边形，所以选项错误；对于，圆锥的轴截面是腰长等于母线的等腰三角形，所以选项正确；对于，用一个平行于底面的平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台，所以选项错误．故选C．8．下列说法正确的是A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥 C．棱锥的所有侧面都是三角形 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】C【解析】对于，棱台的上下底面互相平行，侧面都是四边形，但棱台不是棱柱，故错误；对于，当旋转轴为直角边时，所得几何体为圆锥，当旋转轴为斜边时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故错误；对于，由于棱锥的所有侧棱都交于一点，故棱锥的侧面都是三角形，故正确；对于，当平面与棱锥的底面不平行时，截面与棱锥底面间的几何体不是棱台，故错误．故选C．二．填空题9．圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角．【答案】【解析】圆锥底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为；所以扇形的圆心角为．故答案为：．10．一圆台的母线长为，母线与轴的夹角为，上底面半径为，则下底面半径为，圆台的高为．【答案】，．【解析】如图所示，圆台的母线长为，母线与轴的夹角为，上底面的半径为，所以圆台的高为，则，所以底面圆的半径为．故答案为：，．三．解答题11．已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求它的斜高．【答案】【解析】如图所示，在正四棱锥中，连结，交于点，连结，因为正四棱锥的高为，侧棱长为，所以，，在中，，所以，作于点，则为的中点，连结，则为该正四棱锥的斜高，在中，因为，所以．12．一个正四棱台的高是，上、下底面边长分别为和．求这个棱台的侧棱长和斜高．【答案】侧棱长为，斜高为【解析】如图所示，设棱台的两底面的中心分别是、，和的中点分别是和，连接、、、、、，则四边形和都是直角梯形．，，，，，，，，，．这个棱台的侧棱长为，斜高为．考点三立体图形的直观图斜二测画法的步骤:(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成x轴和y轴，两轴相交于点O,且使∠xOy=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面。(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段。(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半(横不变,纵减半)。规律:两变半(坐标轴夹角，平行于y轴的线段)两不变(平行于x轴的线段，平行关系不改变)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形．一．选择题1．如图，△是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是A．是钝角三角形 B．是等腰三角形，但不是直角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是等边三角形【答案】C【解析】由斜二测画法的直观图知，，所以原图形中，，所以点在以为直径的圆上，所以是等腰直角三角形．故选C．2．如图，△A'B'C'是的直观图，其中，轴，轴，那么是A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形【答案】D【解析】根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于轴的线段，长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半，直观图△的原来图形是直角三角形，且，不是等腰直角三角形．故选D．3．如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是A．6 B．8 C． D．【答案】B【解析】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段轴，所以在原图形中对应的线段平行于轴且长度不变，点和在原图形中对应的点和的纵坐标是的2倍，则，所以，则四边形的长度为8．故选B．4．如图，正方形O'A'B'C'的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是A． B． C． D．【答案】A【解析】由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8观察四个选项，选项符合题意．故选A．5．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是A． B． C． D．【答案】C【解析】设直观图中与轴和轴的交点分别为和，根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的和点，再由平行与轴的线在原图中平行于轴，且长度不变，作出原图可知选故选C．6．用斜二测画法画一个水平放置的边长为的等边得到的直观图△A'B'C'，则△A'B'C'的面积为A． B． C． D．【答案】C【解析】由直观图与原图形的面积之比为可得，；而，所以△的面积为．故选C．7．一水平放置的平面四边形OABC用斜二测画法绘制的直观图如图所示，其中，，，四边形OABC的面积为A． B． C．3 D．【答案】B【解析】平面四边形的直观图是直角梯形，其面积为；根据平面图形与它的直观图面积比为，计算四边形的面积为，故选B．8．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原的面积是A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，且若△的面积为，那么的面积为．故选A．二．填空题9．一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正三角形，则原三角形的面积等于．【答案】【解析】三角形在其直观图中对应一个边长为正三角形，直观图的面积是；由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系：，原三角形的面积为：．故答案为：．10．如图所示，△为水平放置的的直观图，其中，，则的面积是．【答案】【解析】把直观图还原为原图形，如图所示：由题意知，，，所以的面积是．故答案为：．三．解答题11．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的形状是什么？面积是多少？【答案】原图形是平行四边形，如图所示，.【解析】在直观图中，设与交于点，则，，，在原图形中，，，，因为，，所以原图形是平行四边形，如图所示，其面积为．12．如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．【答案】，．【解析】正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图是平行四边形，相邻边长为：1和，原图的周长是：8．故周长为：8，面积为；故答案为：，．考点四简单几何体的表面积与体积(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理.(4)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决．5根据几何体常规几何体、组合体或旋转体的特征求表面积：①求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.②对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面和外界直接接触的面”的定义，以确保不重复、不遗漏.一．选择题1．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．现已知该四棱锥的高与斜高的比值为，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是A． B． C． D．【答案】B【解析】设该正四棱锥底面的边长为，高为，斜高为，则有，解得，所以该正四棱锥的底面面积为，侧面面积为，故该正四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是．故选B．2．现有橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个．若将它重新制作成一个底面半径为，高为的圆柱（橡皮泥没有浪费），则该圆柱表面积的最小值为A． B． C． D．【答案】B【解析】橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个，将它重新制作成一个底面半径为，高为的圆柱（橡皮泥没有浪费），则，解得，该圆柱表面积．当且仅当，即，时，取等号．该圆柱表面积的最小值为．故选B．3．圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是A． B． C． D．【答案】C【解析】设球的直径为，则圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面展开图是扇形，故扇形的半径为母线长，扇形的弧长就是圆锥的底面周长为，故扇形的面积为，即圆锥的侧面积为，所以圆锥的表面积为，球的表面积为，所以圆锥与球的表面积之比是．故选C．4．棱长为2的正四面体的表面积是A． B． C． D．【答案】D【解析】棱长为2的正四面体的表面积是四个边长为2的正三角形面积之和，所以表面积为．故选D．5．如图，长方体中，，，三棱锥的体积为A．1 B．2 C．3 D．6【答案】B【解析】长方体中，平面，．故选B．6．在三棱锥中，，，为AC中点．，则三棱锥体积最大值为A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，为中点，，，又，，即，当且仅当时上式取等号，，且，，可得，，又，，平面，平面，又，三棱锥体积最大值为．故选C．7．如图，已知底面边长为的正四棱锥的侧棱长为2a，若截面PAC的面积为，则正四棱锥的体积等于A． B． C． D．【答案】B【解析】作底面于点，则是中点，，，截面的面积为，，解得，正四棱锥的体积为：．故选B．8．在棱长为2的正方体中，为正方形的中心，，，分别为，AB，BC的中点，则四面体OPMN的体积为A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，在棱长为2的正方体中，求得，，，，取的中点，连接，，可得，，，，在中，由余弦定理可得，，，则到平面的距离．．故选B．二．填空题9．已知三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥的体积为．【答案】【解析】如图，三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，射影在底面上的射影在的平分线上，可得棱锥的高为：，所以，与底面所成角也是，在底面的射影是底面三角形的外心，外接圆的半径为2，所以射影点为，是的中点，则是等腰直角三角形，所以该三棱锥的体积为：．故答案为：．10．直三棱柱内有一个体积为的球，若是两直角边长分别为6，8的直角三角形，侧棱，则的最大值为．【答案】【解析】若是两直角边长分别为6，8的直角三角形，不妨设，，，则，三角形的内切圆的半径为，因为，所以，所以球与直三棱柱侧面相切时，直三棱柱的内切球半径最大取2，则的最大值为．故答案为：．三．解答题11．如图，已知点为正方形所在平面外一点，是边长为2的等边三角形，点是线段的中点，平面平面．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接，设，连接，因为底面是矩形，所以为的中点，又因为是的中点，所以为的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解：在正方形中，，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，因为为等边三角形，且为线段的中点，所以，所以．12．在四棱锥中，四边形为平行四边形，三角形为等腰直角三角形，，已知，，，．（1）求证：；（2）求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：设的中点为，连接，，是等腰三角形，，，又，，平面，则，，，是等腰直角三角形，且；（2）解：由（1）可知平面，而平面，平面平面，又，，，得．又，为正三角形，设的中点为，则平面，且，，四棱锥的体积．考点五空间点、直线、平面的位置关系证明线共面或点共面的三种常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．判断空间两直线位置关系的三种策略(1)对于异面直线，可采用直接法或反证法进行判定．(2)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断．(3)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．一．选择题1．已知平面与互相垂直，与交于，和分别是平面，上的直线．若，均与既不平行．也不垂直，则与的位置关系是A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行【答案】D【解析】①假设，因为与既不垂直，也不平行，所以，过在内作直线，如图所示，因为，所以，又因为，所以，又因为，，所以，，所以，这与与既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，所以与不垂直，同理与也不垂直；②假设，则，，，所以，这与和与既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，所以与不平行．综上所述，与的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行．故选D．2．设，是两个不同平面，，是两条直线，下列命题中正确的是A．如果，，，那么 B．如果，，，那么 C．如果，，，那么 D．如果，与所成的角和与所成的角相等，那么【答案】C【解析】由，是两个不同平面，，是两条直线，知：对于，如果，，，那么与相交或平行，故错误；对于，如果，，，那么与相交或平行，故错误；对于，如果，，，那么由面面平行的判定定理得，故正确；对于，如果，与所成的角和与所成的角相等，那么与相交、平行或异面，故错误．故选C．3．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是A．平行或相交或异面 B．相交 C．异面 D．平行【答案】A【解析】如图，正方体中，、分别是棱、的中点，平面，平面，，由此得到平行于同一平面的两条直线可能平行；平面，平面，，由此得到平行于同一平面的两条直线可能相交；平面，平面，与是异面直线，由此得到平行于同一平面的两条直线可能异面．综上：平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面．故选A．4．若直线与平面不平行，且直线也不在平面内，则A．内不存在与异面的直线 B．内存在与平行的直线 C．内存在唯一的直线与相交 D．内存在无数条与垂直的直线【答案】D【解析】由直线与平面不平行，且直线也不在平面内，可得直线与平面相交，设交点为，则内不过的直线都有直线异面，故错误；若内存在与平行的直线，由直线与平面平行的判定，可得，与已知矛盾，故错误；内所有过的直线都有直线相交，故错误；若，则内的所有直线都与垂直，若与不存在，则内所有与在内的射影垂直的直线都与垂直，故正确．故选D．5．平面平面，，，则直线和的位置关系A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．平行或相交或异面【答案】B【解析】平面平面，平面与平面无公共点，，，直线和的位置关系是平行或异面，故选B．6．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点、、、，若直线EF、GH相交于点，则A．点必在直线上 B．点必在直线上 C．点必在平面内 D．点必在平面内【答案】A【解析】作图如下：因为属于一个面，而属于另一个面，且和能相交于点，所以在两面的交线上，因为是两平面的交线，所以点必在直线上．故选A．7．下列命题中正确的是A．三点确定一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线平行 C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则直线 D．若、、是三条直线，且与都相交，则直线、、共面【答案】D【解析】对于选项：不共线的三点确定一个平面，故错误，对于选项：由墙角模型可知，显然错误，对于选项：根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不垂直，故错误，对于选项：因为，所以与唯一确定一个平面，设为平面，又与和都相交，所以也在平面内，即直线、、共面，故选项D正确，故选D．8．设，是不同的直线，，是不同的平面，则A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】D【解析】由，是不同的直线，，是不同的平面，知：在中，若，，则与平行或异面，故错误；在中，若，，，则与相交但不一定垂直，故错误；在中，若，，，则与相交或平行，故错误；在中，若，，，则由面面垂直的判定理得，故正确．故选D．二．填空题9．在正方体中，下列说法正确的是．①平面；②与相交；③点、到平面的距离相等；④与平行的面只有一个，与垂直的面有两个．【答案】①③【解析】对于①，因为平面平面，平面，所以平面，故①正确；对于②，与是异面直线，故②错误；对于③，因为直线平面，所以点、到平面的距离相等，故③正确；对于④，与平行的面有两个，分别为平面，平面．故正确的是①③．故答案为：①③．10．已知，，是空间中的三条相互不重合的直线，下列命题中：①若与相交，与相交，则与相交；②若，，则；③若平面，平面，则，一定是异面直线；④若，与成等角，则．真命题是（填序号）【答案】②【解析】由，，是空间中的三条相互不重合的直线，知：对于①，在正方体中，，，，，，与是异面直线，，，，与相交，与相交，则与相交、平行或异面，故①错误；对于②，若，，则由平行公理得，故②正确；对于③，若平面，平面，则，有可能是共面直线，故③错误；对于④，若，与成等角，则与相交、平行或异面，故④错误．故答案为：②．三．解答题11．如图，空间四边形中，、分别是、的中点，、分别在、上，且．（1）求证：、、、四点共面；（2）设与交于点，求证：、、三点共线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）中，、为、中点，．中，，，（平行线公理），、、、四点共面．（2），，，平面，平面，又平面平面，直线．、、三点共线．12．如图，空间四边形中，、分别是、的中点，、分别在、上，且．（1）求证：、、、四点共面；（2）设与交于点，求证：、、三点共线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1），、分别是、的中点、、、四点共面．（2）与交于点面在面内，同理在面又面面在直线上、、三点共线．考点六直线与平面平行的判定与性质判断或证明线面平行的常用三种方法(1)利用线面平行的定义(常用反证法)．(2)利用线面平行的判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面与已知平面相交找它们的交线．(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．一．选择题1．如图所示，在空间四边形ABCD中，，分别为AB，AD上的点，且，又，分别为BC，CD的中点，则A．平面，且四边形是矩形 B．平面，且四边形是梯形 C．平面，且四边形是菱形 D．平面，且四边形是平行四边形【答案】B【解析】在平面内，，．又平面，平面，平面．又在平面内，，分别是，的中点，．．又，，．在四边形中，且，四边形为梯形．故选B．2．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为，GH的中点为，下列结论正确的是A．平面 B．平面 C．平面 D．平面【答案】C【解析】连结，设为的中点，连结，，，，，因为，是，的中点，所以，且，，且，所以且，则四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．故选C．3．已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；②中，由于，而平面，平面，故平面；③中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；故选B．4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是A．存在一条直线，， B．存在一条直线，， C．存在两条平行直线、，，，， D．存在两条异面直线、，，，，【答案】D【解析】对于，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故不对；对于，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故不对；对于，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故不对；对于，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故正确．故选D．5．有下列四个条件：①，，；②，；③，，；④、是异面直线，，，．其中能保证直线平面的条件是A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】C【解析】①若，，，则直线平面，故符合题意；②若，时，则或直线平面，故不符合题意；③若，，时，则或直线平面，故不符合题意；④、是异面直线，，，，则直线平面，故符合题意．综上所述，符合题意的条件是①④．故选C．6．如图，在三棱锥中，，分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG．则下列结论中不一定成立的是A． B． C．平面 D．平面【答案】D【解析】对于，，分别为，的中点，，过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，，，故正确；对于，过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，，故正确；对于，，平面，平面，平面，故正确；对于，的位置不确定，与平面有可能相交，故错误．故选D．7．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，分别为、、边上的中点则四点共面，且平面平面又面，落在线段上，正方体中的棱长为，．即在侧面上的轨迹的长度是．故选D．8．如图，四棱锥中，，分别为AC，PC上的点，且平面PAD，则A． B． C． D．以上均有可能【答案】B【解析】四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，平面，平面平面，由直线与平面平行的性质定理可得：．故选B．二．填空题9．如图，在四面体中，若截面是正方形，则在下列命题中，正确的有．（填上所有正确命题的序号）①；②；③截面．【答案】①③【解析】因为截面是正方形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，故①正确；又截面，截面，所以截面，故③正确；由．，可得，所以，同理可证，所以，，但与不一定相等，所以与不一定相等，故②错误．故①③正确．故答案为：①③．10．正四棱柱中，，为中点，若点满足，且平面，则．【答案】1【解析】如图所示，分别取、的中点、，连接、，此点即为所求．理由如下：、分别为、的中点，，，为中点，，又，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面．由于为的中点，所以．故答案为：1．三．解答题11．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．（1）求证：；（2）求证：平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面，．（2）取的中点，连接，，是的中点，，，又由（1）可得，且，，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面．12．在如图所示的几何体中，四边形是菱形，，平面，．（1）求证：平面；（2）若，求该几何体的表面积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：因为，平面，所以平面，因为四边形是菱形，所以，由于平面，所以平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）由，知，，，四点共面，连接，于是该几何体是由两个相同的四棱锥，构成的，由题意知，，，，在中，，，，，所以该几何体的表面积为．考点七面面平行的判定与性质证明面面平行的五种常用方法(1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．一．选择题1．平面与平面平行的条件可以是A．内有无穷多条直线与平行 B．直线， C．直线，直线，且， D．内的任何直线都与平行【答案】D【解析】当内有无穷多条直线与平行时，与可能平行，也可能相交，故不选．当直线，时，与可能平行，也可能相交，故不选．当直线，直线，且时，直线和直线可能平行，也可能是异面直线，故不选．当内的任何直线都与平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D．2．下列条件中，能判断平面与平面平行的是A．内有无穷多条直线都与平行 B．与同时平行于同一条直线 C．与同时要垂直于同一条直线 D．与同时垂直于同一个平面【答案】C【解析】对于，若内有无穷多条平行的直线与平行，则不能说明平行；对于，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；对于，垂直于同一条直线的两平面平行；对于，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．综上，选项正确．故选C．3．设、、为平面，、为直线，给出下列条件：①、，，；②，；③，；④，，．其中能使成立的条件是A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【解析】①若、，，，由面面平行的判断定理与定义可得：可能或者与相交．所以①错误．②若，，由平面与平面平行的传递性可得：．所以②正确．③若，，则由平面与平面的位置关系可得：可能或者与相交．所以③错误．④若，，由线面垂直的定义可得：，又因为，所以．所以④正确．故选C．4．设，为两个不重合的平面，能使成立的是A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．内有无数个点到的距离相等 D．，垂直于同一平面【答案】B【解析】对于，内有无数条直线与平行，如两个相交平面，可以找出无数条平行于交线的直线，所以错误；对于，内有两条相交直线与平行，根据两平面平行的判定定理知，，所以正确；对于，内有无数个点到的距离相等，如两个相交平面，可以找出无数条直线平行于平面，所以也能得出无数个点到平面的距离相等，错误；对于，当、垂直于同一个平面时，与也可以相交，所以错误．故选B．5．平面与平面平行的条件可以是A．内有无数多条直线都与平行 B．直线，，且， C．直线，，且直线不在内，也不在内 D．一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面【答案】D【解析】一个平面内两条不平行的直线必相交，根据平面与平面平行的判定定理可知选．故选D．6．设，为两个平面，则的充要条件是A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一条直线 C．内有两条相交直线与平行 D．，垂直于同一平面【答案】C【解析】对于选项：当与相交时，内也有无数条直线与平行，所以选项不正确；对于选项：当、平行于同一条直线时，与可能相交，所以选项不正确；对于选项：根据面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．可知正确；对于选项：当、垂直于同一平面，则与可能垂直，例如墙角的三个面，所以选项不正确；故选C．7．在正方体中，下列四对截面彼此平行的是A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面【答案】A【解析】对于，，，，，根据面面平行的判定定理得：面与平面彼此平行，故正确；对于，与相交，平面与平面相交，故错误；对于，与相交，平面与平面相交，故错误；对于，与相交，平面与平面相交，故错误．故选A．8．设，为两个平面，则能断定的条件是A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一条直线 C．，垂直于同一条直线 D．，垂直于同一平面【答案】【解析】对于，内有无数条直线与平行，或；对于，，平行于同一条直线，或；对于，，垂直于同一条直线，；对于，，垂直于同一平面，或．故选C．二．填空题9．设平面，、，、，直线与交于，若，，，则．【答案】68或【解析】如图（1），由可知，，即，．如图（2），由知，，即．故答案为：68或10．已知，是两个不同的平面，，是两条不同直线，给出条件：①；②，；③，，．上述条件中能推出平面平面的是．（填写序号）．【答案】①②【解析】若，则平面与平面无公共点，由面面平行的定义可得平面平面，故①正确；若，，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得平面平面，故②正确；若，，则平面与平面可能平行也可能相交，且与条件无关，故③错误故答案为：①②三．解答题11．在正方体中，、、分别是、和的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】证明：（1）连接，，是正方形，是中点，是中点，又是中点，，平面，平面，平面；（2）连接，，是正方形，是的中点，是中点，又是中点，，平面，平面，平面，由（1）得平面，且，平面平面．12．如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别是和的中点，（1）证明：；（2）证明：平面平面．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】证明：（1）平面，平面，，又，，平面，平面，．（2），为的中点，，又，四边形为平行四边形，．在中，，分别是和的中点，，，，平面平面．考点八直线与平面垂直的判定与性质证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．一．选择题1．设，是两个不同的平面，l，是两条不同的直线，且，，则A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】对于，由已知条件，若，且，，可得出两直线，没有公共点，所以它们可能平行或那异面，故不正确；对于，由条件，，可得出，或，相交，故不正确；对于，由，，结合面面垂直的判定定理知，，故正确；对于，若，且，，可得出，的位置可能是相交，平行或异面，故不正确．故选C．2．如图所示，平面ABC，，在图中与AC垂直的直线有A．5条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】平面，平面，，又，，平面，因此，平面中的4条直线、、、都与垂直．故选D．3．在如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】对于①，由，且与成的角，不垂直，则直线与平面不垂直；对于②，由于，，由线面垂直的判定定理可得平面；对于③，与成的角，不垂直，则直线与平面不垂直；对于④，连接，由正方形的性质可得，而平面，可得，则平面，即有，同理可得，所以平面．综上，②④满足题意．故选B．4．如图，在直三棱柱中，，若，则A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，连结，，直三棱柱的侧面为正方形，，，，平面，，，，侧面，，，，．故选C．5．在正四面体中，，，侧棱AB，BC，CA的中点，下列说法不正确的是A．面 B．面面 C．面面 D．面【答案】B【解析】由，可得平面，故正确．由平面可得，，且垂直与交点和点边线，从而平面平面，平面平面，故错误．由平面可得，平面平面，故正确．若平面，垂足为，则在上，则，又故平面，故正确．故选B．6．在正方体中，下列判断正确的是A．面 B．面 C．面 D．【答案】A【解析】在正方体中，，又，且，平面，则，同理，则平面，故正确，不正确；连接，，则为与所成角，为，故、不正确．故选A．7．如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，则下列结论中不正确的是A． B． C．平面平面 D．【答案】D【解析】由四棱锥的底面为正方形，底面，知：在中，底面，，四棱锥的底面为正方形，，，平面，平面，，故正确；在中，四棱锥的底面为正方形，底面，，，，平面，平面，，故正确；在中，底面，，四棱锥的底面为正方形，，，平面，平面，平面平面，故正确；在中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，，则，0，，，，，，0，，，0，，，，，，0，，，与不垂直，故错误．故选D．8．三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面ABC的射影为的A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】由三棱锥的三个侧面两两垂直，可得三条侧棱两两垂直，由，，、平面，，平面，又平面．．设点在底面的射影是，则平面，平面，．又、为平面内两条相交直线，平面，在平面内，则；同理可证，，故为的垂心．故选D．二．填空题9．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，则四个侧面，，，中，有个直角三角形．【答案】4【解析】平面，，为直角三角形事实上，，平面为直角三角形同理为直角三角形四个侧面三角形均为直角三角形．10．已知平面，和直线，给出条件：①；②：③；④；⑤．当满足条件时，．【答案】②④【解析】由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项，故由②④可推出．即②④是的充分条件，故当时，应满足的条件是②④，故答案是：②④．三．解答题11．在如图所示的多面体中，是正方形，，，，四点共面，面．（1）求证：面；（2）若，，，求证：平面．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】证明：（1）因为是正方形，所以，又面，面，所以面，因为面，，，平面，所以面面，又面，所以面．（2）在平面中，作交于点，因为面，平面，平面平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，，，因为，所以，所以，所以，所以，又，，，平面，所以平面．12．如图，在正方体中．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】证明：（1）因为，所以为平行四边形，故，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，（2）连接，，由正方形性质得，底面，底面，所以，又，所以平面又平面，所以，同理平面，故，又，所以平面考点九平面与平面垂直的判定与性质证明面面垂直的主要方法①利用判定定理．在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边，勾股定理的逆定理等．②用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．一．选择题1．在三棱锥中，若，，那么必有A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】A【解析】在三棱锥中，若，，且，可得平面，由平面，可得平面平面，由平面，可得平面平面，故正确；若平面平面，又平面平面，平面平面，可得平面，，与矛盾，故错误；若平面平面，又平面平面，可得平面，，不一定成立，故错误；若平面平面，又平面平面，可得平面，则，不一定成立，故错误．故选A．2．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论不总成立的是A．三棱锥的体积不变 B．平面 C．平面平面 D．【答案】D【解析】由三棱锥的体积即为三棱锥的体积,而底面的面积为定值，到平面的距离为正方体的棱长，故三棱锥的体积为定值，则正确；由,,由面面平行的判定定理可得平面平面,而平面,所以平面,则正确；由,,可得平面,则,同理可得,则平面,而面,即平面平面,则正确；当与重合时，与成的角，则不正确．故选D．3．如图，在正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论不正确的为A．平面平面 B．平面 C． D．平面【答案】B【解析】对于，因为，，，所以平面，又平面，平面平面，所以正确；对于，当为的中点时，，，且，所以平面，否则，与平面不垂直，所以错误；对于，因为，，且，所以平面，又平面，所以，选项正确；对于，平面，平面，所以平面，选项正确．故选B．4．在空间四边形ABCD中，，，那么必有A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】C【解析】由，，平面，平面，平面平面．故选C．5．已知AB是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且圆柱的底面，则必有A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】B【解析】因为是圆柱上底面的一条直径，所以，又垂直圆柱的底面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面．故选B．6．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是A．平面 B．平面 C．平面 D．平面【答案】C【解析】由平面，得，由四边形为矩形得，从而有平面，平面，所以平面平面．故选C．7．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD为菱形，是PC上的一个动点，若要使得平面平面PCD，则应补充的一个条件可以是A． B． C． D．是棱的中点【答案】B【解析】在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，，，，平面，．当（或时，即有平面．而属于平面，平面平面．故选B．8．空间四边形ABCD中，若，，那么有A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】D【解析】，，平面又在平面内，平面平面故选D．二．填空题9．把边长为4的正方形沿对角线折成空间四边形，使得平面平面．则空间四边形的对角线的长为．【答案】4【解析】取中点，连接，，把边长为4的正方形沿对角线折成空间四边形，使得平面平面．，，是平面与平面所成角的二面角，平面平面，，，空间四边形的对角线的长为：．故答案为：4．10．已知是平面的垂线，是平面的斜线，平面，，则面面垂直的有．【答案】平面平面【解析】连结，，得到平面包含于平面中，因为垂直于，所以平面，因为平面，所以，又因为，，所以平面，又因为包含于平面，得出结论：平面平面．故答案为：平面平面．三．解答题11．如图所示的五面体中，四边形是正方形，平面平面，，．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）证明：由，，可得为等边三角形，取的中点，连接，可得，由平面平面，平面平面，可得平面，则，由四边形是正方形，可得，由，可得平面，而平面，所以平面平面；（2）由，平面，平面，可得平面，又平面平面，可得，平面，平面，可得平面，所以到平面的距离为到平面的距离．取的中点，连接，可得，由平面平面，可得平面，由边长为2的等边三角形，可得，所以三棱锥的体积为．12．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（Ⅰ）证明：连结，底面为正方形，分别为的中点，为中点，又为的中点，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）证明：面面，平面面，又为正方形，，平面，平面，，又，是等腰直角三角形，且，平面，平面，且，平面，又平面，平面平面，《第八章立体几何初步》单元检测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②答案C解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠，都不能折成正四面体．2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(7,6)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)答案D解析棱长为1的正方体的体积为1,8个三棱锥的体积为8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，所以剩下的几何体的体积为1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).3.已知水平放置的△ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC的面积是()A.eq\r(3) B．2eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),4)答案A解析由斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，由图易得AO⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，故选A.4．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案B解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．5．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为eq\f(π,4)和eq\f(π,6).过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于()A．2∶1 B．3∶1C．3∶2 D．4∶3答案A解析如图，由已知得AA′⊥面β，∠ABA′＝eq\f(π,6)，BB′⊥面α，∠BAB′＝eq\f(π,4).设AB＝a，则BA′＝eq\f(\r(3),2)a，BB′＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝eq\f(1,2)a，∴AB∶A′B′＝2∶1.6．用m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是()A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n答案D解析若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故排除A；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故排除B；若m⊥n，n⊂α，则不能得出m⊥α，例如，m⊥n，n⊂α，m⊂α，则m与α不垂直，故排除C.故选D.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1A．A1C1⊥AD B．D1C1C．AC1与DC成45°角 D．A1C1与B1答案D解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1C1与AD所成的角为45°；直线D1C1与直线AB平行；异面直线AC1与DC所成的角的大小为∠C1AB的大小，其正切值为eq\f(BC1,AB)＝eq\r(2)≠1，所以异面直线AC1与DC所成的角不是45°；连接A1D，DC1，因为A1D∥B1C，所以异面直线A1C1与B1C所成的角就是直线A1C1与直线A1D所成的角．而△A1DC1是等边三角形，所以∠C1A1D＝60°，即A1C1与8．如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′DE是△ADE绕边DE旋转过程中的一个图形．现给出下列命题：①恒有直线BC∥平面A′DE；②恒有直线DE⊥平面A′FG；③恒有平面A′FG⊥平面A′DE.其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析由BC∥DE知，恒有直线BC∥平面A′DE，①正确；由DE⊥A′G，DE⊥FG知，恒有直线DE⊥平面A′FG，②正确；由直线DE⊥平面A′FG，DE⊂平面A′DE知，恒有平面A′FG⊥平面A′DE，③正确．9．如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为()A.eq\f(45,2) B.eq\f(45\r(3),2)C．45 D．45eq\r(3)答案A解析取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，所以SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))＝eq\f(45,2).10．PA，PB，PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(6),3)答案C解析构造正方体如图所示，连接AB，过点C作CO⊥平面PAB，垂足为O，易知O是正三角形ABP的中心，连接PO并延长交AB于D，于是∠CPO为直线PC与平面PAB所成的角．设PC＝a，则PD＝eq\f(\r(3)a,2)，故PO＝eq\f(2,3)PD＝eq\f(\r(3),3)a，故cos∠CPO＝eq\f(PO,PC)＝eq\f(\r(3),3).故选C.11．已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝eq\r(2)，若球O的表面积为4π，则SA＝()A.eq\f(\r(2),2) B．1C.eq\r(2) D.eq\f(3,2)答案B解析根据已知把S－ABC补成如图所示的长方体．因为球O的表面积为4π，所以球O的半径R＝1,2R＝eq\r(SA2＋1＋2)＝2，解得SA＝1，故选B.12．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3) D．2π答案C解析过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆的半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆的半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)，故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为________．答案①③解析把正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示．因为AB∥MC，MC⊥EF，所以AB⊥EF，故①正确，②错误；EF与MN是异面直线，故③正确；易知MN⊥CD，故④错误．故填①③.14．如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角B－AD－C′为60°，则折叠后二面角A－BC′－D的正切值为________．答案2解析易知∠BDC′即为二面角B－AD－C′的平面角，则∠BDC′＝60°，所以△BDC′为等边三角形．取BC′的中点M，连接DM，AM，易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A－BC′－D的平面角为∠AMD.在等边三角形ABC中，易知AD＝2eq\r(3)，在等边三角形BDC′中，易知DM＝eq\r(3)，所以tan∠AMD＝eq\f(AD,DM)＝2.15．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．答案a>6解析如图所示，连接AE，要使PE⊥DE，由于DE⊥PA，则需DE⊥AE.要使在矩形ABCD中，∠AED＝90°，满足条件的E点有两个，则需以AD为直径的圆与BC相割．∴圆心到BC边的距离d<R，即3<eq\f(a,2)，得a>6.16．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为________cm.答案29解析设上、下圆柱的半径分别是rcm，Rcm，高分别是hcm，Hcm.由水的体积不变得πR2H＋πr2(20－H)＝πr2h＋πR2(28－h)，又r＝1，R＝3，故H＋h＝29.即这个简单几何体的总高度为29cm.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)有一根长为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．解把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，由题意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，点A、点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC＝eq\r(AB2＋BC2