福建省福州市2023年九年级上学期《数学》期末试题和参考答案

福建省福州市2023年九年级上学期《数学》期末试题和参考答案一、选择题每题4分，共10题，共40分。1.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，其内容丰富题材广泛，以特有的概括和夸张手法将吉事祥物．美好愿望表现得淋漓尽致．下列剪纸的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【详解】A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．2.下列事件中，是随机事件的是（）A.太阳绕着地球转B.在一个标准大气压下，水加热到100℃沸腾C.负数大于正数D.明天下大雨【答案】D【详解】A选项，太阳绕着地球转是不可能事件，故A选项不符合题意；B选项，在一个标准大气压下，水加热到100℃沸腾是必然事件，故B选项不符合题意；C选项，负数大于正数是不可能事件，故C选项不符合题意；D选项，明天下大雨是随机事件，故D选项符合题意；故选：D．3.已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（）A. B.C. D.【答案】C【详解】是一元二次方程的实数根，，，，，是一元二次方程的两个实数根，，．故选：．4.若点（，），（，），（，），都是反比例函数图像上的点，并且，则下列各式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【详解】∵反比例函数y=﹣中k=﹣1＜0，∴此函数的图像在二、四像限，且在每一像限内y随x的增大而增大，∵y1＜0＜y2＜y3，∴点（x1，y1）在第四像限，（x2，y2）、（x2，y2）两点均在第二像限，∴x2＜x3＜x1．故选D．5.下列图象中，是函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【详解】函数中的，该函数图象经过第一、三象限；又无论取何值，都有，函数的图象关于轴对称，即它的图象经过第一、二象限．故选C．6.下列图象中，函数与的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【详解】A．由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误；B．由抛物线可知，由直线y随x的增大而增大可得，由直线与y轴交于负半轴可得，故本选项错误；C．由抛物线可知，由直线可知，故本选项正确；D．由抛物线可知，由直线y随x的增大而增大可得，由直线与y轴交于负半轴可得，故本选项错误．故选：C．7.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A.a＞0 B.b＜0C.c＜0 D.a+b+c＞0【答案】D【详解】∵抛物线的开口向下，∴a＜0；又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＞0；又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，又x=1，对应的函数值在x轴上方，即x=1，y=ax2+bx+c=a+b+c＞0；所以A，B，C选项都错，D选项正确．故选D．8.如图，的弦，且于，连接，若，则的周长为（）A. B.C. D.【答案】A【详解】连接，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴的周长为．9.如图：是的直径，是弦，过弧的中点P作弦，交于D，交于E，则下面关系不成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【详解】连接，，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∵点P是的中点，∴，∴，∴，∴，故A不符合题意；∵，，∴，∴，∴，∴，故B不符合题意；∵，，∴，∴，∴，故C不符合题意；连接，，∵，，∴，∴，∴，故D符合题意；故选：D．10.已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①；②当时，一定有y随x的增大而增大；③当四边形为平行四边形时，；④若点D横坐标的最小值为，则点C横坐标的最大值为3，其中正确的是（）A.①④ B.②③C.①②④ D.①③④【答案】D【详解】点，的坐标分别为和，线段与轴的交点坐标为，又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，，顶点在轴上时取“”，故①正确；抛物线的顶点在线段上运动，开口向上，当时，一定有随的增大而增大，故②错误；令，则，，根据顶点坐标公式，，，即，，四边形为平行四边形，，，解得，故③正确；若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则，抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为3，点的横坐标最大值为3，故④正确．综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．二、填空题每题4分，共6题，共24分。11.设，是一元一次方程的两根，____________．【答案】5【详解】由一元二次方程的解可得，根据一元二次方程根与系数的关系可知，∴；故答案为5．12.已知，且与的面积比为9∶4，若，则________．【答案】2厘米【详解】∵，与的面积的比为9∶4，∴和的相似比为3∶2，∴，∵，∴．故答案为：．13.在一个不透明的盒子中装有黄色和白色乒乓球共个，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在，则估计盒子中白色乒乓球有______________个．【答案】【详解】因为通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在，所以摸到白球的概率约为，所以白球有，故答案为：．14.如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于______cm．【答案】6【详解】连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=0.5AB=8，在Rt△OAC中，OC==6（cm）．故答案为：6．15.如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，矩形ABCD绕它的对称中心O旋转一周，边AD扫过的面积是______cm2．【答案】【详解】如图，过点作，四边形是矩形，AB＝8cm，AD＝6cm，，cm，，cm，边AD扫过的面积是cm2，故答案为：．16.如图，一次函数的图象与轴交于两点，与反比例的图象交于两点，分别过两点作轴的垂线，垂足为，连接，有下列结论：①与面积相等；②；③；④．中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．【答案】①②④【详解】设点D的坐标为（，），则F（x，0）．∵由函数的图象可知：x＞0，k＞0．∴S△DFE＝DF•OF＝••＝，同理可得S△CEF＝，∴S△DEF＝S△CEF，故①正确；若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确；③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF＝BD，∴BD＝AC，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题共9题，共86分。17.解方程（1）（2）【答案】（1），（2）【小问1详解】∴或解得，；【小问2详解】∴或解得18.已知二次函数y＝－（m＋2）x＋2m－1（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求当0＜x＜5时，求y的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【小问1详解】令则＞0方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点；【小问2详解】函数的图象与y轴交于点（0，3）．抛物线的解析式为：抛物线的开口向上，当时，函数y的最小值为当时，当时，当0＜x＜5时，y的取值范围为：．19.如图，中，，，，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点恰好为的中点．（1）求出旋转角的度数；（2）求出的度数和的长．【答案】（1）旋转角度是（2）；【小问1详解】根据旋转的性质可知：，∴旋转角度是．【小问2详解】由旋转可知：，∴，，，∴．∵为的中点，∴．20.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．（1）求证：．（2）若，，，求的长．【答案】（1）见解析（2）6【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC∴∠ADF=∠DEC，∠ADF=∠DEC∵∵∠AFD+∠AFE=180°，∴∠AFD=∠C在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，∴△ADF∽△DEC【小问2详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴在Rt△ADE中，由勾股定理得：，所以AE的长为6．21.如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．（1）求证：；（2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．【答案】（1）证明见解析；（2）【小问1详解】证明：∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∴．【小问2详解】连接，如图，由（1）得，∵，∴，∴长．22.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在反比例函数的图像上．（1）求k的值；（2）过点A作轴于点B，轴于点C，点D在第四象限的函数图像上，连接OD、CD，若，求点D的坐标．【答案】（1）（2）【小问1详解】∵点在反比例函数的图像上，∴，【小问2详解】∵点在反比例函数的图像上，∴，∵在反比例函数上，设，∴，∴，解得：，∴．23.保护环境，人人有责，某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”､“趣味问答”､“模拟投放”三项活动（分别以A、B、C来依次表示这三项活动）．活动开始前，将A，B，C这三个字母分别写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小南同学先从中随机抽取一张卡片放回后洗匀，小晶同学从中再随机抽取一张卡片．（1）求小南抽到参加“趣味问答”活动的概率；（2）用列表法或画树状图法，求小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的概率．【答案】（1）（2）【小问1详解】依题意知抽到参加“趣味问答”的概率为；【小问2详解】画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的结果有1种，小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的概率为．24.为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝−10x＋500．（1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为22元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设赵某获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于26元．如果赵某想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【答案】（1）560元（2）30元（3）480元【小问1详解】当x=22时，y=﹣10x+500=﹣10×22+500=280，280×（12﹣10）=280×2=560元，即政府这个月为他承担的总差价为560元；【小问2详解】由题意得：W=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000．∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，W有最大值4000元．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元；【小问3详解】由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当20≤x≤40时，3000≤x≤4000．又∵x≤26，∴当20≤x≤26时，w≥3000，设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x=26时，p有最小值480元．即销售单价定为26元时，政府每个月为他承担的总差价最少为480元．25.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，或（3，4）（3）存在，【小问1详解】（1）将A（4，0），B（1，4）代入，得，