上海市2024届高考仿真卷数学试题含解析

上海市交大附中2024届高考仿真卷数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行如下的程序框图，则输出的S是（）

A.36B.45

C.-36D.-45

2.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为尸（近,0）,直线y=x-1与其相交于M，N两点，若中点的横坐标

2

为-一，则此双曲线的方程是

3

A.----------=1D.----------=1

3443

2222

C.土-乙=1D.土-乙=1

5225

丫2

3.已知双曲线C：—-/=1,6，居为其左、右焦点，直线/过右焦点工，与双曲线。的右支交于A，B两点,

4'

且点A在x轴上方，若|隹|=引36|,则直线/的斜率为（）

A.1B.-2C.-1D.2

4.已知函数〃x）=-+3x+3,g（x）=-x+m+2,若对任意玉w[1,3],总存在无?e[1,3],使得/（xj=g（%）

X+1

成立，则实数机的取值范围为（）

17

A.B.—co,——I[9,+oo

2

179179

C.D.—GO,———,+00

42

22

5.已知椭圆1«2+3/=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为耳、心，过耳的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点V,

若£、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为()

£R6C.拽

A.15.------

225

6.函数/(%)=sin(CDX+0)(O>O,O<0<»)的图象如图所示，为了得到g(x)=cosoix的图象，可将/(%)的图象

A.向右平移JO个单位B.向右平移3个单位

向左平移*个单位

C.D.向左平移7O个单位

7.设无)=«,点0(0,0),A(0,l),\(n,/(n)),neN*，设乙4。\=4对一切“eN*都有不等式

sin2。sin?，sin2”+竺其</—2Z-2成立，则正整数/的最小值为()

-------L+—+—+

I22232n

A.3B.4C.5D.6

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示

为两个素数(即质数)的和“，如16=5+11,30=7+23.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等

于20的概率是()

113

A.—B.—C.—D.以上都不对

141228

9.设等比数列｛。“｝的前项和为S,,,若84019+4016=0,则/的值为()

10.函数/(%)=皿+三8^在[―2乃,0)。(0,2加上的图象大致为()

x20

11.已知椭圆C的中心为原点。，尸(-26,0)为C的左焦点,P为C上一点，满足10Pl=1。打且|。口|=4,则椭

圆C的方程为()

222222

土+乙=

A.--------1-------二1B+=1c.=1D.1

255-^h30104525

12.定义：州/(助凶8(尤)｝表示不等式/(%)<8(无)的解集中的整数解之和.若/。)=|1082》|,g(x)=a(x-l)2+2,

N｛f(x)0g(x))=6,则实数。的取值范围是

1Og2

A.(-8,—1]B.(log23-2,0)c.(2-log26,0]D.(^~,0]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量。=(1/)，|/?|=73,(2m+士)％=2,则。一办=.

14.如图，为测量出高选择4和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得"点的仰角NMAN=60°，C

点的仰角NC4B=45°以及NAiAC=75°;从C点测得NVC4=60°.已知山高5。=100/“，则山高

MN=m

为有理数

15.数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数。(x)=<，

0,x为无理数

称为狄里克雷函数.则关于0(“有以下结论：

①。(力的值域为[0』；

②Vxe7?,D(-x)=D(x)；

③FTER,D(X+T)=D(x)；

@D(1)+D(V2)+D(^)++£>(0020)=45;

其中正确的结论是(写出所有正确的结论的序号)

16.满足约束条件1⑷+2|川・2的目标函数2=〉一%的最小值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，内角A瓦C所对的边分别为aS,c,已知a，b,且

cos2A-cos2B=A/3sinACOSA-A/3sinBcosB•

(I)求角C的大小；

(II)若c=6,求AABC面积的取值范围.

x=l+cos],

18.(12分)在平面直角坐标系九0y中，曲线。的参数方程为｛、.为参数)，以坐标原点。为极点，x轴

y=1+sin%

的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为。=&]0<«<|^,直线/交曲线C于A,B两点，p为中

点.

(1)求曲线C的直角坐标方程和点P的轨迹。2的极坐标方程；

(2)若|AB||OP|=G,求夕的值.

19.（12分）设aeR,函数/（》）=》*一工-a（x-l）.

3

（1）当。=1时，求/Xx）在（72）内的极值；

（2）设函数g（x）=/（x）+a（x—1-六工），当g（x）有两个极值点为々（看<%）时，总有々8。1）<4/'（石），求实数

X的值.

20.（12分）已知椭圆E：二+}=1（a>Z?>0）的离心率为e=18,且短轴的一个端点B与两焦点A,C组成

ab2

的三角形面积为6.

（I）求椭圆E的方程；

（II）若点尸为椭圆E上的一点，过点尸作椭圆E的切线交圆O：公+,2=/于不同的两点河，N（其中M在N

的右侧），求四边形AQWN面积的最大值.

x=tcosa4cos6^

21.（12分）已知直线/的参数方程为.（OWa〈乃，♦为参数），曲线C的极坐标方程为夕=「片.

y=1l+/sinasin_0

⑴将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

⑵若直线I经过点（1,0）,求直线/被曲线C截得的线段的长.

22.（10分）已知函数/（%）=（尤+D（e=1）.

（I）求/Xx）在点（T,/（—l））处的切线方程；

（II）已知在R上恒成立，求a的值.

eh

（in）若方程/。）=人有两个实数根玉,%，且玉<%2,证明：x2-xi<b+i+——.

e-1

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果S的值.

【详解】

，=1W8满足，执行第一次循环，S=O+（—l），F=—1,=1+1=2；

i=2W8成立，执行第二次循环，S=-1+(-1)2X22=3,Z=2+1=3；

i=3W8成立，执行第三次循环，S=3+(-1)3X32=-6,Z=3+1=4；

i=4W8成立，执行第四次循环，S=-6+(-1)4X42=10,Z=4+1=5；

i=5W8成立，执行第五次循环，S=10+(-1)5X52=-15,/=5+1=6；

i=6W8成立，执行第六次循环，5=-15+(-l)6x62=21,,=6+1=7；

i=7W8成立，执行第七次循环,S=21+(-1)7X72=-28,z=7+l=8；

i=8W8成立，执行第八次循环，S=—28+(—义8?=36,z=8+l=9；

i=9W8不成立，跳出循环体，输出S的值为36,故选：A.

【点睛】

本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等

题.

2、D

【解析】

25

根据点差法得二==，再根据焦点坐标得“2+〃=7,解方程组得1=2,廿=5,即得结果.

a"b~

【详解】

设双曲线的方程为二―与=1（。〉0］〉0）,由题意可得储+〃=7,设N（x,,%），则肱V的中点为

ab

2

_52222(%+%)(%-%)2x(--)2x(--)

2，由冬-*=1且冬-芯=1,得

，--------------,33

33ababa2

b2

2522

即r=7T，联立储+〃=7,解得/=2,白=5,故所求双曲线的方程为上-匕=1.故选D.

a2b225

【点睛】

本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.

3、D

【解析】

由|AF2|=3|BF2|,可得4&=3巴瓦设直线1的方程x=my+V?,m>0,设3（/，%），即门=-3丫2①,

联立直线1与曲线C,得yi+y2=-¥"②，yiy2=:一③，求出m的值即可求出直线的斜率.

m-4m-4

【详解】

r2

双曲线C：---/=1,Fl,F2为左、右焦点，贝!|F2（JL0）,设直线1的方程X=my+JLm>0,,双曲线的渐

4-

近线方程为x=±2y,

设A(xi,yi),B(x2,y2),且yi>0,由|AF2|=3|BF2|,：.AF2=3F2B,Ayi=-3y2@

由text。’得（Q4

卜2+2\/5my+1=0

：・△=(2^/5m)2-4(m2-4)>0,即m2+4>0恒成立,

1

..y1+y2=——；——②，yiy2=—~~

m-4m-4

联立①②得-2%=-革彳〉0,联立①③得-3代匕<0,

小m1口口1

-----------------2即:解得：直线/的斜率为2,

y乙——Z7---2,m>U,m=~,

J2m-4A12-3ml2-3m22

故选D.

【点睛】

本题考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题.

4、C

【解析】

将函数/（力解析式化简，并求得了'（X）,根据当玉e[l,3]时r（x）>0可得〃不）的值域；由函数g（x）=—x+m+2

在％e[L3]上单调递减可得g（%）的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得心的取值范围.

【详解】

依题意f（x）=L+3x+3=d（x+l）+l

'）x+1x+1

=X-\-----F2f

x+1

1

则1(x)=l-

(x+疔

当x«l,3］时,r(x)>0,故函数在［1,3］上单调递增,

当再e[l,3]时,/(xje

而函数g(x)=—x+m+2在［1,3］上单调递减,

"721"|

则只需+

故乙，解得“<加《2,

42

m+1>—

［4

「1791

故实数机的取值范围为—.

L42J

故选：C.

【点睛】

本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.

5、D

【解析】

根据题意，求得A",B的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.

【详解】

由已知可知，M点为A耳中点，F］为BM中点,

故可得啊+xA=2xM=0,故可得4=c；

22b2b1

代入椭圆方程可得c二+v与=1,解得y=土幺，不妨取以=幺，

a'b~aa

(b2}

故可得A点的坐标为c,—,

IaJ

b2、b2\

则M0)—,易知3点坐标—2c,-丁

、2a,12alaJ

J?

将B点坐标代入椭圆方程得4=5,2,所以离心率为二,

5

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得A瓦7点的坐标，属中档题.

6、C

【解析】

根据正弦型函数的图象得到/(x)=sin2x+1,结合图像变换知识得到答案.

【详解】

T77r7i71

由图象知：一—=：・a)=2・

212122

71

又X=时函数值最大，

12

所以2乂；|+0=1+2k冗=>°=g+2k兀.又0£(0,»),

.c乃7乃1

・・0=y,从而/(x)=sin[2x+5J,g(%)=cos2x=sin12%+'—sin2xH----H—

32123

只需将/(X)的图象向左平移个单位即可得到g(X)的图象，

故选C.

【点睛】

已知函数y=Asin(ox+0)+5(A>O,o>O)的图象求解析式

(1)|A|=—%un加=+Knm.⑵由函数的周期丁求0,T=&L

1122m

(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求(P,一般用最高点或最低点求.

7、A

【解析】

先求得?%=^^=工-——,再求得左边的范围，只需y―2f-221,利用单调性解得t的范围.

nn+nnn+1

【详解】

由题意知sin。”=/,，/.S^n—=---------，

7n~+nnn+nnn+1

.sin26>.sin26*sin2ftsin26>,1111111,1陪的.嘀上

-----+—1+——+……+—产=1一一+-----+-----+...+--------=1---------,随n的增大而增大,

I22232n222334nn+1n+1

：.t2-2t-2>l,即产—2/ilNO,又处）=产一251在上单增,f（2）=-KO,f（3）=2>0,

二正整数/的最小值为3.

【点睛】

本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.

8、A

【解析】

首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.

【详解】

不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个，

从这8个素数中任选2个，有砥=28种可能；

其中选取的两个数，其和等于20的有（3,17）,（7,13）,共2种情况，

21

故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率P===二.

2814

故选：A.

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.

9、C

【解析】

求得等比数列｛an｝的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得”的值.

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为4,：8a2oi9+a2oi6=O，,/=咏=一!，，4=-1，

“2016"2

因此f=W=1+^=F

故选：c.

【点睛】

本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.

10、A

【解析】

首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；

【详解】

解：依题意，/（—立但22=吟+立吧=/（x）,故函数/（九）为偶函数，图象关于y轴

-%20x20

对称，排除C；

jrTT

而/（乃）=—太＜0,排除B；/（2万）=（〉0,排除D.

故选：A-

【点睛】

本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.

11、B

【解析】

由题意可得c=2&,设右焦点为F，，由|OP|=|OF|=|OF，|知，

ZPFFr=ZFPO,ZOFrP=ZOPFr,

所以NPFF，+NOPP=NFPO+NOPF，，

由NPFF'+NOFT+NFPO+NOPFEO^,

NFPO+NOPF，=90。，即PF±PFf.

在RtAPFF，中，由勾股定理，M|PFq=VFF,2-PF2=J（4^/5）2-42=8，

由椭圆定义，得|PF|+|PF[=2a=4+8=12,从而a=6,得a?=36,

于是b2=a?-©2=36-（2A/^）'=16,

22

所以椭圆的方程为L+2-=1.

3616

故选B.

点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定

点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在.

12、D

【解析】

由题意得，N{"x)®g(x)}=6表示不等式|log2尤|＜a(x-1-+2的解集中整数解之和为6.

当。＞0时，数形结合(如图)得llogzxK。(尤-iy+2的解集中的整数解有无数多个，|1。82＞|＜。0-1)2+2解集中的

整数解之和一定大于6.

当吗。时，g(x)=2,数形结合(如图)，由小)＜2解得%x＜4.在。4)内有3个整数解'为L2,3,满足

N{7(元)(8)g(x)}=6,所以。=0符合题意.

当。＜0时，作出函数/(x)=|log2x|和g(x)=a(x-l)2+2的图象，如图所示.

若N{/(x)③g(x)}=6,即llog?尤|<〃(尤-1)2+2的整数解只有1,2,3.

〃3)<g⑶log3<4〃+2

只需满足＜即《2'解得叶2＜心。'所以理产

/(4)>g(4)229a+2

综上，当N{/(x)Oga)}=6时，实数。的取值范围是/,0].故选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3

【解析】

由题意得。力=-2，|G1=A/2＞再代入[a_b[=J(a-b)2=Ja-2a-b+b中，计算即可得答案.

【详解】

由题意可得Ia1=41,(2a+b)-a=a-b+2a=a-Z?+4，

a•b+4=2，解得a-b=-2，

|-Z?|=\l(a-b)2-ya-2a-b+b-J2+4+3=3•

故答案为：3.

【点睛】

本题考查向量模的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意向量数量积公式的

运用.

14、1

【解析】

试题分析：在ABC中，NR4c=45°,NABC=9O0,3C=1OO,:.AC=」^-=1OO0,在AMC中，

sin45°

-AMAC=75°,ZMCA=60°,ZAMC=45°,由正弦定理可得———=———,即AM=幽2,解

sinZACMsinZAMCsin60°sin45°'

得AM=10073，在Rt_AMN中，MN=AM-sinZMAN=10073xsin600

=150(m).

故答案为1.

考点：正弦定理的应用.

15、②

【解析】

根据新定义，结合实数的性质即可判断①②③，由定义求得比亚面小的有理数个数，即可确定④.

【详解】

对于①，由定义可知，当x为有理数时。(尤)=1；当x为无理数时。(x)=0,则值域为{0,1},所以①错误；

对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足Vxe氏。(-x)=D(x),所以②

正确;

对于③，因为TGR,当x为无理数时，x+T可以是有理数，也可以是无理数，所以③\/7€氏,。(％+7)=。(£)错

误；

对于④，由定义可知。⑴+。(&)+。(/)++5(^020)

=D(l)+D(V4)+D(V9)+D(V16)+D(y/25)+。(向5+£)(&)+。(后)++D(屈"=44’所以④错

误；

综上可知，正确的为②.

故答案为：②.

【点睛】

本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.

16、-2

【解析】

可行域|尤|+21y|W2是如图的菱形ABCD,

知ZA=0-2=-2为最小.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)C=-(II)S^BCG

【解析】

(I)根据cos?A-cos?5=GsinAcosA-gsinBcosB,利用二倍角公式得到

1+cos2A1+cosIBJ3J3±,j”，“八.(c“乃).(cn%、小-

-------------------------=—sin2A------sin2B,再由辅助角公式得到sin|2A--=sin2B--,然后根据正

2222II

弦函数的性质求解.

(II)

根据⑴由余弦定理得到3="+/5,再利用重要不等式得到腐3,然后由SA［击选求解.

【详解】

2

(I)因为cos2A-cosB=A/3sinAcosA-A/3sinBcosB,

1+cos2A1+cos2B

所以=—sin2A--sin2B,

2222

cos2AA/3.__cos2B

sin2A------二——sin25-----------

T-222

sin2A--Usin2B--n

66

2A-W=2嗯或2y+23—卜，

A=5或=9

因为a】b,

27r

所以A+於三

TF

所以c二二；

3

(II)由余弦定理得：c2=6Z2+Z?2-labcQSC9

所以〃2+/=3+次?22ab，

所以当且仅当〃=〃取等号,

又因为b,

所以＜3,

所以5AABe=-^absinc邛go,哈

【点睛】

本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及余弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

n

18、(1)(x-l)2+(y-l)2=1,夕=应cosN71⑵a若或a吒

42

【解析】

(1)根据曲线C的参数方程消去参数f,可得曲线C的直角坐标方程,再由|。。|=拒，QH=|OC|COSNPOC,

可得点P的轨迹G的极坐标方程;

(2)将曲线C极坐标方程求,与直线I极坐标方程联立,消去6,得到关于P的二次方程，由P的几何意义可求出|A到，

而(1)可知|0刊=应cosa-J,然后列方程可求出a的值.

【详解】

(1)曲线C的直角坐标方程为(x—1)2+(y—1)2=1,

圆C的圆心为C,|OC|=夜，设尸(夕,，)，所以NPOC=，—?，

则由10H=|OClcosZPOC,即夕=0cos(6—7](0<，<彳]为点P轨迹C2的极坐标方程.

<q八乙)

(2)曲线C的极坐标方程为22_2逝夕cos[。-+1=0,

将/:，=£1()<0<叁]与曲线C的极坐标方程联立得，p2-2与cos1«-^+1=0,

设A(q,tz),3(夕2,£)[<£<?，

2

所以=/?[-p2=J8cos2——4=2/2cos1a——1,

\OP\=A/2COS^-^,

由|AB|-|OP|=y/3)即212cos?1a———1x,y/zcos(a——=y/3)

((y/2)解得加=".

令cosa—：=加——<1,上述方程可化为16/—8〃—3=0,

l4-2J2

由“。j>¥「?<〃一:『所以"±土?即”存

，ta=—.

12

【点睛】

此题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化利用极坐标求点的轨迹方程，考查运算求

解能力，考查数形结合思想，属于中档题.

19、(1)极大值是/⑴=1,无极小值；(2)彳=工

e+1

【解析】

(1)当4=1时，可求得尸(尤)=已”无?1\令〃(x)=(2尤利用导数可判断飘x)的单调性并得其零点，

e

从而可得原函数的极值点及极大值；

(2)表示出g(x),并求得g'(x)=(-_?+2x+a)e1,由题意,得方程-炉+2x+a=0有两个不同的实根占，x2al＜爸),

从而可得△=4+4。＞0及%+%=2,由玉＜尤2，得用＜1.则工途(占),，4/'(无J可化为无J2e「*-力/-为+1)],,0对任意

的％e(-8,1)恒成立，按照芭=0、石e(O,l)、为6(-8,0)三种情况分类讨论，分离参数2后转化为求函数的最值

可解决；

【详解】

(1)当。=1时，/⑴

e

3

令/犬)=2%—炉—e'T,贝!|/(%)=2—2%—"T,显然"(X)在上(一⑵单调递减，

4

又因为九'(1)=3-)＜0,故xe(3,2)时，总有〃(x)＜0,所以以幻在(±2)上单调递减.

42寸£44

3

由于她)町所以当X%，1)时，3)"当D时，心)＜。・

当I变化时，/'(X)、/(X)的变化情况如下表:

X(如1(1,2)

f(x)+-

/(x)增极大减

3

所以『⑶在『)上的极大值是")=1,无极小值.

(2)由于g(于=(炉一贝!)/(%)=(—％2+2%+〃)*",由题意,方程一炉+2%+.=0有两个不等实根玉,%2,则

一炉1+2再+4=0

2

A=4+4Q＞0,解得〃＞—1,且＜-X2+2X2+(2=0,又玉＜々，所以王＜1.

X+%2=2

21x2lXl

由尤2g(再)＜丸/'(九1)，f\x)=(2x-x)e~-a,可得々(月—。)3一司＜A[(2xl-x^e~-a]

2

又々=2-和。=/]一2%i.将其代入上式得：2%(2-xjeif<沈[(2%一/jef+(2xl-xJ].

整理得XjW-4(3』+l)]<0,即再[2/F-X(ef+1)]<0,Vjqe(-oo,l)

当芭=0时，不等式芭[23』—X(eif+l)]<0恒成立，即

当(0,1)时，2/f—双六为+1)<0恒成立，即22小，令人(％)=聿1L,易证人(x)是火上的减函数.因

产+13一%+1

r\c

此，当xe(0,1)时，k(x)<k(0)=—,故423.

e+1e+1

当为e(——0)时,2eif—"3/+1)>0恒成立，即；IW卫L,

e5+1

因此，当xe(—8,0)时，左(%)〉左(0)=一土所以2V——.

e+1e+1

综上所述，2=—.

e+1

【点睛】

本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分

析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高.

2

20、(I)—+y2=1；(II)4.

4

【解析】

(I)结合已知可得£=走，6c=百求出a,b的值，即可得椭圆方程；

a2

(II)由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得加2=4父+1,

联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得5AMe。+5%加，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出

9

S^MON得至!ISAC=S\MON+1co+S诩o,整理后利用基本不等式求最值・

【详解】

解：(I)可得£=走，bc=布结合a1=b2+c2,

a2

_2

解得a=2,c=6,b=l,得椭圆方程?+/=1；

(II)易知直线肱V的斜率左存在，设肱V：y=kx+m,

y=kx+m

由《得（4左2+1封+8初ix+4（加之一1）=o,

2

d+4y=4

由A二6442疗一16(442+1乂疗-1)=0,得"=4^+1,

•SACMN~S\MON+S^CO+S\ANO，

设点。到直线MN："-丁+根=0的距离为d,

"=3,仁=2孤四「-八2卜3

2

_1rm\m\|m|J(4左N+4_疗)_百,

b"的乂忑主飞“2a+1=H

由<‘履+",得(左2+1)%2+2^^+W2-4=0,

[x2+y=4''

—2kmm2-4

石+々=产7丁…2=下77

:.X+%二村+根+辰2+机=左(玉+9)+2加

2km)2m

=k+2m=

VTTJF+T

若(EI+»2|)=#(IX+%I)=£Ti

**S^MCO+S处1Ao=5X

...s=s+(S+S)=演+且刨

QACMN~^\MON丁<UAM40丁0AMCO)~上2+]左之十]

而帆2=4左2+1,左2=1二1,易知左2»0,则同之1,

411

_2百\m\_8G\m\_873<8g_

四边形ACMV的面积3=m2_],=徵2+3=3一公行=’

m+

---4--+]1\\1n\m\

3

当且仅当而l=H,即m=±3时取

二四边形AOWN面积的最大值为4.

【点睛】

本题考查了由a,4c求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.

21、(1)曲线C表示的是焦点为(L0),准线为x=-1的抛物线;(2)8.

【解析】

4cosf)

试题分析：(D将曲线C的极坐标方程为夕=「三两边同时乘以夕，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其

直角坐标方程；(2)由直线/经过点(1,0),可得tana的值，再将直线/的参数方程代入曲线C的标准方程，由直线参

数方程的几何意义可得直线/被曲线C截得的线段C的长.

4cos0

试题解析：(1)由夕=—「可得p2sin2e=4pcos，，即V=4x,