吉林省2024届高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

吉林省2024届高二数学第一学期期末复习检测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22_

1.若双曲线会-%=1的离心率为百，则其渐近线方程为

A.y=±2xB.y=+72x

C.y=i—xD.y=±'-x

2._2

2.高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，，且“三好学生”中女生占一半.现从

该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为()

11

A.—B.—

1812

12

C.一D.一

83

3.已知数列｛4｝是公差为—2等差数列，%=5,则％=()

A.lB.3

C.6D.9

4.德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数

学天才，10岁时，他在进行1+2+3+L+100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后

2〃一98

对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列4=-~~—，则+%++098=()

2n-99

A.96B.97

C.98D.99

5.已知曲线。的方程为d+4H=4,则下列说法正确的是()

①曲线C关于坐标原点对称；

②曲线C是一个椭圆；

③曲线C围成区域的面积小于椭圆£：—+/=!围成区域的面积.

4

A.①B.①②

C.③D.①③

6.若椭圆C:〃优2+利2=1与直线后+y一1=0交于A,3两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为0,则'=

n

A1B0

A.»±5*---

22

C.72

7.按照小李的阅读速度，他看完《三国演义》需要40个小时.2021年12月20日，他开始阅读《三国演义》，当天他

读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《三国演义》的日期为。

A.2022年1月8日B.2022年1月9日

C.2022年1月10日D.2022年1月11日

8.一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200,5300,5500,6100,6500,6600,另两名员工数据不

清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）

A.5800B.6000

C.6200D.6400

9.若圆C：/+6x-6y-m=0上有到（―1,0）的距离为1的点，则实数，”的取值范围为（）

A.[-18,6]B.[-2,6]

C.[-2,18]D.[4,18]

10.如图所示，为了测量A,5处岛屿的距离，小张在。处观测，测得A,B分别在。处的北偏西30。、北偏东30。方

向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60。方向，则A,8两处岛屿间

的距离为（）海里.

B

A

A.5A/3B.5(1+A/3)

C.IOGD.10

11.已知过点（0,0）的直线/与圆C:（x+2y+（y—2）2=16相交于A,3两点，贝!I|人"的取值范围是。

A.[272,4]B.[272,8]

C.[4,8]D.[4A/2,8]

"x+y—420

12.已知实数x、V满足y-3W0,则z=1匚的最大值为（）

cX+1

x-y<0

1

A.1B.一

2

1

C.-D.2

3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等差数列｛吗的前"项和为S"，若%=3,品=45,则数列」一1的前2021项和为.

14.已知直线/：2x+y+2=。和圆C：x2+y2-2x-2y-2=0,过直线/上一点尸作圆C的一条切线，切点为A,

则|酬的最小值为

15.数据6,8,9,10,7的方差为

22A

16.已知aeR,命题p：3%0e[1,2],a>x0；命题生V%GR,%+2ax+4>0>且0q为真命题，则a的取

值范围为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱锥P—A5CD中，四边形ABC。是直角梯形，DC=2AD=2AB=2,

ZDAB=ZADC=90,PB=6,，APDC为等边三角形.

（1）证明：PD±BC；

（2）求点3到平面PC。的距离.

18.（12分）如图，四棱锥P-A5C。中，以，平面ABC。、底面ABC。为菱形，E为PD的中点.

p

B

(1)证明：尸3//平面A£C；

(2)设PA=l,NR4O=120°,菱形ABC。的面积为26，求二面角£>——C的余弦值.

19.(12分)已知函数/(x)=(犬一2x)e*+2ex-e21nx

(1)求/(x)在点(1/⑴)处的切线方程;

(2)求证：f(x)>0

20.(12分)设命题0：实数x满足d一4〃a+3〃，<0,其中加>0；命题q：(x+2)(x-3)<0

(1)若机=2,且0人4为真，求实数x的取值范围;

(2)若「q是力的充分不必要条件，求实数"的取值范围

21.(12分)进入11月份，大学强基计划开始报名，某“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参

加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图2所示的成绩频率分布直方图:

0.040

0.022

0.018

0.012

0.008

(1)估计五校学生综合素质成绩的平均值和中位数；(每组数据用该组的区间中点值表示)

(2)某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加强基计划考试，若已知6名同学中有4名理科

生，2名文科生，试求这3人中含文科生的概率.

JQ—cose

22.（10分）在平面直角坐标系九0y中，曲线G的参数方程为一。.八（夕为参数），以坐标原点为极点，x轴正

y=2sine/

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为夕sin-看］=1.

（1）求曲线G的普通方程和曲线的直角坐标方程；

⑵若a与。2相交于4、3两点，设尸。,旧），求|刻+忸耳

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】双曲线的离心率为近逵=逐，渐进性方程为y=±?x,计算得2=0,故渐进性方程为,=±0九

aaa

【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.

2、C

【解析】设事件A表示“选上的学生是男生”，事件3表示“选上的学生是三好学生，求出P（A）和P（AB）,利用条件

概率公式计算P（B|A）即可求解.

【详解】设事件A表示“选上的学生是男生”，事件3表示“选上的学生是，三好学生”，，

则所求概率为。（同4）.

由题意可得：男生有60-20=40人，“三好学生”有10人，所以“三好学生”中男生有5人，

所以「（4）=竺=2,P（AB）=—=—,

\'603V76012

1

故「（即）=盗叱j

3

故选：C.

3、D

【解析】结合等差数列的通项公式求得内.

【详解】设公差2=-2,%=q+2d=q-4=5=>囚=9.

故选：D

4、C

96949698

【解析1令S=囚+出++«97+tz98=—+—++—+一，利用倒序相加原理计算即可得出结果.

9597

96949698

【详解】令5=,+4++tz97+«98=—+—+H--------1------,

9597

98969496

S=佝8+。97++出+=------1--------FH--------1------,

97959597

两式相加得:

96949698+以史+9496

25=------1--------FH--------1------H--------1------

97959597【97959597

”+约9496^9694^9896^

+++++++=98x2,

(9797J9595j9595j9797J

S=98,

故选:c

5、D

【解析】对于①在方程中％换为-％,》换为-y可判断；对于②分析曲线。的图形是两个抛物线的部分组成的可判断;

对于③在第一象限内，分析椭圆的图形与曲线c图形的位置关系可判断.

【详解】在曲线C的方程必+4国=4中，X换为-X,y换为一匕方程不变，故曲线。关于坐标原点对称

所以①正确，

当y＞。时，曲线C的方程化为y=l—此时—2WXW2

X2

当》＜0时，曲线。的方程化为y=,-1,此时-2W九W2

所以曲线C图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故②不正确.

尤2

当y>0,0WxW2时，设为=1—i，%=

设，=1—9，贝!I0WY1,为一%=〃T=〃（1一〃）2。（当且仅当『=0或f=l时等号成立）

所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线。的上方.

根据曲线C和椭圆的的对称性可得椭圆的图形在曲线C的外部（四个顶点在曲线。上）

所以曲线C围成区域的面积小于椭圆£：—+/=!围成区域的面积，故③正确.

4

故选：D

6、D

【解析】细查题意，把y=l-0X代入椭圆方程如2+冲2=1,得盛2+“（1—缶）2=1,整理得出

（m+2n）x2-2s/2nx+n-l=Q,设出点AB的坐标，由根与系数的关系可以推出线段A5的中点坐标，再由过原点

与线段A3的中点的直线的斜率为正，进而可推导出'的值.

n

［详解】联立椭圆方程叩2+江=1与直线方程+y_1=0,

可得g2+〃（l-岳产=1,

整理得Qn+2n）x~-ly/lnx+〃-l=O,

设A&,%）,%），

则毛+々=过近，

m+2n

从而线段A5的中点的横坐标为毛=土±三=二1,纵坐标%=1-瓜。=一1，

2m+2nm+2n

因为过原点与线段A3中点的直线的斜率为夜，

m

所以—

m+2n

ITJ

所以一=2,

n

故选D.

【点睛】该题是一道关于直线与椭圆的综合性题目，涉及到的知识点有直线与椭圆相交时对应的解题策略，中点坐标

公式，斜率坐标公式，属于简单题目.

7、B

【解析】由等差数列前〃项和列不等式求解即可.

【详解】由题知，每天的读书时间为等差数列，首项为20,公差为10,记"天读完.

2

贝!ISn=na}+~-d=20〃+5n{n-1)=5«+15〃

40小时=2400分钟，令51+15"»2400，得“2・3或n工-③一4929(舍去)，

22

故〃=21,即第21天刚好读完，日期为2022年1月9日.

故选：B

8、D

【解析】解：•.•一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200,5300,5500,6100,6500,6600,

...当另外两名员工的工资都小于5300时，中位数为(5300+5500)+2=5400,

当另外两名员工的工资都大于5300时，中位数为(6100+6500)+2=6300,

,8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300],

.••8位员工月工资的中位数不可能是6400.

本题选择D选项.

9、C

【解析】利用圆与圆的位置关系进行求解即可.

【详解】将圆C的方程化为标准方程得(％-3)2+(y-3)2=相+18,

所以机〉-18.因为圆C上有到(-1,0)的距离为1的点，

所以圆C与圆C：(x+l)?+y2=i有公共点，所以

因为|CC[=7(3+1)2+32=5,所以卜7"+18-1|<5<|Vm+18+1|,

解得一2

故选：C

10、C

【解析】分别在"CD和△3CD中，求得AD,5。的长度，再在中，利用余弦定理，即可求解.

【详解】如图所示，可得CD=10,NADC=120,NBDC=60,ZBCD=90,ZACD=30,

所以ZCAD=30,ZADB=60,

在八4。。中，可得AD=CD=1O,

在直角△BCD中，因为ZBDC=60,/BCD=90,所以5r>=2CD=20,

在△A3。中，由余弦定理可得AB2=AD-+BD2-2AD-BCcos60

=100+400-2xl0x20x-=300,

2

所以A5=10/.

故选：C.

11、D

【解析】经判断点（0,0）在圆内，与半径相连，所以/与0c垂直时弦长最短，最长为直径

【详解】将（0,0）代入圆方程得：4+4=8<16,所以点。（0,0）在圆内，连接。C,当/LOC时，弦长最短，

OC=20，所以弦长A5=2,严—OC?=2不后=40，当/过圆心时，|然|最长等于直径8,所以|神|的取

值范围是[4a,8]

故选：D

12、A

【解析】作出可行域，利用代数式z=E的几何意义，利用数形结合可求得z=2二的最大值.

x+lX+1

x+y-4>0

【详解】作出不等式组<丁-3Vo所表示的可行域如下图所示：

x-y<0

y=3X-1

联立‘，c可得’,即点4(1,3),

x+y-4=Q［y=3、7

代数式z=2］的几何意义是连接可行域内一点M(%,y)与定点连线的斜率,

由图可知，当点M在可行域内运动时，直线的倾斜角为锐角，

当点M与点A重合时，直线"P的倾斜角最大，此时z取最大值，即Z3=U=1.

1+1

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021

13、-----

2022

【解析】根据题意求出4,代入一'一中，再利用裂项相消即可求出答案.

44+1

a+2d=3

xq=1

【详解】由｛4｝是等差数列且%=3,S9=45可知:Qx2

9q+^-d=45d=1

故q=n.

11_1_1

anan+in(n+1)n〃+1

数列］」一］的前2021项和为1一工+，一工+1-------1-------2--0--2=1-------

223202120222022

2021

故答案为:

2022

14、1

【解析】求出圆C的圆心坐标、半径，再借助圆的切线性质及勾股定理列式计算作答.

22/\112x1+1+2IFT

【详解】圆C：(x-l)+(y-l)-=4,圆心为(1,1),半径厂=2,点C到直线/的距离、=收+f=小，

由圆的切线性质知：1pAi=—知.m-户=J(有y_4=1,

当且仅当|PC|=d,即点尸是过点C作直线/的垂线的垂足时取“=”，

所以|酬的最小值为1

故答案为：1

15>2

【解析】首先求出数据的平均值，再应用方差公式求它们的方差.

【详解】由题设，平均值为1=6+8+；+1。+7=8,

15_

工方差/=—-x）2=2.

3z=i

故答案为：2.

16,[1,2]

【解析】先求出命题p,4为真命题时的。的取值范围，根据。八4为真可知?过都是真命题，即可求得答案.

【详解】命题P：玉°C[1,2],a'%?为真时，有aNl,

命题4：VXGR,/+2a%+4N0为真时，则有A=4a2-i6<0，

即—2WaW2，

故。八4为真命题时，a>lH-2<a<2,即lWaW2,

故a的取值范围为[L2],

故答案为：[L2]

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）略；（2）好

3

【解析】（1）推导出PBLBC,从而平面尸5。，由此能证明电>，5c.（2）利用等体积求得点B到面

的距离

【详解】（1）:•在四棱锥尸-ABC。中，四边形是直角梯形，

DC=2AD=2AB=2,ZDAB=ZADC=90a,PB=柩,△P0C为等边三角形

:.BC=BD=J"+停=0,/.BZ）2+BC2=CZ）2,PB2+BC2=PC2,

：.BD±BC,PBVBC,:BDCPB=B,

：.BC±平面PBD,VPOu平面PBD,

J.PDLBC

（2）由（1）知，Sprn=^-x4=>j3,SBrD=-xV2xV2=1,

42

故VB-PCD=Vp-Bco=§x-xd=§xlx2.・."=乎

故得点B到面PCD的距离为逅

3

【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查点面距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，

考查运算求解能力，是中档题

18、（1）证明见解析；（2）y.

4

【解析】（1）连接3。交AC于点。，连接0E,则PB//OE,利用线面平行的判定定理，即可得证；

（2）根据题意，求得菱形ABC。的边长，取中点可证如图建系，求得点坐标及AE,AC坐标,

即可求得平面ACE的法向量，根据AM，平面物。，可求得面ADE的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求

得答案.

【详解】（1）连接5。交AC于点。，连接。£,

则。、E分别为=的中点，所以PB//OE,

又。£u平面ACE,PB<Z平面ACE

所以尸3//平面ACE

（2）由菱形ABC。的面积为26，ZBAD=120°，易得菱形边长为2,

取中点连接40,因为A6=AC,所以

以点A为原点，以A"方向为x轴，AD方向为y轴，"方向为z轴，建立如图所示坐标系.

E

B57^c

x

则D(O,2,O),A(O,O,O),E(O,L£|,C(6,LO)

所以AE=[o,l,g),AC=(Q/,o)

设平面ACE的法向量i\=(%,y,z),由“1_LAE,nx_LAC

yH—z=0

得12，令x=6■，则y=—3,Z=6

s/3x+y=0

所以一个法向量々=(6,—3,6),

因为AMLAZ),AM±PA,所以AM,平面BtD,

LU

所以平面AD石的一个法向量%=(1,0,0)

n.•n?A/31

所以COS<%,〃2〉=丽=耳3育="

又二面角O-AE-C为锐二面角，所以二面角O-AE-C的余弦值为L

4

【点睛】解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间

向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.

19、(1)(e2-e)x+y-e2=0；(2)证明见解析

2

【解析】(1)求导/(犬)=(/—2)/+2e—进而得到/⑴=e—/,f(l)=e9写出切线方程；

x

x2xx

(2)将(炉—2x)e+2ex-e1nx>0转化为(x-2)e+2e>切吧，设g(%)=(尤—2)e+2e,h(x)=色吧

XX

利用导数法证明.

【详解】(1)函数/'(X)的定义域是(0,+8)

f\x)=(x2-2)ex+2e--,可得/⑴=e-e?

又/⑴=e,

所以/(x)在点(1,7(1))处的切线方程为y-e=(e-e2)(x-l)

整理得(e2-e)x+y-e2=0(或斜截式方程y=(e-e2)x+e2)

(2)要证(x2—2x)"+2ex—e21nx〉0

只需证(x2-2x)ex+lex〉e21nx

因为x>0,所以不等式等价于(x-2)靖+26〉£叵

X

设g(x)=(x-2)e'+2e,/心)=±1吧

x

g\x)=(x-V)ex,0<x<l,g'(x)<0；x>\,g'(x)>0

所以g(x)在(0,1]单调递减，在[1,+8)单调递增

故gOOmin=g6=e

又力'(九)=e(I,lnx),0<无色,〃(%>0；x>e,h\x)<0

X

所以丸(X)在(。,切单调递增，在[e,+8)单调递减

故，(x)max=h(e)=e

因为=丸(X)max且两个函数的最值点不相等

所以有g(x)〉〃(x),原不等式得证

20、(1)[2,3]⑵(0,1]

【解析】⑴解二次不等式x?—4mx+3m2<0,其中m〉0解得mWxW3m,解(x+2)(x—3)W0.得：—2Kx<3,

取m=2再求交集即可；

(2)写出命题所对应的集合，命题p：A=[m,3m],命题q：B=[-2,3],由「q是「P的充分不必要条件，即P是

q的充分不必要条件，则A是B的真子集，列不等式组可求解

【详解】解：(1)由x2—4mx+3m2<0,其中m>0；

解得m<x<3m,

又m=2,即2WxW6,

由(x+2/x—3)W0.得:-2<x<3,

-2<x<3

又pAq为真，则〈

2<x<6

得：2<x<3,

故实数x的取值范围为[2,3]；

(2)由⑴得:命题p：A=[m,3m],命题q：B=[-2,3],

由是「P的充分不必要条件，即P是q的充分不必要条件，

A是B的真子集，

m>-2

所以卜加V3,即OvmWl

m>0

故实数m