《平面向量的加法运算》教案、导学案、同步练习

《6.2.1平面向量的加法运算》教案课题6.2.1平面向量的加法运算单元第六单元学科数学年级高一教材分析本节内容是平面向量的加法，由物理中的位移和力的合成导入，学习平面向量的加法法则以及加法的运算律这些知识点，为平面向量的减法做铺垫。教学目标与核心素养1.数学抽象：利用位移和力的合成将平面向量具体化；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.3.数学建模：掌握平面向量加法法则，利用向量的运算解决实际问题。4.直观想象：通过有向线段直观判断平面向量的加法运算；5.数学运算:能够正确计算和判断向量的加法运算；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点平面向量的三角形法则、平行四边形法则、运算律。难点平面向量的三角形法则、平行四边形法则、运算律。教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课情境导入：情景一：如图，某人从A点走到B.然后从B点走到C.这个人所走过的位移是多少?向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法情景二：如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？学生思考问题，引出本节新课内容。设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。讲授新课知识探究（一）：向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则

（“作平移,首尾连,由起点指终点”）位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型。

向量加法的平行四边形法则

（“作平移,共起点,四边形,对角线”）力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型。

知识探究（二）：三角形法则与平行四边形法则的异同思考1:向量加法的平行四边形法则和三角形法则一致吗？为什么？不一致。三角形法则通过平移首尾相接，平行四边形法则通过平移起点相同。

知识探究（二）：非零共线向量的和的计算

思考2：对于两个非零共线向量，能否求出他们的和向量？它们的加法与数的加法有什么关系？

两个非零共线向量的和向量只需首尾相接

两个非零共线向量的加法和数的加法运算法则是一致的。知识探究（二）：零向量与任一非零向量的和向量计算

思考3：零向量与任一非零向量，能否求出他们的和向量？因为零向量的模为0，方向任意，根据合位移的计算方法可得，零向量与任一非零向量的和等于该非零向量。知识探究（三）：n个向量加法的三角形法则

思考4：n个向量的和向量怎样计算？

n个向量连加是将向量加法的三角形法则推广为n个向量相加的多边形法则:由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和.(注意:首尾相接)例题讲解(一)

例1：如图，已知向量a、b，求作向量a+b.

作法1：三角形法则

作法2：平行四边形法则

知识探究（四）：向量和与向量的模的关系思考：当向量不共线时，和向量的长度与向量的长度和之间的大小关系如何？

知识探究（五）：平面向量加法的运算律

思考1：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律？

向量的加法交换律

向量的加法结合律例题讲解：平面向量的加法运算

例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过进行轮渡运输。如图所示，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15千米每小时，同时江水的速度为向东6千米每小时。

（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；

（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1度）。

提升训练

1、求下列向量的和

3、如图，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，求出下列向量的和：（1）（2）（3）（4）（5）学生根据两个情境，探究平面向量的加法法则。学生根据环环相扣的思考题，探究平面向量的运算律。学生例题，巩固向量的加法法则以及运算律，并能够灵活运用.学生和教师共同探究完成3个练习题。利用两个情境探究得出平面向量的加法法则,培养学生探索的精神.通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.利用数形结合的思想，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。通过这3个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。课堂小结向量的三角形法则向量的平行四边形法则向量加法的运算律学生回顾本节课知识点，教师补充。让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。板书§6.2.1平面向量的加法运算一、情境导入2.平行四边形法则三、课堂小结二、探索新知3.向量加法运算律四、作业布置1.三角形法则例1、2、《6.2.1平面向量的加法运算》导学案【学习目标】素养目标学科素养1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义。（重点）2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题。（重点）3.掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算。（难点）1.数学运算;2.直观想象【自主学习】向量加法的定义及其运算法则1.定义：求的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是向量。2.三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则，运用三角形法则的关键是首尾相连，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，这里的B点具有任意性。3.平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则eq\o(OC,\s\up6(→))就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.运用平行四边形法则的关键是共起点，当两个向量共线时，不能用平行四边形法则。4.对于零向量与任意向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a.二．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系(1)对于任意向量a，b，都有≤|a＋b|≤；(2)当a，b共线，且同向时，有|a＋b|＝____；(3)当a，b共线，且反向时，有|a＋b|＝或__．点拨：根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以得出上述结论．三．向量加法的运算律①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．()(3)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．()(4)若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，则A，B，C为一个三角形三个顶点．()(5)对于任意的点A，B，C，D，都有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.()(6)如果a，b是共线的非零向量，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同．()【经典例题】题型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则点拨：(1)当两个不共线向量求和时，三角形法则和平行四边形法则都可以用．（2）利用向量的三角形法则求a＋b，务必使它们的“首尾顺次连接”；利用平行四边形法则求a＋b，务必使它们的起点重合.（3）多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和．例1如图(1),(2),(3)，已知向量a，b，分别求作向量a＋b.【跟踪训练】1如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c.分析：本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．题型二向量的加法运算律的应用点拨：运用向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量，加快解题速度.例2A,B,C,D,E,F为平面上的任意点，化简下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)).【跟踪训练】2如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)eq\o(DG,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→)).题型三向量加法的应用点拨：向量加法的实际应用中，要注意如下：（1）准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；（2）将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解;（3）将向量问题还原为实际问题.例3长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5eq\r(3)km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度方向间的夹角表示)．【跟踪训练】3轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．【当堂达标】1．化简eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))的结果等于()A.eq\o(QP,\s\up6(→)) B.eq\o(OQ,\s\up6(→))C.eq\o(SP,\s\up6(→)) D.eq\o(SQ,\s\up6(→))2.如图，在▱ABCD中，点E是AB的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(EC,\s\up6(→))＝()A．a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a＋bC．a－eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a－b3．在▱ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不确定4.若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，则()A．a，b同向共线B．a，b反向共线C．a，b同向共线且|b|>|a|D．a，b反向共线且|b|>|a|5．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______．6.某人在静水中游泳，速度为4eq\r(3)千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？【课堂小结】1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．【参考答案】【自主学习】两个向量和二．||a|－|b|||a|＋|b||a|＋|b||b|－|a||a|－|b|【小试牛刀】(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×【经典例题】例1解：(1)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如图(1)．(2)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如图(2)．(3)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如图(3)．【跟踪训练】1作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接着作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则得向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b；然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，以OA、OB为邻边作□OADB，连接OD，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.再以OD、OC为邻边作□ODEC，连接OE，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即为所求．例2[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0.【跟踪训练】2解：(1)eq\o(DG,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(GC,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(GC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GE,\s\up6(→)).(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝0.例3[解](1)如图所示，eq\o(AD,\s\up6(→))表示船速，eq\o(AB,\s\up6(→))表示江水速度．易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则eq\o(AC,\s\up6(→))表示船实际航行速度．(2)在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5eq\r(3)，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(\s\up12(),\s\do4(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(BC,\s\up6(→))|2)))＝eq\r(52＋5\r(3)2)＝eq\r(100)＝10.因为tan∠CAB＝eq\f(|\o(BC,\s\up12(→))|,\o(\s\up5(),\s\do4(|\o(AB,\s\up6(→))|)))＝eq\r(3)，所以∠CAB＝60°.因此，船实际航行的速度大小为10km/h，方向与江水速度方向间的夹角为60°.【跟踪训练】3解：如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分别是轮船的两次位移，则eq\o(AC,\s\up6(→))表示最终位移，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).在Rt△ABD中，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝20km，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝20eq\r(3)km，在Rt△ACD中，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up6(→))|2＋|\o(DC,\s\up6(→))|2))＝40eq\r(3)km，∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港40eq\r(3)km处．【当堂达标】1.B解析：选B.eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))＋0＝eq\o(OQ,\s\up6(→)).2.B解析：由题意得eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b.故选B.3.B解析：∵|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴▱ABCD是矩形．4.D解析:由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|>|a|，故选D．5.13解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13.6.解：如图，设此人的实际速度为eq\o(OD,\s\up6(→))，水流速度为eq\o(OA,\s\up6(→))，游速为eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，在Rt△AOD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，则|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，cos∠DAO＝eq\f(\r(3),3).故此人沿向量eq\o(OB,\s\up6(→))的方向游(即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为eq\f(\r(3),3))，实际前进的速度大小为4eq\r(2)千米/小时．《6.2.1平面向量的加法运算》同步练习A组基础题一、选择题1．在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四边形2．下列等式不成立的是()A．0＋a＝aB．a＋b＝b＋aC.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BA,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))3．已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，则a＋b表示()A．向东南航行eq\r(2)kmB．向东南航行2kmC．向东北航行eq\r(2)kmD．向东北航行2km4．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b，且a与b方向相同B．a，b是共线向量且方向相反C．a＝bD．a，b无论什么关系均可6.如图所示，在平行四边形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))等于()A.eq\o(BD,\s\up6(→))B.eq\o(DB,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\o(CB,\s\up6(→))7．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→))D．2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))8．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是()A.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))9．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up6(→))B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→))D．4eq\o(OM,\s\up6(→))二、填空题10．在平行四边形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.11．设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：(1)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝______；(3)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝________.12．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．三、解答题13.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).14．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．B组能力提升一、选择题1.如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|AB+FE+CDA.1 B.2 C.3 D.232.如图所示,点O是正六边形的中心,则()A. B.0 C. D.3.若在中,,且,则的形状是(

)A.等边三角形 B.锐角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形二、填空题4.化简:(AB+MB)+(BO+BC)+5.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填一个向量):(1)AB+DF=(2)AD+FC=(3)AD+BC+FC=6．已知点G是△ABC的重心，则eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝___________________.7.已知向量的夹角为,,则___________.三、解答题8.已知|OA|=|a|=3,|OB|=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.设O是△ABC内任一点，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．证明：eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)).10.在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．《6.2.1平面向量的加法运算》同步练习答案解析A组基础题一、选择题1．在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四边形答案D解析：由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形．2．下列等式不成立的是()A．0＋a＝aB．a＋b＝b＋aC.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BA,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))答案C解析：对于C，∵eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))方向相反，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.3．已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，则a＋b表示()A．向东南航行eq\r(2)kmB．向东南航行2kmC．向东北航行eq\r(2)kmD．向东北航行2km答案A4．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))答案C5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b，且a与b方向相同B．a，b是共线向量且方向相反C．a＝bD．a，b无论什么关系均可答案A6.如图所示，在平行四边形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))等于()A.eq\o(BD,\s\up6(→))B.eq\o(DB,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\o(CB,\s\up6(→))答案C解析eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋0＝eq\o(BC,\s\up6(→)).7．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→))D．2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))答案A解析∵eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，∴2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OD,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).8．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是()A.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))答案D解析eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0，eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))≠eq\o(BD,\s\up6(→)).故选D.9．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up6(→))B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→))D．4eq\o(OM,\s\up6(→))答案D解析因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，故eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).二、填空题10．在平行四边形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.答案0解析注意eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.11．设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：(1)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝______；(3)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝________.答案(1)eq\o(DA,\s\up6(→))(2)0(3)eq\o(DB,\s\up6(→))(4)eq\o(DC,\s\up6(→))12．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．答案20,4解析当a与b共线同向时，|a＋b|max＝20；当a与b共线反向时，|a＋b|min＝4.三、解答题13.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).证明∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→)).又∵BP＝QC且eq\o(BP,\s\up6(→))与eq\o(CQ,\s\up6(→))方向相反，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).14．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．解如图所示，eq\o(OA,\s\up6(→))表示水流速度，eq\o(OB,\s\up6(→))表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，eq\o(OC,\s\up6(→))表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝5.∵四边形OACB为矩形，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,tan30°)＝5eq\r(3)，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(OB,\s\up6(→))|,sin30°)＝10，∴水流速度大小为5eq\r(3)km/h，船实际速度为10km/h.B组能力提升一、选择题1.如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|AB+FE+CDA.1 B.2 C.3 D.23解析由题,可知FE=BC,所以|AB+FE+CD|=|AB+答案B2.如图所示,点O是正六边形的中心,则()A. B.0 C. D.答案：A解析：∵,∴,故选A.3.若在中,,且,则的形状是(

)A.等边三角形 B.锐角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形答案：D解析：如图,∵,,∴为等腰直角三角形.二、填空题4.化简:(AB+MB)+(BO+BC)+答案AC解析：(AB+MB)+(BO+BC)+OM=(AB+BC)=AC+MB+BM=AC+(MB+BM5.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填一个向量):(1)AB+DF=;(2)AD+FC=(3)AD+BC+FC=答案AC解析：如图,因为四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则得:(1)AB+(2)AD+(3)AD+6．已知点G是△ABC的重心，则eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝___________________.答案0解析如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，则eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→))，eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(GA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.7.已知向量的夹角为,,则___________.答案：解析：,所以.三、解答题8.已知|OA|=|a|=3,|OB|=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.解如图所示,因为|OA|=|OB|=3,∠AOB=60°,所以四边形OACB为菱形,连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D.因为∠AOB=60°,所以AB=|OA|=3.所以在Rt△AOD中,OD=33所以|a+b|=|OC|=332×2=39.设O是△ABC内任一点，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．证明：eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)).证明如图所示，因为eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→)).因为D，E，F分别为各边的中点，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0.所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)).10.在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．解如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分别是直升飞机两次位移，则eq\o(AC,\s\up6(→))表示两次位移的合位移，即eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，在Rt△ABD中，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝20km，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝20eq\r(3)km，在Rt△ACD中，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(AD,\s\up6(→))|2＋|\o(DC,\s\up6(→))|2)＝40eq\r(3)km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40eq\r(