2024年3月广东省深圳市高三一模考试数学试卷及答案

2023〜2024学年第二学期高三年级教学质量检测(省外9)

数学

(满分：150分考试时间：120分钟)

2024.3

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

7T

1.若角a的终边过点(4,3),则s加(a+1)=()

44「33

A.gB.一§C.§D.一5

2.已知i为虚数单位，若,则z・z=()

A.也B.2C.~2iD.2i

3.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，在区间(0,+8)上单调递增，且对任意为，入2,

均有1为%2)=/(冗1V(X2)成立，则下列函数符合条件的是()

A.y=ln|x|B.y=x3C.y=2凶D.y=\x\

4.已知a,b是夹角为120。的两个单位向量,若向量。+肪在向量a上的投影向量为2a,

贝!1丸=()

AT「_稣D”

A./trj./9.3.3

5.由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为｛斯｝,即

=0,“2=2,4=4,…，若斯=2024,贝！J〃=()

A.34B.33C.32D.30

6.已知某圆台的上、下底面半径分别为n，丫2,且r2=2%，若半径为2的球与圆台的上、

下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为()

28K40兀—56TI112K

A.B.C.D.§

［。〃+2,n=2k—1,

1=(%£N*),

7.已知数列｛斯｝满足。政=1，an+2=\7若为数列

〔一。〃,n—2k

｛斯｝的前〃项和，则&0=()

A.624B.625C.626D.650

8.已知双曲线E-.点一£=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,过点后的直线

与双曲线E的右支交于A,B两点，若且双曲线E的离心率为6,则cos/BAR

=()

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特

训的成绩分别为：9,12,8,16,16,18,20,16,12,13,则这组数据的()

A.众数为12B,平均数为14

1

C.中位数为14.5D.第85百分位数为16

10.设a>l,b>0,且lna=2—b,则下列关系式可能成立的是（）

A.a=bB,b~a=eC.“=20245D.ab>e

11.如图，八面体。的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点8,C,D,E在同一

个平面内.若点M在四边形BCDE内（包含边界）运动，N为AE的中点，则（）

TT

A.当M为OE的中点时，异面直线与CP所成的角为］

B.当〃平面ACD时，点M的轨迹长度为2班

C.当时，点M到BC的距离可能为小

D.存在一个体积为华的圆柱体可整体放入。内

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

jr27r

12.若函数«x）=sin（cox+（p\co>Q,［研<］）的最小正周期为兀，其图象关于点Cy,0）中

心对称，则9=.

13.设点4-2,0）,8（一；,0）,C（0,1）,若动点尸满足必=2尸8,且亦=痴+MC,

则%+2〃的最大值为.

14.已知函数八x）=a（x—尤i）（x—尤2）（龙一X3）（a>0）,设曲线y=/（x）在点（为，式x#处切线的斜

率为ki（i=1,2,3）,若xi,及，迎均不相等，且左2=—2,则H+4质的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

设5“为数列｛斯｝的前〃项和，已知怎=4,S4=20,且［也为等差数列.

（1）求证：数列｛为｝为等差数列；

（2）若数列｛仇｝满足岳=6,且智=—,设T”为数列｛仇｝的前n项和，集合M=

｛T"|〃£N*｝,求M用列举法表示）.

2

16.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥臣BCD中，四边形ABCZ)是菱形，平面ABCOJ_平面外。，点M在DP

上，且0M=2MP,AD=AP,ZPAD=12Q°.

(1)求证：8。_L平面ACM；

(2)若乙M>C=60。，求平面ACM与平面ABP夹角的余弦值.

17.(本小题满分15分)

在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节.每次信号只发送。和1中的某

个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误.已知发送信号。时，接收

为0和1的概率分别为a(0<a<l),1—a；发送信号1时,接收为1和0的概率分别为仪0邙<1),

1假设每次信号的传输相互独立.

(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为式㈤,

求/(a)的最小值；

(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为XI，X2,X3,

X4,记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X(xi，X2,冷，X4中任意相邻的数字

均不相同时，令x=i),若£=］2，求x的分布列和数学期望.

18.(本小题满分17分)

已知函数fix)=a(x~l)ex+1-2xIn金R).

(1)当Q=0时，求函数在区间七一2,1］上的最小值;

(2)试讨论函数式工)的极值点个数；

(3)当函数4工)无极值点时，求证：asin=.

3

19.(本小题满分17分)

已知动点P与定点A(m,0)的距离和尸到定直线x=?的距离的比为常数低，其中相＞0,

n＞0,且mW”，记点尸的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明轨迹的形状；

(2)设点8(—7%,0),若曲线C上两动点M,N均在x轴上方，AM//BN,且AN与

相交于点Q.

①当m=2巾,〃=4时，求证：七+白的值及△A3Q的周长均为定值；

r\.lVlDLN

②当机〉"时，记△ABQ的面积为S,其内切圆半径为r,试探究是否存在常数九使得

S=＞恒成立？若存在，求〃用相，〃表示)；若不存在，请说明理由.

4

2023〜2024学年第二学期高三年级教学质量检测（广东深圳）

数学参考答案及评分标准

1.A2.B3.D4.A5.B6.C7.C8.D9.BC10.AC11.ACD

2/+4

14.18

15.（1）证明：设等差数列榭的公差为d,则j=y+3d,即N+3d=5①，（1

因为S2=ai+a2=Si+4,所以由y=y+d,得S+24=4②.（2分）

由①②解得Si=2,<7=1,所以｝="+1,即Sn=n（n+1）,（3分）

==

当时，anSn—Sn-in（n-\-1）—（n—1）几=2几，

当〃=1时，ai=Si=2,上式也成立，所以斯=2〃（〃£N*）,（5分）

因为当时,斯一斯T=2,所以数列｛斯｝是等差数列.（6分）

（2）解：由（1）可知经

（7分）

OnCln+22〃+4〃+2

X6=：

n（〃十1）

因为d=6满足上式，所以b”=—z,,.（"GN*）.（9分）

n（几十1）

T〃=12［（l—义）+（1）+...+（5一卷）］=12义（1—卷）=12—苗，（11分）

12

因为当GN*时，”=1,2,3,5,11,所以M=｛6,8,9,10,11）.（13分）

n-r1

16.（1）证明：不妨设AO=AP=3,VZPAD=120°,DM=2MP,

：.DP=3小，DM=2小,PM=y13,（1分）

由余弦定理，得AM=yjAP?+MP2—2AP-MPcos30。=y［3,

在△ADM中，AD1+AM2=DM2,：.MALAD,（2分）

"/平面ABCDJ_平面必。，平面ABCOCI平面B4O=AD,MAu平面B4。，

MA_L平面ABCD.

；BDu平面ABC。，MA1BD,（4分）

"/四边形ABCD是菱形，.'AC，2D（5分）

又；ACHMA=A,且ACu平面ACM,AMu平面ACM,：.8O_L平面ACM.（6分）

（2）解：在平面ABCD内,过点B作AD的垂线，垂足为N,

"：平面ABCDJ_平面出。，平面ABCOCI平面

二BALL平面ADP,（7分）

又,:四边形ABCD是菱形，ZADC=60°,；.ZBDA=30°,

：.AACD,ZVIBC均为等边三角形.（8分）

5

以点A为坐标原点，AD,AM及过点A平行于A®的直线分别为无，y,z轴，建立空间

直角坐标系（如图），

r133*\/333,\/3八

则4（0,0,0）,3（一万，0，~2）'。⑶0，0），P（~/，，0）,（9分）

由（l）BD_L平面ACM,

f93s

：.BD=（^,0,一士）为平面ACM的一个法向量，（10分）

设平面ABP的法向量为帆=（x,y,z）,

「f_3,3^3

ABm^O,2x+2"~Q'

则《即〈仁⑴分）

An=0,[-|x+^y=0,

令》=小，可得桃=（、「，1）1）.（12分）

Icos（BD,m）|=后*小=乎，（14分）

A/5

・・・平面ACM与平面ABP的夹角的余弦值为.（15分）

17.解：(1)由题可知7(a)=a3+(]—dy=3ar—3a+l=3(a—])2+^,(2分)

因为0<a<l,所以当a=：时，八㈤的最小值为1.（4分）

（2）由题设知，X的可能取值为1,2,3,4.（5分）

①当X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010.因此，

212112128

P（X=l）=qX-X-X-+-X-X-X-,（6分）

DJ3JJJJJ01

②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010,或0100,或1101,或1011,

或1001,或0110,或1100,或0011.因此,

21212112364

尸（X=2）=q）2X-x-X2+q）2X-x-X2+q）2X（-）2乂4=的=g,（8分）

③当x=3时，相应四次接收到的信号数字依次为ino,或oin,或oooi,或looo.

因此，

121220

3

尸（X=3）=q）x-X2+Qx（-）3义2=五，（10分）

④当X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000,或1111.因此，

1217

尸（X=4）=q）4+（g）4=玩.（12分）

所以X的分布列为

6

X1234

842017

p

8198181

(13分)

因此，X的数学期望E(X)=1X^+2*《+3x|y+4X$=答.(15分)

18.(1)解：当。=0时，力＞)=—2xlnx—N,

则/(x)=12(14nx+»1)-2x=-2(lnx+x+l),(1分)

令g(x)=/(尤)，则g，(x)=—2(：+1),

因为尤e[e?I],所以g，(x)<0,则g(x)在[e?I]上单调递减，(2分)

又因为了(12)=2(1—-2)>0,y(l)=-4<0,

所以mxod(e-2,1)使得了(须)=0,兀C)在(e-2,x0)上单调递增，在Qo，1)上单调递减.

因此，1X)在[屋2,1]上的最小值是式-2)与式I)两者中的最小者.(3分)

因为火e-2)=4e-2—e~4=?一2(4—6-2)>0,/1)=—1,

所以函数在上一2,i]上的最小值为一i.(4分)

(2)解：/(x)=a[l-et+1+(x-l)ev+1]-2(l-lnx+x-1)—2x=axe/i-2(lnx+x+l),

,,”，左力/口2(lnx+x+1)2(lnx+x+1),八

由7(x)=6解倚〃=^+1=elnx+x+l，(6分)

易知函数y=lnx+x+l在(0,+8)上单调递增，且值域为R,

,2t

令lnx+x+l=/,由/(x)=6解得,

设为⑺=誉，贝1J/7'⑺=2"，

因为当代1时，/7")>0,当>1时，h'(t)<0,所以函数人⑺

在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

22

根据/7(1)=3,L—8时，—8,/」甲8/7«)=/」叩8]=0,

得力⑺的大致图象如图所示.(7分)

因此有：

2

(i)当时，方程/()=。无解，即/(X)无零点，人《)没有极值点；(8分)

2

(ii)当时，7W=2elnx+j-2(lnx+x+1),

7

利用e，>x+l,得/（x）>2（lnx+x+l）—2（lnx+x+l）=0,此时大尤）没有极值点；（9分）

2

（iii）当0<a<1时，方程⑺=。有两个解，即/（x）有两个零点，式尤）有两个极值点；

（iv）当a<0时，方程h{t}=a有一个解，即了（无）有一个零点，段）有一个极值点.

22

综上，当时，於）有一个极值点；当0<a<-时，小）有两个极值点；当a^~时，加）

没有极值点.（11分）

（3）证明：先证明当xG（0,今）时，晋士­

设心尸拶（xe（o,I））,则如）=3『^,

t己pOr）=xcosx—sinx（x£（0,a）），则"（x）=l,cosx+»（—sinx）-cosx=1%sinx<0,p（x）

在（0,彳）上单调递减，（13分）

兀兀兀2、/2

当了£（0,-）时，p（x）<p（O）=O,nr（x）<0,则〃（%）在（0,1）上单调递减，）=~'

即当x£（0,）时，不等式画詈成立.（14分）

21eJi

由（2）知，当函数火工）无极值点时，a^~,则。〈五^4<1，（15分）

在不等式垩">红但中，取-，则有2asin也，

JC7cZa2a兀

即不等式asin；>也成立.（17分）

19.（1）解：设点尸（x,y）,由题意可知"一S―4=：，（2分）

即（元一机）2+丁2=（1x—ri）2,

经化简，得C的方程为,+孩J=1,（3分）

当机<〃时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；

当相”时，曲线。是焦点在x轴上的双曲线.（4分）

（2）设点M>1，州），N（X2,丁2），M（X3，丁3），其中yi>0，>2>0且％3=一％2，”=一丁2,

①证明：由⑴可知C的方程为髭+?=1,A（2^2,0）,5（-2^2,0）,

因为AM//BN,所以消炉=点仍=—y2

—X2-2^/2

因此，M,A,欧三点共线，且BN=7（&+2吸）2+货='（一万2-2巾）2+（一竺）2

=AM',（5分）

（证法1）设直线跖VT的方程为x=ty+2,y[2.,联立C的方程,得俨+2）^+4也共一8=0,

8

则？+》=一^^，yi，3=一胃］，（6分）

由（1）可知|xi—1=4一坐xi，BN=AM，=4一冷心，

（4—^xi）+（4—^X3）

1J__AM+BN_82、"十B2却

所以赢+BN=AMBN=J2亚

（4一半ri）（4一号X3）

（2一坐.1）+（2—当”3）

（2-坐”1）（2-当口3）

4-乌（%+刃）4-冬（一^^）

=1=AF）tio=1（定值）.（8

4—四（yi+券）+处第4—g（-3337）+%•（-3VZ）

~r।乙乙i।乙

（证法2）设/加=。，则有地.北==4,解得4加=代嬴,

AMr2、历4

同理由即…=+,解得,

小、I1,1_1,12+也cose2—V2cos01i/七、°八、

所以说+丽=屈+而=4+4=1（定值X8分）

由椭圆定义BQ+QA/+AM=8,^QM=S~BQ~AM,

...............AMQMBQ-AM

•AM//BN,..丽=诙=硕'

(8-AM)-BN

解得BQ=AM+BN-

(8—BN)-AM八

同理可得AQ=AM+BN，(10分)

cr.,,,(8—BN)-AM,(8—AM)BN8(AM+BN)~2AM-BN

所以AQ+BQ=AM+BN+AM+BN=7^+^

=8-—।j—-8-2=6.

AM+BN

因为AB=46,所以△ABQ的周长为6+4正（定值）.（12分）

②解：当痴＞"时，曲线C的方程为4—T—7=1，轨迹为双曲线,

几mz—nz

根据①的证明，同理可得M,A,AT三点共线，且BN=AM,

（解法1）设直线的方程为x=sy+m,联立C的方程，

得［（m2—层）0—〃2打2+2sm（m2—n2）y+（m2—n2）2=0,

.2sm（源一层）（加一〃2）2

・,・%+”=_（加2_/）或一淬，为为=（_2_.）$2—层（*）,（13刀）

因为（x\~~x\~n,BN=AM,=-x3—n,

nm'nn

9

斫以」_,J_=J_1_AM+AM'

所以AM+BN~AM+AM'-AM-AM'

*2222

,sm.m一n、.,sm,m一n

（萨—〃）+（萨一”）(齐1+][)+(63+丁]

,sm.加一〃2,sm.帆2—〃2

(-ri-n)(表-〃)，

n(—n/V1+----n-----)(—ny3+-----n----)