直线与圆、圆与圆的位置关系 高频考点精练（解析版）2024年高考数学一轮复习（艺考生基础版）

直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)

A夯实基础

一、单选题

1.(2022•全国•高二课时练习)直线4元-3y+ll=。与圆(x+iy+(y+l)2=4的位置关系是

()

A.相离B,相切C.相交D.不确定

【答案】B

【详解】圆心坐标为半径为2,

圆心到直线的距离为口一；+川=2,

所以直线4x-3y+ll=0与圆(x+iy+(y+l)2=4相切.

故选：B

2.(2022•浙江温州•高二期中)已知圆M:V+y2=i与圆N：(x-l)2+(y_2)2=l,则两圆的

位置关系为()

A.相交B.外离C.相切D.内含

【答案】B

【详解】解：圆“：/+丁=1圆心为“(0,0),半径11,

圆N:(x—1)~+(y—2)~=1圆心为N(1,2),半径r2=1,

又叱=JT+2?=若>/+々=2,所以两圆外离.

故选：B

3.(2022・重庆巴蜀中学高二阶段练习)圆(x-l)2+(y+iy=8与圆(x+l)2+(y-l)2=2的公

切线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】B

【详解】圆(x-l)2+(y+l)2=8的圆心为G(I)，半径彳=2&;

圆(尤+1)2+”-1)2=2的圆心为6(-1』)，半径

?

|C1C2|=^+2=2>/2,所以?+G，

所以两个圆相交，公切线有2条.

故选：B

4.(2022•北京四中高二期中)若点”(1,1)为圆C:尤2+/一­=0的弦A3的中点，则直线

AB的方程是()

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A.x—y—2=0B.x—y+2=0C.x—y=OD.x+y=0

【答案】c

【详解】己尤2+'2-4尤=0的圆心。(2,0),则直线CM的斜率%,=g=T,

由垂径定理可得：直线A3与CM垂直，

故直线A8的斜率如=1,

则直线A3的方程为y-i=x-l,

即x-y=O.

故选：C

5.(2022•陕西•长安一中高二期中(理))已知直线x+3-1=0是圆C：尤2+y-4x-2y+l=0

的对称轴，过点A(-3,a)作圆C的一条切线，切点为8,贝等于()

A.2B.5C.4拒D.2M

【答案】B

【详解】由题得圆心坐标为(2,1),直线经过圆心，所以2+a-l=0,;.a=-l.

所以4(-3,-1).

由题得圆的方程为(X-2)2+(y-l)2=4,

所以\AC\=7(-3-2)2+(-1-1)2=腐,

所以|A8|=129-4=5.

故选：B

6.(2022•全国•高二课时练习)过点4(-1,-3)作圆f-4x+y2-2y+l=0的切线，切点为8,

则朋=()

A.2B.75C.3D.721

【答案】D

【详解】x2-4x+y2-2y+l=0=>(x-2)2+(y-l)2=4,

故圆的圆心为C(2,l),半径r=2,

故馆同=一忸=^(-1-2)2+(-3-1)2-22=后■

故选：D.

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7.（2022•湖北•宜昌市夷陵中学高二阶段练习）圆N+y2—4=0与圆12+,2—4x+4y—12

=0公共弦所在直线方程为（）

A.x-2y-l=0B.x-y+2=0

C.x-y-2=0D.x-2y+l=0

【答案】B

【详解】由x2+y2-4=0与x2+y2—4x+4y—12=0两式相减

得：4%—4y+8=0,即％—y+2=0.

故选：B

8.（2022•全国,高二课时练习）已知。的圆心是坐标原点。，且被直线x-括y+2代=0截

得的弦长为6,贝小。的方程为（）

A.x2+y2=4B.x2+y2=8

C.x2+y2=12D.x2+y2=216

【答案】C

【详解】由题可设一。的方程为£+y=产.二。被直线截得的弦长为6,且圆心到直线

的距离d」°；+yL、、G，（,/3）2+^|J=r2,解得户=12,可得::，。的方程为

x2+y2=12.

故选：C.

二、多选题

9.（2022,黑龙江・齐齐哈尔三立高级中学有限公司高二期中）过点（0,1）且与圆

（x-iy+（y+2）2=l相切的直线的方程是（）

A.尤=0B.y=0

C.4x+3y-3=0D.3x+4y-4=0

【答案】AC

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【详解】当斜率不存在时直线x=0满足题意.

当斜率存在时，设直线方程为丫=履+1,由直线与圆（x-l）2+（y+2）2=l相切得

q4=1,解得％=-金，故切线方程为4x+3y-3=0.

故选：AC

10.（2022•江苏•高二专题练习）［多选题］当实数机变化时，圆G：x2+y2=l与圆C2：

（*-机）2+（>一1）2=4的位置关系可能是（）

A.外离B.外切C.相交D.内切

【答案】ABCD

【详解】圆G：尤?+y2=l的圆心为G（0,0）,半径圆C2：（尤-my+（y_i）2=4的圆

心为。2（利，1），半径4=2,则|cc|=J比+俨,卜一司=1,4+4=3.

「|CG|=Vm2+1221,.•・当|C©=1时，两圆内切；当1<|C©<3时，两圆相交；当|印以=3

时，两圆外切；当|GG|>3时，两圆外离；

故选：ABCD.

11.（2022•山东师范大学附中高二期中）若圆/+^=/（/>0）上恒有4个点到直线

尤-〉-2=0的距离为1,则实数r的可能取值是（）

A.72B.73+1C.3D.72+1

【答案】BC

因为圆f+J=/（厂>0）上恒有4个点到直线x-y-2=0的距离为1,

所以圆的半径r>&+l.

对比选项，可得BC符合题意.

故选：BC.

12.（2022・山西•平遥县第二中学校高二阶段练习）已知圆CI：Y+y-iox-ioy=。和圆c?：

x?+产一6x+2y-40=0贝!］（）

A.两圆相交B.公共弦长为4M

C.两圆相离D.公切线长4比5

【答案】AB

【详解】圆G的标准方程为：（x-5）2+（y-5）2=50,圆心为（5,5）半径为［=50

圆G的标准方程为：（x-3）2+（y+l）2=50,圆心为（3,-1）半径为&=50

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所以两圆心的距离：d=，（5-3）2+[5-（-1）于=2A/10,

.,.0<[<卷+2，.•.两圆相交,选项A正确，选项C错误；

设两圆公共弦长为3则有：[gj+[：：=/（,=4=4）

L=4y/10,选项B正确，选项D错误.

故选：AB

三、填空题

13.（2022•辽宁•育明高中高三期中）已知圆C:Y+（y-4）2=4,一条动直线/过A。,3）与

圆C相交于尸、。两点，若点A为弦PQ的中点，则直线/的方程为.

【答案】y=x+2

【详解】解；由题意

在直线/中，/过A（l,3）,设=1）

在圆C:/+（y-4）z=4中，圆心。（0,4）,半径厂=2,

,二/与圆C相交于尸、。两点，若点A为弦PQ的中点，

，有几何知识得，直线C4垂直平分尸2,即直线C4垂直直线/

/.kCA,k=-1

•-kCA=^^=—=-1

.X-X.1-0

k=1

:y-3=17（%1）

即/:y=x+2

故答案为：y=x+2.

14.（2022・全国•高二课时练习）圆/+V_2%+2y-1=0在x轴上截得的弦长是.

【答案】2夜

【详解】由f+y2-2x+2y-l=0,令y=。得一一2x-l=0,

解得％,=1—A/2,x2=1+\/2,

所以弦长为々—匕=20.

故答案为：2母

15.（2022・四川•宜宾市叙州区第一中学校高二阶段练习（文））圆。广/+丁-2x=0和

圆。2：/+y2+4y+〃z=0外切，则实数m的值为.

【答案】26-2##-2+2石

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【详解】圆。「V+y2-2x=0的圆心为（1,0）,半径为厂=1,

圆。2：f+必+4y+m=0的圆心为（0,-2）,半径为R=44-m,（〃z<4）,

由于两圆外切，所以=R+r=Vl2+22=1+14一m=>2万一2,

故答案为：2石-2

16.（2022•江苏•高二课时练习）圆G：x2+y2+4x=0与圆C?:尤2+y2-2x-2y-2=0交于

AB两点，则直线A3的方程为.

【答案】3x+y+l=0

【详解】两圆方程作差可得：6x+2y+2=0,即3x+y+l=0,

二直线A2的方程为：3x+y+l=0.

故答案为：3x+v+l=0.

四、解答题

17.（2022•北京铁路二中高二期中）已知圆G过三点A（l,3）,B（4,2）,C（l,-7）.

（1）求圆G的方程；

（2）设直线/经过点M（6,l）,且与圆G相切，求直线/的方程.

【答案】（l）/+y2一2x+4y-20=0

（2）X=6或8》+15>-63=0

【详解】（1）设圆G的方程为V+V+Dx+Ey+FnO,

因为圆G过三点A（l,3）,8（4,2）,C（l,-7）,

'10+O+3E+尸=0D=-2

所以，20+4D+2E+FM0解得E=4

50+D-TE+F=0F=-2Q

圆G的方程为/+;/-2》+4>-2。=。.

（2）由⑴知圆G是以（1,-2）为圆心，以r=5为半径的圆，

（i）若直线/的斜率不存在，

则此时/的方程为x=6到圆心的距离为6-1=5,满足与圆G相切;

（ii）若直线/的斜率存在，

则设直线方程为，-1=左。一6）,^kx-y+l-6k=0,

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为d=£A=5,

W+1

Q

解得左=-1,所以切线方程为8尤+15y-63=0.

综上，切线方程为x=6或8元+15y-63=0.

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18.（2022•四川成都・高二期中（理））已知圆C的圆心为（-2,1）,半径为3,/是过点尸（0,2）

的直线.

⑴判断点P是否在圆上，并证明你的结论；

（2）若圆C被直线/截得的弦长为2右，求直线/的方程.

【答案】⑴点P不在圆上，证明见解析

（2）x=0或3x+4y—8=0.

【详解】（1）点P不在圆上.

证明如下：

V\PC\=7（0+2）2+（2-1）2=75<3,

，由圆的定义可知点尸是在圆C的内部，不在圆上；

（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线/的距离［=斤与=2，

①当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,

此时〃=卜2-0|=2,满足题意；

②当直线/的斜率存在时，设直线/为y=fcc+2,即日一y+2=0,

又•;公卜2:：1+2|=2,解得左=_'，此时直线/为3x+4y—8=0,

收+14

综上所述：直线/的方程为尤=0或3x+4y—8=0.

B能力提升

19.（2022•四川师范大学附属中学高二期中（理））已知圆C的方程为V+；/-2x-4y+m=0

⑴若m=Y时，求圆C与圆C|：/+9+尸7丁+5=0的公共弦所在直线方程及公共弦长;

⑵若圆C与直线x+2y-4=0相交于"，N两点，且|0M+0N|=|0M-0N|（O为坐标原

点），求实数机的值.

【答案】⑴x-y+3=0,2a

8

(2)m=-

【详解】（1）若机=-4时，则圆C：%2+,2一2工一4y一4=0的圆心半径r=3,

EijISIx2+y2-2x—4y-4=0-^x2+y2+x-7y+5=0相减得：3x—3y+9=0,

所以公共弦所在直线的方程x-y+3=o,

心厂2+31二行

又•••圆心c（l,2）到公共弦的距离

，

公共弦长为2,户-磨=2近.

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(2)设M(占,％),N(x2,y2),则OAf=(冷％),丽=(%,%),

由|。知+。叫=口〃-。叫，可得OAf_LON，贝！|。川・次=%赴+乂%=0,

x+2y-4=0

联立方程组消去y得：5x2-8x+4m-16=0,

x1+y2—2x—4y+m=0

4m16

其中A＞。，x1+x2=—,XjX2=

55

则x%=g(4-玉)[g(4一%)=^-[16-4(%,+X2)+%1X2]=^16-4X|+^^^=^^

,4m-16m+8即,日8

所以由犬1入2+%％=---+—^―=n0,斛得机=y,

ioS

此时A>0,(-2)~+(T)-4加>0也成立,即m=g符合题意,

5

20.(2022•山西•高二期中)已知圆〃的圆心坐标为朋'(6,〃)，n>0,且圆"与x轴相切,

并与圆"：/+)；2_4苫_2>-4=0外切.

(1)求圆M的标准方程；

(2)若经过点(5,g］的直线/与圆M交于P,Q两点，且|尸。|=6,求直线/的方程.

【答案】⑴(x-6)2+(y-l)