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文档简介
直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)
A夯实基础
一、单选题
1.(2022•全国•高二课时练习)直线4元-3y+ll=。与圆(x+iy+(y+l)2=4的位置关系是
()
A.相离B,相切C.相交D.不确定
【答案】B
【详解】圆心坐标为半径为2,
圆心到直线的距离为口一;+川=2,
所以直线4x-3y+ll=0与圆(x+iy+(y+l)2=4相切.
故选:B
2.(2022•浙江温州•高二期中)已知圆M:V+y2=i与圆N:(x-l)2+(y_2)2=l,则两圆的
位置关系为()
A.相交B.外离C.相切D.内含
【答案】B
【详解】解:圆“:/+丁=1圆心为“(0,0),半径11,
圆N:(x—1)~+(y—2)~=1圆心为N(1,2),半径r2=1,
又叱=JT+2?=若>/+々=2,所以两圆外离.
故选:B
3.(2022・重庆巴蜀中学高二阶段练习)圆(x-l)2+(y+iy=8与圆(x+l)2+(y-l)2=2的公
切线共有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
【答案】B
【详解】圆(x-l)2+(y+l)2=8的圆心为G(I),半径彳=2&;
圆(尤+1)2+”-1)2=2的圆心为6(-1』),半径
?
|C1C2|=^+2=2>/2,所以?+G,
所以两个圆相交,公切线有2条.
故选:B
4.(2022•北京四中高二期中)若点”(1,1)为圆C:尤2+/一=0的弦A3的中点,则直线
AB的方程是()
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A.x—y—2=0B.x—y+2=0C.x—y=OD.x+y=0
【答案】c
【详解】己尤2+'2-4尤=0的圆心。(2,0),则直线CM的斜率%,=g=T,
由垂径定理可得:直线A3与CM垂直,
故直线A8的斜率如=1,
则直线A3的方程为y-i=x-l,
即x-y=O.
故选:C
5.(2022•陕西•长安一中高二期中(理))已知直线x+3-1=0是圆C:尤2+y-4x-2y+l=0
的对称轴,过点A(-3,a)作圆C的一条切线,切点为8,贝等于()
A.2B.5C.4拒D.2M
【答案】B
【详解】由题得圆心坐标为(2,1),直线经过圆心,所以2+a-l=0,;.a=-l.
所以4(-3,-1).
由题得圆的方程为(X-2)2+(y-l)2=4,
所以\AC\=7(-3-2)2+(-1-1)2=腐,
所以|A8|=129-4=5.
故选:B
6.(2022•全国•高二课时练习)过点4(-1,-3)作圆f-4x+y2-2y+l=0的切线,切点为8,
则朋=()
A.2B.75C.3D.721
【答案】D
【详解】x2-4x+y2-2y+l=0=>(x-2)2+(y-l)2=4,
故圆的圆心为C(2,l),半径r=2,
故馆同=一忸=^(-1-2)2+(-3-1)2-22=后■
故选:D.
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7.(2022•湖北•宜昌市夷陵中学高二阶段练习)圆N+y2—4=0与圆12+,2—4x+4y—12
=0公共弦所在直线方程为()
A.x-2y-l=0B.x-y+2=0
C.x-y-2=0D.x-2y+l=0
【答案】B
【详解】由x2+y2-4=0与x2+y2—4x+4y—12=0两式相减
得:4%—4y+8=0,即%—y+2=0.
故选:B
8.(2022•全国,高二课时练习)已知。的圆心是坐标原点。,且被直线x-括y+2代=0截
得的弦长为6,贝小。的方程为()
A.x2+y2=4B.x2+y2=8
C.x2+y2=12D.x2+y2=216
【答案】C
【详解】由题可设一。的方程为£+y=产.二。被直线截得的弦长为6,且圆心到直线
的距离d」°;+yL、、G,(,/3)2+^|J=r2,解得户=12,可得::,。的方程为
x2+y2=12.
故选:C.
二、多选题
9.(2022,黑龙江・齐齐哈尔三立高级中学有限公司高二期中)过点(0,1)且与圆
(x-iy+(y+2)2=l相切的直线的方程是()
A.尤=0B.y=0
C.4x+3y-3=0D.3x+4y-4=0
【答案】AC
第3页共9页
【详解】当斜率不存在时直线x=0满足题意.
当斜率存在时,设直线方程为丫=履+1,由直线与圆(x-l)2+(y+2)2=l相切得
q4=1,解得%=-金,故切线方程为4x+3y-3=0.
故选:AC
10.(2022•江苏•高二专题练习)[多选题]当实数机变化时,圆G:x2+y2=l与圆C2:
(*-机)2+(>一1)2=4的位置关系可能是()
A.外离B.外切C.相交D.内切
【答案】ABCD
【详解】圆G:尤?+y2=l的圆心为G(0,0),半径圆C2:(尤-my+(y_i)2=4的圆
心为。2(利,1),半径4=2,则|cc|=J比+俨,卜一司=1,4+4=3.
「|CG|=Vm2+1221,.•・当|C©=1时,两圆内切;当1<|C©<3时,两圆相交;当|印以=3
时,两圆外切;当|GG|>3时,两圆外离;
故选:ABCD.
11.(2022•山东师范大学附中高二期中)若圆/+^=/(/>0)上恒有4个点到直线
尤-〉-2=0的距离为1,则实数r的可能取值是()
A.72B.73+1C.3D.72+1
【答案】BC
因为圆f+J=/(厂>0)上恒有4个点到直线x-y-2=0的距离为1,
所以圆的半径r>&+l.
对比选项,可得BC符合题意.
故选:BC.
12.(2022・山西•平遥县第二中学校高二阶段练习)已知圆CI:Y+y-iox-ioy=。和圆c?:
x?+产一6x+2y-40=0贝!]()
A.两圆相交B.公共弦长为4M
C.两圆相离D.公切线长4比5
【答案】AB
【详解】圆G的标准方程为:(x-5)2+(y-5)2=50,圆心为(5,5)半径为[=50
圆G的标准方程为:(x-3)2+(y+l)2=50,圆心为(3,-1)半径为&=50
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所以两圆心的距离:d=,(5-3)2+[5-(-1)于=2A/10,
.,.0<[<卷+2,.•.两圆相交,选项A正确,选项C错误;
设两圆公共弦长为3则有:[gj+[::=/(,=4=4)
L=4y/10,选项B正确,选项D错误.
故选:AB
三、填空题
13.(2022•辽宁•育明高中高三期中)已知圆C:Y+(y-4)2=4,一条动直线/过A。,3)与
圆C相交于尸、。两点,若点A为弦PQ的中点,则直线/的方程为.
【答案】y=x+2
【详解】解;由题意
在直线/中,/过A(l,3),设=1)
在圆C:/+(y-4)z=4中,圆心。(0,4),半径厂=2,
,二/与圆C相交于尸、。两点,若点A为弦PQ的中点,
,有几何知识得,直线C4垂直平分尸2,即直线C4垂直直线/
/.kCA,k=-1
•-kCA=^^=—=-1
.X-X.1-0
k=1
:y-3=17(%1)
即/:y=x+2
故答案为:y=x+2.
14.(2022・全国•高二课时练习)圆/+V_2%+2y-1=0在x轴上截得的弦长是.
【答案】2夜
【详解】由f+y2-2x+2y-l=0,令y=。得一一2x-l=0,
解得%,=1—A/2,x2=1+\/2,
所以弦长为々—匕=20.
故答案为:2母
15.(2022・四川•宜宾市叙州区第一中学校高二阶段练习(文))圆。广/+丁-2x=0和
圆。2:/+y2+4y+〃z=0外切,则实数m的值为.
【答案】26-2##-2+2石
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【详解】圆。「V+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为厂=1,
圆。2:f+必+4y+m=0的圆心为(0,-2),半径为R=44-m,(〃z<4),
由于两圆外切,所以=R+r=Vl2+22=1+14一m=>2万一2,
故答案为:2石-2
16.(2022•江苏•高二课时练习)圆G:x2+y2+4x=0与圆C?:尤2+y2-2x-2y-2=0交于
AB两点,则直线A3的方程为.
【答案】3x+y+l=0
【详解】两圆方程作差可得:6x+2y+2=0,即3x+y+l=0,
二直线A2的方程为:3x+y+l=0.
故答案为:3x+v+l=0.
四、解答题
17.(2022•北京铁路二中高二期中)已知圆G过三点A(l,3),B(4,2),C(l,-7).
(1)求圆G的方程;
(2)设直线/经过点M(6,l),且与圆G相切,求直线/的方程.
【答案】(l)/+y2一2x+4y-20=0
(2)X=6或8》+15>-63=0
【详解】(1)设圆G的方程为V+V+Dx+Ey+FnO,
因为圆G过三点A(l,3),8(4,2),C(l,-7),
'10+O+3E+尸=0D=-2
所以,20+4D+2E+FM0解得E=4
50+D-TE+F=0F=-2Q
圆G的方程为/+;/-2》+4>-2。=。.
(2)由⑴知圆G是以(1,-2)为圆心,以r=5为半径的圆,
(i)若直线/的斜率不存在,
则此时/的方程为x=6到圆心的距离为6-1=5,满足与圆G相切;
(ii)若直线/的斜率存在,
则设直线方程为,-1=左。一6),^kx-y+l-6k=0,
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离为d=£A=5,
W+1
Q
解得左=-1,所以切线方程为8尤+15y-63=0.
综上,切线方程为x=6或8元+15y-63=0.
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18.(2022•四川成都・高二期中(理))已知圆C的圆心为(-2,1),半径为3,/是过点尸(0,2)
的直线.
⑴判断点P是否在圆上,并证明你的结论;
(2)若圆C被直线/截得的弦长为2右,求直线/的方程.
【答案】⑴点P不在圆上,证明见解析
(2)x=0或3x+4y—8=0.
【详解】(1)点P不在圆上.
证明如下:
V\PC\=7(0+2)2+(2-1)2=75<3,
,由圆的定义可知点尸是在圆C的内部,不在圆上;
(2)由直线与圆的位置关系可知,圆心C到直线/的距离[=斤与=2,
①当直线/的斜率不存在时,直线/的方程为x=0,
此时〃=卜2-0|=2,满足题意;
②当直线/的斜率存在时,设直线/为y=fcc+2,即日一y+2=0,
又•;公卜2::1+2|=2,解得左=_',此时直线/为3x+4y—8=0,
收+14
综上所述:直线/的方程为尤=0或3x+4y—8=0.
B能力提升
19.(2022•四川师范大学附属中学高二期中(理))已知圆C的方程为V+;/-2x-4y+m=0
⑴若m=Y时,求圆C与圆C|:/+9+尸7丁+5=0的公共弦所在直线方程及公共弦长;
⑵若圆C与直线x+2y-4=0相交于",N两点,且|0M+0N|=|0M-0N|(O为坐标原
点),求实数机的值.
【答案】⑴x-y+3=0,2a
8
(2)m=-
【详解】(1)若机=-4时,则圆C:%2+,2一2工一4y一4=0的圆心半径r=3,
EijISIx2+y2-2x—4y-4=0-^x2+y2+x-7y+5=0相减得:3x—3y+9=0,
所以公共弦所在直线的方程x-y+3=o,
心厂2+31二行
又•••圆心c(l,2)到公共弦的距离
,
公共弦长为2,户-磨=2近.
第7页共9页
(2)设M(占,%),N(x2,y2),则OAf=(冷%),丽=(%,%),
由|。知+。叫=口〃-。叫,可得OAf_LON,贝!|。川・次=%赴+乂%=0,
x+2y-4=0
联立方程组消去y得:5x2-8x+4m-16=0,
x1+y2—2x—4y+m=0
4m16
其中A>。,x1+x2=—,XjX2=
55
则x%=g(4-玉)[g(4一%)=^-[16-4(%,+X2)+%1X2]=^16-4X|+^^^=^^
,4m-16m+8即,日8
所以由犬1入2+%%=---+—^―=n0,斛得机=y,
ioS
此时A>0,(-2)~+(T)-4加>0也成立,即m=g符合题意,
5
20.(2022•山西•高二期中)已知圆〃的圆心坐标为朋'(6,〃),n>0,且圆"与x轴相切,
并与圆":/+);2_4苫_2>-4=0外切.
(1)求圆M的标准方程;
(2)若经过点(5,g]的直线/与圆M交于P,Q两点,且|尸。|=6,求直线/的方程.
【答案】⑴(x-6)2+(y-l)
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