湖南省娄底市2024届高考模拟考试一模数学试题（含答案解析）

湖南省娄底市2024届高考仿真模拟考试一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.的展开式中X的系数为（）

A.15B.10C.5D.1

2.已知实数。，且复数z=竽3的实部与虚部互为相反数，则复数z对应的点在复平

2+1

面内位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

TT

3.在小ABC中,“sinA=cos3”是“C=-”的（）

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

4.双曲线二-当=1的左、右焦点分别为小鸟，过F2作x轴垂线交双曲线于4,8两点,

ab

为正三角形，则双曲线的离心率为（）

D,巫

A.孝B.V2C.6

2

5.已知四棱锥P-ABCD,平面平面ABCD,四边形ABC。是正方形，E为PC

中点，则（）

A.BE，平面PADB.PD_L平面ABCQ

C.平面上4S_L平面D.DE=EB

6.已知圆C:（x-l）2+（y+2>=16,过点D(O,1)的动直线,与圆C相交于M,N两点

|MN|=2j将时，直线/的方程为（)

A.4%+3y-3=0B.3x-4y+4=0

C.x=0或4%+3丁一3=0D.4x+3y—3=0或3龙-4y+4=0.

jr

7-已知圆内接四边形中’皿=皿是圆的直径,水.皿=2’则

ZADC=()

A.生-2兀

7D.——

123

8.若直线ex-4y+eln4=0是指数函数y="（a>0且awl）图象的一条切线，则底数。=

()

A.2或gB.eC.D.，或

二、多选题

9.已知c是空间中三条不同的直线，a,£是空间中两个不同的平面，下列命题不正

确的是（）

A.若a-LZ?M_Lc,6ue,cua,则a_Ltz

B.若。_L/M_LOT,则aP

C.若。b,ac,aa,则万a或ca.

D.若。_La,6_LQ,ab,则a夕，

10.对于事件A与事件B,若AuB发生的概率是0.72,事件8发生的概率是事件A发

生的概率的2倍，下列说法正确的是（）

A.若事件A与事件8互斥，则事件A发生的概率为0.36

B.P（B|A）=2P（A|B）

C.事件A发生的概率的范围为[0.24,0.36]

D.若事件A发生的概率是0.3,则事件A与事件B相互独立

11.己知函数/（尤）的定义域和值域均为何xwO,xeR},对于任意非零实数

x,y,x+y^0,函数满足：/（%+y）（/（x）+/（y））=/（%）/（y）,且/（元）在（一8,0）

上单调递减，/（l）=h则下列结论错误的是（）

c.“X）在定义域内单调递减D.〃x）为奇函数

三、填空题

12.已知函数/（x）=sin[[x+e]+|x-2|的图象关于直线尤=2对称，则。可以

为.

（写出一个符合条件的。即可）

试卷第2页，共4页

22

13.已知椭圆C:j+2=l(〃〉b〉0)的右焦点为尸，下顶点为A,过A尸的直线/与椭

ab

Q

圆C交于另一点B,若直线/的斜率为1,且|A8|=：,则椭圆C的标准方程为.

14.龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过加个关卡，分别为：GG，…,Gm,

记挑战每一个关卡G“左=1,2,失败的概率为%,其中如€(0,1),4=，游戏规则如

下：从第一个关卡G|开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡,

直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若加=2,

设龙年在闯关结束时进行到了第X关，X的数学期望E(X)=；在龙年未能全

部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第左+1关的概率总等于闯到第七关

(%=1,2,L,根-1)的概率的一半，则数列｛%｝的通项公式凡=,〃=1,2,.,m.

四、解答题

15.若抛物线「的方程为产=4无，焦点为尸，设尸，。是抛物线「上两个不同的动点.

⑴若|尸同=3,求直线P尸的斜率；

(2)设PQ中点为R,若直线PQ斜率为①，证明R在一条定直线上.

2

16.如图，四棱锥P-A5CD中，四边形ABCD为直角梯形，AB//CD,

A3_L=4。=2,尸8=。。=4,2。=@。，点E为尸B中点，DEIPC.

P

(2)已知点F为线段AB的中点，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

9jr

17.已知一ABC的内角A,8,C的对边分别为a,》,G。=13,4=3,6>(:,ABC的内切圆圆

I的面积为3兀.

(1)求次c的值及cos/ABC；

(2)若点。在AC上，且氏/,。三点共线，试讨论在BC边上是否存在点使得

B1-=CJ-CM?若存在,求出点V的位置，并求出△DBM的面积；若不存在，请说

明理由.

18.已知函数〃x)=W，其中e=2.71828•为自然对数的底数.

⑴求函数的单调区间；

(2)证明：/(%)<6"-1；

⑶设g(x)=/(x)-e2'+2ae-4/+l(aeR),若存在实数与使得g®)2。，求。的最

大值.

19.设数集S满足：①任意xeS,有xNO；②任意x,yeS,有x+yeS或区一引eS,

则称数集S具有性质P.

⑴判断数集A={0,1,2,4}和B={0,2,4}是否具有性质尸，并说明理由；

(2)若数集C={q,…,a,}且6<。=1,2,…，〃一1)具有性质P.

(i)当〃=5时，求证：％,。2,…,是等差数列；

(ii)当外,a2,。“不是等差数列时，求”的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解.

【详解】由7；+i=C)5-=q/2，，令5—2r=l,则r=2,所以》系数为C；=10.

故选：B

2.B

【分析】利用复数的加减乘除四则运算化简复数Z,求得实部与虚部，依题求出a的值，代

入即得复数对应的点，判断即可.

a+2i2

【详解】z=£±ji=()(-0=2«+2+4-£h其实部为生丑，虚部为上£,

2+i55555

依题有与电+?=0,解得。=-6,所以z=-2+2i,其对应的点为(-2,2),位于第二象

限.

故选：B.

3.B

【解析】由sinA=cos8,则4+2=5或A-B=刍和C=W，则A+2=£贝|

2222

TT

sinA=sin(--B)=cosB,可得出答案.

【详解】若sinA=cosB,则4+⑶=/或人一区=5,即C=］或A—8=W，

jr

所以在△ABC中，气泣4=8$3”是“。=5”的不充分条件

若C=巴，则A+5=三，则sinA=sin(——B)=cosB,

222

71

所以在△ABC中，"sinA=cos3”是“C=的必要条件.

故选：B.

【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.

4.C

【分析】利用点在双曲线上代入可得三角形的边长=4匕，再利用双曲线的性质构造离

a

心率的齐次方程，求出即可.

【详解】

答案第1页，共14页

设A(c,yJ,

//„2_2r,4

代入双曲线方程可得♦-普=lny；=5^x62

abaa

所以|43|=宁-即正三角形的边长,

所以正三角形的高为正义更=回,

2aa

所以

/oV2

2c=------=>lac=\[3b2=>lac=>/3卜?—a2)=>y/3c2—2ac—y/3a2=0ne=y/3,

故选：C.

5.C

【分析】由线面平行的性质判断A错误；举反例判断B错误；先证明再由线面

垂直得到工平面PAD,进而得到平面B4S_L平面PAD,判断C正确；由已知条件判断

D错误.

【详解】A：易知3C〃平面上4£),

因为BEBC=B,且两条直线都在平面PBC内，

所以BE不可能平行平面PAD,故A错误；

B：举反例，如图尸“垂直平面A3CD时，由于尸。cP〃=P,所以尸D不垂直，故B错误;

C：作尸//_LAD于点

因为平面PAD_L平面A3CD,且PHu平面PAD,

所以尸H_L平面ABCD,

因为ABu平面ABC。，所以

又PH^AD=H,且尸”,4□都在平面PAD内，

所以平面PAD,

因为ABu平面队8,

所以平面_L平面尸/⑷,

答案第2页，共14页

故C正确；

D：没有任何条件可以证明DE=£B,故D错误；

故选：C.

4k-------------

6.C

【分析】考虑直线/与x轴垂直和不垂直两种情况，斜率不存在时，满足要求，斜率存在时，

设出直线方程，利用点到直线距离公式得到方程，求出答案.

【详解】当直线，与x轴垂直时，易知直线/的方程为x=0,

C:d)2+(y+2)2=16中令x=0得(>+2)2=15,解得y=±岳-2,

故止匕时|MN|=y=岳一2-卜岳-2)=2/，符合题意；

当直线/与x轴不垂直时，设直线/的斜率为％,则直线/的方程为、=履+1,

即Ax-y+l=0,

则圆心到直线的距离为d=3子，又|"N卜2gd2=2a6一屋=2小，

1=1,解得左=-9则直线/的方程为y=-言+1，

“2+133

即4x+3y-3=0,

综上可知直线/的方程为x=0或4x+3y-3=0.

故选：C.

7.C

【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形A3CD的几何性质，即可得所

求.

【详解】

答案第3页，共14页

A

因为AC-2O=2，所以(AD+OC)・2£)=2,易知3D=4,

结合图形，ADBD=&4x与=4,/BCD=90。,则4—DC?=2，故口。=拒.

7T

又8。是圆的直径，AD=2,ZADB=~,

7T/Jr

所以30=20,所以在直角三角形3C。中可得/BDC=§,^ZADC=—.

故选：C.

8.D

【分析】设切点坐标为(1"(5)),根据导数的几何意义，列式运算求得。的值.

【详解】设切点坐标为&"(5)),对函数y=优，求导得y'=a*lna,

epin4

切线方程4y+eln4=0化成斜截式为y=「％+学，

44

e

—=ax°lna>0

口4八口口Y

由-题设知r4

e%+eln4

,即---=%+In4,

即1=%•ina+lnaln4=Ina"+ln4lnfl=In(

即e=*•4皿=上•4lna,化简得4山"=41na,

令lna=r>0,即4'=4f,利用指数函数与一次函数的性质，可知f=l或g

即Ina=1或;，解得a=e或册.

故选：D.

9.ABC

【分析】由题意分别进行判断，错误的选项指明错误点.

【详解】对A,需要补上〃c不平行才成立，否则。可能与。相交或平行，故A错误;

答案第4页，共14页

对B,若&_L/,a_L&,则。〃尸或au/7,故B错误；

对C,有可能6ue且cua且人Pc,故C错误；

对D,若a1a,bL/3,a〃b,则tz〃尸，故D正确.

故选：ABC.

10.BCD

【分析】根据互斥事件的性质、条件概率公式、独立事件的性质逐项判断即可得结论.

【详解】对于A,若事件A与事件8互斥，则尸（Au3）=尸（A）+尸（8）=3事A）=0.72,所以

P（A）=0.24,A,故A错误；

对于B，「⑶田=常尸⑷台上:^二篇二:“例⑷，故B正确；

对于C,P（AuB）=P（A）+P（B）一P（AB）=3P（A）-P（AB）=0.72,P（A）=0.24+义鲁，

若事件A与事件8互斥，则P（AB）=0,此时尸（A）取到最小值为0.24,若P（A）=P（B）,此

时P（AB）=P（A）,P（A）取到最大值为0.36,故C正确；

对于D,P⑷=0.3,则P（3）=0.6,由P（Au3）=P（A）+尸（3）—P（AB）,

P（AB）=0.3+0.6-0.72=0.18=P（A）-P（B）,则事件A与事件3相互独立，故D正确.

故选：BCD.

11.BC

【分析】赋值法可判断A,根据等比数列求和公式判断B,利用奇偶函数的定义及赋值法判

断C,由函数的特例可判断D.

【详解】对于A,令x=y=；,则2〃1）/（；）="（；）『，

因/（g）*0,故得/（g）=2/（1）=2,故A正确；

对于B,由〃x+y）（/（x）+〃y））=〃x）〃y）,

令＞=工，则”2尤）=（黑』（x）,

2/（%）2

则心=/3击）="（击）,即〃击）=2/（1）,

故"（：）｝是以/（1）=2为首项，2为公比的等比数列,

答案第5页，共14页

2023

于是=22°24-2,故B错误;

i=\I

对于D,由题意，函数/■(*)的定义域为(-e,0)u(0,+o)),关于原点对称,

令y=-2x,则〃T)=①,

〃x)+/(-2龙)

把都取成f可得〃-2力以”二”②

将②式代入①式，可得〃T)=

化简可得〃-x)=-"x),即“X)为奇函数，故D正确;

对于C,/(x)在(-8,0)上单调递减，函数为奇函数，可得在(0,+8)上单调递减，

但是不能判断f(x)在定义域上的单调性，例如/")=」，故C错误.

X

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化

简为主，根据选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构

造出/(-x),/U)的关系式即可判断奇偶性等.

12.-］.(答案不唯一)

O

【分析】因为函数y=|x-2|的图象关于直线x=2对称，只需根据三角函数图象让无=2也为

>=sinx+夕］的对称轴即可.

【详解】函数y=|x-2|的图象关于直线尤=2对称，

则只要y=sin(巳x+9］的图象关于直线尤=2对称即可,

27r7T7T

所以《-+O=,+E:(左eZ),所以夕=+E(左eZ),

TT

如令左=0,可以取9=-二.

6

故答案为：q

6

答案第6页，共14页

【分析】利用弦长公式求解参数，得到椭圆方程即可.

【详解】

设/（c,0）,由题意知,b=c,a=0c,直线/的方程为尸刀一。，

4

与椭圆。的方程联立化简得3X2-4CX=0,所以4=0,/。，

故馆同=亚.瓦-xj==g,解得c=g,

一22

所以b=0,〃=2,椭圆。的方程为工+匕=1.

42

22

故答案为：—+^=1

42

143-J-

'32"-1+2

【分析】若m=2,则X得可能取值为1,2,分别求解概率，再求解数学期望E（X）即可；根

据题意求解游戏结束时进行到第七关的概率为兄，由;4=4+|可得1%=。-%），+「于是

根据递推关系式可得数列｛4｝的通项公式.

【详解】若m=2,则X得可能取值为1,2,

117195

又P（X=l）=§,P（X=2）=l—]=§,所以石（X）=lx§+2x§=]；

设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第上关的概率为6；

（J%）以

那么有我=

1-（1一％）（1-々2）（1一金）

由;1=4+1可得3久=（1一W）％+1；

即2c%为=匚力对两边同时取倒数，可得1嘉工2-c2,即l心一2七T,又

答案第7页，共14页

--2=3-2=l,

ax

故!’-2]是首项为1,公比为2的等比数歹!J,

[anJ

Affi]--2=2"-\an=],n=1,2),m.

an2+2

故答案为：I；2」+2,

15.⑴±2万

(2)证明见解析

【分析】（1）根据焦半径公式得到8=2,求出P（2,±2®）,从而求出斜率；

（2）法一：PQ:y泻x+t，联立抛物线方程，设网和％）,。^,%），得到两根之和，两

根之积，得至1］力='匹=2应，求出答案；

法二：设得至IJ上五=」一=乎，从而确定乂+%=4百，得到

%-%%+%2

%="^=2点，得到答案.

【详解】（1）尸。,0）,户/=%+1=3,

所以kPF=-~近=土2a；

PF2-1

(2)法一：设尸(石,乂),。(町％)，

PQ:y=-^-x+t,x=y/2y-42t,

代入y2—4x,得y2—4y[iy+4A/2Z=0,

答案第8页，共14页

由韦达定理，有必+%=40,

故%=上产=2后，R在定直线y=2应上.

法二：设尸（下,口,。（马,%），

%-=4=y/2_

由题意，々-尤1y^_yL%+%2>

44

故乂+%=40，

故^1=2后,R在定直线y=2应上.

16.（1）证明见解析；

⑵理.

6

【分析】（1）连接3D，可证PD=BD,从而得到DE_LPB,即有£>E上平面PBC,可得

DELBC,由Be?+=⑺?，可得3C_L3。，即可证明8C1平面尸2。，即3C_LPD,

再由尸彦二尸斤+瓦卜得pgBD,从而证明PD_L平面ABCD；

（2）以。为坐标原点，分别以D4,DC,DP的方向为无,、z轴的正方向，建立如图所示的空

间直角坐标系，求出平面P3C的法向量为加=（1,L0）,表示出所=（1,0,-代入向量

夹角公式，可得直线所与平面PBC所成角的正弦值.

【详解】（1）连接3D

因为=S.AB±AD,所以80=衣位），

因为尸。=7^4。，所以PD=BD.因为E是棱尸3的中点，所以DELPB.

因为。后，「。,尸。,尸3（=平面尸3（7,且PCPB=P,所以DE1平面PBC.

因为BCu平面P3C,所以。EL3c.

由题意可得BC=8Q=0AB,贝!Ibe?+B£）2=CLP,所以3c_1_由）.

因为BRDEu平面尸切）,且BDcDE=D,所以BCI平面尸3D.

因为尸Du平面尸BD,所以3C_LPD.

因为PD=BD=6AB,PB=2AB,所以*=PD2+BD2，所以PD_LBZ）.

因为BD,BCu平面ABGD,且BDcBC=B,所以PDJ_平面ABCD.

答案第9页，共14页

（2）以O为坐标原点，分别以尸的方向为x，V，z轴的正方向，建立如图所示的空

则4（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,4,0）,P（0,0,272）,网1,1,&），F（2,l,0）

从而PB=（2,2,-20）,BC=（-2,2,0）,跖=（1,0,-收）

设平面PBC的法向量为m=（x,y,z）,

m-PB=0XX-^Z=0,令XT'得利=（11⑹，

则,即

m-BC=0

设直线E尸与平面PBC所成角为a,

贝Usincr=cos（m,EF~6~，

所以直线石尸与平面P3C所成角的正弦值为理

6

17.（l）i>=8,c=7,cos,ABC=—

13

⑵存在，位置见解析，竺心.

10

【分析】（1）先求出内切圆的半径，由三角形面积公式得出6c与人+c的关系，再由余弦定

理得到它们的另一个关系式，联立解出"c,最后由余弦定理解出cos/ABC即可；

（2）由题意8/.BM=C/-CM，配合切线长定理可解出忸"I，再设角。结合正弦定理解出

\BD\,最后由面积公式求得即可.

【详解】（1）因为ABC内切圆圆/的面积为3兀，可得圆/的半径为厂=g,

则S观=；x班（13+b+c）=g6csing,r.6c=26+20+c）,

答案第10页，共14页

127r

所以6+0=5儿-13,由余弦定理得62+C2-2ACOS?-=169,

得(6+°)2—加=169,将6+c=：6c-13代入整理得：(bc)2-56bc=0,

解得Z?c=56,/.0+c=15,b>c,:.b=8,c=l,

1I72_R211

••・由余弦定理得：cos/ABC=J7

2x13x713

(2)记圆/与5C边切于点E,根据切线长定理可求得B£=6,CE=7,

若BIBM=CICM，则\BE\-\BM\=\CE\-\CM\,

即6忸M|=7(13-忸河|),解得忸叫=7,

所以在BC边上存在点V,使得B>BM=C〃CM.

依题意可知/为内心，则8。平分NABC,

记ZABD=NDBC=6,贝Ucos/A8C=cos26=—，

Jl+cos22

故cos。=

V213

27r7T

在△AB。中，ZADB=n--------0=—-6,

33

|即|AB|c

由正弦定理得.271-sinZADB-.(兀力,

soin下sin——0

3【3)

Xsin--0=—cos0--sin^=^-,c=7

I3J2226

:力号,SDBM=^\BM\x\BD\.sinO=

251310

18.⑴增区间为(-00,1),减区间为(1,+8);

(2)证明见解析;

⑶巳

【分析】(1)求出厂(力，判断导数正负得到函数/(X)的单调区间；

(2)利用分析法转化要证结论，要证/(万卜/一1,即证令〃(犬)=:一1+1,

即证可“<0,利用导数判断/?(“单调性，求出最大值即可得证；

答案第11页，共14页

(3)g(x)=f(%)-e2i+2«ex-4a2+l,分别讨论当OWaW：时和。时是否存在与使得

g5)20,即可求解.

【详解】(1)/(X)的定义域为R,的(x)=W，

所以当x<l时，/(力>0；当x>l时，/(“<0.

所以“X)的增区间为(-8,1),减区间为(1,+8).

(2)要证即证:Ve'-l,令〃(无)=：一e*+1,即证

12x

r

h(x)=—\e，令zn(x)=l一x-e?工,贝！］加⑺=—l-Ze?”<0,所以加(x)在R上单调递减,

又巩0)=0,

，当尤<0时，租(x)>0,//(x)>0；当x>0时，/n(x)<0,/j，(x)<0.

.•./2(可在(-%,0)上单调递增，在(0,+力)上单调递减，

:.h(x)</i(O)=O,所以jwe。：!，即/⑺Ve*—1得证.

(3)当OWawg时，g(O)^2a-4a2=2a(l-2a)>0,即存在%=0满足题意；

当时，由(2)知，

g(%)=/(x)-e"，+2ae"—4〃?+1<(e*-1)-e2x+2ae*—4/+1

2x小八X/2(X2々+1丫(6Q+1)(1—2Q)(6«+l)(l-2tz)c

=-e2x+(2di+l)ex-4«2=-lex———I--------------------------------------^<0,

・・・此时g(X)<。恒成立，不满足题意；

综上，所以。的最大值为g.

19.(1)数集A不具有性质P,数集8具有性质尸，证明见解析

⑵(i)证明见解析；(ii)4

【分析】(1)根据性质尸的定义判断可得出结论

⑵(i)推导出弓=。，再根据性质尸的定义推导出生-。2=%-。3-。2=。4-%=。2从而证明

(ii)根据性质尸的定义得出q，的，…，。”在〃25均为等差数列，再令”=4进行验证，可以不

答案第12页，共14页

是等差数列，

所以得出〃的最大值.

【详解】(1)证明：对于数集A,4+1比A,|4-1忸A,所以数集A不具有性质P,

对于数集B，任意\x-y\&B,所以数集8具有性质P.

(2)(i)当〃=5时，数集C={q,%，…，为}具有性质产，

%+%=2%>%，所以。5+%eC,gp|a5-a5|=0eC,因为OVq<生，

则〃1=0,又因为%+。4>。5+。3>“5+。2>。5，所以%+%义以，=2,3,4),则

%-4£C。=2,3,4),因为4=0<%-。4<。5-。3<。5-。2<。5，所以得

。5—Q4=。2，。5—〃3=〃3，05—〃2=〃4，

因为。4+〃3>14+。2=〃5，所以&+〃3右。，贝U%一^金。，

又因为％=0<%-〃3<04，所以。4_