六年级上册数学培优试题含答案

六年级上册数学培优试题含答案

一、培优题易错题

1.有这样一个数字游戏，将1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字分别填在如图所示

的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增

大.当数字3和4固定在图中所示的位置时，X代表的数字是,此时按游戏规则

填写空格，所有可能出现的结果共有种.

【答案】2；6

【解析】【解答】根据题意知，x<4且-3,贝|x=2或x=l,

,二X前面的数要比x小，,x=2,

・「每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，

二9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意

一个，余下的两个数字按从小到大只有一种方法，

•••共有2x3=6种结果，

故答案为：2,6

【分析】根据题意得到x=2或x=l,由每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，

得到x只能=2,9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，得到结果.

2.一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数称为"智慧数".比如：2二

氏3,则3就是智慧数；22-02=4,则4就是智慧数.

从0开始第7个智慧数是;不大于200的智慧数共有.

【答案】8；151

【解析】【解答］解：（1）首先应该先找到智慧数的分布规律.

①02-02=0,0是智慧，

②因为2n+l=（n+1）2-n2,所以所有的奇数都是智慧数，③因为（n+2）2-n2-4

（n+1）,所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数.

由此可知，最小的智慧数是0,第2个智慧数是L其次为3,4,

从5起，依次是5,7,8；9,11,12；13,15,16；17,19,20...

即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去.

.•.从0开始第7个智慧数是：8；

故答案为：8；

（2）---200+4=50,

二不大于200的智慧数共有：50x3+1=151.

故答案为：151.

【分析】根据题意先找到智慧数的分布规律，由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,因为2n+l=

(n+l)2/2,所以所有的奇数都是智慧数，所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2

的偶数，都不是智慧数；由此可知，最小的智慧数是0,第2个智慧数是1,其次为3,

4,得到从0开始第7个智慧数是8.

3.如图，一只甲虫在5x5的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动.它从A处出发去

看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负.如果从A到

B记为：A玲B(+1,+4),从B到A记为：B玲A(-1,-4),其中第一个数表示左右方

(1)图中A玲C(,),BfC(,),Cf

(+1,-2)；

(2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为(+2,+2),(+2,-1),(-

2,+3),(-1,-2),请在图中标出P的位置；

(3)若这只甲虫的行走路线为AfBfC玲D,请计算该甲虫走过的路程.

(4)若图中另有两个格点M、N,且M玲A(3-a,b-4),M玲N(5-a,b-2),则

N玲A应记为什么？

【答案】(1)+3；+4；+2；0；D

(2)解：P点位置如图1所示；

图1

图2

A玲B表示为：(1,4),B玲C记为(2,0)C玲D记为(1,-2)；

则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10

(4)解：由M玲A(3-a,b-4),M玲N(5-a,b-2),

所以，5-a-(3-a)=2,b-2-(b-4)=2,

所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N,

所以，NfA应记为(-2,-2)

【解析】【解答］解：(1)图中A玲C(+3,+4),BfC(+2,0),C-D(+1,-2)；

故答案为：(+3,+4),(+2,0),D；

【分析】(1)根据向上向右走均为正，向下向左走均为负确定数据即可；

(2)根据所给的路线确定点的位置即可；

(3)根据表示的路线确定长度相加可得结果；

(4)观察点的变化情况，根据(1)即可确定点走了格数，从而确定结论.

4.十字交叉法的证明过程：设甲、乙两瓶溶液的质量分别为“和方，浓度分别为戒和.吸

(x>*),将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为z%,求证：a力：一y)=B;A-

【答案】证明：甲溶液中溶质的质量为力或，乙溶液中的溶质质量为反吸，则混和溶

Ax%+By%

液中的溶质质量为4胺+8河，所以混合溶液的浓度为A+B,所

Ax+By

以A+B,gpAz+Bz=Ax+By,僦工一Z)=8a.yj，可

见(x-z)：(z—y)=B-A°

【解析】【分析】溶液的浓度=溶质的质量+溶液的质量，溶质的质量=溶液质量x浓度。根

据计算方法分别表示出两个容器中溶质的质量和混合后的浓度，得到等式后用十字交叉法

证明这个等式即可。

5.在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占初、即我和？，已知三缸酒精

溶液总量是千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量.三缸溶液

混合后，所含纯酒精的百分数将达66%.那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？

【答案】解：设丙缸酒精溶液的重量为x千克，则乙缸为6。-命必力.3千克。根据纯

酒精的量可列方程：

SOx48%+(50-x)x62.5%+XX1=100x56%

24+31.2S--*+£X=56

x=0.75x24

x=18

2

18月窗mbrimbri--12,

所以丙缸中纯酒精的量是：3(千克)。

答：丙缸中纯酒精的量是12千克。

【解析】【分析】根据三缸酒精溶液的容量和与倍数关系可知，甲缸共有50千克，乙和丙

共有50千克。等量关系：甲缸纯酒精量+乙缸纯酒精量+丙缸纯酒精量=混合后纯酒精量，

先设出未知数，再根据等量关系列出方程，解方程求出丙缸酒精溶液的量，进而求出丙缸

中纯酒精的量。

6.有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为I康，盐浓度为乙溶液中的酒精浓度为4康，

盐浓度为切.现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得

的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？

【答案】解:假设把水都蒸发掉，则甲溶液盐占盐和酒精的：10%+(15%+10%)=40%,

乙溶液中盐占盐和酒精的：5%+(45%+5%)=10%；

需要配的溶液盐占盐和酒精的：14-(1+3)=25%；

贝1］：(0.25-0.1)：(0.4-0.25)=0.15：0.15=1：1,

1千克甲溶液中盐和酒精：lx(15%+10%)=0.25(千克)，1千克乙溶液中盐和酒精：lx

(5+45%)=0.5(千克)o

答：需要0.5千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍。

【解析】【分析】可以这样来看，将溶液中的水剔出或者说蒸发掉，那么所得到的溶液就

是盐溶在酒精中。(事实上这种情况不符合物理规律，但这只是假设)。这样就能分别求

出甲、乙溶液中盐占盐和酒精的百分之几。根据配制成溶液中酒精是盐的3倍先计算出配

制后盐占盐和酒精的百分之几。分别求出1千克甲、乙溶液中盐和酒精的质量，然后确定

需要加入的乙溶液的重量即可。

7.抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相

1

当甲、乙每天工作效率和的如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要

多少天才能完成？

【答案】解：甲的工作效率：工-2二三，

B1«

丙的工作效率：士46=三，

0M

乙的工作效率：1-±_±=±，

B1«4B34

1

乙独做的时间：1+24=24（天）。

答：乙一人单独抄需要24天才能完成。

1

【解析】【分析】己知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的芸，又已知甲每天抄写量等于

11

乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的芸，即甲每天抄写书稿的五；由于

11

丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的芸，即丙每天抄写书稿的方，

这样用三人的工作效率和减去甲、丙的工作效率即可求出乙的工作效率，进而求出乙单独

完成需要的时间。

8.甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数

1

天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用,天；若按丙、甲、

1

乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用？天.已知甲单独完成这件工作需.乃

天.问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？

4

【答案】解：甲的工作效率：1+10.75=1,乙的工作效率：，丙的工作效

M«43

率：x-=—'

A33

1+仁+*+专）=1+天）。

7

答：完成工作需要今天。

【解析】【分析】以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期。容易知道，第

一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周

期+1天，第二种可能是完整周期+2天。如果是第一种可能，

有甲二乙丙二丙中三甲，得n=丙=三甲。然而此时甲、乙、丙的效率和

233

28“_112

为二一Y1+W+4二卫，经过4个周期后完成廿二7元,还剩

亚”'aa7xs

141217

下1_当=三，而甲每天完成10.75—73一元,所以剩下的而不可能由甲1天

12917«

完成，即所得到的结果与假设不符，所以假设不成立。

第二种可能：

完整周期不完整周期完成总工程量

第一

种情n个周期甲1天，乙1天

况

第二

1

种情n个周期

乙1天，丙1天，甲2天

况

第三

1

种情n个周期

丙1天，甲1天，乙3天

况

可得用+乙=乙+R+：平=内+,所以用=；争,毕。因为甲单

4

独做需I。•费天，所以工作效率为②，于是乙的工作效率为，丙的工作效

43443

率为土乂3=2。

43S41

4329

—十—+———

于是，一个周期内他们完成的工程量为43434343。则

9

需[1梅mbrimbri4-才1=4个完整周期，剩下1_2x4=二的工程量；正好甲、乙各一天

A341

完成.所以第二种可能是符合题意的。这样用总工作量除以三人的工作效率和即可求出合

作完成的时间。

1

9.甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的，时，乙完

1

成了任务的,还差40个.这时乙开始提高工作效率，又用了ZS小时完成了全部加工任

务.这时甲还剩下20个零件没完成.求乙提高工效后每小时加工零件多少个？

【答案】解：40+(40+20)+7.5

=40+60+7.5

=40+8

=48（个）

答：乙提高工效后每小时加工48个零件。

11

【解析】【分析】当甲完成任务的,时，乙完成了任务的,还差40个，这时乙比甲少完成

40个；当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成，这时乙比甲多完成20个；所以

在后来的7.5小时内，乙比甲多完成了（40+20）个，那么乙比甲每小时多完成（40+20）

+7.5个，然后求出乙提高工效后每小时完成的个数即可。

1

10.一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的

7

倍.上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3